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Problem invarianter Unterräume 不变子空间问题 Invariant subspace problem
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Das Problem invarianter Unterräume ist eine mathematische Problemstellung aus der Funktionalanalysis. Die Fragestellung lautet, ob jeder nicht-triviale beschränkte und lineare Operator auf einem Banach-Raum einen invarianten Unterraum besitzt. Ein erstes Gegenbeispiel wurde 1975 von dem schwedischen Mathematiker Per Enflo gefunden. Für Hilbert-Räume ist das Problem nach wie vor offen. In the field of mathematics known as functional analysis, the invariant subspace problem is a partially unresolved problem asking whether every bounded operator on a complex Banach space sends some non-trivial closed subspace to itself. Many variants of the problem have been solved, by restricting the class of bounded operators considered or by specifying a particular class of Banach spaces. The problem is still open for separable Hilbert spaces (in other words, each example, found so far, of an operator with no non-trivial invariant subspaces is an operator that acts on a Banach space that is not isomorphic to a separable Hilbert space). 数学领域泛函分析中，最著名的悬而未决的问题之一就是不变子空间问题，有时被乐观地称为不变子空间猜想。这个问题就是如下命题是否成立： 给定一个复希尔伯特空间H，其维度>1，以及一个有界线性算子T : H → H，则H有一个非平凡闭T-不变子空间，也即存在一个H的闭线性子空间W，而且它不同于{0}和H，且使得T(W) ⊆ W。 该命题对于所有2维以上有限维复向量空间是成立的：一个线性算子（矩阵）的特征值是其特征多项式的零点；根据代数基本定理，这个多项式存在零点；一个对应的特征向量可以张成一个不变子空间。该命题也很容易成立如果W不必是闭的：取任意H中非零向量x并考虑H的由{T n(x) : n ≥ 0}线性张成的子空间W. 虽然该猜想的一般情况未获证明，但已经可以列出命题成立的一些特殊情况： * 在希尔伯特空间H可分的情况下该猜想相对比较容易证明（也即，如果它又一个不可数正交基。 * 谱定理表明所有有不变子空间。 * 每个紧算子有不变子空间，由Aronszajn和Smith于1954年证明。紧算子理论在很多方面和有限维空间算子理论相类似，所以该结果并不令人惊讶。 * 波恩斯坦和洛宾逊于1966年证明若T n对于某个正整数n是紧致的，则T有不变子空间。 * V. I. 罗门诺所夫（Lomonosov）于1973年证明若T和某个非零紧算子可交换，则T有不变子空间。
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数学领域泛函分析中，最著名的悬而未决的问题之一就是不变子空间问题，有时被乐观地称为不变子空间猜想。这个问题就是如下命题是否成立： 给定一个复希尔伯特空间H，其维度>1，以及一个有界线性算子T : H → H，则H有一个非平凡闭T-不变子空间，也即存在一个H的闭线性子空间W，而且它不同于{0}和H，且使得T(W) ⊆ W。 该命题对于所有2维以上有限维复向量空间是成立的：一个线性算子（矩阵）的特征值是其特征多项式的零点；根据代数基本定理，这个多项式存在零点；一个对应的特征向量可以张成一个不变子空间。该命题也很容易成立如果W不必是闭的：取任意H中非零向量x并考虑H的由{T n(x) : n ≥ 0}线性张成的子空间W. 虽然该猜想的一般情况未获证明，但已经可以列出命题成立的一些特殊情况： * 在希尔伯特空间H可分的情况下该猜想相对比较容易证明（也即，如果它又一个不可数正交基。 * 谱定理表明所有有不变子空间。 * 每个紧算子有不变子空间，由Aronszajn和Smith于1954年证明。紧算子理论在很多方面和有限维空间算子理论相类似，所以该结果并不令人惊讶。 * 波恩斯坦和洛宾逊于1966年证明若T n对于某个正整数n是紧致的，则T有不变子空间。 * V. I. 罗门诺所夫（Lomonosov）于1973年证明若T和某个非零紧算子可交换，则T有不变子空间。 近年来，有些数学家试图采用随机矩阵理论来构造该猜想的反例。 如果考虑巴拿赫空间而不是希尔伯特空间，则该猜想不成立；于1975年给出了没有非平凡不变子空间的有界算子的显式例子，于1984年也给出一个反例。但是，该命题对于算子的特定类别是成立的。 1964年，发表了不变子空间猜想的可能证明，但后来被发现是错误的。他最近在他的网站上发表了一个新的可能证明[1]（页面存档备份，存于互联网档案馆）；但他的证明还未经过同行评审。 Das Problem invarianter Unterräume ist eine mathematische Problemstellung aus der Funktionalanalysis. Die Fragestellung lautet, ob jeder nicht-triviale beschränkte und lineare Operator auf einem Banach-Raum einen invarianten Unterraum besitzt. Ein erstes Gegenbeispiel wurde 1975 von dem schwedischen Mathematiker Per Enflo gefunden. Für Hilbert-Räume ist das Problem nach wie vor offen. In the field of mathematics known as functional analysis, the invariant subspace problem is a partially unresolved problem asking whether every bounded operator on a complex Banach space sends some non-trivial closed subspace to itself. Many variants of the problem have been solved, by restricting the class of bounded operators considered or by specifying a particular class of Banach spaces. The problem is still open for separable Hilbert spaces (in other words, each example, found so far, of an operator with no non-trivial invariant subspaces is an operator that acts on a Banach space that is not isomorphic to a separable Hilbert space).
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wikipedia-en:Invariant_subspace_problem?oldid=1123242076&ns=0
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