In combinatorial mathematics, the theory of combinatorial species is an abstract, systematic method for deriving the generating functions of discrete structures, which allows one to not merely count these structures but give bijective proofs involving them. Examples of combinatorial species are (finite) graphs, permutations, trees, and so on; each of these has an associated generating function which counts how many structures there are of a certain size. One goal of species theory is to be able to analyse complicated structures by describing them in terms of transformations and combinations of simpler structures. These operations correspond to equivalent manipulations of generating functions, so producing such functions for complicated structures is much easier than with other methods. The
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| - Especies combinatorias (es)
- Combinatorial species (en)
- Тип структуры (ru)
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| - Пусть есть категория, объекты которой — это конечные множества, а морфизмы — биекции между ними. Всякий функтор F, такой что ;; сопоставляющий каждому множеству А множество F-структур на А, называется типом структуры (англ. Combinatorial Species). Если φ есть биекция между множествами A и B, то F[φ] является биекцией между F[A] и F[B] и называется переносом F-структуры посредством φ. (ru)
- In combinatorial mathematics, the theory of combinatorial species is an abstract, systematic method for deriving the generating functions of discrete structures, which allows one to not merely count these structures but give bijective proofs involving them. Examples of combinatorial species are (finite) graphs, permutations, trees, and so on; each of these has an associated generating function which counts how many structures there are of a certain size. One goal of species theory is to be able to analyse complicated structures by describing them in terms of transformations and combinations of simpler structures. These operations correspond to equivalent manipulations of generating functions, so producing such functions for complicated structures is much easier than with other methods. The (en)
- En combinatoria, la teoría de especies combinatorias es un método abstracto y sistemático para analizar estructuras discretas en términos de funciones generadoras. Son ejemplos de estructuras discretas los grafos (finitos), las permutaciones, los árboles y otras similares; cada una de ellas tiene una función generadora asociada que cuenta cuántas de estas estructuras son de un tamaño dado. Un objetivo de la teoría de especies combinatorias es poder analizar estructuras complejas en términos de transformaciones y combinaciones de estructuras más sencillas. Estas transformaciones corresponden a manipulaciones equivalentes de funciones generadoras, de forma que la teoría facilita calcular las funciones asociadas a estructuras complejas. La teoría de especies combinatorias fue introducida por (es)
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| - In combinatorial mathematics, the theory of combinatorial species is an abstract, systematic method for deriving the generating functions of discrete structures, which allows one to not merely count these structures but give bijective proofs involving them. Examples of combinatorial species are (finite) graphs, permutations, trees, and so on; each of these has an associated generating function which counts how many structures there are of a certain size. One goal of species theory is to be able to analyse complicated structures by describing them in terms of transformations and combinations of simpler structures. These operations correspond to equivalent manipulations of generating functions, so producing such functions for complicated structures is much easier than with other methods. The theory was introduced, carefully elaborated and applied by the Canadian group of people around André Joyal. The power of the theory comes from its level of abstraction. The "description format" of a structure (such as adjacency list versus adjacency matrix for graphs) is irrelevant, because species are purely algebraic. Category theory provides a useful language for the concepts that arise here, but it is not necessary to understand categories before being able to work with species. The category of species is equivalent to the category of symmetric sequences in finite sets. (en)
- En combinatoria, la teoría de especies combinatorias es un método abstracto y sistemático para analizar estructuras discretas en términos de funciones generadoras. Son ejemplos de estructuras discretas los grafos (finitos), las permutaciones, los árboles y otras similares; cada una de ellas tiene una función generadora asociada que cuenta cuántas de estas estructuras son de un tamaño dado. Un objetivo de la teoría de especies combinatorias es poder analizar estructuras complejas en términos de transformaciones y combinaciones de estructuras más sencillas. Estas transformaciones corresponden a manipulaciones equivalentes de funciones generadoras, de forma que la teoría facilita calcular las funciones asociadas a estructuras complejas. La teoría de especies combinatorias fue introducida por . El poder de esta teoría proviene su alto nivel de abstracción. La forma específica en la que se describe una estructura (listas de adyacencia frente a matrices de adyacencia) es irrelevante porque las especies son puramente algebraicas. La teoría de categorías proporciona un lenguaje útil para tratar los conceptos de la teoría, pero no es necesario de entender categorías para trabajar con especies. (es)
- Пусть есть категория, объекты которой — это конечные множества, а морфизмы — биекции между ними. Всякий функтор F, такой что ;; сопоставляющий каждому множеству А множество F-структур на А, называется типом структуры (англ. Combinatorial Species). Если φ есть биекция между множествами A и B, то F[φ] является биекцией между F[A] и F[B] и называется переносом F-структуры посредством φ. (ru)
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