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| - Une surface implicite est la surface de niveau d'une fonction différentiable f définie sur un ouvert de . (fr)
- Eine implizite Fläche ist in der Mathematik eine Fläche im euklidischen Raum, die durch eine Gleichung der Form beschrieben wird. Eine implizite Fläche besteht aus der Gesamtheit der Nullstellen einer Funktion von drei Variablen. Implizit bedeutet, dass die Gleichung der Fläche nicht nach x oder y oder z aufgelöst ist. Beispiele impliziter Flächen: 1.
* eine Ebene , 2.
* eine Kugel , 3.
* ein Torus , 4.
* Fläche vom Geschlecht 2: (s. Bild), 5.
* Rotationsfläche (s. Bild Weinglas). (de)
- In mathematics, an implicit surface is a surface in Euclidean space defined by an equation An implicit surface is the set of zeros of a function of three variables. Implicit means that the equation is not solved for x or y or z. Examples: 1.
* The plane 2.
* The sphere 3.
* The torus 4.
* A surface of genus 2: (see diagram). 5.
* The surface of revolution (see diagram wineglass). For a plane, a sphere, and a torus there exist simple parametric representations. This is not true for the fourth example. (en)
- Неявная поверхность — это поверхность в евклидовом пространстве, определённая уравнением Неявная поверхность является множеством нулей функции трёх переменных. Термин неявная здесь означает, что уравнение не решено относительно любой из переменных, x, y или z. Примеры: 1.
* плоскость 2.
* сфера 3.
* тор 4.
* Поверхность рода 2: (см. рисунок). 5.
* Поверхность вращения (см. рисунок рюмка). Для плоскости, сферы и тора имеется простое параметрическое представление, что неверно для четвёртого примера. (ru)
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| - Eine implizite Fläche ist in der Mathematik eine Fläche im euklidischen Raum, die durch eine Gleichung der Form beschrieben wird. Eine implizite Fläche besteht aus der Gesamtheit der Nullstellen einer Funktion von drei Variablen. Implizit bedeutet, dass die Gleichung der Fläche nicht nach x oder y oder z aufgelöst ist. Funktionsgraphen werden in der Regel durch eine Gleichung beschrieben und sind deswegen explizit dargestellte Flächen. Die dritte wichtige Beschreibung von Flächen ist die Parameterdarstellung: . Dabei werden die x-, y- und z-Koordinaten von Flächenpunkten durch drei von zwei gemeinsamen Parametern abhängigen Funktionen beschrieben. Der Übergang von einer Darstellung zu einer anderen ist in der Regel nur einfach, wenn eine explizite Darstellung vorliegt: (implizit), (parametrisiert). Beispiele impliziter Flächen: 1.
* eine Ebene , 2.
* eine Kugel , 3.
* ein Torus , 4.
* Fläche vom Geschlecht 2: (s. Bild), 5.
* Rotationsfläche (s. Bild Weinglas). Während man zu Ebene, Kugel und Torus noch leicht Parameterdarstellungen angeben kann, ist dies für die vierte Fläche nicht mehr einfach. Wie bei impliziten Kurven lässt sich unter gewissen Voraussetzungen mithilfe des Satzes über implizite Funktionen auch für implizite Flächen lokal eine explizite Darstellung nachweisen. Praktisch sind solche Auflösungen nur in einfachen Fällen (Ebene, Kugel, …) möglich. Aber die theoretische Möglichkeit einer Auflösung ist der Schlüssel, um Tangentialebenen und Krümmungen in einem Flächenpunkt zu berechnen (s. unten). Ist ein Polynom in x,y und z, so nennt man die zugehörige Fläche algebraisch.Beispiel 5. ist nicht algebraisch. Implizite Flächen haben zwar den Nachteil, dass sie schwer zu visualisieren sind. Sie bieten aber eine große Palette von theoretisch interessanten Flächen (z. B. Steinersche Flächen) und im CAD-Bereich lassen sich relativ einfach Flächen erzeugen mit voraussagbarer Gestalt und Eigenschaften (s. u.). (de)
- In mathematics, an implicit surface is a surface in Euclidean space defined by an equation An implicit surface is the set of zeros of a function of three variables. Implicit means that the equation is not solved for x or y or z. The graph of a function is usually described by an equation and is called an explicit representation. The third essential description of a surface is the parametric one: , where the x-, y- and z-coordinates of surface points are represented by three functions depending on common parameters . Generally the change of representations is simple only when the explicit representation is given: (implicit), (parametric). Examples: 1.
* The plane 2.
* The sphere 3.
* The torus 4.
* A surface of genus 2: (see diagram). 5.
* The surface of revolution (see diagram wineglass). For a plane, a sphere, and a torus there exist simple parametric representations. This is not true for the fourth example. The implicit function theorem describes conditions under which an equation can be solved (at least implicitly) for x, y or z. But in general the solution may not be made explicit. This theorem is the key to the computation of essential geometric features of a surface: tangent planes, surface normals, curvatures (see below). But they have an essential drawback: their visualization is difficult. If is polynomial in x, y and z, the surface is called algebraic. Example 5 is non-algebraic. Despite difficulty of visualization, implicit surfaces provide relatively simple techniques to generate theoretically (e.g. Steiner surface) and practically (see below) interesting surfaces. (en)
- Une surface implicite est la surface de niveau d'une fonction différentiable f définie sur un ouvert de . (fr)
- Неявная поверхность — это поверхность в евклидовом пространстве, определённая уравнением Неявная поверхность является множеством нулей функции трёх переменных. Термин неявная здесь означает, что уравнение не решено относительно любой из переменных, x, y или z. График функции обычно описывается уравнением и такое представление называется явным. Третьим важным способом описания поверхности является параметрическое представление —, где координаты x, y и z точек поверхности представлены тремя функциями , зависящими от общих параметров . Обычно изменение представления поверхности осуществляется просто только в случае, если задано явное представление . Тогда другими двумя представлениями будут (неявное) и (параметрическое). Примеры: 1.
* плоскость 2.
* сфера 3.
* тор 4.
* Поверхность рода 2: (см. рисунок). 5.
* Поверхность вращения (см. рисунок рюмка). Для плоскости, сферы и тора имеется простое параметрическое представление, что неверно для четвёртого примера. Теорема о неявной функции описывает условия, при которых уравнение может быть решено (по меньшей мере неявно) относительно x, y или z. Но в общем случае явного решения может и не существовать. Эта теорема является ключевой для вычисления важных геометрических свойств поверхности, таких как касательные плоскости, нормали к поверхности, кривизны (см. ниже). Однако эти поверхности имеют существенный недостаток — их визуализация затруднительна. Если является многочленом от x, y и z, поверхность называется алгебраической. Пример 5 не является алгебраической поверхностью. Несмотря на трудность визуализации неявные поверхности дают относительно простые техники для их теоретической генерации (например, ) и поверхности, интересные для практических целей (см. ниже). (ru)
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