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| - Watermanova „motýlková“ mapa je mapa vytvořená v jeho vlastním zobrazení, která byla prvně publikována v roce 1996. Watermanovo zobrazení je ve formě komolého osmistěnu a odvolává se na původní princip vytvořený kartografem Bernardem Cahillem. S. Waterman se inspiroval konceptem kartografa a architekta Bernarda Cahilla, který využití mnohostěnů pro kartografické projekce navrhl již v roce 1909. Koncept si nechal patentovat v roce 1913. (cs)
- La proyección mariposa de Waterman es una proyección cartográfica creada por el matemático Steve Waterman, quien publicó por primera vez un mapa bajo esta proyección en 1996. La proyección es el despliegue de un globo terráqueo tratado como un octaedro truncado, evocando el principio del mapa de mariposa desarrollado por primera vez por Bernard Cahill en 1909. Los mapas de Cahill y Waterman pueden ser mostrados en varios perfiles, típicamente vinculados en los océanos Pacífico norte o Atlántico norte. (es)
- The Waterman "Butterfly" World Map is a map projection created by . Waterman first published a map in this arrangement in 1996. The arrangement is an unfolding of a polyhedral globe with the shape of a truncated octahedron, evoking the butterfly map principle first developed by Bernard J.S. Cahill (1866–1944) in 1909. Cahill and Waterman maps can be shown in various profiles, typically linked at the north Pacific or north Atlantic oceans. (en)
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| - Watermanova „motýlková“ mapa je mapa vytvořená v jeho vlastním zobrazení, která byla prvně publikována v roce 1996. Watermanovo zobrazení je ve formě komolého osmistěnu a odvolává se na původní princip vytvořený kartografem Bernardem Cahillem. Steve Waterman je matematik a kartograf americko-kanadské příslušnosti. Jeho zkušenosti vyplývají z téměř 20letého nezávislého výzkumu o prokládání geometrických koulí o stejné velikosti. Dva roky zjišťoval, že v takzvaném cubic close packing arrangement (ccp), volně přeloženém jako nejtěsnějším kubickém uspořádání, jsou všechny vzdálenosti mezi středy koulí ve formě druhé odmocniny celého čísla. Jednoduchý algoritmus tak vytvořil hromadné body, které byly webovskou miniaplikací převedeny do konvexního obalu. S. Waterman se inspiroval konceptem kartografa a architekta Bernarda Cahilla, který využití mnohostěnů pro kartografické projekce navrhl již v roce 1909. Koncept si nechal patentovat v roce 1913. K vytvoření samotného zobrazení použil S. Waterman jeden z mnohostěnů, které sám definoval, a to pravidelný osmistěn, jehož vrcholy jsou seříznuty na čtvrtině jeho okrajů. Využitím gnómonické projekce mapa není ani úhlojevná, ani plochojevná. Vzhledem k tomu, že výsledná mapa je sítí mnohostěnů, nedochází tak k přerušování mezi zeměmi. (cs)
- La proyección mariposa de Waterman es una proyección cartográfica creada por el matemático Steve Waterman, quien publicó por primera vez un mapa bajo esta proyección en 1996. La proyección es el despliegue de un globo terráqueo tratado como un octaedro truncado, evocando el principio del mapa de mariposa desarrollado por primera vez por Bernard Cahill en 1909. Los mapas de Cahill y Waterman pueden ser mostrados en varios perfiles, típicamente vinculados en los océanos Pacífico norte o Atlántico norte. Como Cahill era arquitecto, su enfoque tendía hacia formas que podían demostrarse físicamente, como su mapa plano de pelota de goma. Waterman, por otro lado, derivó su diseño de su trabajo en el empaquetado de esferas. Esto implica conectar los centros de las esferas de las esferas cúbicas más cercanas en un casco convexo correspondiente. Para proyectar la esfera al poliedro, la Tierra se divide en 8 octantes. Cada meridiano se dibuja como tres segmentos de línea recta en su octante respectivo, cada segmento definido por sus puntos finales en dos de las cuatro "Delineaciones de líneas iguales" definidas por Waterman. Estas delineaciones de líneas iguales son el Polo Norte, el borde del poliedro más septentrional, la línea más larga paralela al ecuador y el ecuador mismo. Las intersecciones de todos los meridianos con una delineación de línea igual están igualmente espaciadas, y las intersecciones de todos los paralelos con cualquier meridiano están igualmente espaciadas. Waterman eligió el meridiano central de 20° O para minimizar la interrupción de las grandes masas de tierra. La proyección también puede ser gnomónica. Los dos métodos arrojan resultados muy similares. Al igual que la Proyección Dymaxion de 1943 de Buckminster Fuller, un mapa de mariposa octaédrica puede mostrar todos los continentes sin interrupción si sus octantes se dividen en un meridiano adecuado (en este caso 20° O) y se unen, por ejemplo, en el Atlántico Norte. (es)
- The Waterman "Butterfly" World Map is a map projection created by . Waterman first published a map in this arrangement in 1996. The arrangement is an unfolding of a polyhedral globe with the shape of a truncated octahedron, evoking the butterfly map principle first developed by Bernard J.S. Cahill (1866–1944) in 1909. Cahill and Waterman maps can be shown in various profiles, typically linked at the north Pacific or north Atlantic oceans. As Cahill was an architect, his approach tended toward forms that could be demonstrated physically, such as by his flattenable rubber-ball map. Waterman, on the other hand, derived his design from his work on close-packing of spheres. This involves connecting the sphere centers from cubic closest-packed spheres into a corresponding convex hull, as demonstrated in the accompanying graphics. These illustrate the W5 sphere cluster, W5 convex hull, and two Waterman projections from the W5 convex hull. To project the sphere to the polyhedron, the Earth is divided into eight octants. Each meridian is drawn as three straight-line segments in its respective octant, each segment defined by its endpoints on two of four "Equal Line Delineations" defined by Waterman. These Equal Line Delineations are the North Pole, the northernmost polyhedron edge, the longest line parallel to the equator, and the equator itself. The intersections of all meridians with any one Equal Line Delineation are equally spaced, and the intersections of all parallels with any one meridian are equally spaced. Waterman chose the W5 Waterman polyhedron and central meridian of 20°W to minimize interrupting major land masses. Popko notes the projection can be gnomonic too. The two methods yield very similar results. Like Buckminster Fuller's 1943 Dymaxion Projection, an octahedral butterfly map can show all the continents uninterrupted if its octants are divided at a suitable meridian (in this case 20°W) and are joined, for example, at the North Atlantic, as in the 1996 version. (en)
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