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Linear differential equation Ecuación diferencial lineal Equació diferencial lineal Lineární diferenciální rovnice 线性微分方程 Lineaire differentiaalvergelijking van eerste orde Lineare gewöhnliche Differentialgleichung معادلة تفاضلية خطية 線型微分方程式 Лінійне диференціальне рівняння Линейное дифференциальное уравнение Equação diferencial linear Linjär differentialekvation Équation différentielle linéaire Equazione differenziale lineare
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В математике линейное дифференциальное уравнение имеет вид где дифференциальный оператор L линеен, y — известная функция , а правая часть — функция от той же переменной, что и y. Линейный оператор L можно рассматривать в форме При этом, если , то такое уравнение называется линейным однородным уравнением, иначе — линейным неоднородным уравнением. En matemàtiques, les equacions diferencials lineals són equacions diferencials que tenen solucions que poden sumar-se per obtenir altres solucions. Poden ser ordinàries (EDOs) o parcials (EDPs). Les solucions d'equacions linears formen un espai vectorial (a diferència de les ). Una equació diferencial lineal és una equació diferencial que té i, fins i tot més precisament L'operador lineal L es pot considerar de la forma. on D és l'operador diferencial d/dt (és a dir Dy = y, D ²y = y"... ), i An són funcions donades. Tal equació es diu que té ordre n, l'índex de la derivada més alt de y. Med linjär differentialekvation menas en differentialekvation där den sökta funktionen och dess derivator endast uppträder linjärt. 线性微分方程（英語：Linear differential equation）是数学中常见的一类微分方程。指以下形式的微分方程： 其中方程左侧的微分算子是线性算子，y是要解的未知函数，方程的右侧是一个已知函数。如果f(x) = 0，那么方程(*)的解的线性组合仍然是解，所有的解构成一个向量空间，称为解空间。这样的方程称为齐次线性微分方程。当f不是零函数时，所有的解构成一个仿射空间，由对应的齐次方程的解空间加上一个特解得到。这样的方程称为非齐次线性微分方程。线性微分方程可以是常微分方程，也可以是偏微分方程。 In mathematics, a linear differential equation is a differential equation that is defined by a linear polynomial in the unknown function and its derivatives, that is an equation of the form where a0(x), ..., an(x) and b(x) are arbitrary differentiable functions that do not need to be linear, and y′, ..., y(n) are the successive derivatives of an unknown function y of the variable x. Equações diferenciais lineares são equações diferenciais da seguinte forma : As soluções de uma equação diferencial linear podem ser somadas a fim de produzir uma nova solução. Diz-se que uma equação diferencial é linear quando satisfaz duas características: * Cada coeficiente e o termo de não-homogeneidade só dependem da variável independente, no caso x; * A variável dependente, no caso y, e suas derivadas são de primeiro grau. Um exemplo de equação diferencial não linear : Lineární diferenciální rovnice je diferenciální rovnice tvaru kde * y je neznámá (hledaná) funkce proměnné x, * y(k) je k-tá derivace funkce y(x), * n představuje řád diferenciální rovnice, * x je nezávislá proměnná, * ak(x) jsou koeficienty, které obecně mohou být funkcemi proměnné x. Jsou-li koeficienty ak konstanty, jedná se o diferenciální rovnici s konstantními koeficienty. * f(x) představuje pravou stranu diferenciální rovnice. Pokud f(x) = 0, potom se jedná o homogenní diferenciální rovnici (bez pravé strany). في الرياضيات، المعادلة التفاضلية الخطية من الرتبة n هي معادلة من الشكل العام حيث و هي توابع (أو دالات) معلومة وحيث ، و هو تابع مجهول وإيجاد هذا التابع هو بمثابة حل لهذه المعادلة حيث هنا يكمن محور بحث نظرية المعادلات التفاضلية بشكل عام. وعندما تكون تسمى المعادلة حينئذٍ بالمتجانسة Homogeneous حيث إيجاد حل المعادلة المتجانسة هو خطوة أولى نحو الحل العام للمعادلة اللامتجانسة (مفصل في الأسفل). عندما تكون المعاملات مجرد أعداد نقول أن المعادلة هي ذات معاملات ثابتة. Lineare gewöhnliche Differentialgleichungen bzw. lineare gewöhnliche Differentialgleichungssysteme sind eine wichtige Klasse von gewöhnlichen Differentialgleichungen. Een lineaire differentiaalvergelijking van eerste orde is een speciaal geval van een lineaire differentiaalvergelijking, die in de vorm geschreven kan worden, met en beide continue functies op het open interval . De algemene oplossing van de bijbehorende homogene differentiaalvergelijking is en een particuliere oplossing is met een willekeurig punt van het domein. Indien constant is (zoals bij een lineair tijdinvariant continu systeem, LTC-systeem, met de tijd) reduceert dit tot het volgende (zie ook eerste-ordesysteem). is (exponentiële afname of exponentiële groei) Une équation différentielle linéaire est un cas particulier d'équation différentielle pour lequel on peut appliquer des procédés de superposition de solutions, et exploiter des résultats d'algèbre linéaire. De nombreuses équations différentielles de la physique vérifient la propriété de linéarité. De plus, les équations différentielles linéaires apparaissent naturellement en perturbant une équation différentielle (non linéaire) autour d'une de ses solutions. où a0, a1, … an, b sont des fonctions numériques continues. 線型微分方程式（せんけいびぶんほうていしき、英: linear differential equation）は、微分を用いた線型作用素（線型微分作用素）L と未知関数 y と既知関数 b を用いて Ly = b の形に書かれる微分方程式のこと。 Лінійне диференціальне рівняння — звичайне диференціальне рівняння, в яке невідома функція та її похідні входять лінійно, тобто рівняння вигляду де та — функції, що залежать тільки від аргументу x. Важливий підклас лінійних диференційних рівнянь складають лінійні диференційні рівняння зі сталими коефіцієнтами, для яких . Рівняння називається однорідним лінійним диференційним рівнянням. Однорідне диференційне рівняння n-го порядку має n лінійно незалежних розв'язків. In matematica, un'equazione differenziale lineare è un'equazione differenziale, ordinaria o alle derivate parziali, tale che combinazioni lineari delle sue soluzioni possono essere usate per ottenere altre soluzioni. En matemáticas, una ecuación diferencial lineal es aquella ecuación diferencial cuyas soluciones pueden obtenerse mediante combinaciones lineales de otras soluciones. Estas últimas pueden ser ordinarias (EDOs) o en derivadas parciales (EDPs). Las soluciones a las ecuaciones diferenciales lineales cuando son homogéneas forman un espacio vectorial, a diferencia de las ecuaciones diferenciales no lineales.
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线性微分方程（英語：Linear differential equation）是数学中常见的一类微分方程。指以下形式的微分方程： 其中方程左侧的微分算子是线性算子，y是要解的未知函数，方程的右侧是一个已知函数。如果f(x) = 0，那么方程(*)的解的线性组合仍然是解，所有的解构成一个向量空间，称为解空间。这样的方程称为齐次线性微分方程。当f不是零函数时，所有的解构成一个仿射空间，由对应的齐次方程的解空间加上一个特解得到。这样的方程称为非齐次线性微分方程。线性微分方程可以是常微分方程，也可以是偏微分方程。 В математике линейное дифференциальное уравнение имеет вид где дифференциальный оператор L линеен, y — известная функция , а правая часть — функция от той же переменной, что и y. Линейный оператор L можно рассматривать в форме При этом, если , то такое уравнение называется линейным однородным уравнением, иначе — линейным неоднородным уравнением. Een lineaire differentiaalvergelijking van eerste orde is een speciaal geval van een lineaire differentiaalvergelijking, die in de vorm geschreven kan worden, met en beide continue functies op het open interval . De algemene oplossing van de bijbehorende homogene differentiaalvergelijking is en een particuliere oplossing is met een willekeurig punt van het domein. Indien constant is (zoals bij een lineair tijdinvariant continu systeem, LTC-systeem, met de tijd) reduceert dit tot het volgende (zie ook eerste-ordesysteem). De algemene oplossing van de bijbehorende homogene differentiaalvergelijking is (exponentiële afname of exponentiële groei) en de particuliere oplossing met is met een willekeurig punt van het domein. Bij een LTC-systeem is dit op een constante na het outputsignaal bij als inputsignaal, de convolutie van q en de impulsrespons ( vanaf ). In mathematics, a linear differential equation is a differential equation that is defined by a linear polynomial in the unknown function and its derivatives, that is an equation of the form where a0(x), ..., an(x) and b(x) are arbitrary differentiable functions that do not need to be linear, and y′, ..., y(n) are the successive derivatives of an unknown function y of the variable x. Such an equation is an ordinary differential equation (ODE). A linear differential equation may also be a linear partial differential equation (PDE), if the unknown function depends on several variables, and the derivatives that appear in the equation are partial derivatives. A linear differential equation or a system of linear equations such that the associated homogeneous equations have constant coefficients may be solved by quadrature, which means that the solutions may be expressed in terms of integrals. This is also true for a linear equation of order one, with non-constant coefficients. An equation of order two or higher with non-constant coefficients cannot, in general, be solved by quadrature. For order two, Kovacic's algorithm allows deciding whether there are solutions in terms of integrals, and computing them if any. The solutions of homogeneous linear differential equations with polynomial coefficients are called holonomic functions. This class of functions is stable under sums, products, differentiation, integration, and contains many usual functions and special functions such as exponential function, logarithm, sine, cosine, inverse trigonometric functions, error function, Bessel functions and hypergeometric functions. Their representation by the defining differential equation and initial conditions allows making algorithmic (on these functions) most operations of calculus, such as computation of antiderivatives, limits, asymptotic expansion, and numerical evaluation to any precision, with a certified error bound. Equações diferenciais lineares são equações diferenciais da seguinte forma : As soluções de uma equação diferencial linear podem ser somadas a fim de produzir uma nova solução. Diz-se que uma equação diferencial é linear quando satisfaz duas características: * Cada coeficiente e o termo de não-homogeneidade só dependem da variável independente, no caso x; * A variável dependente, no caso y, e suas derivadas são de primeiro grau. Um exemplo de equação diferencial não linear : Лінійне диференціальне рівняння — звичайне диференціальне рівняння, в яке невідома функція та її похідні входять лінійно, тобто рівняння вигляду де та — функції, що залежать тільки від аргументу x. Важливий підклас лінійних диференційних рівнянь складають лінійні диференційні рівняння зі сталими коефіцієнтами, для яких . Рівняння називається однорідним лінійним диференційним рівнянням. Однорідне диференційне рівняння n-го порядку має n лінійно незалежних розв'язків. Якщо відомий хоча б один частковий розв'язок лінійного диференційного рівняння, то його загальний розв'язок є сумою часткового розв'язку та лінійної комбінації n розв'язків однорідного диференційного рівняння. In matematica, un'equazione differenziale lineare è un'equazione differenziale, ordinaria o alle derivate parziali, tale che combinazioni lineari delle sue soluzioni possono essere usate per ottenere altre soluzioni. Une équation différentielle linéaire est un cas particulier d'équation différentielle pour lequel on peut appliquer des procédés de superposition de solutions, et exploiter des résultats d'algèbre linéaire. De nombreuses équations différentielles de la physique vérifient la propriété de linéarité. De plus, les équations différentielles linéaires apparaissent naturellement en perturbant une équation différentielle (non linéaire) autour d'une de ses solutions. Une équation différentielle linéaire scalaire se présente comme une relation entre une ou plusieurs fonctions inconnues et leurs dérivées, de la forme où a0, a1, … an, b sont des fonctions numériques continues. Une équation différentielle linéaire vectorielle aura le même aspect, en remplaçant les ai par des applications linéaires (ou souvent des matrices) fonctions de x et b par une fonction de x à valeurs vectorielles. Une telle équation sera parfois aussi appelée système différentiel linéaire. L'ordre de l'équation différentielle correspond au degré maximal de différentiation auquel une des fonctions inconnues y a été soumise, n dans l'exemple précédent. Il existe des méthodes générales de résolution pour les équations différentielles linéaires scalaires ou . Med linjär differentialekvation menas en differentialekvation där den sökta funktionen och dess derivator endast uppträder linjärt. في الرياضيات، المعادلة التفاضلية الخطية من الرتبة n هي معادلة من الشكل العام حيث و هي توابع (أو دالات) معلومة وحيث ، و هو تابع مجهول وإيجاد هذا التابع هو بمثابة حل لهذه المعادلة حيث هنا يكمن محور بحث نظرية المعادلات التفاضلية بشكل عام. وعندما تكون تسمى المعادلة حينئذٍ بالمتجانسة Homogeneous حيث إيجاد حل المعادلة المتجانسة هو خطوة أولى نحو الحل العام للمعادلة اللامتجانسة (مفصل في الأسفل). عندما تكون المعاملات مجرد أعداد نقول أن المعادلة هي ذات معاملات ثابتة. En matemàtiques, les equacions diferencials lineals són equacions diferencials que tenen solucions que poden sumar-se per obtenir altres solucions. Poden ser ordinàries (EDOs) o parcials (EDPs). Les solucions d'equacions linears formen un espai vectorial (a diferència de les ). Una equació diferencial lineal és una equació diferencial que té on l'operador diferencial L és un operador lineal, y és la funció desconeguda (per exemple una funció del temps y(t)), i el terme de la dreta ƒ és una funció donada de la mateixa natura que y. Per a una funció dependent del temps es pot escriure l'equació com i, fins i tot més precisament L'operador lineal L es pot considerar de la forma. La condició de linealitat de L exclou operacions com el quadrat de la derivada de y; però admet, per exemple, la derivada segona de y.És convenient reescriure aquesta equació en forma d'operador on D és l'operador diferencial d/dt (és a dir Dy = y, D ²y = y"... ), i An són funcions donades. Tal equació es diu que té ordre n, l'índex de la derivada més alt de y. Un exemple simple típic és l'equació diferencial lineal que es fa servir per modelitzar la decadència radioactiva. Sia N(t) el nombre d'àtoms radioactius en alguna mostra de material (com una porció del drap del sudari de Torí) en el moment t. Llavors per a alguna constant k > 0,el nombre d'àtoms radioactius que es descomponen es pot modelar per Si y és se suposa que és una funció de només una variable, es parla d'una equació diferencial ordinària, si les derivades i els seus coeficients s'entenen com vectors, matrius o tensors de rang superior, es té una equació diferencial en derivades parcials (lineal). El cas on ƒ = 0 s'anomena una equació homogènia i les seves solucions s'anomenen funcions complementàries. És especialment important per la solució del cas general, ja que qualsevol funció complementària es pot afegir a una solució de l'equació no homogènia per donar una altra solució (per un mètode tradicionalment anomenat integral particular i funció complementària). Quan els Ai són nombres, l'equació es diu que té . En matemáticas, una ecuación diferencial lineal es aquella ecuación diferencial cuyas soluciones pueden obtenerse mediante combinaciones lineales de otras soluciones. Estas últimas pueden ser ordinarias (EDOs) o en derivadas parciales (EDPs). Las soluciones a las ecuaciones diferenciales lineales cuando son homogéneas forman un espacio vectorial, a diferencia de las ecuaciones diferenciales no lineales. Lineare gewöhnliche Differentialgleichungen bzw. lineare gewöhnliche Differentialgleichungssysteme sind eine wichtige Klasse von gewöhnlichen Differentialgleichungen. Lineární diferenciální rovnice je diferenciální rovnice tvaru kde * y je neznámá (hledaná) funkce proměnné x, * y(k) je k-tá derivace funkce y(x), * n představuje řád diferenciální rovnice, * x je nezávislá proměnná, * ak(x) jsou koeficienty, které obecně mohou být funkcemi proměnné x. Jsou-li koeficienty ak konstanty, jedná se o diferenciální rovnici s konstantními koeficienty. * f(x) představuje pravou stranu diferenciální rovnice. Pokud f(x) = 0, potom se jedná o homogenní diferenciální rovnici (bez pravé strany). V lineární diferenciální rovnici se hledaná funkce vyskytuje pouze lineárně a nikde se nevyskytují součiny hledané funkce s jejími derivacemi, ani součiny derivací této funkce. Lineární diferenciální rovnice mohou být obyčejné (s jednou nezávislou proměnnou) i parciální (s více nezávislými proměnnými). Řešení lineární rovnice tvoří (na rozdíl od řešení nelineárních diferenciálních rovnic) vektorový prostor. 線型微分方程式（せんけいびぶんほうていしき、英: linear differential equation）は、微分を用いた線型作用素（線型微分作用素）L と未知関数 y と既知関数 b を用いて Ly = b の形に書かれる微分方程式のこと。
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