In geometry, Hjelmslev's theorem, named after Johannes Hjelmslev, is the statement that if points P, Q, R... on a line are isometrically mapped to points P´, Q´, R´... of another line in the same plane, then the midpoints of the segments PP´, QQ´, RR´... also lie on a line.
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| - Satz von Hjelmslev (de)
- Teorema de Hjelmslev (es)
- Hjelmslev's theorem (en)
- Теорема Ельмслева о серединах (ru)
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| - En geometría, el teorema de Hjelmslev, que lleva el nombre de Johannes Hjelmslev (1873-1950), afirma que si los puntos P, Q, R ... situados sobre una misma recta, se asignan isométricamente a los puntos P´, Q´, R´ ... de otra recta en el mismo plano, los puntos medios de los segmentos PP´, QQ´, RR´… también se encuentran en una recta. (es)
- Der Satz von Hjelmslev (auch Hjelmslevscher Mittelliniensatz genannt, in der englischsprachigen Literatur als Hjelmslev’s theorem bekannt) ist ein Satz der Geometrie der Ebene, welcher auf den dänischen Mathematiker Johannes Hjelmslev (1873 bis 1950) zurückgeht. Hjelmslev formuliert diesen Satz im Rahmen seiner berühmten Abhandlung über eine Neue Begründung der ebenen Geometrie, in welcher er zeigt, dass eine ebene Geometrie unter ausschließlicher Benutzung ebener Axiome, ohne Stetigkeitsbetrachtungen, ganz unabhängig von der Parallelenfrage aufgebaut werden kann. Die dabei in § 2 der Abhandlung (Kongruenz und Symmetrie) angestellten Untersuchungen zu den ebenen Kongruenzabbildungen gipfeln im Satz von Hjelmslev, welcher eine fundamentale Eigenschaft dieser Kongruenzabbildungen behandelt. (de)
- Теорема Ельмслева о серединах — классическая теорема абсолютной геометрии.Названа в честь .Часто приводится как иллюстрация к теореме Шаля. (ru)
- In geometry, Hjelmslev's theorem, named after Johannes Hjelmslev, is the statement that if points P, Q, R... on a line are isometrically mapped to points P´, Q´, R´... of another line in the same plane, then the midpoints of the segments PP´, QQ´, RR´... also lie on a line. (en)
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| - En geometría, el teorema de Hjelmslev, que lleva el nombre de Johannes Hjelmslev (1873-1950), afirma que si los puntos P, Q, R ... situados sobre una misma recta, se asignan isométricamente a los puntos P´, Q´, R´ ... de otra recta en el mismo plano, los puntos medios de los segmentos PP´, QQ´, RR´… también se encuentran en una recta. (es)
- Der Satz von Hjelmslev (auch Hjelmslevscher Mittelliniensatz genannt, in der englischsprachigen Literatur als Hjelmslev’s theorem bekannt) ist ein Satz der Geometrie der Ebene, welcher auf den dänischen Mathematiker Johannes Hjelmslev (1873 bis 1950) zurückgeht. Hjelmslev formuliert diesen Satz im Rahmen seiner berühmten Abhandlung über eine Neue Begründung der ebenen Geometrie, in welcher er zeigt, dass eine ebene Geometrie unter ausschließlicher Benutzung ebener Axiome, ohne Stetigkeitsbetrachtungen, ganz unabhängig von der Parallelenfrage aufgebaut werden kann. Die dabei in § 2 der Abhandlung (Kongruenz und Symmetrie) angestellten Untersuchungen zu den ebenen Kongruenzabbildungen gipfeln im Satz von Hjelmslev, welcher eine fundamentale Eigenschaft dieser Kongruenzabbildungen behandelt. (de)
- In geometry, Hjelmslev's theorem, named after Johannes Hjelmslev, is the statement that if points P, Q, R... on a line are isometrically mapped to points P´, Q´, R´... of another line in the same plane, then the midpoints of the segments PP´, QQ´, RR´... also lie on a line. The proof is easy if one assumes the classification of plane isometries. If the given isometry is odd, in which case it is necessarily either a reflection in a line or a glide-reflection (the product of three reflections in a line and two perpendiculars to it), then the statement is true of any points in the plane whatsoever: the midpoint of PP´ lies upon the axis of the (glide-)reflection for any P. If the isometry is even, compose it with reflection in line PQR to obtain an odd isometry with the same effect on P, Q, R... and apply the previous remark. The importance of the theorem lies in the fact that it has a different proof that does not presuppose the parallel postulate and is therefore valid in non-Euclidean geometry as well. By its help, the mapping that maps every point P of the plane to the midpoint of the segment P´P´´, where P´and P´´ are the images of P under a rotation (in either sense) by a given acute angle about a given center, is seen to be a collineation mapping the whole hyperbolic plane in a 1-1 way onto the inside of a disk, thus providing a good intuitive notion of the linear structure of the hyperbolic plane. In fact, this is called the Hjelmslev transformation. (en)
- Теорема Ельмслева о серединах — классическая теорема абсолютной геометрии.Названа в честь .Часто приводится как иллюстрация к теореме Шаля. (ru)
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