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Freies Produkt Вільний добуток 자유곱 Prodotto libero Producto libre de grupos Свободное произведение Free product 自由積 Produit libre 自由積

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In algebra, il prodotto libero di due gruppi e è un nuovo gruppo, generalmente indicato con Tale gruppo è costruito prendendo tutte le parole aventi come lettere degli elementi in e in , considerate a meno di semplici operazioni. La nozione di gruppo libero è importante in topologia, perché riflette (tramite il gruppo fondamentale) l'operazione (detta bouquet) che consiste nell'attaccare due spazi topologici per un punto. En las matemáticas, particularmente en la teoría de grupos, el producto libre de grupos es la construcción de un nuevo grupo a partir de una dada colección de ellos y que permite la inclusión como subgrupos a cada uno de los factores que le construyen. Para ilustrar la construcción, más precisamente, utilicemos dos grupos G, H. Entonces su producto libre es el grupo que consiste en un nuevo grupo cuyos elementos tienen la forma canónica donde los y los es decir los elementos de G*H son reducidas de letras alternadas que son elementos de los dos grupos G y H respectivamente. En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des groupes, le produit libre de deux groupes G et H est un nouveau groupe, noté G∗H, qui contient G et H comme sous-groupes, est engendré par les éléments de ces sous-groupes, et constitue le groupe « le plus général » possédant ces propriétés. Le produit libre est le coproduit, ou « somme », dans la catégorie des groupes, c'est-à-dire que la donnée de deux morphismes, de G et H dans un même groupe K, équivaut à celle d'un morphisme de G∗H dans K. In mathematics, specifically group theory, the free product is an operation that takes two groups G and H and constructs a new group G ∗ H. The result contains both G and H as subgroups, is generated by the elements of these subgroups, and is the “universal” group having these properties, in the sense that any two homomorphisms from G and H into a group K factor uniquely through a homomorphism from G ∗ H to K. Unless one of the groups G and H is trivial, the free product is always infinite. The construction of a free product is similar in spirit to the construction of a free group (the universal group with a given set of generators). 추상대수학에서 자유곱(自由곱, 영어: free product)은 주어진 두 대수 구조를 포함하는 "가장 일반적인" 대수 구조이다. 대수 구조 다양체의 범주에서의 쌍대곱이다. Свободным произведением групп называется группа, порождённая элементами этих двух групп, без каких-либо дополнительных соотношений. Свободное произведение и обычно обозначается . 数学、とくに群論における自由積（じゆうせき、英: free product）は、2つの群 G, H から新しい群 G ∗ H を構成する操作である。G ∗ H は G と H をともに部分群として含み、G と H の元によって生成され、そして、これらの性質を持つ「最も一般的な」群である。G と H の一方が自明でないかぎり、自由積は必ず無限群である。自由積の構成は自由群（与えられた生成集合から作ることのできる最も一般的な群）の構成と類似している。 自由積は群の圏における余積である。つまり、自由積が群論において果たす役割は、集合論における非交和や加群論における直和のそれと同じである。もとの群が可換であったとしても、一方が自明でない限り、自由積は可換ではない。したがって、自由積はアーベル群の圏における余積ではない。 自由積はファン・カンペンの定理のために代数トポロジーにおいて重要である。この定理はある条件を満たす2つの弧状連結位相空間の和集合の基本群は常にもとの空間の基本群の融合積であるというものである。とくに2つの空間のウェッジ和（すなわち1点で2つの空間を貼りあわせて得られる空間）の基本群は単に空間の基本群の自由積である。 У теорії груп вільним добутком груп називається нова група, що породжується елементами своїх множників і містить їх, як свої підгрупи. Операція вільного добутку груп має важливе значення у комбінаторній теорії груп і алгебричній топології. In der Algebra versteht man unter dem freien Produkt eine bestimmte Konstruktion einer Gruppe aus zwei oder mehr gegebenen Gruppen. Man kann sich das freie Produkt als eine nicht-kommutative Entsprechung der direkten Summe vorstellen, ungefähr wie eine Entsprechung von nichtkommutativen Gruppen zu abelschen Gruppen. 在數學的群論中，自由積（英語：free product，法語：produit libre）是從兩個以上的構造出一個群的一種操作。兩個群G和H的自由積，是一個新的群G ∗ H。這個群包含G和H為子群，由G和H的元素生成，並且是有以上性質的群之中「最一般」的。自由積一定是無限群，除非G和H其一是平凡群。自由積的構造方法和自由群（由給定的生成元集合所能構造出的最一般的群）相似。 自由積是群範疇中的。

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Free product with amalgamated subgroup Free product

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FreeProductWithAmalgamatedSubgroup FreeProduct

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在數學的群論中，自由積（英語：free product，法語：produit libre）是從兩個以上的構造出一個群的一種操作。兩個群G和H的自由積，是一個新的群G ∗ H。這個群包含G和H為子群，由G和H的元素生成，並且是有以上性質的群之中「最一般」的。自由積一定是無限群，除非G和H其一是平凡群。自由積的構造方法和自由群（由給定的生成元集合所能構造出的最一般的群）相似。 自由積是群範疇中的。 In algebra, il prodotto libero di due gruppi e è un nuovo gruppo, generalmente indicato con Tale gruppo è costruito prendendo tutte le parole aventi come lettere degli elementi in e in , considerate a meno di semplici operazioni. La nozione di gruppo libero è importante in topologia, perché riflette (tramite il gruppo fondamentale) l'operazione (detta bouquet) che consiste nell'attaccare due spazi topologici per un punto. En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des groupes, le produit libre de deux groupes G et H est un nouveau groupe, noté G∗H, qui contient G et H comme sous-groupes, est engendré par les éléments de ces sous-groupes, et constitue le groupe « le plus général » possédant ces propriétés. Le produit libre est le coproduit, ou « somme », dans la catégorie des groupes, c'est-à-dire que la donnée de deux morphismes, de G et H dans un même groupe K, équivaut à celle d'un morphisme de G∗H dans K. On définit de même le produit libre d'une famille (Gi)i∊I de groupes. Lorsque tous les Gi sont égaux à ℤ, leur produit libre est le groupe libre FI. 추상대수학에서 자유곱(自由곱, 영어: free product)은 주어진 두 대수 구조를 포함하는 "가장 일반적인" 대수 구조이다. 대수 구조 다양체의 범주에서의 쌍대곱이다. En las matemáticas, particularmente en la teoría de grupos, el producto libre de grupos es la construcción de un nuevo grupo a partir de una dada colección de ellos y que permite la inclusión como subgrupos a cada uno de los factores que le construyen. Para ilustrar la construcción, más precisamente, utilicemos dos grupos G, H. Entonces su producto libre es el grupo que consiste en un nuevo grupo cuyos elementos tienen la forma canónica donde los y los es decir los elementos de G*H son reducidas de letras alternadas que son elementos de los dos grupos G y H respectivamente. Entonces uno puede pensar que el grupo G está incluido en G*H pues trivialmente vemos que cada elemento de G es una palabra reducida en G*H, y similarmente para H. Un ejemplo básico es el grupo libre, de rango dos; este, se puede interpretar como Otro un poco más complejo es que se interpreta como 数学、とくに群論における自由積（じゆうせき、英: free product）は、2つの群 G, H から新しい群 G ∗ H を構成する操作である。G ∗ H は G と H をともに部分群として含み、G と H の元によって生成され、そして、これらの性質を持つ「最も一般的な」群である。G と H の一方が自明でないかぎり、自由積は必ず無限群である。自由積の構成は自由群（与えられた生成集合から作ることのできる最も一般的な群）の構成と類似している。 自由積は群の圏における余積である。つまり、自由積が群論において果たす役割は、集合論における非交和や加群論における直和のそれと同じである。もとの群が可換であったとしても、一方が自明でない限り、自由積は可換ではない。したがって、自由積はアーベル群の圏における余積ではない。 自由積はファン・カンペンの定理のために代数トポロジーにおいて重要である。この定理はある条件を満たす2つの弧状連結位相空間の和集合の基本群は常にもとの空間の基本群の融合積であるというものである。とくに2つの空間のウェッジ和（すなわち1点で2つの空間を貼りあわせて得られる空間）の基本群は単に空間の基本群の自由積である。 自由積はまた木に自己同型として作用する群の研究であるにおいても重要である。特に、木に対する有限頂点固定群を持つ任意の群作用は融合積とを用いて有限群から構成することができる。この理論において、のある種の三角形分割上へのモジュラー群の作用を用いれば、モジュラー群が位数 4 および 6 の巡回群の、位数 2 の巡回群上でとった融合積に同型となることが示せる。 群の自由積（＝余積）は亜群の圏において考えるのが適している 。群の非交和は、群にはならないが、亜群にはなるという点に注目する。任意の亜群 G は必ず普遍群 (universal group) U(G) を持つが、群の非交和の普遍群はそれら群の自由積（＝余積）に一致するのである。 Свободным произведением групп называется группа, порождённая элементами этих двух групп, без каких-либо дополнительных соотношений. Свободное произведение и обычно обозначается . In der Algebra versteht man unter dem freien Produkt eine bestimmte Konstruktion einer Gruppe aus zwei oder mehr gegebenen Gruppen. Man kann sich das freie Produkt als eine nicht-kommutative Entsprechung der direkten Summe vorstellen, ungefähr wie eine Entsprechung von nichtkommutativen Gruppen zu abelschen Gruppen. In mathematics, specifically group theory, the free product is an operation that takes two groups G and H and constructs a new group G ∗ H. The result contains both G and H as subgroups, is generated by the elements of these subgroups, and is the “universal” group having these properties, in the sense that any two homomorphisms from G and H into a group K factor uniquely through a homomorphism from G ∗ H to K. Unless one of the groups G and H is trivial, the free product is always infinite. The construction of a free product is similar in spirit to the construction of a free group (the universal group with a given set of generators). The free product is the coproduct in the category of groups. That is, the free product plays the same role in group theory that disjoint union plays in set theory, or that the direct sum plays in module theory. Even if the groups are commutative, their free product is not, unless one of the two groups is the trivial group. Therefore, the free product is not the coproduct in the category of abelian groups. The free product is important in algebraic topology because of van Kampen's theorem, which states that the fundamental group of the union of two path-connected topological spaces whose intersection is also path-connected is always an amalgamated free product of the fundamental groups of the spaces. In particular, the fundamental group of the wedge sum of two spaces (i.e. the space obtained by joining two spaces together at a single point) is simply the free product of the fundamental groups of the spaces. Free products are also important in Bass–Serre theory, the study of groups acting by automorphisms on trees. Specifically, any group acting with finite vertex stabilizers on a tree may be constructed from finite groups using amalgamated free products and HNN extensions. Using the action of the modular group on a certain tessellation of the hyperbolic plane, it follows from this theory that the modular group is isomorphic to the free product of cyclic groups of orders 4 and 6 amalgamated over a cyclic group of order 2. У теорії груп вільним добутком груп називається нова група, що породжується елементами своїх множників і містить їх, як свої підгрупи. Операція вільного добутку груп має важливе значення у комбінаторній теорії груп і алгебричній топології.

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