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Um bilhar dinâmico é um sistema dinâmico no qual uma partícula alterna entre movimentos rectilínios e reflexões especulares num contorno ou fronteira. Quando a partícula impacta contra o contorno se reflexa na perdida de sua velocidade. Os sistemas de bilhares dinâmicos são idealizações dos jogos de bilhar, mas onde a região contida pelo contorno pode ter formas distintas da retangular e ainda que possua numerosas dimensões. O hamiltoniano de uma partícula de massa "m" que se descoloca em forma livre sem fricção sobre uma superfície é: Un billar dinámico es un sistema dinámico en el cual una partícula alterna entre movimiento rectilíneo y reflexiones especulares en un contorno o frontera. Cuando la partícula impacta contra el contorno se refleja en él sin pérdida de su velocidad. Los sistemas de billares dinámicos son idealizaciones hamiltonianas de los juegos de billar, pero donde la región contenida por el contorno puede tener formas distintas de la rectangular y aún poseer numerosas dimensiones. Los billares dinámicos también se pueden estudiar en geometrías no euclidianas; en efecto los primeros estudios de los billares establecieron su movimiento ergódico sobre superficies de curvatura negativa constante. El estudio de los billares que se ubican por fuera de una región, en lugar de estar contenidos dentro de una reg Un billard mathématique est un système dynamique dans lequel une particule alterne des mouvements libres sur une surface et des rebonds sur une paroi, sans perte de vitesse. L'angle de rebond est identique à l'angle d'incidence au moment de choc. Ces systèmes dynamiques sont des idéalisations hamiltoniennes du jeu de billard, mais où le domaine encadré par la frontière peut avoir d'autres formes qu'un rectangle et même être multidimensionnel. Les billards dynamiques peuvent aussi être étudiés sur des géométries non euclidiennes. De fait, les toutes premières études de billards établissaient leur mouvement ergodique sur des surfaces de courbure négative constante. L'étude de billards où la particule évolue à l'extérieur — et non à intérieur — d'une zone donnée s'appelle la théorie du billar Dynamisches Billard wird ein dynamisches System genannt, welches die Bewegung eines Massenpunktes beschreibt, der sich kräftefrei in einem Gebiet mit stückweise glattem Rand bewegt und an den Rändern des Gebietes elastisch reflektiert wird. Bei einer elastischen Reflexion bzw. einem elastischem Stoß an einem festen Gegenstand bleiben Energie, Impuls und Geschwindigkeit des Teilchens erhalten und der Einfallswinkel ist gleich dem Ausfallswinkel. Es ist daher ein Hamiltonsches System. A dynamical billiard is a dynamical system in which a particle alternates between free motion (typically as a straight line) and specular reflections from a boundary. When the particle hits the boundary it reflects from it without loss of speed (i.e. elastic collisions). Billiards are Hamiltonian idealizations of the game of billiards, but where the region contained by the boundary can have shapes other than rectangular and even be multidimensional. Dynamical billiards may also be studied on non-Euclidean geometries; indeed, the first studies of billiards established their ergodic motion on surfaces of constant negative curvature. The study of billiards which are kept out of a region, rather than being kept in a region, is known as outer billiard theory. البلياردو الديناميكي نظام ديناميكي يتناوب فيه الجسيم بين الحركة الحرة والانعكاسات المنتظمة من إحدى الحدود. وعندما يصطدم الجسيم بالحد فإنه ينعكس منه بدون فقدان السرعة.
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Un billar dinámico es un sistema dinámico en el cual una partícula alterna entre movimiento rectilíneo y reflexiones especulares en un contorno o frontera. Cuando la partícula impacta contra el contorno se refleja en él sin pérdida de su velocidad. Los sistemas de billares dinámicos son idealizaciones hamiltonianas de los juegos de billar, pero donde la región contenida por el contorno puede tener formas distintas de la rectangular y aún poseer numerosas dimensiones. Los billares dinámicos también se pueden estudiar en geometrías no euclidianas; en efecto los primeros estudios de los billares establecieron su movimiento ergódico sobre superficies de curvatura negativa constante. El estudio de los billares que se ubican por fuera de una región, en lugar de estar contenidos dentro de una región, es denominado teoría de . El movimiento de la partícula en el billar es una línea recta, con energía constante, entre reflexiones en la frontera (una geodésica para toda curvatura de la mesa). Todas las reflexiones son : el ángulo de incidencia justo antes del impacto es igual al ángulo de reflexión justo después del choque. La sucesión de reflexiones se denomina el mapa del billar y caracteriza por completo el movimiento de la partícula. Los billares capturan toda la complejidad de los , desde integrabilidad a movimiento caótico, sin las dificultades de integrar las ecuaciones de movimiento para determinar su mapa de Poincaré. Birkhoff demostró que un sistema de billar con una mesa elíptica es integrable. Los billares unidimensionales (o sea hard rods) poseen caos determinista y son ergódicos si tienen diferentes masas. Los problemas matemáticos de los billares unidimensionales con distintas masas y el de un único billar con una caja de contorno plano son equivalentes. La propiedad caótica significa que los billares son muestreadores extremadamente eficientes de su espacio de fases. Um bilhar dinâmico é um sistema dinâmico no qual uma partícula alterna entre movimentos rectilínios e reflexões especulares num contorno ou fronteira. Quando a partícula impacta contra o contorno se reflexa na perdida de sua velocidade. Os sistemas de bilhares dinâmicos são idealizações dos jogos de bilhar, mas onde a região contida pelo contorno pode ter formas distintas da retangular e ainda que possua numerosas dimensões. Os bilhares dinâmicos podem também ser estudados em geometria não euclidiana; no efeito os primeiros estudos dos bilhares estabeleceram seu sobre as superfícies de curvatura negativa constante. O estudo dos bilhares que se unem por fora de uma região, no lugar de estar contidos dentro de uma região, é conhecido como a teoria de bilhares exteriores. O movimento da partícula no bilhar é uma linha reta, com energia constante, entre reflexições na fronteira (uma geodésica para toda curvatura da superfície). Todas as reflexições são especulares: o ângulo de incidencia justo antes do impacto é igual ao ângulo de reflexão justo depois do choque. A sucessão de reflexições se denomina o mapa do bilhar e caracreriza completamente o movimento da partícula. Os bilhares capturam toda a complexidade dos sistemas hamiltonianos, desde integrabilidade ao movimento caótico, sem as dificuldades de integrar as equações de movimento para determinar seu mapa de Poincaré. demonstrou que um sistema de bilhar com uma superfície elíptica é integrável. Os bilhares unidimensionais (ou seja "hard rods") possuem um caos determinístico e são ergódicos se tem diferentes massas. Os problemas matemáticos dos bilhares unidimensionais com distintas massas e o de um único bilhar com uma caixa de contorno plano são equivalentes. A propriedade caótica significa que os bilhares são mostradores extremadamente eficientes de seu espaço de fase. O hamiltoniano de uma partícula de massa "m" que se descoloca em forma livre sem fricção sobre uma superfície é: onde é um potencial que vale zero dentro da região onde se move a partícula, é infinito em todos os outros locais: Este tipo de potencial garante uma reflexão especular na borda. O término cinético garante que a partícula se mova em linha reta, sem nenhuma troca em sua energia. Se a partícula se desloca em uma variedade(superfície), então o hamiltoniano é representado por: onde é o tensor métrico em um ponto . Devido a estrutura muito simples deste hamiltoniano, as equações de movimento da partícula, as , não são mais que as na variedade: a partícula se desloca ao largo de geodésicas. A dynamical billiard is a dynamical system in which a particle alternates between free motion (typically as a straight line) and specular reflections from a boundary. When the particle hits the boundary it reflects from it without loss of speed (i.e. elastic collisions). Billiards are Hamiltonian idealizations of the game of billiards, but where the region contained by the boundary can have shapes other than rectangular and even be multidimensional. Dynamical billiards may also be studied on non-Euclidean geometries; indeed, the first studies of billiards established their ergodic motion on surfaces of constant negative curvature. The study of billiards which are kept out of a region, rather than being kept in a region, is known as outer billiard theory. The motion of the particle in the billiard is a straight line, with constant energy, between reflections with the boundary (a geodesic if the Riemannian metric of the billiard table is not flat). All reflections are specular: the angle of incidence just before the collision is equal to the angle of reflection just after the collision. The sequence of reflections is described by the billiard map that completely characterizes the motion of the particle. Billiards capture all the complexity of Hamiltonian systems, from integrability to chaotic motion, without the difficulties of integrating the equations of motion to determine its Poincaré map. Birkhoff showed that a billiard system with an elliptic table is integrable. Dynamisches Billard wird ein dynamisches System genannt, welches die Bewegung eines Massenpunktes beschreibt, der sich kräftefrei in einem Gebiet mit stückweise glattem Rand bewegt und an den Rändern des Gebietes elastisch reflektiert wird. Bei einer elastischen Reflexion bzw. einem elastischem Stoß an einem festen Gegenstand bleiben Energie, Impuls und Geschwindigkeit des Teilchens erhalten und der Einfallswinkel ist gleich dem Ausfallswinkel. Es ist daher ein Hamiltonsches System. Abhängig von der Wahl des betrachteten Gebietes kann ein dynamisches Billard alle Verhaltensweisen, von integrabel bis chaotisch zeigen. Ein Vorteil eines Billards gegenüber anderen Hamiltonschen Modellen ist, dass sich das Verhalten auf eine Billard-Abbildung reduzieren lässt, ohne die Bewegungsgleichungen integrieren zu müssen. Eine Billard-Abbildung ist eine spezielle Poincaré-Abbildung, welche die Koordinaten und Winkel bei einer Reflexion auf die Koordinaten und Winkel der nächsten Reflexion abbildet. البلياردو الديناميكي نظام ديناميكي يتناوب فيه الجسيم بين الحركة الحرة والانعكاسات المنتظمة من إحدى الحدود. وعندما يصطدم الجسيم بالحد فإنه ينعكس منه بدون فقدان السرعة. Un billard mathématique est un système dynamique dans lequel une particule alterne des mouvements libres sur une surface et des rebonds sur une paroi, sans perte de vitesse. L'angle de rebond est identique à l'angle d'incidence au moment de choc. Ces systèmes dynamiques sont des idéalisations hamiltoniennes du jeu de billard, mais où le domaine encadré par la frontière peut avoir d'autres formes qu'un rectangle et même être multidimensionnel. Les billards dynamiques peuvent aussi être étudiés sur des géométries non euclidiennes. De fait, les toutes premières études de billards établissaient leur mouvement ergodique sur des surfaces de courbure négative constante. L'étude de billards où la particule évolue à l'extérieur — et non à intérieur — d'une zone donnée s'appelle la théorie du billard externe. Entre chaque rebond, le mouvement de la particule dans le billard s'effectue à énergie constante. C'est une ligne droite, ou une géodésique si la métrique riemannienne de la table du billard n'est pas plane. Les questions posées par les billards mettent en jeu de nombreuses notions de géométrie, d'analyse (notamment de topologie) de probabilités. Les billards mathématiques capturent toute la complexité des systèmes hamiltoniens, de l'intégrabilité au mouvement chaotique, sans les difficultés d'avoir à intégrer les équations du mouvement pour déterminer sa carte de Poincaré. Birkhoff a démontré qu’un système de billard avec une table elliptique est intégrable.
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