| rdfs:comment
| - In mathematics, a Heegner point is a point on a modular curve that is the image of a quadratic imaginary point of the upper half-plane. They were defined by Bryan Birch and named after Kurt Heegner, who used similar ideas to prove Gauss's conjecture on imaginary quadratic fields of class number one. (en)
- Heegner-Punkte (benannt nach Kurt Heegner) sind Zahlen, die quadratische Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten lösen, und die mit Punkten auf geometrischen Figuren, nämlich Modulkurven, verknüpft werden können. Die mittels der Verknüpfung gegebenen Punkte auf Modulkurven werden ebenfalls Heegner-Punkte genannt und sind Gegenstand der arithmetischen Geometrie. Sie spielen eine bedeutende Rolle in der Theorie der elliptischen Kurven und in der Klassenkörpertheorie. Heegner-Punkte unterscheiden sich von den namensähnlichen Heegner-Zahlen. (de)
- En mathématiques, un point de Heegner est un point sur une courbe modulaire, obtenu commeimage sur la courbe d’une racine d’un polynôme du deuxième degré, à coefficients entiers et de discriminant négatif. Dans l’interprétation d’une courbe modulaire comme espace de modules, c’est-à-dire comme ensemble de classes de courbes elliptiques, un point de Heegner correspond à une classe de courbes elliptiques à multiplication complexe. (fr)
- 数学において、ヒーグナー点(ヘーグナー点)（英: Heegner point）とは、モジュラー曲線上の点であって、上半平面の quadratic imaginary point の像となっているようなものである。ブライアン・バーチ (Bryan Birch) により定義され、 (Kurt Heegner) に因んで名づけられた。ヒーグナーは類数 1 の虚二次体上のガウスの予想を証明するために類似のアイデアを用いた。 グロス・ザギエの定理 は、点 s = 1 における楕円曲線のL関数の微分のことばでヒーグナー点の高さを記述する。とくに楕円曲線の（解析的）階数が 1 であればヒーグナー点は無限位数（したがっての階数は1以上）の曲線上の有理点を構成するのに使うことができる。より一般に、 は、ヒーグナー点は各正整数 n に対し曲線上の有理点を構成するのに使うことができこれらの点の高さはウェイト 3/2 のモジュラー形式の係数であることを示した。 は後にを構成するためにヒーグナー点を用い、それによって階数 1 の楕円曲線に対するの多くを証明した。はグロス・ザキエの定理を楕円曲線からモジュラーアーベル多様体の場合へと一般化した。ブラウンは正標数の大域体上の階数 1 の楕円曲線の多くに対してバーチ・スウィンナートン＝ダイヤー予想を証明した。 (ja)
- Punkt Heegnera – punkt na , który jest obrazem punktu kwadratowego na górnej półpłaszczyźnie zespolonej. Definicję podał i nazwał na cześć Kurta Heegnera, który używał podobnych idei do udowodnienia dla urojonych ciał kwadratowych o równej jeden. użył punktów Heegnera do skonstruowania i wykorzystał do udowodnienia większości dla krzywych eliptycznych rzędu 1. uogólnił twierdzenie Grossa–Zagiera z krzywych eliptycznych na przypadki modularnych . Brown udowodnił hipotezę Bircha–Swinnertona-Dyera dla wielu krzywych eliptycznych rzędu 1 nad ciałami globalnymi o dodatniej charakterystyce. (pl)
|
| has abstract
| - Heegner-Punkte (benannt nach Kurt Heegner) sind Zahlen, die quadratische Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten lösen, und die mit Punkten auf geometrischen Figuren, nämlich Modulkurven, verknüpft werden können. Die mittels der Verknüpfung gegebenen Punkte auf Modulkurven werden ebenfalls Heegner-Punkte genannt und sind Gegenstand der arithmetischen Geometrie. Sie spielen eine bedeutende Rolle in der Theorie der elliptischen Kurven und in der Klassenkörpertheorie. Heegner-Punkte unterscheiden sich von den namensähnlichen Heegner-Zahlen. Die als Heegner-Punkte bezeichneten Lösungen der quadratischen Gleichung sind komplexe Zahlen mit ausschließlich positivem Imaginärteil. Beispielsweise ist die Zahl ein Heegner-Punkt, da sie den positiven Imaginärteil besitzt und die Gleichung erfüllt. Die Lösungen werden verwendet, um Punkte zu erzeugen, die die komplizierteren Gleichungen von Modulkurven oder elliptischen Kurven erfüllen. Der Mehrwert dieser Methode liegt darin, dass Heegner-Punkte anhand der quadratischen Gleichung einfach bestimmt werden können. Die damit erzeugten Punkte geben letztlich einige Auskunft über Fragestellungen aus der Zahlentheorie. Kurt Heegner verwendete sie, um Fragen der Zerlegung von Zahlen in elementarere multiplikative Bausteine nachzugehen, die analog zur Theorie der Primzahlen sind. Indirekt sind Heegner-Punkte in Ideen involviert, die Kreiszahl auf viele Stellen nach dem Komma zu ermitteln. Sie sind ein Ausgangspunkt für den Chudnovsky-Algorithmus, mit dessen Hilfe bis heute (Stand 2021) über 62 Billionen Dezimalstellen von berechnet wurden. Besondere Prominenz erhalten Heegner-Punkte im Themenkreis rund um die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer, eines der sieben Millennium-Probleme der Mathematik. Sie spielten die Schlüsselrolle bei der Frage, warum diese bis heute im Allgemeinen unbewiesene Hypothese nur in ganz bestimmten Fällen mit den bisher errungenen Erkenntnissen bewiesen werden konnte. Dies sind genau die Fälle, in denen die zugehörigen elliptischen Kurven – dies sind die Gegenstände der Vermutung – einen „unmittelbaren Bezug“ zu Heegner-Punkten haben. Über die Betrachtung unendlich vieler Heegner-Punkte gleichzeitig, sogenannter Heegner-Systeme, konnte Victor Kolyvagin in Kombination mit Resultaten von Benedict Gross und Don Zagier im Jahr 1988 zeigen, dass die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer im Falle der analytischen Ränge und wahr ist. Bis heute gelten Heegner-Punkte als Objekte mathematischen Interesses, auch bei der Verwendung von Algorithmen, also rechnerischen Verfahren. Wichtige Beiträge zu deren Erforschung lieferten Bryan Birch, Henri Darmon, Peter Swinnerton-Dyer, Benedict Gross, Kurt Heegner, Winfried Kohnen, Victor Kolyvagin, Barry Mazur, Heinrich Weber, Zhang Wei, Don Zagier und Shou-Wu Zhang. (de)
- In mathematics, a Heegner point is a point on a modular curve that is the image of a quadratic imaginary point of the upper half-plane. They were defined by Bryan Birch and named after Kurt Heegner, who used similar ideas to prove Gauss's conjecture on imaginary quadratic fields of class number one. (en)
- En mathématiques, un point de Heegner est un point sur une courbe modulaire, obtenu commeimage sur la courbe d’une racine d’un polynôme du deuxième degré, à coefficients entiers et de discriminant négatif. Dans l’interprétation d’une courbe modulaire comme espace de modules, c’est-à-dire comme ensemble de classes de courbes elliptiques, un point de Heegner correspond à une classe de courbes elliptiques à multiplication complexe. Les points de Heegner ont été utilisés en particulier pour construire des points à coordonnées rationnelles d’ordre infini sur les courbes elliptiques de rang 1 et prouver pour ces courbes une partie de la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer. (fr)
- Punkt Heegnera – punkt na , który jest obrazem punktu kwadratowego na górnej półpłaszczyźnie zespolonej. Definicję podał i nazwał na cześć Kurta Heegnera, który używał podobnych idei do udowodnienia dla urojonych ciał kwadratowych o równej jeden. opisuje punktu Heegnera w sensie pochodnej krzywej eliptycznej w punkcie s = 1. W szczegółności jeśli krzywa eliptyczna ma (analityczny) rząd 1, wtedy punkty Heegnera mogą zostać użyte do konstrukcji punktu rzeczywistego na krzywej nieskończonego rzędu (więc ma rząd co najmniej 1). W ogólności pokazano, że punktów Heegnera można użyć do skonstruowania punktów rzeczywistych na krzywej dla każdego dodatniego i całkowitego n, a wysokości tych punktów są współczynnikami formy modularnej o wadze 3/2. użył punktów Heegnera do skonstruowania i wykorzystał do udowodnienia większości dla krzywych eliptycznych rzędu 1. uogólnił twierdzenie Grossa–Zagiera z krzywych eliptycznych na przypadki modularnych . Brown udowodnił hipotezę Bircha–Swinnertona-Dyera dla wielu krzywych eliptycznych rzędu 1 nad ciałami globalnymi o dodatniej charakterystyce. Punktów Heegnera można użyć do wyznaczenia bardzo dużych punktów rzeczywistych na krzywych eliptycznych rzędu 1, których nie można by znaleźć dzięki metodom naiwnym. Implementacja algorytmu jest dostępna w i . (pl)
- 数学において、ヒーグナー点(ヘーグナー点)（英: Heegner point）とは、モジュラー曲線上の点であって、上半平面の quadratic imaginary point の像となっているようなものである。ブライアン・バーチ (Bryan Birch) により定義され、 (Kurt Heegner) に因んで名づけられた。ヒーグナーは類数 1 の虚二次体上のガウスの予想を証明するために類似のアイデアを用いた。 グロス・ザギエの定理 は、点 s = 1 における楕円曲線のL関数の微分のことばでヒーグナー点の高さを記述する。とくに楕円曲線の（解析的）階数が 1 であればヒーグナー点は無限位数（したがっての階数は1以上）の曲線上の有理点を構成するのに使うことができる。より一般に、 は、ヒーグナー点は各正整数 n に対し曲線上の有理点を構成するのに使うことができこれらの点の高さはウェイト 3/2 のモジュラー形式の係数であることを示した。 は後にを構成するためにヒーグナー点を用い、それによって階数 1 の楕円曲線に対するの多くを証明した。はグロス・ザキエの定理を楕円曲線からモジュラーアーベル多様体の場合へと一般化した。ブラウンは正標数の大域体上の階数 1 の楕円曲線の多くに対してバーチ・スウィンナートン＝ダイヤー予想を証明した。 ヒーグナー点は階数 1 の楕円曲線上の、単純な方法では見つけることのできなかった、非常に大きい有理点を計算するのに使うことができる（サーベイは を参照）。アルゴリズムの実装は、MagmaやPARI/GPで可能である。 (ja)
|
![[RDF Data]](/fct/images/sw-rdf-blue.png)
![[cxml]](/fct/images/cxml_doc.png)
![[csv]](/fct/images/csv_doc.png)
![[text]](/fct/images/ntriples_doc.png)
![[turtle]](/fct/images/n3turtle_doc.png)
![[ld+json]](/fct/images/jsonld_doc.png)
![[rdf+json]](/fct/images/json_doc.png)
![[rdf+xml]](/fct/images/xml_doc.png)
![[atom+xml]](/fct/images/atom_doc.png)
![[html]](/fct/images/html_doc.png)