| rdfs:comment
| - Der Satz von Hellinger-Toeplitz ist ein mathematischer Satz aus der Funktionalanalysis. Er ist nach den Mathematikern Ernst Hellinger und Otto Toeplitz benannt. Ursprünglich wurde der Satz im Sinne von Bilinearformen unendlich vieler Veränderlicher formuliert. (de)
- Теорема Хеллингера — Тёплица — результат функционального анализа, устанавливающий ограниченность симметрического оператора в гильбертовом пространстве. (ru)
- 黑林格-特普利茨定理是數學泛函分析的定理，以德國數學家和命名。 (zh)
- Hellingerova–Toeplitzova věta je věta ve funkcionální analýze, odvětví matematiky, která říká, že všude definovaný symetrický operátor na Hilbertově prostoru s vnitřním součinem je omezený. Podle definice je operátor A symetrický, pokud pro všechna x, y v definičním oboru operátoru A platí Protože symetrické a všude definované operátory jsou nutně samoadjungované, lze tuto větu formulovat také tak, že všude definovaný samoadjungovaný operátor je omezený. Věta je pojmenovaná podle a Otto Toeplitze. (cs)
- In functional analysis, a branch of mathematics, the Hellinger–Toeplitz theorem states that an everywhere-defined symmetric operator on a Hilbert space with inner product is bounded. By definition, an operator A is symmetric if for all x, y in the domain of A. Note that symmetric everywhere-defined operators are necessarily self-adjoint, so this theorem can also be stated as follows: an everywhere-defined self-adjoint operator is bounded. The theorem is named after Ernst David Hellinger and Otto Toeplitz. (en)
- In matematica, in particolare in analisi funzionale, il teorema di Hellinger-Toeplitz, il cui nome si deve a e Otto Toeplitz, stabilisce che un operatore simmetrico definito ovunque in uno spazio di Hilbert è un operatore limitato. Detto il prodotto interno dello spazio di Hilbert, per definizione un operatore è simmetrico se: è autoaggiunto (con autovalori 1/2, 3/2, 5/2,...) e non può essere definito su tutto lo spazio di Hilbert , non essendo limitato. (it)
|
| has abstract
| - Hellingerova–Toeplitzova věta je věta ve funkcionální analýze, odvětví matematiky, která říká, že všude definovaný symetrický operátor na Hilbertově prostoru s vnitřním součinem je omezený. Podle definice je operátor A symetrický, pokud pro všechna x, y v definičním oboru operátoru A platí Protože symetrické a všude definované operátory jsou nutně samoadjungované, lze tuto větu formulovat také tak, že všude definovaný samoadjungovaný operátor je omezený. Věta je pojmenovaná podle a Otto Toeplitze. Tuto větu můžeme považovat za bezprostřední důsledek , protože samoadjungované operátory jsou . Alternativně lze argumentovat Banachovou–Steinhausovou větou. Důkaz věty využívá symetričnosti struktury vnitřního součinu. Klíčový je také fakt, že daný operátor A je všude definovaný (a úplnost Hilbertových prostorů). Hellingerova–Toeplitzova věta odhaluje určité technické potíže v . Pozorovatelné v kvantové mechanice odpovídají samoadjungovaným operátorům na nějakém Hilbertově prostoru, ale některé pozorovatelné (např. energie) jsou neomezené. Podle Hellingerovy–Toeplitzovy věty takové operátory nemohou být všude definované (ale mohou být definované na husté množině). Vezměme například kvantový harmonický oscilátor. Jako Hilbertův prostor je použit L2(R), prostor kvadraticky integrovatelných funkcí na R, a operátor energie H je definován vztahem (za předpokladu, že jsou jednotky zvoleny tak, aby ℏ = m = ω = 1) Tento operátor je samoadjungovaný a neomezený (jeho vlastní čísla jsou 1/2, 3/2, 5/2, ...), takže nemůže být definovaný na celém prostoru L2(R). (cs)
- Der Satz von Hellinger-Toeplitz ist ein mathematischer Satz aus der Funktionalanalysis. Er ist nach den Mathematikern Ernst Hellinger und Otto Toeplitz benannt. Ursprünglich wurde der Satz im Sinne von Bilinearformen unendlich vieler Veränderlicher formuliert. (de)
- In functional analysis, a branch of mathematics, the Hellinger–Toeplitz theorem states that an everywhere-defined symmetric operator on a Hilbert space with inner product is bounded. By definition, an operator A is symmetric if for all x, y in the domain of A. Note that symmetric everywhere-defined operators are necessarily self-adjoint, so this theorem can also be stated as follows: an everywhere-defined self-adjoint operator is bounded. The theorem is named after Ernst David Hellinger and Otto Toeplitz. This theorem can be viewed as an immediate corollary of the closed graph theorem, as self-adjoint operators are closed. Alternatively, it can be argued using the uniform boundedness principle. One relies on the symmetric assumption, therefore the inner product structure, in proving the theorem. Also crucial is the fact that the given operator A is defined everywhere (and, in turn, the completeness of Hilbert spaces). The Hellinger–Toeplitz theorem reveals certain technical difficulties in the mathematical formulation of quantum mechanics. Observables in quantum mechanics correspond to self-adjoint operators on some Hilbert space, but some observables (like energy) are unbounded. By Hellinger–Toeplitz, such operators cannot be everywhere defined (but they may be defined on a dense subset). Take for instance the quantum harmonic oscillator. Here the Hilbert space is L2(R), the space of square integrable functions on R, and the energy operator H is defined by (assuming the units are chosen such that ℏ = m = ω = 1) This operator is self-adjoint and unbounded (its eigenvalues are 1/2, 3/2, 5/2, ...), so it cannot be defined on the whole of L2(R). (en)
- In matematica, in particolare in analisi funzionale, il teorema di Hellinger-Toeplitz, il cui nome si deve a e Otto Toeplitz, stabilisce che un operatore simmetrico definito ovunque in uno spazio di Hilbert è un operatore limitato. Detto il prodotto interno dello spazio di Hilbert, per definizione un operatore è simmetrico se: per tutti gli e nel dominio di . Gli operatori simmetrici definiti ovunque sono necessariamente autoaggiunti, per cui si può anche formulare il teorema dicendo che ogni operatore autoaggiunto definito ovunque è limitato. Dal momento che gli operatori autoaggiunti sono chiusi, il teorema di Hellinger-Toeplitz può essere visto come un corollario del teorema del grafico chiuso. Si può anche ricavare dal principio dell'uniforme limitatezza. Il teorema ha conseguenze in fisica, in particolare nella formalizzazione della meccanica quantistica, in quanto le osservabili sono operatori autoaggiunti spesso non limitati: per il teorema di Hellinger-Toeplitz esse non possono essere definite ovunque, ma soltanto in un sottoinsieme denso dello spazio. Per esempio l'oscillatore armonico: è autoaggiunto (con autovalori 1/2, 3/2, 5/2,...) e non può essere definito su tutto lo spazio di Hilbert , non essendo limitato. (it)
- Теорема Хеллингера — Тёплица — результат функционального анализа, устанавливающий ограниченность симметрического оператора в гильбертовом пространстве. (ru)
- 黑林格-特普利茨定理是數學泛函分析的定理，以德國數學家和命名。 (zh)
|
![[RDF Data]](/fct/images/sw-rdf-blue.png)
![[cxml]](/fct/images/cxml_doc.png)
![[csv]](/fct/images/csv_doc.png)
![[text]](/fct/images/ntriples_doc.png)
![[turtle]](/fct/images/n3turtle_doc.png)
![[ld+json]](/fct/images/jsonld_doc.png)
![[rdf+json]](/fct/images/json_doc.png)
![[rdf+xml]](/fct/images/xml_doc.png)
![[atom+xml]](/fct/images/atom_doc.png)
![[html]](/fct/images/html_doc.png)