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Ekspansi Laplace Teorema di Laplace Теорема Лапласа Teorema de Laplace Teorema de Laplace Laplace expansion 라플라스 전개 Rozwinięcie Laplace’a Теорема Лапласа 拉普拉斯展开 余因子展開 Teorema de Laplace

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In linear algebra, the Laplace expansion, named after Pierre-Simon Laplace, also called cofactor expansion, is an expression of the determinant of an n × n matrix B as a weighted sum of minors, which are the determinants of some (n − 1) × (n − 1) submatrices of B. Specifically, for every i, where is the entry of the ith row and jth column of B, and is the determinant of the submatrix obtained by removing the ith row and the jth column of B. The term is called the cofactor of in B. El teorema de Laplace (también conocido como regla de Laplace o desarrollo de Laplace), así llamado en honor del matemático francés homónimo es un teorema matemático que permite simplificar el cálculo de determinantes en matrices de elevadas dimensiones a base de descomponerlo en la suma de determinantes menores. Se puede optimizar los cálculos aplicando la y haciendo ceros lo que reduce el número de determinantes de rango inferior a calcular. 数学の線型代数学における余因子展開（よいんしてんかい、英: cofactor expansion）、あるいはピエール・シモン・ラプラスの名に因んでラプラス展開とは、n次正方行列 A の行列式 |A| の、n 個の A の (n − 1)次小行列式の重み付き和としての表示である。余因子展開は行列式を見るいくつかの方法の一つとして理論的に興味深く、行列式の実際の計算においても有用である。 A の (i, j)余因子とは、次で定義されるスカラーである： ここで Mi,j は A の (i, j)小行列式、つまり、A から第i行と第j列を除いて得られる (n − 1)次小正方行列の行列式である。 すると余因子展開は次で与えられる： 定理 ― A = (ai,j) を n次正方行列とし、任意の i, j ∈ {1, 2, …, n} を固定する。 するとその行列式 |A| は次で与えられる： Em álgebra linear, o teorema de Laplace fornece uma expressão para o determinante de uma matriz quadrada qualquer em termos de determinantes de matrizes de ordem inferior. In matematica, in particolare in algebra lineare, il teorema di Laplace o sviluppo di Laplace, il cui nome è dovuto a Pierre Simon Laplace, è una formula che permette di calcolare il determinante di una matrice (quadrata) con un procedimento ricorsivo. Lo sviluppo può essere eseguito per righe oppure per colonne. 선형대수학에서 라플라스 전개(-展開, 영어: Laplace expansion) 또는 여인자 전개(餘因子展開, 영어: cofactor expansion)는 행렬식을 더 작은 두 행렬식과 그에 맞는 부호를 곱한 것들의 합으로 전개하는 것이다. Теоре́ма Лапла́са (розклад Лапласа) — одна з теорем в теорії матриць. Названа на честь французького математика П'єра-Симона Лапласа, якому приписують доведення цієї теореми в 1772 році, хоча окремий випадок цієї теореми про розкладання визначника по рядку (стовпцю) був відомий ще Лейбніцу. El teorema de Laplace (també conegut com a expansió de Laplace o desenvolupament de Laplace ), així anomenat en honor del matemàtic francès homònim un teorema matemàtic que permet simplificar el càlcul de determinants en matrius d'elevades dimensions per mitjà de descompondre'l en la suma de determinants menors. Es pot optimitzar els càlculs aplicant la i fent zeros el que redueix el nombre de determinants de rang inferior a calcular. 在数学中，拉普拉斯展开（或称拉普拉斯公式）是一个关于行列式的展开式。将一个n×n矩阵B的行列式进行拉普拉斯展开，即是将其表示成关于矩阵B的某一行（或某一列）的n个元素的(n-1)×(n-1)余子式的和。行列式的拉普拉斯展开一般被简称为行列式按某一行（或按某一列）的展开。由于矩阵B有n行n列，它的拉普拉斯展开一共有2n种。拉普拉斯展开的推广称为拉普拉斯定理，是将一行的元素推广为关于k行的一切子式。它们的每一项和对应的代数余子式的乘积之和仍然是B的行列式。研究一些特定的展开可以减少对于矩阵B之行列式的计算，拉普拉斯公式也常用于一些抽象的推导中。 Теоре́ма Лапла́са — одна из теорем линейной алгебры. Названа в честь французского математика Пьера-Симона Лапласа (1749 — 1827), которому приписывают формулирование этой теоремы в 1772 году, хотя частный случай этой теоремы о разложении определителя по строке (столбцу) был известен ещё Лейбницу. Dalam aljabar linear, ekspansi Laplace, dinamai Pierre-Simon Laplace, juga disebut ekspansi kofaktor, adalah ekspresi dari determinan n × n matriks B sebagai jumlah tertimbang dari minor, yang merupakan determinan dari beberapa B submatriks B. Secara khusus, untuk setiap i, dimana adalah entri baris ke-i dan kolom ke-j dari B, dan adalah determinan submatriks yang diperoleh dengan menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j dari B. Syarat disebut kofaktor dari di B. Rozwinięcie Laplace’a – wzór rekurencyjny określający wyznacznik -tego stopnia macierzy kwadratowej o wymiarach Nazwa wzoru pochodzi od francuskiego matematyka Laplace’a. Niech Wówczas: * dla każdego ustalonego zachodzi * dla każdego ustalonego zachodzi gdzie: jest elementem macierzy w -tym wierszu i -tej kolumnie, jest dopełnieniem algebraicznym elementu Powyższe wzory nazywamy rozwinięciami Laplace’a, pierwszy względem -tej kolumny, a drugi względem -tego wiersza.

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Em álgebra linear, o teorema de Laplace fornece uma expressão para o determinante de uma matriz quadrada qualquer em termos de determinantes de matrizes de ordem inferior. El teorema de Laplace (també conegut com a expansió de Laplace o desenvolupament de Laplace ), així anomenat en honor del matemàtic francès homònim un teorema matemàtic que permet simplificar el càlcul de determinants en matrius d'elevades dimensions per mitjà de descompondre'l en la suma de determinants menors. El teorema afirma que el determinant d'una matriu és igual a la suma dels determinants dels adjunts de qualsevol fila o columna de la matriu, la qual cosa redueix un determinant de dimensió n en determinants de dimensió n-1. Aplicat de manera successiva, permet arribar a matrius 3x3 (amb el que es pot aplicar la regla de Sarrus) o 2x2 (en el qual el determinant és el producte de la diagonal principal menys el de la secundària). Es pot optimitzar els càlculs aplicant la i fent zeros el que redueix el nombre de determinants de rang inferior a calcular. Теоре́ма Лапла́са — одна из теорем линейной алгебры. Названа в честь французского математика Пьера-Симона Лапласа (1749 — 1827), которому приписывают формулирование этой теоремы в 1772 году, хотя частный случай этой теоремы о разложении определителя по строке (столбцу) был известен ещё Лейбницу. Dalam aljabar linear, ekspansi Laplace, dinamai Pierre-Simon Laplace, juga disebut ekspansi kofaktor, adalah ekspresi dari determinan n × n matriks B sebagai jumlah tertimbang dari minor, yang merupakan determinan dari beberapa B submatriks B. Secara khusus, untuk setiap i, dimana adalah entri baris ke-i dan kolom ke-j dari B, dan adalah determinan submatriks yang diperoleh dengan menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j dari B. Syarat disebut kofaktor dari di B. In linear algebra, the Laplace expansion, named after Pierre-Simon Laplace, also called cofactor expansion, is an expression of the determinant of an n × n matrix B as a weighted sum of minors, which are the determinants of some (n − 1) × (n − 1) submatrices of B. Specifically, for every i, where is the entry of the ith row and jth column of B, and is the determinant of the submatrix obtained by removing the ith row and the jth column of B. The term is called the cofactor of in B. The Laplace expansion is often useful in proofs, as in, for example, allowing recursion on the size of matrices. It is also of didactic interest for its simplicity, and as one of several ways to view and compute the determinant. For large matrices, it quickly becomes inefficient to compute, when compared to Gaussian elimination. In matematica, in particolare in algebra lineare, il teorema di Laplace o sviluppo di Laplace, il cui nome è dovuto a Pierre Simon Laplace, è una formula che permette di calcolare il determinante di una matrice (quadrata) con un procedimento ricorsivo. Lo sviluppo può essere eseguito per righe oppure per colonne. 在数学中，拉普拉斯展开（或称拉普拉斯公式）是一个关于行列式的展开式。将一个n×n矩阵B的行列式进行拉普拉斯展开，即是将其表示成关于矩阵B的某一行（或某一列）的n个元素的(n-1)×(n-1)余子式的和。行列式的拉普拉斯展开一般被简称为行列式按某一行（或按某一列）的展开。由于矩阵B有n行n列，它的拉普拉斯展开一共有2n种。拉普拉斯展开的推广称为拉普拉斯定理，是将一行的元素推广为关于k行的一切子式。它们的每一项和对应的代数余子式的乘积之和仍然是B的行列式。研究一些特定的展开可以减少对于矩阵B之行列式的计算，拉普拉斯公式也常用于一些抽象的推导中。 El teorema de Laplace (también conocido como regla de Laplace o desarrollo de Laplace), así llamado en honor del matemático francés homónimo es un teorema matemático que permite simplificar el cálculo de determinantes en matrices de elevadas dimensiones a base de descomponerlo en la suma de determinantes menores. El teorema afirma que el determinante de una matriz es igual a la suma de los productos de cada elemento (de un renglón o columna) por la determinante de su matriz adjunta, lo que reduce un determinante de dimensión n a n determinantes de dimensión n-1. Aplicado de forma sucesiva, permite llegar a matrices 3x3 (con lo que se puede aplicar la regla de Sarrus) o 2x2 (en el que el determinante es el producto de la diagonal principal menos el de la secundaria). Se puede optimizar los cálculos aplicando la y haciendo ceros lo que reduce el número de determinantes de rango inferior a calcular. 선형대수학에서 라플라스 전개(-展開, 영어: Laplace expansion) 또는 여인자 전개(餘因子展開, 영어: cofactor expansion)는 행렬식을 더 작은 두 행렬식과 그에 맞는 부호를 곱한 것들의 합으로 전개하는 것이다. Rozwinięcie Laplace’a – wzór rekurencyjny określający wyznacznik -tego stopnia macierzy kwadratowej o wymiarach Nazwa wzoru pochodzi od francuskiego matematyka Laplace’a. Niech Wówczas: * dla każdego ustalonego zachodzi * dla każdego ustalonego zachodzi gdzie: jest elementem macierzy w -tym wierszu i -tej kolumnie, jest dopełnieniem algebraicznym elementu Powyższe wzory nazywamy rozwinięciami Laplace’a, pierwszy względem -tej kolumny, a drugi względem -tego wiersza. Теоре́ма Лапла́са (розклад Лапласа) — одна з теорем в теорії матриць. Названа на честь французького математика П'єра-Симона Лапласа, якому приписують доведення цієї теореми в 1772 році, хоча окремий випадок цієї теореми про розкладання визначника по рядку (стовпцю) був відомий ще Лейбніцу. 数学の線型代数学における余因子展開（よいんしてんかい、英: cofactor expansion）、あるいはピエール・シモン・ラプラスの名に因んでラプラス展開とは、n次正方行列 A の行列式 |A| の、n 個の A の (n − 1)次小行列式の重み付き和としての表示である。余因子展開は行列式を見るいくつかの方法の一つとして理論的に興味深く、行列式の実際の計算においても有用である。 A の (i, j)余因子とは、次で定義されるスカラーである： ここで Mi,j は A の (i, j)小行列式、つまり、A から第i行と第j列を除いて得られる (n − 1)次小正方行列の行列式である。 すると余因子展開は次で与えられる： 定理 ― A = (ai,j) を n次正方行列とし、任意の i, j ∈ {1, 2, …, n} を固定する。 するとその行列式 |A| は次で与えられる：

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