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| - V matematice, konkrétně v komplexní analýze, jsou Cauchyho-Riemannovy podmínky nutnou (ne však postačující) podmínkou, aby daná funkce byla holomorfní (tedy komplexně diferencovatelná). Postačující podmínkou je např. pokud mají funkce u,v spojité parciální derivace. Jde o parciální diferenciální rovnice pojmenované po Augustinu Cauchym a Bernhardu Riemannovi. Poprvé se tyto rovnice objevily roku 1752 v práci D'Alemberta. (cs)
- 복소해석학에서 코시-리만 방정식(-方程式, 영어: Cauchy–Riemann equations)은 열린 집합에서 정의된 복소함수가 정칙함수일 필요충분조건인 연립 편미분 방정식이다. (ko)
- Równania Cauchy’ego-Riemanna – dwa równania różniczkowe cząstkowe noszące nazwiska Augustina Cauchy’ego i Bernharda Riemanna będące warunkami koniecznym i dostatecznym na to, aby funkcja różniczkowalna była holomorficzna w zbiorze otwartym. Układ tych równań pojawił się po raz pierwszy w pracy Jeana le Ronda d’Alemberta. Później Leonhard Euler odkrył związek tego układu z funkcjami analitycznymi. Następnie Cauchy wykorzystał te równania, by skonstruować swoją teorię funkcji. Rozprawa Riemanna o teorii funkcji pojawiła się w 1851 roku. (pl)
- Условия Коши — Римана, называемые также условиями Даламбера — Эйлера, — соотношения, связывающие вещественную и мнимую части всякой дифференцируемой функции комплексного переменного . (ru)
- 复分析中的柯西-黎曼微分方程（英語：Cauchy–Riemann equations），又称柯西-黎曼条件。是提供了可微函数在开集中為全纯函数的充要条件的两个偏微分方程，以柯西和黎曼得名。这个方程组最初出现在达朗贝尔的著作中。后来欧拉将此方程组和解析函数联系起来。 然后柯西采用这些方程来构建他的函数理论。黎曼关于此函数理论的论文于1851年问世。 在一对实值函数 和 上的柯西-黎曼方程组包括两个方程： (1a) 和 (1b) 通常， 和 取为一个复函数的实部和虚部：。假设 和 在开集 上连续可微，则当且仅当 和 的偏微分满足柯西-黎曼方程组(1a)和(1b)， 是全纯的 (zh)
- في الرياضيات، معادلات كوشي-ريمان التفاضلية (بالإنجليزية: Cauchy–Riemann equations) في التحليل العقدي تنسب إلى عالم الرياضيات الفرنسي أوغستين لوي كوشي وعالم الرياضيات الألماني برنارد ريمان. تتكون من نظام من اثنين من المعادلات التفاضيلية الجزئية معادلات كوشي-ريمان لدالتين قيمهما حقيقيتان، لكل واحدة منهما متغيران اثنان (u(x,y و (v(x,y، هما المعادلتان التاليتان: و عادة ما يتم اعتبار u وv جزءًا حقيقيًا وخياليًا على التوالي لدالة مركبة القيمة لمتغير مركب واحد إذا كانت الدالة قابلة للاشتقاق عند النقطة ، فإن المشتقات الجزئية لكلا من u و v موجودة عند النقطة وتحقق معادلات كوشي -ريمان. (ar)
- En anàlisi complexa, les equacions de Cauchy-Riemann caracteritzen les funcions d'una variable complexa diferenciables en sentit complex entre les funcions diferenciables en sentit real: són condicions necessàries i suficients relatives a les derivades parcials d'una funció diferenciable en sentit real perquè sigui diferenciable en sentit complex. Considerem aquí una funció d'una variable complexa, definida en un obert U de . Emprem les notacions següents: Les equacions de Cauchy-Riemann en es poden escriure sota les formes equivalents següents:
*
* i
* (ca)
- In the field of complex analysis in mathematics, the Cauchy–Riemann equations, named after Augustin Cauchy and Bernhard Riemann, consist of a system of two partial differential equations which, together with certain continuity and differentiability criteria, form a necessary and sufficient condition for a complex function to be holomorphic (complex differentiable). This system of equations first appeared in the work of Jean le Rond d'Alembert. Later, Leonhard Euler connected this system to the analytic functions. Cauchy then used these equations to construct his theory of functions. Riemann's dissertation on the theory of functions appeared in 1851. (en)
- En kompleksa analitiko, la ekvacioj de Cauchy-Riemann (aŭ Koŝio-rimanaj ekvacioj), omaĝe al Augustin Louis Cauchy kaj Bernhard Riemann, estas du ekvacioj en partaj derivaĵoj, bazataj sur analizo de kompleksa funkcio, kiu estas difinita kaj derivebla en ĉiu punkto de malfermita subaro de la kompleksa ebeno , kun valoroj en la kompleksa ebeno (alidirite, kiu estas holomorfa funkcio). Plie, la du ekvacioj estas necesaj kaj sufiĉaj kondiĉoj de diferencialeblo de kompleksa funkcio, se ambaŭ reela kaj imaginara partoj estas diferencialeblaj reelaj funkcioj de du variabloj. Diferencialebla reela funkcio estas ankaŭ derivebla, sed la samo ne veras por kompleksaj funkcioj. La ekvacioj de Cauchy-Riemann estas la aldonendaj kondiĉoj, por ke derivebla kompleksa funkcio estu diferenicalebla kun la sam (eo)
- Die Cauchy-Riemannschen partiellen Differentialgleichungen (auch: Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen oder Cauchy-Riemann-Gleichungen) im mathematischen Teilgebiet der Funktionentheorie sind ein System von zwei partiellen Differentialgleichungen zweier reell-wertiger Funktionen. Sie schlagen eine Brücke von den reell-differenzierbaren Funktionen zu den komplex-differenzierbaren der (komplexen) Funktionentheorie . (de)
- Las ecuaciones de Cauchy-Riemann son dos ecuaciones diferenciales parciales que son básicas en el análisis de funciones complejas de variable compleja, debido a que su verificación constituye una condición necesaria (aunque no suficiente) para la derivabilidad de este tipo de funciones. Sea una función compleja , con . Se sabe que se puede descomponer en suma de dos funciones reales de dos variables y , de manera que .Si la función es derivable en un punto entonces deben verificarse las condiciones de Cauchy-Riemann: (es)
- Les équations de Cauchy-Riemann en analyse complexe, ainsi nommées en l'honneur d'Augustin Cauchy et Bernhard Riemann, sont les deux équations aux dérivées partielles exprimant une condition nécessaire et suffisante pour qu'une fonction (d'une variable complexe, à valeurs complexes) différentiable au sens réel en un point soit différentiable au sens complexe en ce point. En d'autres termes, ce sont les conditions à ajouter à la différentiabilité au sens réel pour obtenir la différentiabilité au sens complexe. (fr)
- In matematica, e più precisamente in analisi complessa, le equazioni di Cauchy-Riemann sono due equazioni alle derivate parziali che esprimono una condizione necessaria affinché una funzione sia olomorfa (che, nel campo complesso, equivale alla condizione di analiticità, a differenza di quanto succede nel campo reale). Se sia la parte reale sia quella immaginaria (funzioni reali in due variabili reali) della funzione complessa sono anche differenziabili, oltre a soddisfare le equazioni di Cauchy-Riemann, allora la condizione per l'olomorfia è anche sufficiente. (it)
- 数学の複素解析の分野において、コーシー・リーマンの方程式（英: Cauchy–Riemann equations）は、2つの偏微分方程式からなる方程式系であり、連続性と微分可能性と合わせて、複素関数が複素微分可能すなわち正則であるための必要十分条件をなす。コーシー・リーマンの関係式とも呼ばれる。オーギュスタン＝ルイ・コーシーおよびベルンハルト・リーマンの両者にちなんで名付けられた。この方程式系に最初に言及したのはジャン・ル・ロン・ダランベールの著作である。後に、レオンハルト・オイラーはこの方程式系を解析関数と結びつけた。コーシーはさらにコーシー・リーマンの方程式を彼の関数論を構築するために用いた。関数論に関するリーマンの論文は1851年に発表された。 実2変数の実数値関数の対 u(x, y), v(x, y) に関するコーシー・リーマンの方程式は次の2つの方程式である。 実際の用法としては、ある関数 f(z) が微分不可能であることを、コーシー・リーマンの方程式が成り立たないことから示すことが多い。 (ja)
- In de complexe functietheorie, een onderdeel van de wiskunde, zijn de cauchy-riemann-differentiaalvergelijkingen, naar Augustin Cauchy en Bernhard Riemann genoemd, twee partiële differentiaalvergelijkingen die een noodzakelijke en voldoende voorwaarde zijn voor een differentieerbare functie om holomorf in een open verzameling te zijn. Dit stelsel van vergelijkingen verscheen in 1752 als eerste in het werk van Jean le Rond d'Alembert. Later, in 1777, bracht Leonhard Euler dit stelsel in verband met de analytische functies. Cauchy maakte hier in 1814 vervolgens gebruik van voor de constructie van zijn theorie van functies. Riemanns proefschrift over de theorie van functies verscheen in 1851. (nl)
- No campo matemático da análise complexa as equações de Cauchy-Riemann (nome formado em homenagem ao matemático francês Augustin Cauchy e ao matemático alemão Bernhard Riemann) consistem em um sistema de duas equações diferenciais parciais que, juntamente com certos critérios de continuidade e diferenciabilidade, formam uma condição necessária e suficiente para um função complexa ser complexa diferenciável, ou seja, holomórfica . Este sistema de equações apareceu pela primeira vez na obra de Jean le Rond d'Alembert. Posteriormente, Leonhard Euler relacionou este sistema às funções analíticas. então utilizou essas equações para construir sua teoria das funções. A dissertação de Riemann sobre a teoria das funções surgiu em 1851. (pt)
- I den komplexa analysen inom matematiken är Cauchy–Riemanns ekvationer två partiella differentialekvationer som bidrar med tillräckliga villkor för att avgöra om en funktion är analytisk i det komplexa talplanet. Ekvationerna har fått sitt gemensamma namn av Augustin Louis Cauchy och Bernhard Riemann. och Ekvationerna kan även formuleras mer kompakt som vilket är samma sak som att Jacobimatrisen skall vara på formen (sv)
- Умови Коші—Рімана, або умови Д'Аламбера—Ейлера — умови на дійсну та уявну частини функції комплексної змінної , , що забезпечують нескінченну безперервну диференційовність як функції комплексної змінної. Умови Коші—Рімана для пари дійснозначних функцій двох дійсних змінних і є двома рівняннями: Як правило та вважаються відповідно дійсною та уявною частинами комплекснозначної функції однієї комплексної змінної , (uk)
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