In category theory, a branch of mathematics, duality is a correspondence between the properties of a category C and the dual properties of the opposite category Cop. Given a statement regarding the category C, by interchanging the source and target of each morphism as well as interchanging the order of composing two morphisms, a corresponding dual statement is obtained regarding the opposite category Cop. Duality, as such, is the assertion that truth is invariant under this operation on statements. In other words, if a statement is true about C, then its dual statement is true about Cop. Also, if a statement is false about C, then its dual has to be false about Cop.
| Attributes | Values |
|---|
| rdf:type
| |
| rdfs:label
| - Duale Kategorie (de)
- Dual (teoría de categorías) (es)
- Dual (category theory) (en)
- 双対 (圏論) (ja)
- Duale (categorietheorie) (nl)
- Двойственность (теория категорий) (ru)
- Двоїста категорія (uk)
|
| rdfs:comment
| - In der Mathematik ordnet man jeder Kategorie eine duale Kategorie zu, die im Wesentlichen dadurch entsteht, dass man alle Pfeile (das heißt Morphismen) umdreht. Die einfache Tatsache, dass dadurch wieder eine Kategorie entsteht, führt zu einem Dualitätsprinzip, dass einerseits zu jeder kategorientheoretischen Definition eine entsprechende duale Definition liefert und andererseits den Beweisaufwand durch Übergang zur dualen Kategorie verringert. (de)
- 圏論という数学の分野において，双対性（そうついせい，英: duality）は圏 C の性質と反対圏 Cop の双対的な性質の間の対応である．圏 C についてのステートメントが与えられると，各射のと終域を入れ替え，2つの射の合成の順序を入れ替えることによって，反対圏 Cop についての対応する双対命題が得られる．双対性は，そのようなものとして，ステートメントに関するこの操作の下で正しさが不変であるという主張である．言い換えると，あるステートメントが C について正しければ，その双対のステートメントは Cop について正しい．また，あるステートメントが C について間違いならば，その双対のステートメントは Cop について間違いである． C が与えられたとき，その反対圏 Cop はしばしばそれ自体が抽象的である．Cop は数学的実践から生じる圏である必要はない．この場合，別の圏 D と Cop が圏として同値であるとき，D も C と双対にあると言われる． C とその反対圏 Cop が同値であるとき，そのような圏は自己双対 (self-dual) である． (ja)
- Двойственность в теории категорий — соотношение между свойствами категории C и так называемыми двойственными свойствами двойственной категории Cop. Взяв утверждение, касающееся категории C и поменяв местами образ и прообраз каждого морфизма, так же как и порядок применения морфизмов, получим двойственное утверждение, касающееся категории Cop. Принцип двойственности состоит в том, что истинные утверждения после такой операции переходят в истинные, а ложные в ложные. (ru)
- In category theory, a branch of mathematics, duality is a correspondence between the properties of a category C and the dual properties of the opposite category Cop. Given a statement regarding the category C, by interchanging the source and target of each morphism as well as interchanging the order of composing two morphisms, a corresponding dual statement is obtained regarding the opposite category Cop. Duality, as such, is the assertion that truth is invariant under this operation on statements. In other words, if a statement is true about C, then its dual statement is true about Cop. Also, if a statement is false about C, then its dual has to be false about Cop. (en)
- En teoría de categorías dualidad es una correspondencia entre propiedades de una categoría C y las llamadas propiedades duales de la categoría opuesta Cop. Dada una proposición con respecto a la categoría C al intercambiar el dominio y el codominio de cada morfismo e intercambiando el orden de la composición de dos morfismos obtenemos una proposición dual considerando la categoría opuesta Cop. La dualidad como tal es la afirmación de que la verdad es un invariante bajo esta operación en las proposiciones. En otras palabras si una proposición es verdadera en C, entonces su proposición dual es cierta en Cop, y si una proposición es falsa en C, entonces su proposición dual es falsa en Cop. (es)
- In de categorietheorie, een deelgebied van de wiskunde, is dualiteit een correspondentie tussen de eigenschappen van een categorie C en de zogenaamde duale eigenschappen van de tegenovergestelde categorie Cop. Gegeven een stelling met betrekking tot categorie C, wordt door het verwisselen van bron en doel van elke morfisme en tevens door het verwisselen van de volgorde waarin de twee morfismen zijn samengesteld, een overeenkomstige duale stelling verkregen met betrekking tot de tegenovergestelde categorie Cop verkregen. Dualiteit, als zodanig, is de bewering dat de waarheid invariant is onder deze operatie op stellingen. Met andere woorden, als een stelling waar is over C, dan is de duale stelling waar over Cop. Ook als een stelling onwaar is over C, dan is de duale onwaar over Cop. (nl)
- Двоїста категорія або дуальна категорія, до категорії — категорія з тими ж об'єктами, що і і з множинами морфізмів («обернення стрілок»). Композиція морфізмів у і у категорії визначається як композиція і у . Поняття і твердження стосовно категорії замінються двоїстими поняттями й твердженнями у . Так, поняття епіморфізму двоїсте поняттю мономорфізму, поняття проєктивного об'єкта — поняттю ін'єктивного об'єкта, прямий добуток — прямій сумі і т. д. на C стає на . (uk)
|
| dcterms:subject
| |
| Wikipage page ID
| |
| Wikipage revision ID
| |
| Link from a Wikipage to another Wikipage
| |
| sameAs
| |
| dbp:wikiPageUsesTemplate
| |
| id
| - p/d034130 (en)
- p/d034090 (en)
- p/d034120 (en)
|
| title
| - Duality (en)
- Duality principle (en)
- Dual category (en)
|
| has abstract
| - In der Mathematik ordnet man jeder Kategorie eine duale Kategorie zu, die im Wesentlichen dadurch entsteht, dass man alle Pfeile (das heißt Morphismen) umdreht. Die einfache Tatsache, dass dadurch wieder eine Kategorie entsteht, führt zu einem Dualitätsprinzip, dass einerseits zu jeder kategorientheoretischen Definition eine entsprechende duale Definition liefert und andererseits den Beweisaufwand durch Übergang zur dualen Kategorie verringert. (de)
- In category theory, a branch of mathematics, duality is a correspondence between the properties of a category C and the dual properties of the opposite category Cop. Given a statement regarding the category C, by interchanging the source and target of each morphism as well as interchanging the order of composing two morphisms, a corresponding dual statement is obtained regarding the opposite category Cop. Duality, as such, is the assertion that truth is invariant under this operation on statements. In other words, if a statement is true about C, then its dual statement is true about Cop. Also, if a statement is false about C, then its dual has to be false about Cop. Given a concrete category C, it is often the case that the opposite category Cop per se is abstract. Cop need not be a category that arises from mathematical practice. In this case, another category D is also termed to be in duality with C if D and Cop are equivalent as categories. In the case when C and its opposite Cop are equivalent, such a category is self-dual. (en)
- En teoría de categorías dualidad es una correspondencia entre propiedades de una categoría C y las llamadas propiedades duales de la categoría opuesta Cop. Dada una proposición con respecto a la categoría C al intercambiar el dominio y el codominio de cada morfismo e intercambiando el orden de la composición de dos morfismos obtenemos una proposición dual considerando la categoría opuesta Cop. La dualidad como tal es la afirmación de que la verdad es un invariante bajo esta operación en las proposiciones. En otras palabras si una proposición es verdadera en C, entonces su proposición dual es cierta en Cop, y si una proposición es falsa en C, entonces su proposición dual es falsa en Cop. Dada una C es común el caso de que la categoría opuesta por sí misma es abstracta, Cop no necesariamente es una categoría que surja de la práctica matemática, en este caso otra categoría D se dice que está en dualidad con C si D y Cop son categorías equivalentes. En este caso cuando una categoría C y la categoría 'Cop son equivalentes entonces se dice que está categoría es auto dual. (es)
- 圏論という数学の分野において，双対性（そうついせい，英: duality）は圏 C の性質と反対圏 Cop の双対的な性質の間の対応である．圏 C についてのステートメントが与えられると，各射のと終域を入れ替え，2つの射の合成の順序を入れ替えることによって，反対圏 Cop についての対応する双対命題が得られる．双対性は，そのようなものとして，ステートメントに関するこの操作の下で正しさが不変であるという主張である．言い換えると，あるステートメントが C について正しければ，その双対のステートメントは Cop について正しい．また，あるステートメントが C について間違いならば，その双対のステートメントは Cop について間違いである． C が与えられたとき，その反対圏 Cop はしばしばそれ自体が抽象的である．Cop は数学的実践から生じる圏である必要はない．この場合，別の圏 D と Cop が圏として同値であるとき，D も C と双対にあると言われる． C とその反対圏 Cop が同値であるとき，そのような圏は自己双対 (self-dual) である． (ja)
- In de categorietheorie, een deelgebied van de wiskunde, is dualiteit een correspondentie tussen de eigenschappen van een categorie C en de zogenaamde duale eigenschappen van de tegenovergestelde categorie Cop. Gegeven een stelling met betrekking tot categorie C, wordt door het verwisselen van bron en doel van elke morfisme en tevens door het verwisselen van de volgorde waarin de twee morfismen zijn samengesteld, een overeenkomstige duale stelling verkregen met betrekking tot de tegenovergestelde categorie Cop verkregen. Dualiteit, als zodanig, is de bewering dat de waarheid invariant is onder deze operatie op stellingen. Met andere woorden, als een stelling waar is over C, dan is de duale stelling waar over Cop. Ook als een stelling onwaar is over C, dan is de duale onwaar over Cop. Gegeven een concrete categorie C is het vaak het geval dat het tegenovergestelde categorie Cop abstract (niet concretiseerbaar) is. Cop hoeft geen categorie te zijn die voortvloeit uit de wiskundige praktijk. In dit geval wordt zegt men dat een andere categorie D in dualiteit is met C als D en Cop als categorieën equivalent zijn. In het geval dat C en haar tegenovergestelde Cop equivalent zijn, is zo'n categorie zelf-duaal. (nl)
- Двоїста категорія або дуальна категорія, до категорії — категорія з тими ж об'єктами, що і і з множинами морфізмів («обернення стрілок»). Композиція морфізмів у і у категорії визначається як композиція і у . Поняття і твердження стосовно категорії замінються двоїстими поняттями й твердженнями у . Так, поняття епіморфізму двоїсте поняттю мономорфізму, поняття проєктивного об'єкта — поняттю ін'єктивного об'єкта, прямий добуток — прямій сумі і т. д. на C стає на . Іноді двоїста категорія має безпосередню реалізацію: так, категорія дискретних абелевих груп еквівалентна двоїстій категорії до категорії компактних абелевих груп, а категорія афінних схем еквівалентна двоїстій категорії до категорії комутативних кілець з одиницею. (uk)
- Двойственность в теории категорий — соотношение между свойствами категории C и так называемыми двойственными свойствами двойственной категории Cop. Взяв утверждение, касающееся категории C и поменяв местами образ и прообраз каждого морфизма, так же как и порядок применения морфизмов, получим двойственное утверждение, касающееся категории Cop. Принцип двойственности состоит в том, что истинные утверждения после такой операции переходят в истинные, а ложные в ложные. (ru)
|
| gold:hypernym
| |
| prov:wasDerivedFrom
| |
| page length (characters) of wiki page
| |
| foaf:isPrimaryTopicOf
| |
| is Link from a Wikipage to another Wikipage
of | |
![[RDF Data]](/fct/images/sw-rdf-blue.png)
![[cxml]](/fct/images/cxml_doc.png)
![[csv]](/fct/images/csv_doc.png)
![[text]](/fct/images/ntriples_doc.png)
![[turtle]](/fct/images/n3turtle_doc.png)
![[ld+json]](/fct/images/jsonld_doc.png)
![[rdf+json]](/fct/images/json_doc.png)
![[rdf+xml]](/fct/images/xml_doc.png)
![[atom+xml]](/fct/images/atom_doc.png)
![[html]](/fct/images/html_doc.png)