| rdfs:comment
| - Der Satz von Orlicz-Pettis (nach Władysław Orlicz und Billy James Pettis) ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis. Er erlaubt es, in einer bestimmten Situation von der schwachen Konvergenz auf die Normkonvergenz in Banachräumen zu schließen. Für Reihen in Banachräumen sieht die Situation genauso aus. Setzt man in obigem Beispiel und für , so ist . Daher konvergiert die Reihe in der schwachen Topologie (gegen 0), aber nicht in der Normtopologie. Satz von Orlicz-Pettis: (de)
- A theorem in functional analysis concerning convergent series (Orlicz) or, equivalently, countable additivity of measures (Pettis) with values in abstract spaces. Let be a Hausdorff locally convex topological vector space with dual . A series is subseries convergent (in ), if all its subseries are convergent. The theorem says that, equivalently, Theorem. If a series is weakly unconditionally Cauchy, i.e., for each linear functional , then the series is (norm) convergent in . (en)
- En analyse fonctionnelle (mathématique), le théorème d'Orlicz-Pettis établit un lien, pour une série dans un espace de Banach, entre la convergence des sous-séries pour la topologie faible et pour la topologie forte (celle de la norme) : Pour une série dans un espace de Banach, si toutes les sous-séries sont faiblement convergentes alors elles le sont aussi fortement, autrement dit la série est inconditionnellement convergente. (fr)
- Twierdzenie Orlicza-Pettisa – twierdzenie w analizie funkcjonalnej dotyczące zbieżności szeregów (Orlicz) lub, równoważnie, przeliczalnej addytywności miar wektorowych (Pettis) o wartościach w lokalnie wypukłych przestrzeniach liniowo-topologicznych. Niech będzie lokalnie wypukłą przestrzenią liniowo-topologiczną Hausdorffa. Szereg jest podszeregowo zbieżny, jeżeli każdy jego podszereg jest zbieżny. W. Orlicz udowodnił przy założeniu, że X jest słabo ciągowo zupełną przestrzenią Banacha następujące Twierdzenie: (pl)
|
| has abstract
| - Der Satz von Orlicz-Pettis (nach Władysław Orlicz und Billy James Pettis) ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis. Er erlaubt es, in einer bestimmten Situation von der schwachen Konvergenz auf die Normkonvergenz in Banachräumen zu schließen. In unendlich-dimensionalen Banachräumen ist die schwache Topologie echt schwächer als die Normtopologie. Ist zum Beispiel der -te Basisvektor im Hilbertraum , d. h. diejenige Folge, die an der -ten Stelle eine 1 und an allen anderen Stellen eine 0 hat, so konvergiert die Folge bezüglich der schwachen Topologie gegen 0. Jedes stetige lineare Funktional hat nämlich nach dem Darstellungssatz von Fréchet-Riesz die Gestalt für ein , und daher gilt . Die Folge kann aber nicht bezüglich der Norm konvergieren, denn ein möglicher Normlimes müsste ebenfalls 0 sein, aber es gilt für alle Indizes . Für Reihen in Banachräumen sieht die Situation genauso aus. Setzt man in obigem Beispiel und für , so ist . Daher konvergiert die Reihe in der schwachen Topologie (gegen 0), aber nicht in der Normtopologie. Eine Reihe heißt teilreihenkonvergent, wenn jede Teilreihe konvergiert, das heißt, wenn für jede Folge konvergiert. Für teilreihenkonvergente Reihen besteht der beschriebene Unterschied zwischen schwacher Konvergenz und Normkonvergenz nicht mehr, genau das ist der Inhalt des hier vorgestellten Satzes: Satz von Orlicz-Pettis: Eine bezüglich der schwachen Topologie teilreihenkonvergente Reihe in einem Banachraum ist auch bezüglich der Normtopologie teilreihenkonvergent. Dieser Satz wurde zunächst 1929 von Orlicz bewiesen und unabhängig davon 1938 von Pettis. Moderne Beweise benutzen das Bochner-Integral. Umgekehrt war die vektorwertige Integrationstheorie gerade die Motivation für Pettis, sich mit diesem Satz zu beschäftigen.Dieser Satz hat eine ganze Reihe von Verallgemeinerungen erfahren, man spricht dann von Sätzen vom Orlicz-Pettis-Typ. So gilt z. B. in lokalkonvexen Räumen, dass die teilreihenkonvergenten Reihen bezüglich der schwachen Topologie und bezüglich der Mackey-Topologie zusammenfallen. (de)
- A theorem in functional analysis concerning convergent series (Orlicz) or, equivalently, countable additivity of measures (Pettis) with values in abstract spaces. Let be a Hausdorff locally convex topological vector space with dual . A series is subseries convergent (in ), if all its subseries are convergent. The theorem says that, equivalently,
* (i) If a series is weakly subseries convergent in (i.e., is subseries convergent in with respect to its weak topology ), then it is (subseries) convergent; or
* (ii) Let be a -algebra of sets and let be an additive set function. If is weakly countably additive, then it is countably additive (in the original topology of the space ). The history of the origins of the theorem is somewhat complicated. In numerous papers and books there are misquotations or/and misconceptions concerning the result. Assuming that is weakly sequentially complete Banach space, W. Orlicz proved the following Theorem. If a series is weakly unconditionally Cauchy, i.e., for each linear functional , then the series is (norm) convergent in . After the paper was published, Orlicz realized that in the proof of the theorem the weak sequential completeness of was only used to guarantee the existence of the weak limits of the considered series. Consequently, assuming the existence of those limits, which amounts to the assumption of the weak subseries convergence of the series, the same proof shows that the series in norm convergent. In other words, the version (i) of the Orlicz–Pettis theorem holds. The theorem in this form, openly credited to Orlicz, appeared in Banach's monograph in the last chapter Remarques in which no proofs were provided. Pettis directly referred to Orlicz's theorem in Banach's book. Needing the result in order to show the coincidence of the weak and strong measures, he provided a proof. Also Dunford gave a proof (with a remark that it is similar to the original proof of Orlicz). A more thorough discussion of the origins of the Orlicz–Pettis theorem and, in particular, of the paper can be found in. See also footnote 5 on p. 839 of and the comments at the end of Section 2.4 of the 2nd edition of the quoted book by Albiac and Kalton. Though in Polish, there is also an adequate comment on page 284 of the quoted monograph of Alexiewicz, Orlicz’s first PhD-student, still in the occupied Lwów. In Grothendieck proved a theorem, whose special case is the Orlicz–Pettis theorem in locally convex spaces. Later, a more direct proofs of the form (i) of the theorem in the locally convex case were provided by McArthur and Robertson. (en)
- En analyse fonctionnelle (mathématique), le théorème d'Orlicz-Pettis établit un lien, pour une série dans un espace de Banach, entre la convergence des sous-séries pour la topologie faible et pour la topologie forte (celle de la norme) : Pour une série dans un espace de Banach, si toutes les sous-séries sont faiblement convergentes alors elles le sont aussi fortement, autrement dit la série est inconditionnellement convergente. Ce théorème a été démontré en 1929 par Władysław Orlicz dans le cas d'un espace vectoriel normé faiblement séquentiellement complet puis, indépendamment, en 1938 par Billy James Pettis dans le cas général. Des preuves modernes utilisent l'intégrale de Bochner. À l'inverse, c'est justement la théorie des intégrales à valeurs vectorielles qui motivait Pettis pour ce théorème. Ce résultat a connu toute une série de généralisations. Par exemple pour une série dans un espace localement convexe, si toutes les sous-séries convergent faiblement alors elles convergent pour la (en). (fr)
- Twierdzenie Orlicza-Pettisa – twierdzenie w analizie funkcjonalnej dotyczące zbieżności szeregów (Orlicz) lub, równoważnie, przeliczalnej addytywności miar wektorowych (Pettis) o wartościach w lokalnie wypukłych przestrzeniach liniowo-topologicznych. Niech będzie lokalnie wypukłą przestrzenią liniowo-topologiczną Hausdorffa. Szereg jest podszeregowo zbieżny, jeżeli każdy jego podszereg jest zbieżny.
* (i) Jeżeli szereg jest słabo podszeregowo zbieżny w (tzn. podszeregowo zbieżny w słabej topologii przestrzeni ), to jest (podszeregowo) zbieżny; albo równoważnie
* (ii) Niech będzie σ-algebrą zbiorów i niech będzie addytywną funkcją zbioru. Jeżeli jest słabo przeliczalnie addytywna, to jest przeliczalnie addytywna (w oryginalnej topologii przestrzeni ). W. Orlicz udowodnił przy założeniu, że X jest słabo ciągowo zupełną przestrzenią Banacha następujące Twierdzenie: Jeżeli szereg w przestrzeni jest słabo bezwarunkowo Cauchy’ego, tzn. dla każdego funkcjonału liniowego to szereg ten jest (normowo) zbieżny w Po opublikowaniu pracy zauważył, że założenie słabej ciągowej zupełności przestrzeni potrzebne jest w dowodzie tylko po to, by umiejscowić granice szeregów, o których zakładał, iż są słabo bezwarunkowo Cauchy’ego. Wobec tego, zakładając istnienie tych granic, co oznacza założenie słabej podszeregowej zbieżności, ten sam dowód pokazuje (normową) zbieżność szeregu. Czyli pokazuje, że w dowolnej przestrzeni Banacha zachodzi wersja (i) twierdzenia Orlicza-Pettisa. W tej postaci twierdzenie, jako wynik Orlicza, przytoczone jest w monografii Banacha w jej ostatnim rozdziale Remarques (gdzie dowody nie są podawane). Pettis znał twierdzenie Orlicza z książki Banacha. Ponieważ wynik ten był mu potrzebny dla uzyskania identyczności miar mocno i słabo przeliczalnie addytywnych, podał jego dowód. Także podał swój dowód (zauważając jego podobieństwo do oryginalnego dowodu Orlicza). Bardziej szczegółową analizę historyczną dotyczącą początków tw. Orlicza-Pettisa znaleźć można w. Zobacz także przypis dolny (nr 5) samego Orlicza w, komentarz na str. 284 w uwagach historycznych monografii Alexiewicza oraz uwagę na końcu Section 2.4 w 2. wydaniu książki Albiaca i Kaltona (obie książki w bibliografii poniżej). Grothendieck w otrzymał twierdzenie, którego szczególnym przypadkiem jest twierdzenie Orlicza-Pettisa dla przestrzeni lokalnie wypukłej. Później bezpośrednie dowody wersji (i) twierdzenia w przypadku lokalnie wypukłym podali McArthur oraz Robertson. Nazwa twierdzenia jako ‘Orlicz-Pettis Theorem’ przyjęła się ze względu na wagę twierdzenia w sformułowaniu (ii) dla teorii miar wektorowych, w której to formie twierdzenie pierwszy podał Pettis. Sam Pettis i Grothendieck mówią jeszcze o twierdzeniu Orlicza. (pl)
|
![[RDF Data]](/fct/images/sw-rdf-blue.png)
![[cxml]](/fct/images/cxml_doc.png)
![[csv]](/fct/images/csv_doc.png)
![[text]](/fct/images/ntriples_doc.png)
![[turtle]](/fct/images/n3turtle_doc.png)
![[ld+json]](/fct/images/jsonld_doc.png)
![[rdf+json]](/fct/images/json_doc.png)
![[rdf+xml]](/fct/images/xml_doc.png)
![[atom+xml]](/fct/images/atom_doc.png)
![[html]](/fct/images/html_doc.png)