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Когомологія Cohomologia コホモロジー Kohomologie Cohomology Coomologia Cohomologie 餘調 Coomologia 코호몰로지 Kohomologi Cohomología

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Kohomologie ist ein mathematisches Konzept, das in vielen Teilbereichen zum Einsatz kommt, ursprünglich in der algebraischen Topologie. Das Wort Kohomologie wird dabei in zwei verschiedenen Bedeutungen verwendet: Einerseits für die Grundkonstruktion der Kohomologie eines beliebigen Kokettenkomplexes, andererseits für die Anwendung dieser Grundkonstruktion auf konkrete Kokettenkomplexe, die man z. B. aus einer Mannigfaltigkeit (De-Rham-Kohomologie), einem topologischen Raum (singuläre Kohomologie), einem Simplizialkomplex (simpliziale Kohomologie) oder einer Gruppe (Gruppenkohomologie) erhält. Ein allgemeines Konstruktionsverfahren für verallgemeinerte Kohomologietheorien benutzt sogenannte Spektren. In mathematics, specifically in homology theory and algebraic topology, cohomology is a general term for a sequence of abelian groups, usually one associated with a topological space, often defined from a cochain complex. Cohomology can be viewed as a method of assigning richer algebraic invariants to a space than homology. Some versions of cohomology arise by dualizing the construction of homology. In other words, cochains are functions on the group of chains in homology theory. En matemáticas, específicamente en topología algebraica, cohomología es un término genérico para una sucesión de grupos abelianos definidos a partir de un . O sea, la cohomología se define como el estudio abstracto de co-cadenas, , y . La cohomología puede ser pensada como un método de asignación de invariantes algebraicos a un espacio topológico que posee una estructura algebraica más refinada que la que tiene homología. La cohomología surge de una dualización algebraica de la construcción de la homología. En términos menos abstractos, las co-cadenas en su sentido fundamental deben asignar 'cantidades' a las cadenas de la teoría de homología. 在數學中，特別是同調論與代數拓樸，餘調是一個專有名詞，表示由與拓樸空間相關的阿貝爾群組成的序列，經常由餘鏈復形定義。餘調可以被視為一個（與同調相比）給予空間更豐富的代數不變量的方式。餘調的某些版本是經由將同調的建構對偶化而產生的。換言之，餘鏈是同調論中的鏈組成的群上的函數。 這個概念一開始是在拓撲學之中，到了二十世紀後半時變成數學的一個主要方法。從原先將同調作為建構拓樸空間的代數不變量的方法，現今同調與餘調理論的應用已經擴展到幾何與代數的各處。雖然餘調因為是一個反變的理論而在很多應用中比同調更自然，但是術語使上述的事實變得不明顯。在基礎的層面上，這與幾何的情況中的函數與拉回有關：給定空間 X 與 Y ，與 Y 上的某種函數 F ，對任何映射 f : X → Y ，與 f 的複合會產生在 X 上的函數 F ∘ f 。最重要的一些餘調論有一種積，稱為，它使它們有環的結構。因為有這個特點，所以餘調經常是一個比同調更強的不變量。广义上的同调理论（其他代数或几何结构的不变式，而不是拓扑空间的不变式）包括：代数K理论，李代数同调，晶体同调等。 Cohomologiegroepen of cohomologie-modulen zijn samen met het duale begrip homologieën het centrale studie-object van de homologische algebra. Ruw gezegd bepaalt de cohomologie de mate waarin een coketencomplex niet exact is. Zie het artikel homologie voor een andere inleidende motivering van het onderwerp. Когомологія — загальний термін для послідовностей абелевих груп, пов'язаних із топологічним простором, який часто визначається з коланцюгового комплексу. 数学、とくにホモロジー論と代数トポロジーにおいて、コホモロジー (cohomology) はコチェイン複体から定義されるアーベル群の列を意味する一般的な用語である。つまり、コホモロジーはコチェイン、コサイクル、そしてコバウンダリの抽象的な研究として定義される。コホモロジーは、を、ホモロジーがもっているよりも洗練された代数的構造をもつ位相空間に割り当てる手法と見ることができる。コホモロジーはホモロジーの構成の代数的な双対から生じる。より抽象的でない言葉で言えば、基本的な意味でのコチェインは'量'をホモロジー論のチェインに割り当てる。 En matemàtiques, específicament en topologia algebraica, cohomologia és un terme genèric per a una successió de grups abelians definits a partir d'una . És a dir, la cohomologia es defineix com l'estudi abstracte de co-cadenes, cociclos, i cofronteres. La cohomologia pot ser pensada com un mètode d'assignació d' a un espai topològic que té una estructura algebraica més refinada que la que té . La cohomologia sorgeix d'una dualització algebraica de la construcció de l'homologia. En termes menys abstractes, les co-cadenes en el seu sentit fonamental d'assignar 'quantitats' a les cadenes de la teoria d'homologia. In matematica, in particolare in teoria dell'omologia e in topologia algebrica, coomologia è un termine generale per indicare una successione di gruppi abeliani associati a uno spazio topologico, spesso definiti da un complesso di cocatene. La coomologia può essere vista come un metodo per assegnare a uno spazio topologico invarianti algebrici più ricchi rispetto all'omologia. Alcune versioni della coomologia nascono da un dualismo con la costruzione omologica. In altre parole, le cocatene sono funzioni sul gruppo delle catene della teoria omologica. Coomologia em matemática, especialmente em topologia algébrica, é um termo geral para uma sequência de grupos abelianos definidos de um complexo de cadeias. Isto é, a coomologia é definida como o estudo abstrato de cocadeias, e co-limites. A coomologia pode ser vista como um método para atribuir invariantes algébricos a um espaço topológico que possui uma estrutura algébrica mais refinada do que a da homologia. A coomologia emerge da dualização algébrica da construção da homologia. Numa linguagem menos abstrata, cocadeias num sentido fundamental devem atribuir "quantidades" às cadeias da teoria homológica. Inom matematiken, speciellt inom homologiteori och algebraisk topologi, är kohomologi en allmän term för en följd av abelska grupper definierade från ett visst kokedjekomplex. Kohomologi kan ses som en metod att ge åt ett topologiskt rum med mer raffinerad algebraisk struktur än homologi. Kohomologi uppstår från algebraiska dualiseringen av homologi. 대수적 위상수학과 호몰로지 대수학에서 코호몰로지(영어: cohomology)는 공사슬 복합체의 원소들의 몫군이다. 사슬 복합체에 대하여 정의되는 호몰로지에 대응되는 개념이다.

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Cohomology

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Proposition VIII.3.3 and Corollary VIII.3.4

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In mathematics, specifically in homology theory and algebraic topology, cohomology is a general term for a sequence of abelian groups, usually one associated with a topological space, often defined from a cochain complex. Cohomology can be viewed as a method of assigning richer algebraic invariants to a space than homology. Some versions of cohomology arise by dualizing the construction of homology. In other words, cochains are functions on the group of chains in homology theory. From its beginning in topology, this idea became a dominant method in the mathematics of the second half of the twentieth century. From the initial idea of homology as a method of constructing algebraic invariants of topological spaces, the range of applications of homology and cohomology theories has spread throughout geometry and algebra. The terminology tends to hide the fact that cohomology, a contravariant theory, is more natural than homology in many applications. At a basic level, this has to do with functions and pullbacks in geometric situations: given spaces X and Y, and some kind of function F on Y, for any mapping f : X → Y, composition with f gives rise to a function F ∘ f on X. The most important cohomology theories have a product, the cup product, which gives them a ring structure. Because of this feature, cohomology is usually a stronger invariant than homology. Cohomologiegroepen of cohomologie-modulen zijn samen met het duale begrip homologieën het centrale studie-object van de homologische algebra. Ruw gezegd bepaalt de cohomologie de mate waarin een coketencomplex niet exact is. Zie het artikel homologie voor een andere inleidende motivering van het onderwerp. 대수적 위상수학과 호몰로지 대수학에서 코호몰로지(영어: cohomology)는 공사슬 복합체의 원소들의 몫군이다. 사슬 복합체에 대하여 정의되는 호몰로지에 대응되는 개념이다. Inom matematiken, speciellt inom homologiteori och algebraisk topologi, är kohomologi en allmän term för en följd av abelska grupper definierade från ett visst kokedjekomplex. Kohomologi kan ses som en metod att ge åt ett topologiskt rum med mer raffinerad algebraisk struktur än homologi. Kohomologi uppstår från algebraiska dualiseringen av homologi. In matematica, in particolare in teoria dell'omologia e in topologia algebrica, coomologia è un termine generale per indicare una successione di gruppi abeliani associati a uno spazio topologico, spesso definiti da un complesso di cocatene. La coomologia può essere vista come un metodo per assegnare a uno spazio topologico invarianti algebrici più ricchi rispetto all'omologia. Alcune versioni della coomologia nascono da un dualismo con la costruzione omologica. In altre parole, le cocatene sono funzioni sul gruppo delle catene della teoria omologica. Dopo la sua nascita in ambito topologico, il concetto di coomologia è diventato un elemento fondamentale della matematica nella seconda metà del ventesimo secolo. Dall'idea iniziale di omologia come metodo per costruire invarianti algebrici di spazi topologici, il numero di applicazioni delle teorie dell'omologia e della coomologia si è ampliata sia in geometria che in algebra. La terminologia tende a nascondere il fatto che, in molte applicazioni, la coomologia, una teoria controvariante, è più naturale dell'omologia. Questo ha a che fare con funzioni e pullback in ambito geometrico: dati due spazi e e una funzione su per qualsiasi mappa la composizione con dà origine a una funzione su Le teorie della coomologia più importanti hanno un prodotto, il , che conferisce loro una struttura di anello. A causa di questa caratteristica, la coomologia è solitamente un invariante più forte dell'omologia. Когомологія — загальний термін для послідовностей абелевих груп, пов'язаних із топологічним простором, який часто визначається з коланцюгового комплексу. 在數學中，特別是同調論與代數拓樸，餘調是一個專有名詞，表示由與拓樸空間相關的阿貝爾群組成的序列，經常由餘鏈復形定義。餘調可以被視為一個（與同調相比）給予空間更豐富的代數不變量的方式。餘調的某些版本是經由將同調的建構對偶化而產生的。換言之，餘鏈是同調論中的鏈組成的群上的函數。 這個概念一開始是在拓撲學之中，到了二十世紀後半時變成數學的一個主要方法。從原先將同調作為建構拓樸空間的代數不變量的方法，現今同調與餘調理論的應用已經擴展到幾何與代數的各處。雖然餘調因為是一個反變的理論而在很多應用中比同調更自然，但是術語使上述的事實變得不明顯。在基礎的層面上，這與幾何的情況中的函數與拉回有關：給定空間 X 與 Y ，與 Y 上的某種函數 F ，對任何映射 f : X → Y ，與 f 的複合會產生在 X 上的函數 F ∘ f 。最重要的一些餘調論有一種積，稱為，它使它們有環的結構。因為有這個特點，所以餘調經常是一個比同調更強的不變量。广义上的同调理论（其他代数或几何结构的不变式，而不是拓扑空间的不变式）包括：代数K理论，李代数同调，晶体同调等。 En matemàtiques, específicament en topologia algebraica, cohomologia és un terme genèric per a una successió de grups abelians definits a partir d'una . És a dir, la cohomologia es defineix com l'estudi abstracte de co-cadenes, cociclos, i cofronteres. La cohomologia pot ser pensada com un mètode d'assignació d' a un espai topològic que té una estructura algebraica més refinada que la que té . La cohomologia sorgeix d'una dualització algebraica de la construcció de l'homologia. En termes menys abstractes, les co-cadenes en el seu sentit fonamental d'assignar 'quantitats' a les cadenes de la teoria d'homologia. Des dels seus inicis a la topologia, aquesta idea es va convertir en un mètode destacat en les matemàtiques de la segona meitat del segle XX; començant per la idea inicial d'homologia com una relació invariant topològica sobre les cadenes, el rang d'aplicacions de les teories d'homologia i cohomologia s'ha estès sobre la geometria i l'àlgebra abstracta. La terminologia tendeix a ocultar el fet que en moltes aplicacions la cohomologia, una teoria , és més natural que una homologia. En un nivell bàsic això es relaciona amb les funcions i pullbacks en situacions geomètriques: donats dos espais X i I, i algun tipus de funció F en I, per tot mapeig f : X → la composició de I amb f crea una funció F o f en X.Els grups de cohomologia moltes vegades també tenen un producte natural, el , que els atorga una estructura d'anell. En realitat, una general hauria d'haver tingut un significat ampli que abastés tant a l'homologia i a la cohomologia : Al cap i a la fi la direcció de les fletxes en una cadena complexa no és més que una . En matemáticas, específicamente en topología algebraica, cohomología es un término genérico para una sucesión de grupos abelianos definidos a partir de un . O sea, la cohomología se define como el estudio abstracto de co-cadenas, , y . La cohomología puede ser pensada como un método de asignación de invariantes algebraicos a un espacio topológico que posee una estructura algebraica más refinada que la que tiene homología. La cohomología surge de una dualización algebraica de la construcción de la homología. En términos menos abstractos, las co-cadenas en su sentido fundamental deben asignar 'cantidades' a las cadenas de la teoría de homología. Desde sus comienzos en la topología, esta idea se convirtió en un método destacado en las matemáticas de la segunda mitad del siglo XX; comenzando por la idea inicial de homología como una relación invariante topológica sobre las cadenas, el rango de aplicaciones de las teorías de homología y cohomología se ha extendido en geometría y álgebra abstracta. La terminología tiende a ocultar el hecho que en muchas aplicaciones la cohomología, una teoría contravariante, es más natural que una homología. En un nivel básico esto se relaciona con las funciones y pullbacks en situaciones geométricas: dados dos espacios X e Y, y algún tipo de construcción F en Y, para toda aplicación la composición con f crea un objeto en X.Los grupos de cohomología muchas veces también poseen un producto natural, el producto exterior, el cual les otorga una estructura de anillo. En realidad, una teoría de homología general tiene un significado amplio que abarca tanto a la homología como a la cohomología: al fin de cuentas la dirección de las flechas en una complejo de cadenas no es más que una convención de signos. 数学、とくにホモロジー論と代数トポロジーにおいて、コホモロジー (cohomology) はコチェイン複体から定義されるアーベル群の列を意味する一般的な用語である。つまり、コホモロジーはコチェイン、コサイクル、そしてコバウンダリの抽象的な研究として定義される。コホモロジーは、を、ホモロジーがもっているよりも洗練された代数的構造をもつ位相空間に割り当てる手法と見ることができる。コホモロジーはホモロジーの構成の代数的な双対から生じる。より抽象的でない言葉で言えば、基本的な意味でのコチェインは'量'をホモロジー論のチェインに割り当てる。 位相幾何学におけるその起源から、このアイデアは20世紀後半の数学において主要な手法となった。チェインについての位相的不変関係としてのホモロジーの最初の考えから、ホモロジーとコホモロジーの理論の応用の範囲は幾何学と抽象代数学に渡って拡がった。用語によって、多くの応用においてコホモロジー、反変理論、がホモロジーよりも自然であるという事実が隠されがちである。基本的なレベルではこれは幾何学的な状況において関数とを扱う。空間 X と Y、そして Y 上のある種の関数 F が与えられたとすると、任意の写像 f : X → Y に対して、f との合成は X 上の関数 F o f を引き起こす。コホモロジー群はまたしばしば自然な積、カップ積をもっており、環の構造を与える。この特徴のために、コホモロジーはホモロジーよりも強い不変量である。ホモロジーでは区別できないある種の代数的対象を区別できるのである。 Coomologia em matemática, especialmente em topologia algébrica, é um termo geral para uma sequência de grupos abelianos definidos de um complexo de cadeias. Isto é, a coomologia é definida como o estudo abstrato de cocadeias, e co-limites. A coomologia pode ser vista como um método para atribuir invariantes algébricos a um espaço topológico que possui uma estrutura algébrica mais refinada do que a da homologia. A coomologia emerge da dualização algébrica da construção da homologia. Numa linguagem menos abstrata, cocadeias num sentido fundamental devem atribuir "quantidades" às cadeias da teoria homológica. Desde seu início na topologia, esta ideia tornou-se um método dominante na matemática da segunda metade do século XX; da ideia inicial de homologia como uma relação topologicamente invariante de cadeias, a gama de aplicações das teorias de homologia e coomologia espalhou-se pela geometria e álgebra abstrata. A terminologia tende a mascarar o fa(c)to de que em muitas aplicações, coomologia, uma teoria contravariante, é mais natural do que a homologia. Num nível elementar, isso tem a ver com funções e em situações geométricas: dados os espaços X e Y, e algum tipo de função F em Y, para qualquer função f : X → Y, a composição com f cria uma função F ou f em X. Grupos coomológicos frequentemente possuem também um produto natural, a , a qual lhes dá uma estrutura de anel. Com discernimento, à teoria geral da homologia deveria ter sido dado um significado inclusivo cobrindo tanto a homologia quanto a coomologia: a direção das setas num complexo de cadeias não é muito mais do que uma . Kohomologie ist ein mathematisches Konzept, das in vielen Teilbereichen zum Einsatz kommt, ursprünglich in der algebraischen Topologie. Das Wort Kohomologie wird dabei in zwei verschiedenen Bedeutungen verwendet: Einerseits für die Grundkonstruktion der Kohomologie eines beliebigen Kokettenkomplexes, andererseits für die Anwendung dieser Grundkonstruktion auf konkrete Kokettenkomplexe, die man z. B. aus einer Mannigfaltigkeit (De-Rham-Kohomologie), einem topologischen Raum (singuläre Kohomologie), einem Simplizialkomplex (simpliziale Kohomologie) oder einer Gruppe (Gruppenkohomologie) erhält. Ein allgemeines Konstruktionsverfahren für verallgemeinerte Kohomologietheorien benutzt sogenannte Spektren. Das Konzept wurde in den 1930er Jahren unabhängig von Andrei Kolmogorow und James W. Alexander entwickelt.

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