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Dérivée directionnelle Derivada direccional Производная по направлению 方向导数 方向微分 Derivada direccional Richtingsafgeleide Directional derivative Richtungsableitung Derivada direcional مشتق اتجاهي Похідна за напрямком Pochodna kierunkowa Riktningsderivata Derivata direzionale
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In der Mathematik ist die Richtungsableitung einer von mehreren Variablen abhängigen Funktion die momentane Änderungsrate dieser Funktion in einer durch einen Vektor vorgegebenen Richtung. Eine Verallgemeinerung der Richtungsableitung auf unendlichdimensionale Räume ist das Gâteaux-Differential. Inom matematik, särskilt flervariabelanalys, är riktningsderivata ett mått på hur snabbt en funktion förändras i en viss riktning. Givet en reellvärd funktion f, en punkt a och en linje x = a + tv där v är en enhetsvektor, ges riktningsderivatan i riktningen v av Med hjälp av gradienten kan riktningsderivatan även uttryckas på den mer praktiska formen . Riktningsderivatan utgör en generalisering till godtyckliga riktningar av den partiella derivatan, som fås då v sätts lika med en basvektor. Em matemática, a derivada direcional de uma função multivariável diferenciável ao longo de um dado vetor v em um dado ponto x intuitivamente representa a taxa instantânea de variação da função, movendo-se através de x com uma velocidade especificada por v. Ela, portanto, generaliza a noção de derivada parcial, em que a taxa de mudança é tomada ao longo de uma curva em um sistema de coordenadas curvilíneo, com todas as outras coordenadas sendo constantes. A derivada direcional é um caso especial da . In de analyse is de richtingsafgeleide van een functie van meer variabelen een generalisatie van het begrip partiële afgeleide, waarvan de richting altijd langs een van de coördinaatassen ligt. De richtingsafgeleide breidt dit uit naar een willekeurige richting. De richtingsafgeleide is dus de verandering van de functie in een bepaalde richting. Bij een differentieerbare functie is in het punt de richtingsafgeleide van volgens een vector gedefinieerd als de limiet: In de praktijk gebeurt de berekening als het inwendig product van de gradiënt en de vector : 数学において、多変数微分可能関数のある与えられた点 x におけるある与えられたベクトル v に沿った方向微分（ほうこうびぶん、英: directional derivative）とは、直感的には、v によって特徴づけられた速度で x を通過する時の、その関数の即時的な変化率を意味する。したがって、他のすべての座標は定数として、ある一つのに沿った変化率を取るような、偏微分の概念を一般化するものである。 方向微分は、ガトー微分の特別な場合である。 En matemàtiques, la derivada direccional d'una funció derivable de diverses variables al llarg d'un vector V en un punt donat P, intuïtivament, representa la raó instantània de canvi de la funció quan es passa per P resseguint la direcció de V. Això per tant generalitza la noció de derivada parcial, en la qual la direcció és sempre paral·lela a un dels . La derivada direccional és un cas especial de la derivada de Gâteaux. В математическом анализе производная по направлению — одно из обобщений понятия производной на случай функции нескольких переменных.Производная по направлению показывает, как быстро значение функции изменяется при движении в данном направлении. في الرياضيات، يمثل المشتق الاتجاهي لدالة تفاضلية متعددة المتغيرات على طول متجه معين عند نقطة معينة معدل تغير هذه الدالة على طول إتجاه هذا المتجه . لذلك فهو يعمم فكرة المشتق الجزئي، حيث يتم أخذ معدل التغير على طول أحد منحنيات الإحداثيات المنحنية، وتكون جميع الإحداثيات الأخرى ثابتة. In analisi matematica, la derivata direzionale è uno strumento che generalizza il concetto di derivata parziale di una funzione in più variabili estendendolo a una qualsiasi direzione, individuata da un vettore nell'origine. In geometria differenziale la derivata direzionale è generalizzata ad una varietà differenziabile tramite il concetto di derivata covariante. En análisis matemático, la derivada direccional (o bien derivada según una dirección) de una función multivariable, en la dirección de un vector dado, representa la tasa de cambio de la función en la dirección de dicho vector. Este concepto generaliza las derivadas parciales, puesto que estas son derivadas direccionales según la dirección de los respectivos ejes coordenados. En analyse mathématique, la notion de dérivée directionnelle permet de quantifier la variation locale d'une fonction dépendant de plusieurs variables, en un point donné et le long d'une direction donnée dans l'espace de ces variables. Dans la version la plus simple, la dérivée directionnelle généralise la notion de dérivées partielles, dans le sens où l'on retrouve ces dernières en prenant comme directions de dérivation les axes de coordonnées. 方向導數是分析学特别是多元微积分中的概念。一个标量场在某点沿着某个向量方向上的方向导数，描绘了该点附近标量场沿着该向量方向变动时的瞬时变化率。方向導數是偏导数的概念的推广，也是加托导数的一个特例。 In mathematics, the directional derivative of a multivariable differentiable (scalar) function along a given vector v at a given point x intuitively represents the instantaneous rate of change of the function, moving through x with a velocity specified by v. The directional derivative of a scalar function f with respect to a vector v at a point (e.g., position) x may be denoted by any of the following: У математиці, зокрема математичному аналізі похідною за напрямком у деякій точці називається величина, що інтуїтивно показує швидкість зміни значення функції під час руху в напрямку деякого вектора. Поняття похідної за напрямком узагальнює часткові похідні, які є похідними в напрямку координатних прямих. У випадку аналізу на многовидах узагальненням похідної за напрямком є дотичний вектор. Pochodna kierunkowa – pochodna funkcji wielu zmiennych obliczona w kierunku dowolnego wektora jednostkowego Pochodna kierunkowa jest uogólnieniem pojęcia pochodnej cząstkowej na dowolne kierunki, przy czym pochodne cząstkowe są tożsame z pochodnymi w kierunkach wektorów jednostkowych bazy układu współrzędnych.
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October 2012
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In standard single-variable calculus, the derivative of a smooth function f is defined by : This can be rearranged to find f: : It follows that is a translation operator. This is instantly generalized to multivariable functions f : Here is the directional derivative along the infinitesimal displacement ε. We have found the infinitesimal version of the translation operator: : It is evident that the group multiplication law U'U=U takes the form : So suppose that we take the finite displacement λ and divide it into N parts , so that λ/N=ε. In other words, : Then by applying U N times, we can construct U: : We can now plug in our above expression for U: : Using the identity : we have : And since U'f=f we have : Q.E.D. As a technical note, this procedure is only possible because the translation group forms an Abelian subgroup in the Poincaré algebra. In particular, the group multiplication law UU = U should not be taken for granted. We also note that Poincaré is a connected Lie group. It is a group of transformations T that are described by a continuous set of real parameters . The group multiplication law takes the form : Taking as the coordinates of the identity, we must have : The actual operators on the Hilbert space are represented by unitary operators U. In the above notation we suppressed the T; we now write U as U. For a small neighborhood around the identity, the power series representation : is quite good. Suppose that U form a non-projective representation, i.e., : The expansion of f to second power is : After expanding the representation multiplication equation and equating coefficients, we have the nontrivial condition : Since is by definition symmetric in its indices, we have the standard Lie algebra commutator: : with C the structure constant. The generators for translations are partial derivative operators, which commute: : This implies that the structure constants vanish and thus the quadratic coefficients in the f expansion vanish as well. This means that f is simply additive: : and thus for abelian groups, : Q.E.D.
dbp:talk
Verifiability of definition
dbp:title
Proof of the last equation
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Pochodna kierunkowa – pochodna funkcji wielu zmiennych obliczona w kierunku dowolnego wektora jednostkowego Pochodna kierunkowa jest uogólnieniem pojęcia pochodnej cząstkowej na dowolne kierunki, przy czym pochodne cząstkowe są tożsame z pochodnymi w kierunkach wektorów jednostkowych bazy układu współrzędnych. In der Mathematik ist die Richtungsableitung einer von mehreren Variablen abhängigen Funktion die momentane Änderungsrate dieser Funktion in einer durch einen Vektor vorgegebenen Richtung. Eine Verallgemeinerung der Richtungsableitung auf unendlichdimensionale Räume ist das Gâteaux-Differential. En análisis matemático, la derivada direccional (o bien derivada según una dirección) de una función multivariable, en la dirección de un vector dado, representa la tasa de cambio de la función en la dirección de dicho vector. Este concepto generaliza las derivadas parciales, puesto que estas son derivadas direccionales según la dirección de los respectivos ejes coordenados. 方向導數是分析学特别是多元微积分中的概念。一个标量场在某点沿着某个向量方向上的方向导数，描绘了该点附近标量场沿着该向量方向变动时的瞬时变化率。方向導數是偏导数的概念的推广，也是加托导数的一个特例。 In mathematics, the directional derivative of a multivariable differentiable (scalar) function along a given vector v at a given point x intuitively represents the instantaneous rate of change of the function, moving through x with a velocity specified by v. The directional derivative of a scalar function f with respect to a vector v at a point (e.g., position) x may be denoted by any of the following: It therefore generalizes the notion of a partial derivative, in which the rate of change is taken along one of the curvilinear coordinate curves, all other coordinates being constant.The directional derivative is a special case of the Gateaux derivative. In analisi matematica, la derivata direzionale è uno strumento che generalizza il concetto di derivata parziale di una funzione in più variabili estendendolo a una qualsiasi direzione, individuata da un vettore nell'origine. In geometria differenziale la derivata direzionale è generalizzata ad una varietà differenziabile tramite il concetto di derivata covariante. En matemàtiques, la derivada direccional d'una funció derivable de diverses variables al llarg d'un vector V en un punt donat P, intuïtivament, representa la raó instantània de canvi de la funció quan es passa per P resseguint la direcció de V. Això per tant generalitza la noció de derivada parcial, en la qual la direcció és sempre paral·lela a un dels . La derivada direccional és un cas especial de la derivada de Gâteaux. Em matemática, a derivada direcional de uma função multivariável diferenciável ao longo de um dado vetor v em um dado ponto x intuitivamente representa a taxa instantânea de variação da função, movendo-se através de x com uma velocidade especificada por v. Ela, portanto, generaliza a noção de derivada parcial, em que a taxa de mudança é tomada ao longo de uma curva em um sistema de coordenadas curvilíneo, com todas as outras coordenadas sendo constantes. A derivada direcional é um caso especial da . Inom matematik, särskilt flervariabelanalys, är riktningsderivata ett mått på hur snabbt en funktion förändras i en viss riktning. Givet en reellvärd funktion f, en punkt a och en linje x = a + tv där v är en enhetsvektor, ges riktningsderivatan i riktningen v av Med hjälp av gradienten kan riktningsderivatan även uttryckas på den mer praktiska formen . Riktningsderivatan utgör en generalisering till godtyckliga riktningar av den partiella derivatan, som fås då v sätts lika med en basvektor. En analyse mathématique, la notion de dérivée directionnelle permet de quantifier la variation locale d'une fonction dépendant de plusieurs variables, en un point donné et le long d'une direction donnée dans l'espace de ces variables. Dans la version la plus simple, la dérivée directionnelle généralise la notion de dérivées partielles, dans le sens où l'on retrouve ces dernières en prenant comme directions de dérivation les axes de coordonnées. Le concept de dérivée directionnelle est fondamental en analyse. Il est parfois le point de départ pour définir la dérivée d'une fonction, qui décrit comment sa valeur est modifiée lorsque ses arguments varient de manière infinitésimale mais arbitrairement (et non plus le long d'une direction préfixée) : la est définie de cette manière, mais aussi le sous-différentiel d'une fonction convexe et le sous-différentiel de Clarke d'une fonction lipschitzienne. C'est aussi un concept précieux pour obtenir des conditions nécessaires d'optimalité en optimisation. On comprend alors pourquoi l'on a introduit de multiples notions de dérivée directionnelle, qui sont plus ou moins bien adaptées à la régularité (i.e. au caractère lisse) de la fonction étudiée et dont l'utilité et le domaine d'application dépendent de leurs propriétés. Les développements sont très raffinés et se poursuivent ; l'étude des liens entre eux mériterait une monographie. Nous nous contenterons ici de donner les principales définitions en commençant par les plus familières et les plus simples. В математическом анализе производная по направлению — одно из обобщений понятия производной на случай функции нескольких переменных.Производная по направлению показывает, как быстро значение функции изменяется при движении в данном направлении. 数学において、多変数微分可能関数のある与えられた点 x におけるある与えられたベクトル v に沿った方向微分（ほうこうびぶん、英: directional derivative）とは、直感的には、v によって特徴づけられた速度で x を通過する時の、その関数の即時的な変化率を意味する。したがって、他のすべての座標は定数として、ある一つのに沿った変化率を取るような、偏微分の概念を一般化するものである。 方向微分は、ガトー微分の特別な場合である。 In de analyse is de richtingsafgeleide van een functie van meer variabelen een generalisatie van het begrip partiële afgeleide, waarvan de richting altijd langs een van de coördinaatassen ligt. De richtingsafgeleide breidt dit uit naar een willekeurige richting. De richtingsafgeleide is dus de verandering van de functie in een bepaalde richting. Bij een differentieerbare functie is in het punt de richtingsafgeleide van volgens een vector gedefinieerd als de limiet: In de praktijk gebeurt de berekening als het inwendig product van de gradiënt en de vector : Meestal wordt de definitie aangescherpt door van te eisen dat het een eenheidsvector is. Uit een willekeurige vector kan een eenheidsvector worden afgeleid door deze te normeren. De aanscherping zorgt ervoor dat alleen de richting van relevant is en niet de grootte. De richtingsafgeleide is het grootst in de richting van de gradiënt. Als scalair product van de gradiënt en een vector met norm 1, wordt de grootste waarde bereikt als de hoek tussen beide 0 is. De richtingsafgeleide in de richting van de positieve -as is gelijk aan de partiële afgeleide naar . In de richting van de negatieve -as is hij gelijk aan –1 maal de partiële afgeleide naar . Dit geldt ook voor de andere variabelen van de gebruikte functie. في الرياضيات، يمثل المشتق الاتجاهي لدالة تفاضلية متعددة المتغيرات على طول متجه معين عند نقطة معينة معدل تغير هذه الدالة على طول إتجاه هذا المتجه . لذلك فهو يعمم فكرة المشتق الجزئي، حيث يتم أخذ معدل التغير على طول أحد منحنيات الإحداثيات المنحنية، وتكون جميع الإحداثيات الأخرى ثابتة. У математиці, зокрема математичному аналізі похідною за напрямком у деякій точці називається величина, що інтуїтивно показує швидкість зміни значення функції під час руху в напрямку деякого вектора. Поняття похідної за напрямком узагальнює часткові похідні, які є похідними в напрямку координатних прямих. У випадку аналізу на многовидах узагальненням похідної за напрямком є дотичний вектор.
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