This HTML5 document contains 240 embedded RDF statements represented using HTML+Microdata notation.

The embedded RDF content will be recognized by any processor of HTML5 Microdata.

Namespace Prefixes

Prefix	IRI
dbpedia-de	http://de.dbpedia.org/resource/
dcterms	http://purl.org/dc/terms/
yago-res	http://yago-knowledge.org/resource/
dbo	http://dbpedia.org/ontology/
n20	http://dbpedia.org/resource/File:
foaf	http://xmlns.com/foaf/0.1/
dbpedia-ko	http://ko.dbpedia.org/resource/
dbpedia-es	http://es.dbpedia.org/resource/
n19	https://global.dbpedia.org/id/
dbpedia-he	http://he.dbpedia.org/resource/
yago	http://dbpedia.org/class/yago/
dbt	http://dbpedia.org/resource/Template:
dbpedia-ru	http://ru.dbpedia.org/resource/
dbpedia-uk	http://uk.dbpedia.org/resource/
rdfs	http://www.w3.org/2000/01/rdf-schema#
freebase	http://rdf.freebase.com/ns/
dbpedia-pt	http://pt.dbpedia.org/resource/
dbpedia-pl	http://pl.dbpedia.org/resource/
n13	http://commons.wikimedia.org/wiki/Special:FilePath/
rdf	http://www.w3.org/1999/02/22-rdf-syntax-ns#
dbpedia-ar	http://ar.dbpedia.org/resource/
owl	http://www.w3.org/2002/07/owl#
wikipedia-en	http://en.wikipedia.org/wiki/
dbpedia-fr	http://fr.dbpedia.org/resource/
dbp	http://dbpedia.org/property/
dbc	http://dbpedia.org/resource/Category:
prov	http://www.w3.org/ns/prov#
xsdh	http://www.w3.org/2001/XMLSchema#
dbpedia-id	http://id.dbpedia.org/resource/
dbpedia-nl	http://nl.dbpedia.org/resource/
wikidata	http://www.wikidata.org/entity/
dbr	http://dbpedia.org/resource/
dbpedia-ja	http://ja.dbpedia.org/resource/

Statements

Subject Item

dbr:Free_abelian_group

rdf:type

yago:PhysicalEntity100001930 yago:WikicatFreeAlgebraicStructures owl:Thing yago:Whole100003553 yago:Structure104341686 yago:Artifact100021939 yago:YagoGeoEntity yago:Object100002684 yago:YagoPermanentlyLocatedEntity

rdfs:label

自由アーベル群 Grup abelian bebas Vrije abelse groep Grupo abeliano libre Вільна абелева група Freie abelsche Gruppe Groupe abélien libre زمرة أبيلية حرة Grupo abeliano livre Свободная абелева группа 자유 아벨 군 Free abelian group Grupa abelowa wolna

rdfs:comment

В математике свободная абелева группа (свободный Z-модуль) — это абелева группа, имеющая базис, то есть такое подмножество элементов группы, что для любого её элемента существует единственное его представление в виде линейной комбинации базисных элементов с целыми коэффициентами, из которых только конечное число являются ненулевыми. Элементы свободной абелевой группы с базисом B называют также формальными суммами над B. Свободные абелевы группы и формальные суммы используются в алгебраической топологии при определении групп цепей и в алгебраической геометрии при определении дивизоров. In de abstracte algebra en meer specifiek in de groepentheorie is een vrije abelse groep een abelse groep die een "basis" heeft in de zin dat elk element van de groep op een en slechts een manier geschreven kan worden als een eindige lineaire combinatie met geheeltallige coëfficiënten van elementen van de basis. Vandaar dat vrij abelse groepen over een basis ook wel bekendstaan als formele sommen over . Informeel kan een element van een vrije abelse groep gezien worden als een formele som of als getekende multisets met eindig veel elementen van de basis waarbij de coëfficiënt van een basiselement opgevat wordt als de van dat element. 抽象代数学において、自由アーベル群 (free abelian group) あるいは自由 Z-加群 (free Z-module) とは基底をもったアーベル群のことを言う。 * アーベル群であるという条件は、結合的、可換、可逆な二項演算をもった集合であることを意味し、慣習的に演算は「加法」として、逆元を加えることを「減法」としてとらえられる。 * 基底とは、その群の任意の元が有限個の例外を除くすべての元が 0 となる整数係数線型結合としてちょうど一通りの方法で書けるような部分集合を言う。 したがって自由アーベル群の任意の元は、基底に属する元に「加法」や「減法」を有限回施すことで得られる。実例として整数全体の成す集合は加法に関して単元集合 {1} を基底とする自由アーベル群になる。実際、整数の加法は可換かつ結合的で、減法は加法逆元を加えることに等しく、各整数は 1 を必要な個数だけ加えたり引いたりすれば得られ、任意の整数はそれが 1 の何倍かを表す整数として一意に表すことができる。 自由アーベル群はその性質により、ベクトル空間とよく似た性格を持つ。代数的位相幾何学における応用として、自由アーベル群はの定義に用いられ、また代数幾何学において因子の定義に用いられる。もまた自由アーベル群の例であり、格子論では実線型空間の自由アーベル部分群が調べられる。 In der Mathematik ist eine freie abelsche Gruppe eine abelsche Gruppe, die als -Modul eine Basis hat. Im Gegensatz zu Vektorräumen hat nicht jede abelsche Gruppe eine Basis, deshalb gibt es den spezielleren Begriff der freien abelschen Gruppe. Вільна абелева група — абелева група, кожен елемент якої може бути однозначно представлений у вигляді лінійної комбінації елементів деякої множини з цілочисловими коефіцієнтами. Як і у випадку з векторними просторами, дану множину називають базисом. Вільні абелеві групи не є вільними групами, за винятком циклічної групи і тривіальної групи, що складається з одного елемента. Em álgebra abstrata, um grupo abeliano livre ou Z-módulo livre é um grupo abeliano com uma base. Em outras palavras, é um conjunto com uma operação binária associativa, comutativa e invertível, e sua base é um subconjunto de seus elementos tal que todo elemento do grupo pode ser escrito de forma única como uma combinação linear de elementos da base com coeficientes inteiros, dos quais apenas uma quantidade finita é diferente de zero. Os elementos de um grupo abeliano livre com base B também são denominados somas formais sobre B. Informalmente, somas formais também podem ser vistas como multiconjuntos com sinal com elementos em B. Grupos abelianos livres e somas formais têm aplicações em topologia algébrica, em que eles são utilizados para definir , e em geometria algébrica, em que são util In mathematics, a free abelian group is an abelian group with a basis. Being an abelian group means that it is a set with an addition operation that is associative, commutative, and invertible. A basis, also called an integral basis, is a subset such that every element of the group can be uniquely expressed as an integer combination of finitely many basis elements. For instance the two-dimensional integer lattice forms a free abelian group, with coordinatewise addition as its operation, and with the two points (1,0) and (0,1) as its basis. Free abelian groups have properties which make them similar to vector spaces, and may equivalently be called free -modules, the free modules over the integers. Lattice theory studies free abelian subgroups of real vector spaces. In algebraic topology, fr En álgebra abstracta, un grupo abeliano libre es un grupo abeliano que tiene una base en el sentido de que cada elemento del grupo se puede escribir de manera unívoca como combinación lineal de los elementos de la base, con coeficientes enteros. Por lo tanto, un grupo abeliano libre sobre una base B también se conoce como un conjunto de sumas formales sobre B. De manera informal, un elemento de un grupo abeliano libre también puede ser visto como un multiconjunto signado de elementos de B. Grupa abelowa wolna – grupa abelowa będąca zarazem algebrą wolną. Grupa abelowa jest wolna wtedy i tylko wtedy, gdy ma podzbiór o tej własności, że każdy element grupy daje się jednoznacznie przedstawić jako kombinacja liniowa o współczynnikach całkowitych elementów tego zbioru. Podobnie jak w przypadku przestrzeni liniowych, zbiór taki nazywany jest bazą. Z punktu widzenia teorii modułów, grupy abelowe wolne są nad pierścieniem liczb całkowitych. 군론에서 자유 아벨 군(自由Abel群, 영어: free Abelian group)은 원소들이 가환성 밖의 아무런 추가 항등식을 만족시키지 않는 아벨 군이다. En mathématiques, un groupe abélien libre est un groupe abélien qui possède une base, c'est-à-dire une partie B telle que tout élément du groupe s'écrive de façon unique comme combinaison linéaire à coefficients entiers (relatifs) d'éléments de B. Comme les espaces vectoriels, les groupes abéliens libres sont classifiés (à isomorphisme près) par leur rang, défini comme le cardinal d'une base, et tout sous-groupe d'un groupe abélien libre est lui-même abélien libre. Tout groupe abélien est donc isomorphe au quotient d'un groupe abélien libre par un sous-groupe abélien libre. في الجبر التجريدي، الزمرة الأبيلية الحرة هي زمرة أبيلية ذات أساس (مجموعة جزئية من عناصر أساسية) حيث كل عنصر من هذه الزمرة يمكن أن يكتب بطريقة وحيدة ووحيدة فقط على شكل تركيبة خطية من عناصر هذا الأساس باستخدام معاملات صحيحة. للزمر الأبيلية خصائص جميلة تجعلها مشابهة للفضاءات الاتجاهية. Dalam matematika, grup abelian bebas atau modul Z bebas adalah grup abelian dengan , atau, ekuivalen, di atas bilangan bulat.Menjadi grup abelian berarti bahwa ini adalah himpunan dengan operasi penjumlahan yaitu asosiatif, komutatif, dan dapat dibalik. Basis adalah himpunan bagian sehingga setiap elemen grup dapat diekspresikan secara unik sebagai kombinasi linear elemen basis dengan koefisien bilangan bulat. Misalnya, bilangan bulat dengan penjumlahan membentuk grup abelian gratis dengan basis {1}. Grup abelian bebas memiliki properti yang membuatnya mirip dengan ruang vektor. Mereka memiliki aplikasi di topologi aljabar, di mana mereka digunakan untuk mendefinisikan , dan di geometri aljabar, di mana mereka digunakan untuk mendefinisikan . juga merupakan contoh dari kelompok abelian

owl:differentFrom

dbr:Free_group

foaf:depiction

n13:Lattice_in_R2.svg n13:Z4_over_z4minus1.jpg

dcterms:subject

dbc:Free_algebraic_structures dbc:Abelian_group_theory dbc:Properties_of_groups

dbo:wikiPageID

247296

dbo:wikiPageRevisionID

1124150997

dbo:wikiPageWikiLink

dbr:Algebraic_curve dbr:Infinite_cyclic_group dbr:Multiplication dbr:Trivial_group dbr:Invertible_function dbr:Short_exact_sequence dbr:Nielsen–Schreier_theorem dbr:Chain_(algebraic_topology) dbr:Subgroup dbr:Uncountably_infinite dbr:Axiom_of_choice dbr:Set_(mathematics) dbr:Fundamental_theorem_of_arithmetic dbr:Surjective dbr:Commutator dbr:Real_number dbr:Countably_infinite dbr:Well-ordering_principle dbr:Commutative dbr:Pointwise dbr:Commutative_property dbr:Lattice_(group) dbr:Category_of_groups dbr:Group_(mathematics) dbr:Fundamental_pair_of_periods dbr:Mathematics dbr:Operation_(mathematics) dbr:Injective dbr:Identity_element dbr:Free_resolution dbr:Complex_number dbr:Category_of_abelian_groups dbr:Cartesian_product dbr:Mathematical_proof dbr:Divisible_group dbr:Manifold dbr:Submodule dbr:Automorphism_group dbr:Finitely_generated_module dbr:Category_(mathematics) dbr:Cartesian_coordinates dbr:Maximal_element dbr:Ernst_Specker dbr:Serge_Lang dbr:Polynomial dbr:Vector_space dbr:Prime_number dbr:Meromorphic_function dbr:Universal_property dbr:Torsion_group dbr:Binary_operation dbr:Unit_(ring_theory) dbr:Finitely-generated_abelian_group dbr:General_linear_group dbr:Equivalence_relation dbr:Divisor_(algebraic_geometry) dbr:Inverse_element dbr:Torsion_(algebra) dbr:Projective_module dbr:Vector_addition dbr:Simplex dbc:Free_algebraic_structures dbr:Up_to dbr:Linear_combination dbr:Converse_(logic) dbr:Constructive_proof dbr:Homomorphism dbr:Bijection dbr:Second-order_logic dbr:Quotient_group dbr:Associative dbr:Homology_theory n20:Lattice_in_R2.svg dbc:Abelian_group_theory dbr:Integer_factorization dbr:Integer_lattice dbr:Involution_(mathematics) dbr:Empty_sum dbr:Inner_automorphism dbr:Minor_(linear_algebra) dbr:Direct_sum dbr:Additive_group dbr:Direct_sum_of_groups dbr:Additive_identity dbr:Empty_product dbr:Empty_set dbr:Zorn's_lemma dbr:Richard_Dedekind dbr:Free_object dbr:Cokernel dbr:Invariant_(mathematics) dbr:Reinhold_Baer dbr:Baer–Specker_group dbr:Free_module dbr:Rank_of_an_abelian_group dbr:Simplicial_complex dbr:Adjoint_functors dbr:Subset dbr:Singular_homology dbr:Subgroups_of_cyclic_groups dbr:Presentation_of_a_group dbr:Topological_space dbr:Algebraic_topology dbr:Rational_number dbr:Solomon_Lefschetz dbr:System_of_polynomial_equations dbr:Determinant dbr:Disjoint_union dbr:Homology_(mathematics) dbr:Group_ring dbr:Free_group dbr:First-order_theory dbr:Functor dbr:Ring_(mathematics) dbr:Forgetful_functor dbr:Smith_normal_form dbr:Direct_product_of_groups n20:Z4_over_z4minus1.jpg dbr:Scalar_multiplication dbr:Module_(mathematics) dbr:Kernel_(algebra) dbr:Scalar_(mathematics) dbr:Riemann_sphere dbr:Irving_Kaplansky dbr:Group_homomorphism dbr:Tensor_product_of_modules dbr:Function_composition dbr:Multiset dbr:Cardinality dbr:Zeros_and_poles dbr:Function_(mathematics) dbr:Factor_group dbr:Integer dbr:Abelian_group dbr:Equivalence_class dbr:Riemann_surface dbr:Chain_complex dbr:Group_automorphism dbr:Group_isomorphism dbr:Rational_function dbr:Unit_vector dbr:Generating_set_of_a_group dbr:Matrix_multiplication dbr:Group_action dbr:Finite_group dbr:Algebraic_variety dbr:Cardinal_number dbr:Greatest_common_divisor dbr:Additive_inverse dbr:Outer_automorphism dbr:Principal_ideal_domain dbr:0 dbr:Algebraic_geometry dbc:Properties_of_groups dbr:Matrix_(mathematics)

owl:sameAs

freebase:m.01kr_0 dbpedia-ru:Свободная_абелева_группа dbpedia-pl:Grupa_abelowa_wolna dbpedia-ja:自由アーベル群 dbpedia-es:Grupo_abeliano_libre dbpedia-pt:Grupo_abeliano_livre n19:TTJp dbpedia-uk:Вільна_абелева_група yago-res:Free_abelian_group dbpedia-de:Freie_abelsche_Gruppe dbpedia-nl:Vrije_abelse_groep dbpedia-fr:Groupe_abélien_libre dbpedia-he:חבורה_אבלית_חופשית wikidata:Q1454111 dbpedia-ar:زمرة_أبيلية_حرة dbpedia-ko:자유_아벨_군 dbpedia-id:Grup_abelian_bebas

dbp:wikiPageUsesTemplate

dbt:Distinguish dbt:Good_article dbt:Harvtxt dbt:R dbt:Short_description dbt:Main dbt:Sfnp dbt:Reflist

dbo:thumbnail

n13:Lattice_in_R2.svg?width=300

dbo:abstract

Em álgebra abstrata, um grupo abeliano livre ou Z-módulo livre é um grupo abeliano com uma base. Em outras palavras, é um conjunto com uma operação binária associativa, comutativa e invertível, e sua base é um subconjunto de seus elementos tal que todo elemento do grupo pode ser escrito de forma única como uma combinação linear de elementos da base com coeficientes inteiros, dos quais apenas uma quantidade finita é diferente de zero. Os elementos de um grupo abeliano livre com base B também são denominados somas formais sobre B. Informalmente, somas formais também podem ser vistas como multiconjuntos com sinal com elementos em B. Grupos abelianos livres e somas formais têm aplicações em topologia algébrica, em que eles são utilizados para definir , e em geometria algébrica, em que são utilizados para definir . 군론에서 자유 아벨 군(自由Abel群, 영어: free Abelian group)은 원소들이 가환성 밖의 아무런 추가 항등식을 만족시키지 않는 아벨 군이다. Вільна абелева група — абелева група, кожен елемент якої може бути однозначно представлений у вигляді лінійної комбінації елементів деякої множини з цілочисловими коефіцієнтами. Як і у випадку з векторними просторами, дану множину називають базисом. Вільні абелеві групи не є вільними групами, за винятком циклічної групи і тривіальної групи, що складається з одного елемента. In mathematics, a free abelian group is an abelian group with a basis. Being an abelian group means that it is a set with an addition operation that is associative, commutative, and invertible. A basis, also called an integral basis, is a subset such that every element of the group can be uniquely expressed as an integer combination of finitely many basis elements. For instance the two-dimensional integer lattice forms a free abelian group, with coordinatewise addition as its operation, and with the two points (1,0) and (0,1) as its basis. Free abelian groups have properties which make them similar to vector spaces, and may equivalently be called free -modules, the free modules over the integers. Lattice theory studies free abelian subgroups of real vector spaces. In algebraic topology, free abelian groups are used to define chain groups, and in algebraic geometry they are used to define divisors. The elements of a free abelian group with basis may be described in several equivalent ways. These include formal sums over , which are expressions of the form where each is a nonzero integer, each is a distinct basis element, and the sum has finitely many terms. Alternatively, the elements of a free abelian group may be thought of as signed multisets containing finitely many elements of , with the multiplicity of an element in the multiset equal to its coefficient in the formal sum. Another way to represent an element of a free abelian group is as a function from to the integers with finitely many nonzero values; for this functional representation, the group operation is the pointwise addition of functions. Every set has a free abelian group with as its basis. This group is unique in the sense that every two free abelian groups with the same basis are isomorphic. Instead of constructing it by describing its individual elements, a free abelian group with basis may be constructed as a direct sum of copies of the additive group of the integers, with one copy per member of . Alternatively, the free abelian group with basis may be described by a presentation with the elements of as its generators and with the commutators of pairs of members as its relators. The rank of a free abelian group is the cardinality of a basis; every two bases for the same group give the same rank, and every two free abelian groups with the same rank are isomorphic. Every subgroup of a free abelian group is itself free abelian; this fact allows a general abelian group to be understood as a quotient of a free abelian group by "relations", or as a cokernel of an injective homomorphism between free abelian groups. The only free abelian groups that are free groups are the trivial group and the infinite cyclic group. В математике свободная абелева группа (свободный Z-модуль) — это абелева группа, имеющая базис, то есть такое подмножество элементов группы, что для любого её элемента существует единственное его представление в виде линейной комбинации базисных элементов с целыми коэффициентами, из которых только конечное число являются ненулевыми. Элементы свободной абелевой группы с базисом B называют также формальными суммами над B. Свободные абелевы группы и формальные суммы используются в алгебраической топологии при определении групп цепей и в алгебраической геометрии при определении дивизоров. Как и векторные пространства, свободные абелевы группы классифицируются мощностью базиса; эта мощность не зависит от выбора базиса и называется рангом группы. En mathématiques, un groupe abélien libre est un groupe abélien qui possède une base, c'est-à-dire une partie B telle que tout élément du groupe s'écrive de façon unique comme combinaison linéaire à coefficients entiers (relatifs) d'éléments de B. Comme les espaces vectoriels, les groupes abéliens libres sont classifiés (à isomorphisme près) par leur rang, défini comme le cardinal d'une base, et tout sous-groupe d'un groupe abélien libre est lui-même abélien libre. Tout groupe abélien est donc isomorphe au quotient d'un groupe abélien libre par un sous-groupe abélien libre. في الجبر التجريدي، الزمرة الأبيلية الحرة هي زمرة أبيلية ذات أساس (مجموعة جزئية من عناصر أساسية) حيث كل عنصر من هذه الزمرة يمكن أن يكتب بطريقة وحيدة ووحيدة فقط على شكل تركيبة خطية من عناصر هذا الأساس باستخدام معاملات صحيحة. للزمر الأبيلية خصائص جميلة تجعلها مشابهة للفضاءات الاتجاهية. In der Mathematik ist eine freie abelsche Gruppe eine abelsche Gruppe, die als -Modul eine Basis hat. Im Gegensatz zu Vektorräumen hat nicht jede abelsche Gruppe eine Basis, deshalb gibt es den spezielleren Begriff der freien abelschen Gruppe. Man beachte, dass eine freie abelsche Gruppe nicht dasselbe ist wie eine freie Gruppe, die abelsch ist. In der Tat sind die meisten freien Gruppen nichtabelsch, und die meisten freien abelschen Gruppen sind keine freien Gruppen: Eine freie abelsche Gruppe ist genau dann auch eine freie Gruppe, wenn ihr Rang höchstens ist. Zur Vermeidung von Missverständnissen verwenden manche Autoren daher auch die Bezeichnung frei abelsche Gruppe, in der die Bezeichnung frei abelsch als ein einzelnes Attribut aufgefasst wird. Dalam matematika, grup abelian bebas atau modul Z bebas adalah grup abelian dengan , atau, ekuivalen, di atas bilangan bulat.Menjadi grup abelian berarti bahwa ini adalah himpunan dengan operasi penjumlahan yaitu asosiatif, komutatif, dan dapat dibalik. Basis adalah himpunan bagian sehingga setiap elemen grup dapat diekspresikan secara unik sebagai kombinasi linear elemen basis dengan koefisien bilangan bulat. Misalnya, bilangan bulat dengan penjumlahan membentuk grup abelian gratis dengan basis {1}. Grup abelian bebas memiliki properti yang membuatnya mirip dengan ruang vektor. Mereka memiliki aplikasi di topologi aljabar, di mana mereka digunakan untuk mendefinisikan , dan di geometri aljabar, di mana mereka digunakan untuk mendefinisikan . juga merupakan contoh dari kelompok abelian bebas, dan mempelajari ruang vektor nyata abelian bebas. Unsur-unsur dari kelompok abelian bebas dengan basis B dapat dijelaskan dengan beberapa cara yang setara. Hal ini termasuk jumlah formal di atas B , yang merupakan ekspresi dari formulir dimana masing-masing koefisien ai adalah bilangan bulat bukan nol, masing-masing faktor bi adalah elemen dasar yang berbeda, dan jumlahnya memiliki banyak suku yang tak terhingga. Atau, unsur-unsur dari kelompok abelian bebas dapat dianggap sebagai bertanda yang mengandung banyak unsur B , dengan banyaknya elemen dalam multiset sama dengan koefisiennya dalam jumlah formal. Cara lain untuk merepresentasikan elemen dari grup abelian bebas adalah sebagai fungsi dari B ke bilangan bulat dengan banyak nilai bukan nol; untuk representasi fungsional ini, operasi grup adalah penambahan fungsi searah. Setiap set B memiliki grup abelian bebad dengan B sebagai dasarnya. Grup ini unik dalam arti bahwa setiap dua grup abelian bebas dengan basis yang sama adalah . Alih-alih membangunnya dengan mendeskripsikan elemen individualnya, grup bebas dengan basis B dapat dibuat sebagai jumlah langsung salinan grup aditif dari bilangan bulat, dengan satu salinan per anggota B . Sebagai alternatif, grup abelian gratis dengan basis B dapat dijelaskan dengan presentasi dengan elemen B sebagai generatornya dan dengan komutator pasangan anggota sebagai relatornya. Pangkat dari grup abelian bebas adalah kardinalitas suatu basis; setiap dua basis untuk grup yang sama memberikan peringkat yang sama, dan setiap dua grup abelian gratis dengan peringkat yang sama adalah isomorfik. Setiap subkelompok dari grup abelian gratis adalah abelian gratis itu sendiri; fakta ini memungkinkan grup abelian umum dipahami sebagai hasil bagi dari grup abelian bebas dengan "relasi", atau sebagai kokernel dari antara kelompok abelian bebas. Satu-satunya grup abelian gratis yang merupakan grup bebas adalah dan . En álgebra abstracta, un grupo abeliano libre es un grupo abeliano que tiene una base en el sentido de que cada elemento del grupo se puede escribir de manera unívoca como combinación lineal de los elementos de la base, con coeficientes enteros. Por lo tanto, un grupo abeliano libre sobre una base B también se conoce como un conjunto de sumas formales sobre B. De manera informal, un elemento de un grupo abeliano libre también puede ser visto como un multiconjunto signado de elementos de B. Los grupos abelianos libres tienen propiedades que los asemejan a los espacios vectoriales y permiten que un grupo abeliano en general se entiende como un cociente de un grupo abeliano libre por "relaciones". Cada grupo abeliano libre tiene un rango definido como la cardinalidad de una base. El rango determina el grupo salvo isomorfismos, y los elementos de dicho grupo se pueden escribir como sumas finitas formales de los elementos de la base. Cada subgrupo de un grupo abeliano libre es abeliano libre, lo cual es importante para la descripción de un grupo abeliano en general como de homomorfismo entre grupos abelianos libres. In de abstracte algebra en meer specifiek in de groepentheorie is een vrije abelse groep een abelse groep die een "basis" heeft in de zin dat elk element van de groep op een en slechts een manier geschreven kan worden als een eindige lineaire combinatie met geheeltallige coëfficiënten van elementen van de basis. Vandaar dat vrij abelse groepen over een basis ook wel bekendstaan als formele sommen over . Informeel kan een element van een vrije abelse groep gezien worden als een formele som of als getekende multisets met eindig veel elementen van de basis waarbij de coëfficiënt van een basiselement opgevat wordt als de van dat element. Vrije abelse groepen kunnen vergeleken worden met vectorruimten, of opgevat worden als een vrij -moduul. Elke vrije abelse groep heeft een rang, die gedefinieerd is als de kardinaliteit van een basis. De rang bepaalt de groep op isomorfie na. Elke deelgroep van een vrije abelse groep is zelf weer een vrije abelse groep, wat belangrijk is voor de beschrijving van een algemene abelse groep als een cokern van een homomorfisme tussen vrije abelse groepen. Grupa abelowa wolna – grupa abelowa będąca zarazem algebrą wolną. Grupa abelowa jest wolna wtedy i tylko wtedy, gdy ma podzbiór o tej własności, że każdy element grupy daje się jednoznacznie przedstawić jako kombinacja liniowa o współczynnikach całkowitych elementów tego zbioru. Podobnie jak w przypadku przestrzeni liniowych, zbiór taki nazywany jest bazą. Z punktu widzenia teorii modułów, grupy abelowe wolne są nad pierścieniem liczb całkowitych. 抽象代数学において、自由アーベル群 (free abelian group) あるいは自由 Z-加群 (free Z-module) とは基底をもったアーベル群のことを言う。 * アーベル群であるという条件は、結合的、可換、可逆な二項演算をもった集合であることを意味し、慣習的に演算は「加法」として、逆元を加えることを「減法」としてとらえられる。 * 基底とは、その群の任意の元が有限個の例外を除くすべての元が 0 となる整数係数線型結合としてちょうど一通りの方法で書けるような部分集合を言う。 したがって自由アーベル群の任意の元は、基底に属する元に「加法」や「減法」を有限回施すことで得られる。実例として整数全体の成す集合は加法に関して単元集合 {1} を基底とする自由アーベル群になる。実際、整数の加法は可換かつ結合的で、減法は加法逆元を加えることに等しく、各整数は 1 を必要な個数だけ加えたり引いたりすれば得られ、任意の整数はそれが 1 の何倍かを表す整数として一意に表すことができる。 自由アーベル群はその性質により、ベクトル空間とよく似た性格を持つ。代数的位相幾何学における応用として、自由アーベル群はの定義に用いられ、また代数幾何学において因子の定義に用いられる。もまた自由アーベル群の例であり、格子論では実線型空間の自由アーベル部分群が調べられる。 基底 B を持つ自由アーベル群の各元は、非零整数 ai を係数として相異なる基底元 bi の有限項の和 ∑i aibi の形の式で表現することができる。この式（およびこの式の表す元）は B 上の形式和 (formal sums) とも呼ばれる。別な言い方をすれば、基底 B を持つ自由アーベル群の元を、B の有限個の元のみを含む符号付き多重集合（形式和に現れる基底元 b の係数が多重集合の元としての b の重複度）と見なすこともできる。基底 B を持つ自由アーベル群は、その元を形式和として書く代わりに B 上の整数値函数でものとして表し、群演算として点ごとの和を入れたものと見なすこともできる。 任意の集合 B に対して、B を基底とする自由アーベル群が作れる。そのような群は同型を除いて一意に定まる（同じ集合を基底に持つどの二つの自由アーベル群も必ず群同型になる）。基底元から元を構成する方法ではなくて、B の各元ごとに整数の加法群 Z のコピーを対応させ、それらの直和として基底 B を持つ自由アーベル群を得る方法もある。他にも、B の各元を生成元として B の元の任意の対から得られる交換子を基本関係子とする群の表示によって、B を基底とする自由アーベル群を記述することもできる。任意の自由アーベル群はその基底の濃度として定義される階数を持ち（同じ群のどの二つの基底も濃度が等しいこと（基底数不変性質）に注意すべきである）、同じ階数をもつどの二つの自由アーベル群も互いに同型である。自由アーベル群の任意の部分群はそれ自身自由アーベルである。この事実により、一般のアーベル群を自由アーベル群を「関係」または自由アーベル群の間の単射準同型の余核で割ったものと見ることができる。

prov:wasDerivedFrom

wikipedia-en:Free_abelian_group?oldid=1124150997&ns=0

dbo:wikiPageLength

50193

foaf:isPrimaryTopicOf

wikipedia-en:Free_abelian_group