In mathematics, the pentagonal number theorem, originally due to Euler, relates the product and series representations of the Euler function. It states that In other words, The exponents 1, 2, 5, 7, 12, ... on the right hand side are given by the formula gk = k(3k − 1)/2 for k = 1, −1, 2, −2, 3, ... and are called (generalized) pentagonal numbers (sequence in the OEIS). (The constant term 1 corresponds to .)This holds as an identity of convergent power series for , and also as an identity of formal power series.
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| - Pentagonalzahlensatz (de)
- Teorema del número pentagonal (es)
- Théorème des nombres pentagonaux (fr)
- Teorema dei numeri pentagonali (it)
- 오일러의 오각수 정리 (ko)
- オイラーの五角数定理 (ja)
- Pentagonal number theorem (en)
- 五邊形數定理 (zh)
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| - Der Pentagonalzahlensatz von Leonhard Euler ist ein Resultat aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionentheorie und Zahlentheorie bzw. Kombinatorik. Insbesondere in der Theorie der elliptischen Modulfunktionen spielt dieser Satz eine essentielle Rolle. (de)
- En mathématiques, le théorème des nombres pentagonaux, dû au mathématicien suisse Euler, est le théorème qui établit le développement en série formelle de la fonction d'Euler : . Autrement dit : Le nom du théorème vient de la forme des exposants dans le membre droit de l'égalité : ces nombres sont les nombres pentagonaux généralisés. Le théorème des nombres pentagonaux est un cas particulier de l'identité du triple produit de Jacobi. (fr)
- 오일러의 오각수 정리는 오일러 함수의 무한곱표현과 무한합표현에 대한 항등식이다. 다시 쓰자면, 오각수의 수열은 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176로 주어지고, n 번째의 오각수는 로 주어지는데, 이 때문에 오각수 정리라 불린다. (ko)
- 数学において、オイラーの五角数定理（オイラーのごかくすうていり、Euler's pentagonal number theorem）は次式が恒等式であることを主張する定理である。 はqポッホハマー記号である。この等式はヤコビの三重積公式の特殊な場合であり、右辺に五角数が表れる。五角数定理から分割関数の漸化式が導かれる。また、五角数定理は、整数を互いに異なる自然数に分割する方法のうち、偶数個に分割する方法の数と奇数個に分割する方法の数との関係を示すものでもある。整数の互いに異なる偶数個の自然数への分割を集合で表し、互いに異なる奇数個の自然数への分割を集合と表すと が成立する。例えば、整数12を偶数個の互いに異なる自然数に分割する方法は 12=11+112=10+212=9+312=8+412=7+512=6+3+2+112=5+4+2+1 であり、奇数個の互いに異なる自然数に分割する方法は 12=1212=9+2+112=8+3+112=7+4+112=7+3+212=6+5+112=6+4+212=5+4+3 であるから、左辺はである。一方、であるから、右辺もである。 (ja)
- 五邊形數定理是一個由歐拉發現的數學定理，描述歐拉函數展開式的特性。歐拉函數的展開式如下： 亦即 歐拉函數展開後，有些次方項被消去，只留下次方項為1, 2, 5, 7, 12, ...的項次，留下來的次方恰為廣義五邊形數。 若將上式視為幂級數，其收斂半徑為1，不過若只是當作形式冪級數來考慮，就不會考慮其收斂半徑。 (zh)
- En matemáticas, el teorema del número pentagonal, originalmente formulado por Leonhard Euler, da una equivalencia entre la representación en forma producto y de serie de la función de Euler. Se formula como: O escrito como: Una de las características principales, y a la vez interesante, es la cancelación de algunos términos al desarrollar el producto. Los coeficientes 1, 2, 5, 7, 12... que aparecen en los exponentes en la parte derecha de la identidad corresponden a los números pentagonales (más exactamente, a los números pentagonales generalizados). (es)
- In mathematics, the pentagonal number theorem, originally due to Euler, relates the product and series representations of the Euler function. It states that In other words, The exponents 1, 2, 5, 7, 12, ... on the right hand side are given by the formula gk = k(3k − 1)/2 for k = 1, −1, 2, −2, 3, ... and are called (generalized) pentagonal numbers (sequence in the OEIS). (The constant term 1 corresponds to .)This holds as an identity of convergent power series for , and also as an identity of formal power series. (en)
- In matematica, il teorema dei numeri pentagonali stabilisce una relazione tra la rappresentazione in serie della funzione di Eulero e quella sotto forma di prodotto. Il teorema stesso è dovuto a Eulero e si può considerare come un caso particolare del triplo prodotto di Jacobi. Il teorema afferma che: ossia, in altri termini: Il nome deriva dal fatto che gli esponenti 1, 2, 5, 7, 12, ... nel termine destro, della forma: sono numeri pentagonali generalizzati. Se si considera la serie come serie di potenze il suo raggio di convergenza risulta uguale a 1. (it)
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| - Der Pentagonalzahlensatz von Leonhard Euler ist ein Resultat aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionentheorie und Zahlentheorie bzw. Kombinatorik. Insbesondere in der Theorie der elliptischen Modulfunktionen spielt dieser Satz eine essentielle Rolle. (de)
- En matemáticas, el teorema del número pentagonal, originalmente formulado por Leonhard Euler, da una equivalencia entre la representación en forma producto y de serie de la función de Euler. Se formula como: O escrito como: Una de las características principales, y a la vez interesante, es la cancelación de algunos términos al desarrollar el producto. Los coeficientes 1, 2, 5, 7, 12... que aparecen en los exponentes en la parte derecha de la identidad corresponden a los números pentagonales (más exactamente, a los números pentagonales generalizados). Si nosotros tratamos la serie resultante como una serie de potencias, ésta tiene un radio de convergencia igual a 1. Ignorando el radio de convergencia, y basándonos en su serie de potencias formal, el teorema sigue cumpliéndose, ya que éste sólo hace una equivalencia entre una representación en forma de suma y de producto. A continuación se muestran un par de pruebas en términos modernos, aunque si uno lo desea, puede consultar la prueba original de Euler aquí. (es)
- In mathematics, the pentagonal number theorem, originally due to Euler, relates the product and series representations of the Euler function. It states that In other words, The exponents 1, 2, 5, 7, 12, ... on the right hand side are given by the formula gk = k(3k − 1)/2 for k = 1, −1, 2, −2, 3, ... and are called (generalized) pentagonal numbers (sequence in the OEIS). (The constant term 1 corresponds to .)This holds as an identity of convergent power series for , and also as an identity of formal power series. A striking feature of this formula is the amount of cancellation in the expansion of the product. (en)
- En mathématiques, le théorème des nombres pentagonaux, dû au mathématicien suisse Euler, est le théorème qui établit le développement en série formelle de la fonction d'Euler : . Autrement dit : Le nom du théorème vient de la forme des exposants dans le membre droit de l'égalité : ces nombres sont les nombres pentagonaux généralisés. Le théorème des nombres pentagonaux est un cas particulier de l'identité du triple produit de Jacobi. (fr)
- 오일러의 오각수 정리는 오일러 함수의 무한곱표현과 무한합표현에 대한 항등식이다. 다시 쓰자면, 오각수의 수열은 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176로 주어지고, n 번째의 오각수는 로 주어지는데, 이 때문에 오각수 정리라 불린다. (ko)
- In matematica, il teorema dei numeri pentagonali stabilisce una relazione tra la rappresentazione in serie della funzione di Eulero e quella sotto forma di prodotto. Il teorema stesso è dovuto a Eulero e si può considerare come un caso particolare del triplo prodotto di Jacobi. Il teorema afferma che: ossia, in altri termini: Il nome deriva dal fatto che gli esponenti 1, 2, 5, 7, 12, ... nel termine destro, della forma: sono numeri pentagonali generalizzati. Se si considera la serie come serie di potenze il suo raggio di convergenza risulta uguale a 1. Se si trascura la questione della convergenza, il teorema resta valido come affermazione in ordine alle serie formali di potenze. (it)
- 数学において、オイラーの五角数定理（オイラーのごかくすうていり、Euler's pentagonal number theorem）は次式が恒等式であることを主張する定理である。 はqポッホハマー記号である。この等式はヤコビの三重積公式の特殊な場合であり、右辺に五角数が表れる。五角数定理から分割関数の漸化式が導かれる。また、五角数定理は、整数を互いに異なる自然数に分割する方法のうち、偶数個に分割する方法の数と奇数個に分割する方法の数との関係を示すものでもある。整数の互いに異なる偶数個の自然数への分割を集合で表し、互いに異なる奇数個の自然数への分割を集合と表すと が成立する。例えば、整数12を偶数個の互いに異なる自然数に分割する方法は 12=11+112=10+212=9+312=8+412=7+512=6+3+2+112=5+4+2+1 であり、奇数個の互いに異なる自然数に分割する方法は 12=1212=9+2+112=8+3+112=7+4+112=7+3+212=6+5+112=6+4+212=5+4+3 であるから、左辺はである。一方、であるから、右辺もである。 (ja)
- 五邊形數定理是一個由歐拉發現的數學定理，描述歐拉函數展開式的特性。歐拉函數的展開式如下： 亦即 歐拉函數展開後，有些次方項被消去，只留下次方項為1, 2, 5, 7, 12, ...的項次，留下來的次方恰為廣義五邊形數。 若將上式視為幂級數，其收斂半徑為1，不過若只是當作形式冪級數來考慮，就不會考慮其收斂半徑。 (zh)
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