In Bayesian inference, the Bernstein-von Mises theorem provides the basis for using Bayesian credible sets for confidence statements in parametric models. It states that under some conditions, a posterior distribution converges in the limit of infinite data to a multivariate normal distribution centered at the maximum likelihood estimator with covariance matrix given by , where is the true population parameter and is the Fisher information matrix at the true population parameter value.
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| - Satz von Bernstein-von-Mises (de)
- Bernstein–von Mises theorem (en)
- Théorème de Bernstein-von Mises (fr)
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| - Der Satz von Bernstein-von-Mises ist ein nach Sergei Bernstein und Richard von Mises benannter Lehrsatz der mathematischen Statistik. Seine anschauliche Bedeutung besteht darin, dass bayessches Lernen, wie es zum Beispiel von neuronalen Netzen praktiziert wird, auf lange Sicht zu den richtigen Ergebnissen führt. Also ist die A-posteriori-Verteilung für die unbekannten Größen in einem Problem in gewissem Sinne von der A-priori-Verteilung unabhängig, sobald die durch die Stichprobe gewonnene Informationsmenge groß genug ist. (de)
- In Bayesian inference, the Bernstein-von Mises theorem provides the basis for using Bayesian credible sets for confidence statements in parametric models. It states that under some conditions, a posterior distribution converges in the limit of infinite data to a multivariate normal distribution centered at the maximum likelihood estimator with covariance matrix given by , where is the true population parameter and is the Fisher information matrix at the true population parameter value. (en)
- Le théorème de Bernstein-von Mises établit un lien important entre l'inférence bayésienne et la statistique fréquentiste (la statistique classique). Dans les , la distribution a posteriori se concentre asymptotiquement autour du paramètre à estimer en général indépendamment de la distribution a priori sous un nombre suffisamment grand d'observations (consistance de l'estimateur bayésien). (fr)
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| - Der Satz von Bernstein-von-Mises ist ein nach Sergei Bernstein und Richard von Mises benannter Lehrsatz der mathematischen Statistik. Seine anschauliche Bedeutung besteht darin, dass bayessches Lernen, wie es zum Beispiel von neuronalen Netzen praktiziert wird, auf lange Sicht zu den richtigen Ergebnissen führt. Der Satz besagt, dass sich in parametrischen Modellen die A-posteriori-Verteilung im Regelfall unabhängig von der A-priori-Verteilung asymptotisch (bei großer Anzahl von Beobachtungen) um den wahren Parameter (Konsistenz des bayesschen Schätzers) konzentriert. Er stellt damit eine wichtige Verbindung zwischen bayesscher Statistik und frequentistischer Statistik her. Die entsprechend zentrierte und skalierte A-Posteriori-Verteilung ist nach dem Satz von Bernstein-von-Mises sogar asymptotisch eine Normalverteilung mit der inversen Fisher-Informations-Matrix als Kovarianzmatrix (asymptotische Effizienz des bayesschen Schätzers). Demnach führen in parametrischen Modellen optimale frequentistische und bayessche Ansätze asymptotisch zu qualitativ gleichen Ergebnissen. Also ist die A-posteriori-Verteilung für die unbekannten Größen in einem Problem in gewissem Sinne von der A-priori-Verteilung unabhängig, sobald die durch die Stichprobe gewonnene Informationsmenge groß genug ist. (de)
- In Bayesian inference, the Bernstein-von Mises theorem provides the basis for using Bayesian credible sets for confidence statements in parametric models. It states that under some conditions, a posterior distribution converges in the limit of infinite data to a multivariate normal distribution centered at the maximum likelihood estimator with covariance matrix given by , where is the true population parameter and is the Fisher information matrix at the true population parameter value. The Bernstein-von Mises theorem links Bayesian inference with frequentist inference. It assumes there is some true probabilistic process that generates the observations, as in frequentism, and then studies the quality of Bayesian methods of recovering that process, and making uncertainty statements about that process. In particular, it states that Bayesian credible sets of a certain credibility level will asymptotically be confidence sets of confidence level , which allows for the interpretation of Bayesian credible sets. (en)
- Le théorème de Bernstein-von Mises établit un lien important entre l'inférence bayésienne et la statistique fréquentiste (la statistique classique). Dans les , la distribution a posteriori se concentre asymptotiquement autour du paramètre à estimer en général indépendamment de la distribution a priori sous un nombre suffisamment grand d'observations (consistance de l'estimateur bayésien). La version centrée et remise à l'échelle de la distribution a posteriori est, d'après le théorème de Bernstein-von Mises, asymptotique à une loi normale dont la matrice de covariance est l'inverse de l'information de Fisher du modèle (efficacité asymptotique de l'estimateur bayésien). Ainsi les approches fréquentistes et de Bayes aboutissent dans les modèles paramétriques à des résultats qualitativement similaires. De plus la distribution a posteriori pour les quantités inconnues d'un problème est effectivement indépendante de la distribution a priori, dès que la quantité d'informations obtenues par l'échantillon est suffisamment grande. (fr)
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