This HTML5 document contains 236 embedded RDF statements represented using HTML+Microdata notation.

The embedded RDF content will be recognized by any processor of HTML5 Microdata.

Namespace Prefixes

Prefix	IRI
dbt	http://dbpedia.org/resource/Template:
dbpedia-el	http://el.dbpedia.org/resource/
dbpedia-no	http://no.dbpedia.org/resource/
n14	http://www.ima.umn.edu/~arnold/moebius/
wikipedia-en	http://en.wikipedia.org/wiki/
dbpedia-sv	http://sv.dbpedia.org/resource/
dbpedia-fi	http://fi.dbpedia.org/resource/
dbr	http://dbpedia.org/resource/
dbpedia-ar	http://ar.dbpedia.org/resource/
dbpedia-he	http://he.dbpedia.org/resource/
n26	http://commons.wikimedia.org/wiki/Special:FilePath/
dbpedia-fr	http://fr.dbpedia.org/resource/
dcterms	http://purl.org/dc/terms/
rdfs	http://www.w3.org/2000/01/rdf-schema#
dbpedia-cs	http://cs.dbpedia.org/resource/
rdf	http://www.w3.org/1999/02/22-rdf-syntax-ns#
n31	http://ba.dbpedia.org/resource/
n22	http://dbpedia.org/resource/File:
dbp	http://dbpedia.org/property/
dbpedia-eo	http://eo.dbpedia.org/resource/
xsdh	http://www.w3.org/2001/XMLSchema#
dbpedia-uk	http://uk.dbpedia.org/resource/
dbo	http://dbpedia.org/ontology/
dbpedia-sr	http://sr.dbpedia.org/resource/
dbpedia-pt	http://pt.dbpedia.org/resource/
dbpedia-sk	http://sk.dbpedia.org/resource/
dbpedia-ja	http://ja.dbpedia.org/resource/
dbc	http://dbpedia.org/resource/Category:
dbpedia-de	http://de.dbpedia.org/resource/
dbpedia-pl	http://pl.dbpedia.org/resource/
dbpedia-ru	http://ru.dbpedia.org/resource/
yago	http://dbpedia.org/class/yago/
wikidata	http://www.wikidata.org/entity/
dbpedia-nl	http://nl.dbpedia.org/resource/
gold	http://purl.org/linguistics/gold/
n46	https://global.dbpedia.org/id/
yago-res	http://yago-knowledge.org/resource/
dbpedia-sl	http://sl.dbpedia.org/resource/
dbpedia-it	http://it.dbpedia.org/resource/
dbpedia-ca	http://ca.dbpedia.org/resource/
n51	http://ast.dbpedia.org/resource/
prov	http://www.w3.org/ns/prov#
foaf	http://xmlns.com/foaf/0.1/
dbpedia-simple	http://simple.dbpedia.org/resource/
dbpedia-zh	http://zh.dbpedia.org/resource/
dbpedia-ko	http://ko.dbpedia.org/resource/
dbpedia-fa	http://fa.dbpedia.org/resource/
dbpedia-tr	http://tr.dbpedia.org/resource/
dbpedia-gl	http://gl.dbpedia.org/resource/
n7	https://archive.org/details/
dbpedia-es	http://es.dbpedia.org/resource/
freebase	http://rdf.freebase.com/ns/
owl	http://www.w3.org/2002/07/owl#

Statements

Subject Item

dbr:Riemann_sphere

rdf:type

yago:Artifact100021939 yago:Surface104362025 dbo:Person yago:PhysicalEntity100001930 yago:Whole100003553 yago:WikicatSurfaces yago:Object100002684 yago:WikicatRiemannSurfaces

rdfs:label

리만 구 Sphère de Riemann 黎曼球面 Riemann-sfeer Σφαίρα του Ρίμαν Sfera di Riemann Riemannsfären كرة ريمان Riemannova sféra Riemannsche Zahlenkugel Esfera de Riemann Riemann sphere Rimana sfero Sfera Riemanna Esfera de Riemann Сфера Рімана Сфера Римана リーマン球面 Esfera de Riemann

rdfs:comment

数学上，黎曼球面是一种将複數平面加上一个无穷远点的扩张，使得下面这类公式至少在某种意义下有意义 它由19世纪数学家黎曼而得名。也称为 * 複射影直线，记为 ，和 * 扩充复平面，记为 或者. 从纯代数的角度，复数加上一个无穷远点构成一个数系称为扩充复数。无穷远点的算数有时和一般的代数规则不符，因此扩充复数不构成一个。但是，黎曼球面在几何和解析角度都行为良好，甚至在无穷远点也不例外；它是一个一维复流形，也称黎曼曲面。 复分析中，黎曼球面对于亚纯函数这个优雅的理论很有帮助。黎曼球面在射影几何和代数几何中作为复流形、射影空间和代数簇的基本例子到处出现。它在涉及分析和几何的其他学科也很有用，譬如量子力学和物理学其他分支。 Riemannsfären är ett matematiskt hjälpmedel för att utöka det komplexa talplanet till att även innefatta en oändlighet. Sfären kan visualiseras som enhetssfären placerad i det komplexa talplanet och med dess centrum i origo. Punkterna på riemannsfären har en bijektiv avbildning på det komplexa talplanet. Om en rät linje dras från punkten (0, 0, 1) till punkten A i det komplexa talplanet, är punktens avbildning P(A) linjens skärningspunkt med enhetssfären; se figur 1, där de sfäriska koordinaterna för avbildningen P(A) är (1, θ, φ). In der Mathematik ist die riemannsche Zahlenkugel die riemannsche Fläche, die sich aus der Hinzunahme eines Punktes in der Unendlichkeit zu der komplexen Ebene ergibt. Sie geht zurück auf Bernhard Riemann. Die komplexe Struktur der riemannschen Zahlenkugel wird durch zwei Karten gegeben. Die erste ist auf definiert und ist die Identität. Die zweite ist auf der Umgebung des unendlich fernen Punkts definiert durch Die Automorphismen, also die biholomorphen Abbildungen der riemannschen Zahlenkugel auf sich selbst, bilden die Gruppe der Möbiustransformationen. 数学においてリーマン球面（リーマンきゅうめん、英語: Riemann sphere）は、無限遠点 ∞ を一点追加して複素平面を拡張したものである。このとき、関係式 1/0 = ∞ を、意味を持ち、整合的であり、かつ有用となるように構成できる。19 世紀の数学者ベルンハルト・リーマンから名付けられた。これはまた、以下のようにも呼ばれる。 * 複素射影直線と言い、CP1 と書く。 * 拡張複素平面と言い、 または C ∪ {∞} と書く。 純代数的には、無限遠点を追加した複素数全体は、拡張複素数として知られる数体系を構成する。無限遠点を伴う算術は、通常の代数規則すべてには従わず、拡張複素数全体は体を構成しない。しかしリーマン球面は、幾何学的また解析学的に無限遠においてさえもよく振舞い、リーマン面とも呼ばれる 1-次元複素多様体をなす。 複素解析において、リーマン球面は有理型関数の洗練された理論で重要な役割を果たす。リーマン球面は、射影幾何学や代数幾何学では、複素多様体、射影空間、代数多様体の根源的な事例として常に登場する。リーマン球面はまた、量子力学その他の物理学の分野等、解析学と幾何学に依存する他の学問分野においても、有用性を発揮している。 In matematica e più precisamente in analisi complessa, la sfera di Riemann è una particolare superficie di Riemann, definita aggiungendo un "punto all'infinito" al piano complesso. È anche chiamata retta proiettiva complessa, in simboli o piano complesso esteso, in simboli È possibile quindi vedere la sfera di Riemann da diverse prospettive tra loro complementari. A livello algebrico si considera il punto all'infinito come risultato dell'operazione Στα μαθηματικά, η σφαίρα του Riemann, η οποία πήρε το όνομά της από τον μαθηματικό του 19ου αιώνα Bernhard Riemann, είναι ένα μοντέλο του επεκτεταμένου μιγαδικού επιπέδου, δηλαδή του μιγαδικού επιπέδου συμπληρωμένου με ένα σημείο στο άπειρο. Αυτό το επεκτεταμένο μιγαδικό επίπεδο απεικονίζει τους επεκτεταμένους μιγαδικούς αριθμούς, οι οποίοι είναι οι μιγαδικοί αριθμοί μαζί με την τιμή "∞" για το άπειρο. Με το μοντέλο του Riemann, το σημείο "∞" είναι κοντά στους πολύ μεγάλους αριθμούς, όπως το σημείο "0" είναι κοντά στους πολύ μικρούς αριθμούς. Komplexní číslo lze znázornit na tzv. Riemannově sféře. Jedná se o povrch koule, která se svým jižním pólem dotýká Gaussovy roviny v jejím počátku. Spojením libovolného bodu Gaussovy roviny se severním pólem Riemannovy koule dostaneme bod . Přiřazení bodů a je vzájemně jednoznačné. Severnímu pólu odpovídá nevlastní bod . 복소해석학에서 리만 구(Riemann球, 영어: Riemann sphere)는 복소 구조를 가진 3차원 구이다. 기호는 . En matemática, la esfera de Riemann (o plano complejo extendido), llamada así en honor al matemático del siglo XIX Bernhard Riemann, es una esfera obtenida del plano complejo mediante la adición de un punto del infinito. La esfera es la representación geométrica de los números complejos extendidos, denotado como ó ,​ (véase fig.1 y fig.2), la cual consiste en los números complejos ordinarios en conjunción con el símbolo para representar el infinito. De riemann-sfeer, sfeer van Riemann of riemannbol is in de wiskunde een manier om het complexe vlak met een extra punt op oneindig uit te breiden, zodat anders onbepaalde uitdrukkingen als in bepaalde contexten een zinvolle betekenis krijgen. De riemann-sfeer is genoemd naar de 19e-eeuwse wiskundige Bernhard Riemann en wordt ook wel aangeduid als * De complexe projectieve lijn * Het uitgebreide complexe vlak of (de complexe getallen C verenigd met oneindig). Sfera Riemanna lub płaszczyzna zespolona domknięta – sfera otrzymana z płaszczyzny zespolonej przez dodanie punktu w nieskończoności. Sfera jest geometryczną prezentacją rozszerzonego zbioru liczb zespolonych który zawiera wszystkie liczby zespolone oraz obiekt reprezentujący nieskończoność i oznaczany symbolem Nazwa pochodzi od matematyka z XIX wieku Bernharda Riemanna. W geometrii sfera Riemanna jest przykładem powierzchni Riemanna i jedną z najprostszych rozmaitości zespolonych. في الرياضيات، كرة ريمان، نسبة إلى عَالِم الرياضيات الشهير بيرنارد ريمان، هي النموذج الرياضي الذي يمكن من إظهار المستوى العقدي الممدد (المستوى العقدي إضافة لنقطة في اللانهاية) بحيث يبدو من نقطة اللانهاية ممائلا لشكله عند أي عدد عقدي، بالذات بالنسبة . En matemàtiques, l'esfera de Riemann (o pla complex estès), que pren el nom del matemàtic del segle XIX Bernhard Riemann, és una esfera que s'obté a partir del pla complex afegent-hi un . L'esfera és la representació geomètrica de l'extensió dels nombres complexos , que consisteix en els nombres complexos juntament amb el símbol que representa l'infinit. Сфера Рімана — ріманова поверхня, природна структура на розширеній комплексній площині яка є комплексною проективною прямою Іншими словами це модель розширеної комплексної площини, де до звичайної комплексної площини додається точка на нескінченності. Відповідно до моделі Рімана, точка «∞» наближається до дуже великих чисел, так само як точка «0» є близькою до дуже малих чисел. Як дійсний многовид дифеоморфна двовимірній сфері En mathématiques, la sphère de Riemann est une manière de prolonger le plan des nombres complexes avec un point additionnel à l'infini, de manière que certaines expressions mathématiques deviennent convergentes et élégantes, du moins dans certains contextes. Déjà envisagée par le mathématicien Carl Friedrich Gauss, elle est baptisée du nom de son élève Bernhard Riemann. Ce plan s'appelle également la droite projective complexe, dénoté . In mathematics, the Riemann sphere, named after Bernhard Riemann, is a model of the extended complex plane: the complex plane plus one point at infinity. This extended plane represents the extended complex numbers, that is, the complex numbers plus a value for infinity. With the Riemann model, the point is near to very large numbers, just as the point is near to very small numbers. The extended complex plane is also called the closed complex plane. La kompleksa ebeno povas esti etendita per unu plia nombro . La modelo de la etendita kompleksa ebeno estas la 2-dimensia sfero, kaj oni nomas tiun modelon la . Ĉi tiun modelon oni ofte traktas kiel 1-dimensia kompleksa sternaĵo. Ofte oni ne distingas inter Rimana sfero aŭ etendita kompleksa ebeno (aŭ etenditaj kompleksaj nombroj). Сфе́ра Ри́мана — наглядное изображение множества в виде сферы, подобно тому, как множество действительных чисел изображают в виде прямой и как множество комплексных чисел изображает в виде плоскости. По этой причине термин «сфера Римана» часто используется как синоним к термину «множество комплексных чисел, дополненных бесконечно удалённой точкой», наряду с термином «расширенная комплексная плоскость». Na matemática, a esfera de Riemann é uma maneira de ampliar o plano de números complexos com um ponto no infinito adicional, de uma maneira que faz com que expressões como sejam bem adequadas e úteis, pelo menos em determinados contextos. É nomeado devido ao matemático do século XIX Bernhard Riemann. É também chamada * complexa, notada , e * plano complexo estendido, notado ou .

foaf:depiction

n26:Mob3d-elip-opp-200.png n26:RiemannKugel.svg n26:RiemannSphere.png

dcterms:subject

dbc:Spheres dbc:Projective_geometry dbc:Bernhard_Riemann dbc:Riemann_surfaces

dbo:wikiPageID

30876799

dbo:wikiPageRevisionID

1122588396

dbo:wikiPageWikiLink

dbr:Hopf_bundle dbr:Diffeomorphism dbr:Compactification_(mathematics) dbr:Continuous_function dbr:Rotation dbc:Spheres dbr:Quantum_bit dbr:Addition dbr:Constant_curvature dbr:Projective_space dbr:Bloch_sphere dbr:Homography dbr:Uniformization_theorem dbr:Celestial_sphere dbr:Scaling_(geometry) dbr:Projective_geometry dbr:Photon dbc:Projective_geometry dbr:Differentiable_manifold dbr:Orientation_(mathematics) dbr:Möbius_transformation dbr:Stereographic_projection dbr:Point_at_infinity dbr:Projectively_extended_real_line dbr:Douglas_N._Arnold dbr:SO(3) dbr:Gauss–Bonnet_theorem dbr:Complex_analysis dbr:Algebraic_geometry dbr:Branches_of_physics dbr:Rational_function dbr:Geometry dbr:Projective_coordinates dbr:General_relativity dbr:Equivalence_class dbr:Twistor_theory dbr:Algebraic_curve dbr:Cross-ratio dbr:Smooth_function dbr:Pole_(complex_analysis) dbr:Spherical_coordinates dbr:Gaussian_curvature dbr:Riemann_surface n22:Mob3d-elip-opp-200.png dbr:Multiplicative_inverse dbr:String_theory dbr:Worldsheet dbr:Photon_polarization dbr:Additive_inverse dbr:Complex_plane dbr:Zenith dbr:Complex_line dbr:Complex_manifold dbr:Möbius_plane dbr:Complex_number dbr:Meromorphic_function dbr:Bernhard_Riemann dbr:Limit_of_a_function dbr:Manifold_with_boundary dbr:Azimuth dbr:Simply-connected dbr:Group_(mathematics) dbr:Chart_(topology) dbr:Rotation_group_SO(3) dbr:Oriented_surface dbr:Indeterminate_form dbr:Directed_infinity dbr:Translation_(mathematics) n22:RiemannSphere.png dbr:Transition_map dbr:Division_(mathematics) dbr:Complex_projective_plane dbr:Compact_space dbr:Topological_manifold dbr:Projective_line dbc:Bernhard_Riemann dbr:Projective_linear_group dbr:Determinant dbr:Multiplication dbr:Mathematics dbr:Mass n22:RiemannKugel.svg dbr:Mathematical_model dbr:Division_by_zero dbr:Quantum_mechanics dbr:Cartesian_coordinates dbr:Infinity dbr:Automorphism dbc:Riemann_surfaces dbr:Field_(mathematics) dbr:Topology dbr:Spin_(physics) dbr:Hyperbolic_space dbr:Fubini–Study_metric dbr:Metric_tensor dbr:Biholomorphism dbr:Dessin_d'enfant dbr:Riemannian_metric dbr:Riemannian_manifold dbr:O(3) dbr:Holomorphic_function dbr:Closed_manifold dbr:Conformal_geometry dbr:Isometry_(Riemannian_geometry) dbr:Codomain dbr:Well-behaved dbr:Conformal_equivalence dbr:Conformal_manifold dbr:Subatomic_particle

dbo:wikiPageExternalLink

n7:roadtorealitycom00penr_0 n14:

owl:sameAs

dbpedia-it:Sfera_di_Riemann dbpedia-fi:Riemannin_pallo dbpedia-sk:Riemannova_guľa freebase:m.01932j dbpedia-sv:Riemannsfären dbpedia-ko:리만_구 dbpedia-zh:黎曼球面 dbpedia-sr:Rimanova_sfera dbpedia-ja:リーマン球面 dbpedia-eo:Rimana_sfero dbpedia-fa:کره_ریمان dbpedia-cs:Riemannova_sféra dbpedia-fr:Sphère_de_Riemann dbpedia-pt:Esfera_de_Riemann n31:Риман_сфераһы dbpedia-simple:Riemann_sphere dbpedia-no:Riemannsk_sfære dbpedia-es:Esfera_de_Riemann dbpedia-he:הספירה_של_רימן dbpedia-uk:Сфера_Рімана dbpedia-el:Σφαίρα_του_Ρίμαν dbpedia-ca:Esfera_de_Riemann dbpedia-pl:Sfera_Riemanna yago-res:Riemann_sphere dbpedia-ar:كرة_ريمان dbpedia-tr:Riemann_küresi dbpedia-de:Riemannsche_Zahlenkugel wikidata:Q825857 dbpedia-ru:Сфера_Римана n46:4yx8Z dbpedia-nl:Riemann-sfeer dbpedia-gl:Esfera_de_Riemann n51:Esfera_de_Riemann dbpedia-sl:Riemannova_sfera

dbp:wikiPageUsesTemplate

dbt:More_footnotes dbt:Cite_book dbt:Commons_category dbt:Reflist dbt:Bernhard_Riemann dbt:Short_description dbt:Springer dbt:Main_article dbt:Algebraic_curves_navbox dbt:Page_numbers_needed

dbo:thumbnail

n26:RiemannKugel.svg?width=300

dbp:id

p/r082010

dbp:title

Riemann sphere

dbo:abstract

La kompleksa ebeno povas esti etendita per unu plia nombro . La modelo de la etendita kompleksa ebeno estas la 2-dimensia sfero, kaj oni nomas tiun modelon la . Ĉi tiun modelon oni ofte traktas kiel 1-dimensia kompleksa sternaĵo. Ofte oni ne distingas inter Rimana sfero aŭ etendita kompleksa ebeno (aŭ etenditaj kompleksaj nombroj). Na matemática, a esfera de Riemann é uma maneira de ampliar o plano de números complexos com um ponto no infinito adicional, de uma maneira que faz com que expressões como sejam bem adequadas e úteis, pelo menos em determinados contextos. É nomeado devido ao matemático do século XIX Bernhard Riemann. É também chamada * complexa, notada , e * plano complexo estendido, notado ou . Em um nível puramente algébrico, os números complexos, com um elemento extra infinito, constituem um sistema conhecido como números complexos estendidos. Aritmética com o infinito não obedece todas as regras usuais da álgebra, e assim os números complexos estendidos não formam um corpo. No entanto, a esfera de Riemann é geométrica e analiticamente bem estabelecida, até ao infinito, é uma variedade complexa monodimensional, também chamado de superfície de Riemann. Em análise complexa, a esfera de Riemann facilita uma teoria elegante de funções meromórficas. A esfera de Riemann está presente na geometria projetiva e geometria algébrica como um exemplo fundamental de uma variedade complexa, espaço projetivo e variedade algébrica. Ele também encontra utilidade em outras disciplinas que dependem de análise e geometria, como a mecânica quântica e outros ramos da física. En matemàtiques, l'esfera de Riemann (o pla complex estès), que pren el nom del matemàtic del segle XIX Bernhard Riemann, és una esfera que s'obté a partir del pla complex afegent-hi un . L'esfera és la representació geomètrica de l'extensió dels nombres complexos , que consisteix en els nombres complexos juntament amb el símbol que representa l'infinit. Aquesta extensió dels nombres complexos és útil en anàlisi complexa perquè permet la divisió per zero en certes condicions, d'una manera que fa que igualtats com tinguin un . Per exemple, qualsevol funció racional del pla complex es pot estendre a una funció contínua a l'esfera de Riemann, en la qual la imatge dels pols de la funció racional és l'infinit. En general, qualsevol funció meromorfa es pot entendre com una funció contínua el codomini de la qual és l'esfera de Riemann. En geometria, l'esfera de Riemann és l'exemple prototípic d'una superfície de Riemann i és una de les varietats complexes més simples. En geometria projectiva, l'esfera pot veure's com la complexa , l'espai projectiu format per totes les de . Com la resta de superfícies de Riemann compactes, l'esfera també es pot obtenir com a corba algebraica projectiva, que serveix com a exemple fonamental en la geometria algebraica. També té utilitat en altres disciplines que depenen de l'anàlisi i la geometria, com ara la mecànica quàntica i altres branques de la física. 복소해석학에서 리만 구(Riemann球, 영어: Riemann sphere)는 복소 구조를 가진 3차원 구이다. 기호는 . Komplexní číslo lze znázornit na tzv. Riemannově sféře. Jedná se o povrch koule, která se svým jižním pólem dotýká Gaussovy roviny v jejím počátku. Spojením libovolného bodu Gaussovy roviny se severním pólem Riemannovy koule dostaneme bod . Přiřazení bodů a je vzájemně jednoznačné. Severnímu pólu odpovídá nevlastní bod . Sfera Riemanna lub płaszczyzna zespolona domknięta – sfera otrzymana z płaszczyzny zespolonej przez dodanie punktu w nieskończoności. Sfera jest geometryczną prezentacją rozszerzonego zbioru liczb zespolonych który zawiera wszystkie liczby zespolone oraz obiekt reprezentujący nieskończoność i oznaczany symbolem Nazwa pochodzi od matematyka z XIX wieku Bernharda Riemanna. Rozszerzony zbiór liczb zespolonych jest przydatny w analizie zespolonej, ponieważ pozwala w pewnych przypadkach na dzielenie przez zero, tzn. wyrażenia takie jak mają „wartość” w zbiorze Na przykład każda funkcja wymierna na płaszczyźnie zespolonej może być określona jako funkcja ciągła na sferze Riemanna, jeśli biegunom tej funkcji przypiszemy wartość Bardziej ogólnie, każdą funkcję meromorficzną można traktować jako funkcję ciągłą, której przeciwdziedziną jest sfera Riemanna. W geometrii sfera Riemanna jest przykładem powierzchni Riemanna i jedną z najprostszych rozmaitości zespolonych. De riemann-sfeer, sfeer van Riemann of riemannbol is in de wiskunde een manier om het complexe vlak met een extra punt op oneindig uit te breiden, zodat anders onbepaalde uitdrukkingen als in bepaalde contexten een zinvolle betekenis krijgen. De riemann-sfeer is genoemd naar de 19e-eeuwse wiskundige Bernhard Riemann en wordt ook wel aangeduid als * De complexe projectieve lijn * Het uitgebreide complexe vlak of (de complexe getallen C verenigd met oneindig). En mathématiques, la sphère de Riemann est une manière de prolonger le plan des nombres complexes avec un point additionnel à l'infini, de manière que certaines expressions mathématiques deviennent convergentes et élégantes, du moins dans certains contextes. Déjà envisagée par le mathématicien Carl Friedrich Gauss, elle est baptisée du nom de son élève Bernhard Riemann. Ce plan s'appelle également la droite projective complexe, dénoté . In mathematics, the Riemann sphere, named after Bernhard Riemann, is a model of the extended complex plane: the complex plane plus one point at infinity. This extended plane represents the extended complex numbers, that is, the complex numbers plus a value for infinity. With the Riemann model, the point is near to very large numbers, just as the point is near to very small numbers. The extended complex numbers are useful in complex analysis because they allow for division by zero in some circumstances, in a way that makes expressions such as well-behaved. For example, any rational function on the complex plane can be extended to a holomorphic function on the Riemann sphere, with the poles of the rational function mapping to infinity. More generally, any meromorphic function can be thought of as a holomorphic function whose codomain is the Riemann sphere. In geometry, the Riemann sphere is the prototypical example of a Riemann surface, and is one of the simplest complex manifolds. In projective geometry, the sphere can be thought of as the complex projective line , the projective space of all complex lines in . As with any compact Riemann surface, the sphere may also be viewed as a projective algebraic curve, making it a fundamental example in algebraic geometry. It also finds utility in other disciplines that depend on analysis and geometry, such as the Bloch sphere of quantum mechanics and in other branches of physics. The extended complex plane is also called the closed complex plane. In der Mathematik ist die riemannsche Zahlenkugel die riemannsche Fläche, die sich aus der Hinzunahme eines Punktes in der Unendlichkeit zu der komplexen Ebene ergibt. Sie geht zurück auf Bernhard Riemann. Weiter wird auf der riemannschen Zahlenkugel wie folgt eine Topologie definiert: Offene Mengen sind einerseits die offenen Mengen in und andererseits die bezüglich gebildeten Komplemente von kompakten Teilmengen von . Der so definierte topologische Raum stellt eine Kompaktifizierung der komplexen Ebene dar. Topologisch ist sie äquivalent zur Einheitssphäre . Mit der chordalen Metrik wird die Zahlenkugel zu einem metrischen Raum. Diese Metrik induziert die gleiche Topologie, die durch die Einpunktkompaktifizierung auf die Zahlenkugel induziert wird. Die komplexe Struktur der riemannschen Zahlenkugel wird durch zwei Karten gegeben. Die erste ist auf definiert und ist die Identität. Die zweite ist auf der Umgebung des unendlich fernen Punkts definiert durch Anschaulich handelt es sich um eine Kugel vom Radius 1, deren Nordpol auf (0,0,1) liegt (man darf die Kugel beliebig wählen, solange ihr Nordpol (0,0,1) ist). Dem unendlich fernen Punkt wird dieser Nordpol der Kugel zugeordnet und jedem Punkt der komplexen Zahlenebene der von verschiedene Schnittpunkt der Kugeloberfläche mit der Geraden durch (stereografische Projektion). Die Automorphismen, also die biholomorphen Abbildungen der riemannschen Zahlenkugel auf sich selbst, bilden die Gruppe der Möbiustransformationen. Сфера Рімана — ріманова поверхня, природна структура на розширеній комплексній площині яка є комплексною проективною прямою Іншими словами це модель розширеної комплексної площини, де до звичайної комплексної площини додається точка на нескінченності. Відповідно до моделі Рімана, точка «∞» наближається до дуже великих чисел, так само як точка «0» є близькою до дуже малих чисел. Як дійсний многовид дифеоморфна двовимірній сфері Riemannsfären är ett matematiskt hjälpmedel för att utöka det komplexa talplanet till att även innefatta en oändlighet. Sfären kan visualiseras som enhetssfären placerad i det komplexa talplanet och med dess centrum i origo. Punkterna på riemannsfären har en bijektiv avbildning på det komplexa talplanet. Om en rät linje dras från punkten (0, 0, 1) till punkten A i det komplexa talplanet, är punktens avbildning P(A) linjens skärningspunkt med enhetssfären; se figur 1, där de sfäriska koordinaterna för avbildningen P(A) är (1, θ, φ). Alla punkter i talplanet kan entydigt avbildas på riemannsfären och omvänt, med undantag av punkten (0, 0, 1) som inte har en avbildning på det komplexa talplanet. En punkt i talplanet som förflyttar sig bort från origo, oavsett i vilken riktning, kommer att ha en avbildning på sfären som närmar sig punkten (0, 0, 1). Ju längre bort från origo punkten är, desto närmare punkten (0, 0, 1) hamnar avbildningen på riemannsfären. Det utvidgade komplexa talplanet ℂ’ kan tänkas uppdelat i två områden. Ett område utgörs av enhetscirkeln och alla komplexa tal som befinner sig innanför denna avbildas på riemannsfärens undre halva och övriga komplexa tal avbildas på dess övre. Det komplexa talet B i figur 1 ligger inom enhetscirkeln i det komplexa talplanet och avbildas därför på riemannssfärens undre halva. Punkten (0, 0, 0) (det komplexa talplanets origo) avbildas i P(0). 数学上，黎曼球面是一种将複數平面加上一个无穷远点的扩张，使得下面这类公式至少在某种意义下有意义 它由19世纪数学家黎曼而得名。也称为 * 複射影直线，记为 ，和 * 扩充复平面，记为 或者. 从纯代数的角度，复数加上一个无穷远点构成一个数系称为扩充复数。无穷远点的算数有时和一般的代数规则不符，因此扩充复数不构成一个。但是，黎曼球面在几何和解析角度都行为良好，甚至在无穷远点也不例外；它是一个一维复流形，也称黎曼曲面。 复分析中，黎曼球面对于亚纯函数这个优雅的理论很有帮助。黎曼球面在射影几何和代数几何中作为复流形、射影空间和代数簇的基本例子到处出现。它在涉及分析和几何的其他学科也很有用，譬如量子力学和物理学其他分支。 En matemática, la esfera de Riemann (o plano complejo extendido), llamada así en honor al matemático del siglo XIX Bernhard Riemann, es una esfera obtenida del plano complejo mediante la adición de un punto del infinito. La esfera es la representación geométrica de los números complejos extendidos, denotado como ó ,​ (véase fig.1 y fig.2), la cual consiste en los números complejos ordinarios en conjunción con el símbolo para representar el infinito. Los números complejos extendidos son comunes en análisis complejo porque permiten la división por cero en algunas circunstancias, en el sentido de hacer expresiones bien definidas tales como: Por ejemplo, cualquier función racional sobre el plano complejo puede ser extendida como una función continua sobre la esfera de Riemann, con los polos de la función racional mapeados al infinito. Más generalmente, cualquier función meromorfa puede ser pensada como una función continua cuyo codominio es la esfera de Riemann. En geometría, la esfera de Riemann es el ejemplo prototípico de una superficie de Riemann, y una de las más simples variedades complejas. En geometría proyectiva, la esfera puede ser pensada como la recta proyectiva compleja , el espacio proyectivo de todos las en . Como con cualquier superficie de Riemann compacta, la esfera también puede ser vista como una curva algebraica proyectiva, haciendo de esto un ejemplo fundamental de geometría algebraica. También encuentra utilidad en otras disciplinas que dependen del análisis y de la geometría, como puede ser la mecánica cuántica y otras ramas de la física. Στα μαθηματικά, η σφαίρα του Riemann, η οποία πήρε το όνομά της από τον μαθηματικό του 19ου αιώνα Bernhard Riemann, είναι ένα μοντέλο του επεκτεταμένου μιγαδικού επιπέδου, δηλαδή του μιγαδικού επιπέδου συμπληρωμένου με ένα σημείο στο άπειρο. Αυτό το επεκτεταμένο μιγαδικό επίπεδο απεικονίζει τους επεκτεταμένους μιγαδικούς αριθμούς, οι οποίοι είναι οι μιγαδικοί αριθμοί μαζί με την τιμή "∞" για το άπειρο. Με το μοντέλο του Riemann, το σημείο "∞" είναι κοντά στους πολύ μεγάλους αριθμούς, όπως το σημείο "0" είναι κοντά στους πολύ μικρούς αριθμούς. Οι επεκτεταμένοι μιγαδικοί αριθμοί είναι χρήσιμοι στη μιγαδική ανάλυση, διότι επιτρέπουν σε ορισμένες περιπτώσεις τη διαίρεση με το μηδέν, έτσι ώστε να γίνονται δεκτές ως αληθείς εκφράσεις όπως 1/0 = ∞. Για παράδειγμα, κάθε ρητή συνάρτηση του μιγαδικού επιπέδου μπορεί να επεκταθεί σε μία συνεχή συνάρτηση της σφαίρας του Riemann, με τους πόλους της λογικής συνάρτησης να εντοπίζονται στο άπειρο. Γενικά, κάθε μερομορφική συνάρτηση μπορεί να θεωρηθεί ως μία συνεχής συνάρτηση της οποίας το είναι η σφαίρα του Riemann. Στη γεωμετρία, η σφαίρα του Riemann είναι το πρωτότυπο παράδειγμα μιας επιφάνειας Riemann και είναι το απλούστερο παράδειγμα μιγαδικής πολλαπλότητας. Στην προβολική γεωμετρία, η σφαίρα μπορεί να θεωρηθεί ως η μιγαδική προβολική ευθεία P1(C), ο προβολικός χώρος όλων των μιγαδικών ευθειών στο C2. Όπως με κάθε συμπαγής επιφάνεια Riemann, η σφαίρα μπορεί να θεωρηθεί ως μία προβολική αλγεβρική καμπύλη, καθιστώντας την ως ένα θεμελιώδες παράδειγμα της αλγεβρικής γεωμετρίας. Επίσης, είναι χρήσιμη και σε άλλους κλάδους που βασίζονται στην ανάλυση και την γεωμετρία, όπως η κβαντική μηχανικη και άλλοι κλάδοι της φυσικής. In matematica e più precisamente in analisi complessa, la sfera di Riemann è una particolare superficie di Riemann, definita aggiungendo un "punto all'infinito" al piano complesso. È anche chiamata retta proiettiva complessa, in simboli o piano complesso esteso, in simboli È possibile quindi vedere la sfera di Riemann da diverse prospettive tra loro complementari. A livello algebrico si considera il punto all'infinito come risultato dell'operazione In questo contesto il piano complesso esteso è analogo alla retta reale estesa. Da un punto di vista topologico, il piano complesso esteso è effettivamente una sfera, come mostrato dalla proiezione stereografica. In analisi complessa la sfera di Riemann è la più semplice superficie di Riemann compatta e quindi un oggetto centrale della teoria, utile a definire le funzioni meromorfe. La sfera di Riemann è centrale anche in altri campi della geometria, ad esempio in geometria proiettiva e geometria algebrica in quanto esempio fondamentale di varietà complessa, spazio proiettivo e varietà algebrica. Сфе́ра Ри́мана — наглядное изображение множества в виде сферы, подобно тому, как множество действительных чисел изображают в виде прямой и как множество комплексных чисел изображает в виде плоскости. По этой причине термин «сфера Римана» часто используется как синоним к термину «множество комплексных чисел, дополненных бесконечно удалённой точкой», наряду с термином «расширенная комплексная плоскость». При более формальном подходе под сферой Римана понимается сфера в пространстве , задаваемая уравнением , со стереографической проекцией в плоскость , отождествляемой с комплексной плоскостью. Именно об этой формально определённой конструкции далее пойдёт речь. في الرياضيات، كرة ريمان، نسبة إلى عَالِم الرياضيات الشهير بيرنارد ريمان، هي النموذج الرياضي الذي يمكن من إظهار المستوى العقدي الممدد (المستوى العقدي إضافة لنقطة في اللانهاية) بحيث يبدو من نقطة اللانهاية ممائلا لشكله عند أي عدد عقدي، بالذات بالنسبة . 数学においてリーマン球面（リーマンきゅうめん、英語: Riemann sphere）は、無限遠点 ∞ を一点追加して複素平面を拡張したものである。このとき、関係式 1/0 = ∞ を、意味を持ち、整合的であり、かつ有用となるように構成できる。19 世紀の数学者ベルンハルト・リーマンから名付けられた。これはまた、以下のようにも呼ばれる。 * 複素射影直線と言い、CP1 と書く。 * 拡張複素平面と言い、 または C ∪ {∞} と書く。 純代数的には、無限遠点を追加した複素数全体は、拡張複素数として知られる数体系を構成する。無限遠点を伴う算術は、通常の代数規則すべてには従わず、拡張複素数全体は体を構成しない。しかしリーマン球面は、幾何学的また解析学的に無限遠においてさえもよく振舞い、リーマン面とも呼ばれる 1-次元複素多様体をなす。 複素解析において、リーマン球面は有理型関数の洗練された理論で重要な役割を果たす。リーマン球面は、射影幾何学や代数幾何学では、複素多様体、射影空間、代数多様体の根源的な事例として常に登場する。リーマン球面はまた、量子力学その他の物理学の分野等、解析学と幾何学に依存する他の学問分野においても、有用性を発揮している。

gold:hypernym

dbr:Model

prov:wasDerivedFrom

wikipedia-en:Riemann_sphere?oldid=1122588396&ns=0

dbo:wikiPageLength

21794

foaf:isPrimaryTopicOf

wikipedia-en:Riemann_sphere