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En matemàtiques, un grup de permutacions és un grup G els elements del qual són permutacions d'un conjunt M donat, juntament amb l'operació de grup definida com la composició de permutacions de G (vistes com a funcions bijectives del conjunt M en ell mateix). El grup de totes les permutacions d'un conjunt M és el grup simètric de M, sovint denotat per Sim(M). El terme grup de permutacions és un subgrup del grup simètric. Si M = {1,2,...,n}, llavors Sim(M), el grup simètric de n elements, s'acostuma a simbolitzar Sn. 数学上，一个给定集上，所有到自身的可逆映射构成的集合关于映射的合成构成一个群，称为的对称群，记为。的任一子群称为上的变换群。如果是包含个元素的有限集，称其到自身的可逆映射为阶置换（英语：permutation）。其对称群称为阶对称群（英语：sysmmetric group of degree n），并把记为。同时称的任一子群为置换群。 置换群到被置换的元素的应用称为群作用；它在对称性和组合论以及数学的其他很多分支中有应用，也是研究晶体的结构等所不可或缺的工具。 En théorie des groupes (mathématiques), un groupe de permutations d'un ensemble X est par définition un sous-groupe du groupe symétrique SX. On parle d'un groupe de permutations de X ou, s'il n'est pas nécessaire de préciser l'ensemble X, d'un groupe de permutations. في الرياضيات، زمرة تبديلات (بالإنجليزية: Permutation group)‏ هي زمرة G عناصرها تبديلات لمجموعة ما M والعملية المعرِفة للزمرة هي تركيب هؤلاء التبديلات في G .هؤلاء التبديلات هن تقابلات من المجموعة M إلى المجموعة M نفسها، لا أقل ولا أكثر. زمرة جميع التبديلات المعرفة على مجموعة ما M، هي الزمرة المتماثلة ل M، والتي عادة ما يرمز إليها ب Sym(M). يشير المصطلح زمرة تبديلات إذن، إلى زمرة جزئية من الزمرة المتماثلة. نظرا إلى مبرهنة كايلي، كل زمرة هي في تساوٍ للشكل مع زمرة تبديلاتٍ ما. الطريقة التي تُبدل بها عناصر زمرة تبديلات ما عناصر مجموعة ما مع بعضها البعض تسمى . Grupa permutacji – grupa wszystkich permutacji ustalonego zbioru skończonego z działaniem składania pełniącym rolę działania grupowego (i tożsamością jako elementem neutralnym; element odwrotny dany jest jako permutacja odwrotna). Liczba elementów (tj. rząd) grupy permutacji zbioru -elementowego wynosi (zob. silnia). Ogólnie każdą grupę można rozumieć jako grupę permutacji elementów zbioru, na którym została określona (tzw. twierdzenie Cayleya): w związku z tym wszystkie wyniki dotyczące grup permutacji dotyczą również dowolnych grup skończonych. In de groepentheorie, een onderdeel van de wiskunde, is een permutatiegroep een groep , waarvan de elementen permutaties zijn van de elementen van een verzameling . Een permutatie is een bijectie tussen en zichzelf. De groepsbewerking in een permutatiegroep is de samenstelling van de permutaties. De groep van alle permutaties van heet de symmetrische groep van . Deze kan worden geschreven als . Aangezien alle permutaties van bevat, is iedere permutatiegroep over een ondergroep van . Dalam matematika, khususnya aljabar, suatu grup permutasi adalah suatu grup dengan unsur-unsurnya adalah permutasi dari suatu himpunan dan operasi grupnya adalah komposisi dari permutasi. Grup permutasi tersebut dinotasikan sebagai Sym (notasi Sym di sini bermakna Symmetric). Khusus untuk himpunan , grup permutasi tersebut umumnya dinotasikan sebagai . In mathematics, a permutation group is a group G whose elements are permutations of a given set M and whose group operation is the composition of permutations in G (which are thought of as bijective functions from the set M to itself). The group of all permutations of a set M is the symmetric group of M, often written as Sym(M). The term permutation group thus means a subgroup of the symmetric group. If M = {1, 2, ..., n} then Sym(M) is usually denoted by Sn, and may be called the symmetric group on n letters. By Cayley's theorem, every group is isomorphic to some permutation group. In der Gruppentheorie nennt man eine Gruppe von Permutationen einer endlichen Menge mit der Hintereinanderausführung als Gruppenverknüpfung Permutationsgruppe. Die Gruppe aller Permutationen von nennt man ihre symmetrische Gruppe . Die Permutationsgruppen sind in diesem Sinne genau die Untergruppen der symmetrischen Gruppen. En permutationsgrupp är inom matematik, specifikt gruppteori, en grupp bestående av permutationer (bijektiva funktioner från mängden till sig själv) på någon mängd där gruppoperationen är permutationsmultiplikation. Enligt Cayleys sats är varje grupp isomorf med någon permutationsgrupp. Vidare, om en permutationsgrupp består av permutationer en mängd X är det en delgrupp av den symmetriska gruppen över X, som består av alla permutationer på X. Em matemática e, em particular, na teoria dos grupos, um grupo de permutação é um grupo cujos elementos são permutações de elementos de um conjunto M, com a operação binária de composição de funções. O teorema de Cayley afirma que qualquer grupo é isomorfo a um grupo de permutações. O grupo simétrico é o grupo de todas as permutações de um conjunto.
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Permutation group
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In de groepentheorie, een onderdeel van de wiskunde, is een permutatiegroep een groep , waarvan de elementen permutaties zijn van de elementen van een verzameling . Een permutatie is een bijectie tussen en zichzelf. De groepsbewerking in een permutatiegroep is de samenstelling van de permutaties. De groep van alle permutaties van heet de symmetrische groep van . Deze kan worden geschreven als . Aangezien alle permutaties van bevat, is iedere permutatiegroep over een ondergroep van . Als het alleen gaat om de groepsstructuur, is bij een eindige verzameling alleen het aantal elementen van belang. In dat geval, of als verzameling uit de context duidelijk is, wordt de symmetrische groep van elementen aangeduid met . De theorie van de permutatiegroepen kent toepassingen in de studie van symmetrieën, de combinatoriek en vele andere takken van de wiskunde, de natuurkunde en de scheikunde. En permutationsgrupp är inom matematik, specifikt gruppteori, en grupp bestående av permutationer (bijektiva funktioner från mängden till sig själv) på någon mängd där gruppoperationen är permutationsmultiplikation. Enligt Cayleys sats är varje grupp isomorf med någon permutationsgrupp. Vidare, om en permutationsgrupp består av permutationer en mängd X är det en delgrupp av den symmetriska gruppen över X, som består av alla permutationer på X. En matemàtiques, un grup de permutacions és un grup G els elements del qual són permutacions d'un conjunt M donat, juntament amb l'operació de grup definida com la composició de permutacions de G (vistes com a funcions bijectives del conjunt M en ell mateix). El grup de totes les permutacions d'un conjunt M és el grup simètric de M, sovint denotat per Sim(M). El terme grup de permutacions és un subgrup del grup simètric. Si M = {1,2,...,n}, llavors Sim(M), el grup simètric de n elements, s'acostuma a simbolitzar Sn. La forma en la qual els elements d'un grup de permutacions permuten els elements del conjunt s'anomena acció de grup. Les accions de grup tenen aplicacions en l'estudi de simetries, combinatòria i altres branques de les matemàtiques, la física i la química. In der Gruppentheorie nennt man eine Gruppe von Permutationen einer endlichen Menge mit der Hintereinanderausführung als Gruppenverknüpfung Permutationsgruppe. Die Gruppe aller Permutationen von nennt man ihre symmetrische Gruppe . Die Permutationsgruppen sind in diesem Sinne genau die Untergruppen der symmetrischen Gruppen. Nach dem Satz von Cayley ist jede endliche Gruppe zu einer Untergruppe der symmetrischen Gruppe, also zu einer Permutationsgruppe isomorph. Insofern „ist“ jede endliche Gruppe eine Permutationsgruppe. Sieht man die endliche Gruppe als abstrakte algebraische Struktur an, dann sagt man daher genauer: operiert als Permutationsgruppe auf der Menge . Damit wird deutlich, dass es sich bei dieser treuen Permutationsdarstellung um eine eindeutige Beschreibung der Gruppenstruktur handelt, neben der auch andere Beschreibungen möglich sind. 数学上，一个给定集上，所有到自身的可逆映射构成的集合关于映射的合成构成一个群，称为的对称群，记为。的任一子群称为上的变换群。如果是包含个元素的有限集，称其到自身的可逆映射为阶置换（英语：permutation）。其对称群称为阶对称群（英语：sysmmetric group of degree n），并把记为。同时称的任一子群为置换群。 置换群到被置换的元素的应用称为群作用；它在对称性和组合论以及数学的其他很多分支中有应用，也是研究晶体的结构等所不可或缺的工具。 في الرياضيات، زمرة تبديلات (بالإنجليزية: Permutation group)‏ هي زمرة G عناصرها تبديلات لمجموعة ما M والعملية المعرِفة للزمرة هي تركيب هؤلاء التبديلات في G .هؤلاء التبديلات هن تقابلات من المجموعة M إلى المجموعة M نفسها، لا أقل ولا أكثر. زمرة جميع التبديلات المعرفة على مجموعة ما M، هي الزمرة المتماثلة ل M، والتي عادة ما يرمز إليها ب Sym(M). يشير المصطلح زمرة تبديلات إذن، إلى زمرة جزئية من الزمرة المتماثلة. نظرا إلى مبرهنة كايلي، كل زمرة هي في تساوٍ للشكل مع زمرة تبديلاتٍ ما. الطريقة التي تُبدل بها عناصر زمرة تبديلات ما عناصر مجموعة ما مع بعضها البعض تسمى . Dalam matematika, khususnya aljabar, suatu grup permutasi adalah suatu grup dengan unsur-unsurnya adalah permutasi dari suatu himpunan dan operasi grupnya adalah komposisi dari permutasi. Grup permutasi tersebut dinotasikan sebagai Sym (notasi Sym di sini bermakna Symmetric). Khusus untuk himpunan , grup permutasi tersebut umumnya dinotasikan sebagai . In mathematics, a permutation group is a group G whose elements are permutations of a given set M and whose group operation is the composition of permutations in G (which are thought of as bijective functions from the set M to itself). The group of all permutations of a set M is the symmetric group of M, often written as Sym(M). The term permutation group thus means a subgroup of the symmetric group. If M = {1, 2, ..., n} then Sym(M) is usually denoted by Sn, and may be called the symmetric group on n letters. By Cayley's theorem, every group is isomorphic to some permutation group. The way in which the elements of a permutation group permute the elements of the set is called its group action. Group actions have applications in the study of symmetries, combinatorics and many other branches of mathematics, physics and chemistry. En théorie des groupes (mathématiques), un groupe de permutations d'un ensemble X est par définition un sous-groupe du groupe symétrique SX. On parle d'un groupe de permutations de X ou, s'il n'est pas nécessaire de préciser l'ensemble X, d'un groupe de permutations. Em matemática e, em particular, na teoria dos grupos, um grupo de permutação é um grupo cujos elementos são permutações de elementos de um conjunto M, com a operação binária de composição de funções. O teorema de Cayley afirma que qualquer grupo é isomorfo a um grupo de permutações. O grupo simétrico é o grupo de todas as permutações de um conjunto. Grupa permutacji – grupa wszystkich permutacji ustalonego zbioru skończonego z działaniem składania pełniącym rolę działania grupowego (i tożsamością jako elementem neutralnym; element odwrotny dany jest jako permutacja odwrotna). Liczba elementów (tj. rząd) grupy permutacji zbioru -elementowego wynosi (zob. silnia). Grupy permutacji były punktem wyjścia teorii grup: zaczęto je badać w związku z poszukiwaniem ogólnych rozwiązań równań algebraicznych. Grupy symetryczne o więcej niż dwóch elementach nie są przemienne (abelowe), a o więcej niż czterech elementach nie są rozwiązalne: zgodnie z teorią Galois jest to powód, dla którego równania algebraiczne stopnia większego niż cztery nie mają rozwiązań ogólnych (tzw. twierdzenie Abela-Ruffiniego). Ogólnie każdą grupę można rozumieć jako grupę permutacji elementów zbioru, na którym została określona (tzw. twierdzenie Cayleya): w związku z tym wszystkie wyniki dotyczące grup permutacji dotyczą również dowolnych grup skończonych.
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