In mathematics, the F. and M. Riesz theorem is a result of the brothers Frigyes Riesz and Marcel Riesz, on analytic measures. It states that for a measure μ on the circle, any part of μ that is not absolutely continuous with respect to the Lebesgue measure dθ can be detected by means of Fourier coefficients. More precisely, it states that if the Fourier–Stieltjes coefficients of satisfy for all , then μ is absolutely continuous with respect to dθ.
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| - F. and M. Riesz theorem (en)
- Théorème de F. et M. Riesz (fr)
- リース兄弟の定理 (ja)
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| - 数学におけるリース兄弟の定理（リースきょうだいのていり、英: F. and M. Riesz theorem）とは、リース・フリジェシュとリース・マルツェルの兄弟によって得られた「解析的測度」（analytic measure）に関する結果である。その定理によれば、円上の測度 μ の任意の部分がルベーグ測度 dθ について絶対連続でないことは、フーリエ係数によって調べることが出来る。より正確に言うと、 のフーリエ＝スティルチェス係数が を任意の に対して満たすなら、μ は dθ について絶対連続となる。 元々の定理の内容は異なる（Zygmund, Trigonometric Series, VII.8 を参照）。ここで紹介した内容は Rudin, Real and Complex Analysis, p.335 によるものである。証明にはポアソン核と、ハーディ空間 H1 に対する境界値の存在が利用されている。 (ja)
- In mathematics, the F. and M. Riesz theorem is a result of the brothers Frigyes Riesz and Marcel Riesz, on analytic measures. It states that for a measure μ on the circle, any part of μ that is not absolutely continuous with respect to the Lebesgue measure dθ can be detected by means of Fourier coefficients. More precisely, it states that if the Fourier–Stieltjes coefficients of satisfy for all , then μ is absolutely continuous with respect to dθ. (en)
- En mathématiques, le théorème de F. et M. Riesz est un résultat des deux frères Frigyes Riesz et Marcel Riesz sur les mesures analytiques, selon lequel pour une mesure complexe μ sur le cercle, toute partie de μ qui n'est pas absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue dθ peut être détectée à l'aide des coefficients de Fourier. Plus précisément, il établit que si les coefficients de Fourier-Stieltjes de μ, sont nuls pour tous les indices , alors μ est absolument continue par rapport à dθ. (fr)
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| - In mathematics, the F. and M. Riesz theorem is a result of the brothers Frigyes Riesz and Marcel Riesz, on analytic measures. It states that for a measure μ on the circle, any part of μ that is not absolutely continuous with respect to the Lebesgue measure dθ can be detected by means of Fourier coefficients. More precisely, it states that if the Fourier–Stieltjes coefficients of satisfy for all , then μ is absolutely continuous with respect to dθ. The original statements are rather different (see Zygmund, Trigonometric Series, VII.8). The formulation here is as in Walter Rudin, Real and Complex Analysis, p. 335. The proof given uses the Poisson kernel and the existence of boundary values for the Hardy space H1. Expansions to this theorem were made by James E. Weatherbee in his 1968 dissertation: Some Extensions Of The F. And M. Riesz Theorem On Absolutely Continuous Measures. (en)
- En mathématiques, le théorème de F. et M. Riesz est un résultat des deux frères Frigyes Riesz et Marcel Riesz sur les mesures analytiques, selon lequel pour une mesure complexe μ sur le cercle, toute partie de μ qui n'est pas absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue dθ peut être détectée à l'aide des coefficients de Fourier. Plus précisément, il établit que si les coefficients de Fourier-Stieltjes de μ, sont nuls pour tous les indices , alors μ est absolument continue par rapport à dθ. Les énoncés originaux sont assez différents. Cette formulation-ci est celle de Rudin, dont la preuve utilise le noyau de Poisson et l'existence de valeurs au bord pour l'espace de Hardy H1. (fr)
- 数学におけるリース兄弟の定理（リースきょうだいのていり、英: F. and M. Riesz theorem）とは、リース・フリジェシュとリース・マルツェルの兄弟によって得られた「解析的測度」（analytic measure）に関する結果である。その定理によれば、円上の測度 μ の任意の部分がルベーグ測度 dθ について絶対連続でないことは、フーリエ係数によって調べることが出来る。より正確に言うと、 のフーリエ＝スティルチェス係数が を任意の に対して満たすなら、μ は dθ について絶対連続となる。 元々の定理の内容は異なる（Zygmund, Trigonometric Series, VII.8 を参照）。ここで紹介した内容は Rudin, Real and Complex Analysis, p.335 によるものである。証明にはポアソン核と、ハーディ空間 H1 に対する境界値の存在が利用されている。 (ja)
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