"Entier quadratique"@fr . . . . . . "\uC774\uCC28 \uC815\uC218"@ko . . . . . . . . "En math\u00E9matiques, un entier quadratique est un nombre complexe, racine d'un polyn\u00F4me unitaire du second degr\u00E9 \u00E0 coefficients entiers. La notion de nombre alg\u00E9brique de degr\u00E9 inf\u00E9rieur ou \u00E9gal \u00E0 2 est plus g\u00E9n\u00E9rale : elle correspond \u00E0 un nombre complexe, racine d'un polyn\u00F4me du second degr\u00E9 \u00E0 coefficients seulement rationnels."@fr . . . . . . . "Entero cuadr\u00E1tico"@es . . . . . . . . "Kwadratisch geheel getal"@nl . "21834785"^^ . . "1092148245"^^ . . . . . . . . . "In number theory, quadratic integers are a generalization of the usual integers to quadratic fields. Quadratic integers are algebraic integers of degree two, that is, solutions of equations of the form x2 + bx + c = 0 with b and c (usual) integers. When algebraic integers are considered, the usual integers are often called rational integers. Quadratic integers occur in the solutions of many Diophantine equations, such as Pell's equations, and other questions related to integral quadratic forms. The study of rings of quadratic integers is basic for many questions of algebraic number theory."@en . . . . "Quadratic integer"@en . . . . . . . . . "In de algebra\u00EFsche getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, zijn kwadratische gehele getallen een veralgemening van de rationale gehele getallen naar kwadratische velden. Belangrijke voorbeelden zijn de gehele getallen van Gauss en de gehele getallen van Eisenstein. Hoewel kwadratisch gehele getallen al meer dan honderd jaar onderzocht worden, kent dit onderzoeksgebied nog veel niet opgeloste problemen."@nl . . . . . . "20490"^^ . . . . . . . . . . . "Los enteros cuadr\u00E1ticos, en los predios de la teor\u00EDa de n\u00FAmeros, son una generalizaci\u00F3n de los enteros racionales a los cuerpos cuadr\u00E1ticos. Entre ejemplos importantes, se mencionan los enteros gaussianos y los enteros de Eisenstein. Aunque han sido estudiados, en un lapso mayor de cien a\u00F1os, muchos problemas contin\u00FAan en ayunos de soluci\u00F3n."@es . . . . . . . . . . . . . . "Los enteros cuadr\u00E1ticos, en los predios de la teor\u00EDa de n\u00FAmeros, son una generalizaci\u00F3n de los enteros racionales a los cuerpos cuadr\u00E1ticos. Entre ejemplos importantes, se mencionan los enteros gaussianos y los enteros de Eisenstein. Aunque han sido estudiados, en un lapso mayor de cien a\u00F1os, muchos problemas contin\u00FAan en ayunos de soluci\u00F3n."@es . . . . "En math\u00E9matiques, un entier quadratique est un nombre complexe, racine d'un polyn\u00F4me unitaire du second degr\u00E9 \u00E0 coefficients entiers. La notion de nombre alg\u00E9brique de degr\u00E9 inf\u00E9rieur ou \u00E9gal \u00E0 2 est plus g\u00E9n\u00E9rale : elle correspond \u00E0 un nombre complexe, racine d'un polyn\u00F4me du second degr\u00E9 \u00E0 coefficients seulement rationnels. Ces nombres particuliers disposent de propri\u00E9t\u00E9s alg\u00E9briques. Si \u03B1 est un entier quadratique, l'ensemble \u2124[\u03B1] des nombres de la forme a + b\u03B1, o\u00F9 a et b d\u00E9signent deux entiers relatifs, est un sous-anneau du corps \u2102 des nombres complexes (c'est-\u00E0-dire qu'il est stable par addition, soustraction et multiplication et qu'il contient 1). Si \u03B2 est un nombre alg\u00E9brique de degr\u00E9 2, l'ensemble des nombres de la forme a + b\u03B2, o\u00F9 a et b d\u00E9signent deux rationnels, est toujours un anneau unitaire et m\u00EAme un corps (tout \u00E9l\u00E9ment non nul est inversible), appel\u00E9 et not\u00E9 \u211A(\u03B2). Un nombre quadratique, entier ou seulement alg\u00E9brique, est ainsi avant tout un \u00E9l\u00E9ment d'un ensemble, structur\u00E9 par deux op\u00E9rations. Cette approche est au c\u0153ur de la th\u00E9orie alg\u00E9brique des nombres. Au lieu d'\u00E9tudier un nombre particulier, comme le nombre d'or, l'analyse de la structure d'anneau associ\u00E9, ici celui des entiers du corps \u211A(\u221A5) est plus fructueuse. Cette d\u00E9marche est ancienne, d\u00E8s le VIe si\u00E8cle les math\u00E9maticiens indiens avaient d\u00E9j\u00E0 d\u00E9couvert une multiplication sur un ensemble de cette nature, qui permet de r\u00E9soudre certains cas particuliers de l'\u00E9quation de Pell-Fermat. Au XIXe si\u00E8cle, Gauss pr\u00E9figure la d\u00E9marche moderne et fixe le vocabulaire avec l'\u00E9tude des entiers portant maintenant son nom. Il d\u00E9couvre que cet anneau est euclidien, permettant de d\u00E9velopper une arithm\u00E9tique analogue \u00E0 celle des entiers relatifs, avec sa version du th\u00E9or\u00E8me fondamental de l'arithm\u00E9tique et ses nombres premiers. Ces structures sont parfois sujettes \u00E0 des difficult\u00E9s, qualifi\u00E9es d'obstructions. L'une concerne les \u00E9l\u00E9ments inversibles qui sont parfois en nombre infini. Une deuxi\u00E8me obstruction existe si l'anneau n'est par exemple pas euclidien ni m\u00EAme principal. L'unicit\u00E9 de la d\u00E9composition en \u00AB facteurs premiers \u00BB ne s'applique plus et les techniques usuelles de l'arithm\u00E9tique s'av\u00E8rent inop\u00E9rantes. Une analyse plus profonde de la structure de l'anneau permet d'y rem\u00E9dier \u00E0 l'aide du concept d'id\u00E9al d'un anneau. Les anneaux d'entiers quadratiques forment en g\u00E9n\u00E9ral la premi\u00E8re classe d'exemples dans laquelle on tente de faire fonctionner des th\u00E9ories inaccessibles dans le cas g\u00E9n\u00E9ral (voir par exemple le th\u00E9or\u00E8me de Kronecker-Weber en th\u00E9orie des corps de classes). L'\u00E9tude des entiers quadratiques admet une version plus alg\u00E9brique : l'\u00E9tude des formes quadratiques binaires et de leur r\u00E9duction de Gauss, qui refl\u00E8te les propri\u00E9t\u00E9s arithm\u00E9tiques des corps quadratiques (groupe des classes d'id\u00E9aux en particulier). Il n'y a pas[r\u00E9f. n\u00E9cessaire] d'analogue \u00E0 cette interpr\u00E9tation dans les corps de nombres en g\u00E9n\u00E9ral."@fr . . . . . . . . . "In de algebra\u00EFsche getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, zijn kwadratische gehele getallen een veralgemening van de rationale gehele getallen naar kwadratische velden. Belangrijke voorbeelden zijn de gehele getallen van Gauss en de gehele getallen van Eisenstein. Hoewel kwadratisch gehele getallen al meer dan honderd jaar onderzocht worden, kent dit onderzoeksgebied nog veel niet opgeloste problemen."@nl . . "In number theory, quadratic integers are a generalization of the usual integers to quadratic fields. Quadratic integers are algebraic integers of degree two, that is, solutions of equations of the form x2 + bx + c = 0 with b and c (usual) integers. When algebraic integers are considered, the usual integers are often called rational integers. Common examples of quadratic integers are the square roots of rational integers, such as \u221A2, and the complex number i = \u221A\u20131, which generates the Gaussian integers. Another common example is the non-real cubic root of unity \u22121 + \u221A\u20133/2, which generates the Eisenstein integers. Quadratic integers occur in the solutions of many Diophantine equations, such as Pell's equations, and other questions related to integral quadratic forms. The study of rings of quadratic integers is basic for many questions of algebraic number theory."@en . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .