About: Hilbert–Schmidt integral operator

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In mathematics, a Hilbert–Schmidt integral operator is a type of integral transform. Specifically, given a domain (an open and connected set) Ω in n-dimensional Euclidean space Rn, a Hilbert–Schmidt kernel is a function k : Ω × Ω → C with (that is, the L2(Ω×Ω; C) norm of k is finite), and the associated Hilbert–Schmidt integral operator is the operator K : L2(Ω; C) → L2(Ω; C) given by Then K is a Hilbert–Schmidt operator with Hilbert–Schmidt norm Hilbert–Schmidt integral operators are both continuous (and hence bounded) and compact (as with all Hilbert–Schmidt operators). is compact. If

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rdfs:comment	In mathematics, a Hilbert–Schmidt integral operator is a type of integral transform. Specifically, given a domain (an open and connected set) Ω in n-dimensional Euclidean space Rn, a Hilbert–Schmidt kernel is a function k : Ω × Ω → C with (that is, the L2(Ω×Ω; C) norm of k is finite), and the associated Hilbert–Schmidt integral operator is the operator K : L2(Ω; C) → L2(Ω; C) given by Then K is a Hilbert–Schmidt operator with Hilbert–Schmidt norm Hilbert–Schmidt integral operators are both continuous (and hence bounded) and compact (as with all Hilbert–Schmidt operators). is compact. If (en) 数学の分野において、ヒルベルト＝シュミット積分作用素（ヒルベルト＝シュミットせきぶんさようそ、英: Hilbert-Schmidt integral operator）は、積分変換の一種である。特に、n-次元ユークリッド空間 Rn 内の与えられた領域（開かつ連結な集合）Ω に対して、ヒルベルト＝シュミット核（Hilbert-Schmidt kernel）は次を満たす関数 k : Ω × Ω → C として与えられる：すなわち、k の L2(Ω×Ω; C) ノルムは有限である。これに対応するヒルベルト＝シュミット積分作用素は、次のような作用素 K : L2(Ω; C) → L2(Ω; C) のことを言う：このとき、K はヒルベルト＝シュミットノルムを備えるヒルベルト＝シュミット作用素であることに注意されたい。ヒルベルト＝シュミット積分作用素は、すべてのヒルベルト＝シュミット作用素がそうであるように、連続（したがって有界）かつコンパクトである。はコンパクトである。もしも (ja)
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has abstract	In mathematics, a Hilbert–Schmidt integral operator is a type of integral transform. Specifically, given a domain (an open and connected set) Ω in n-dimensional Euclidean space Rn, a Hilbert–Schmidt kernel is a function k : Ω × Ω → C with (that is, the L2(Ω×Ω; C) norm of k is finite), and the associated Hilbert–Schmidt integral operator is the operator K : L2(Ω; C) → L2(Ω; C) given by Then K is a Hilbert–Schmidt operator with Hilbert–Schmidt norm Hilbert–Schmidt integral operators are both continuous (and hence bounded) and compact (as with all Hilbert–Schmidt operators). The concept of a Hilbert–Schmidt operator may be extended to any locally compact Hausdorff spaces. Specifically, let X be a locally compact Hausdorff space equipped with a positive Borel measure. Suppose further that L2(X) is a separable Hilbert space. The above condition on the kernel k on Rn can be interpreted as demanding k belong to L2(X × X). Then the operator is compact. If then K is also self-adjoint and so the spectral theorem applies. This is one of the fundamental constructions of such operators, which often reduces problems about infinite-dimensional vector spaces to questions about well-understood finite-dimensional eigenspaces. See Chapter 2 of the book by Bump in the references for examples. (en) 数学の分野において、ヒルベルト＝シュミット積分作用素（ヒルベルト＝シュミットせきぶんさようそ、英: Hilbert-Schmidt integral operator）は、積分変換の一種である。特に、n-次元ユークリッド空間 Rn 内の与えられた領域（開かつ連結な集合）Ω に対して、ヒルベルト＝シュミット核（Hilbert-Schmidt kernel）は次を満たす関数 k : Ω × Ω → C として与えられる：すなわち、k の L2(Ω×Ω; C) ノルムは有限である。これに対応するヒルベルト＝シュミット積分作用素は、次のような作用素 K : L2(Ω; C) → L2(Ω; C) のことを言う：このとき、K はヒルベルト＝シュミットノルムを備えるヒルベルト＝シュミット作用素であることに注意されたい。ヒルベルト＝シュミット積分作用素は、すべてのヒルベルト＝シュミット作用素がそうであるように、連続（したがって有界）かつコンパクトである。ヒルベルト＝シュミット作用素の概念は、任意の局所コンパクトハウスドルフ空間へと拡張できる場合もある。具体的に、X を、正のボレル測度を備える局所コンパクトなハウスドルフ空間とする。また、L2(X) を可分なヒルベルト空間とする。Rn 上の核 k についての上述の条件は、L2(X × X) に k が属することを要求するものであると解釈できる。このとき、作用素はコンパクトである。もしもが成立するなら、K は自己共役作用素であり、したがってスペクトル定理が適用される。これは、このような作用素の基本的な構成方法の一つであり、無限次元ベクトル空間についての問題を、よく知られている有限次元固有空間の問題へと簡略化する際にしばしば用いられている。そのような例については、参考文献にある Bump の本の第 2 章を見られたい。 (ja)
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