. . . . "Em matem\u00E1tica, o anel de inteiros \u00E9 o conjunto de inteiros constru\u00EDdo sobre uma estrutura alg\u00E9brica Z com as opera\u00E7\u00F5es de inteiros da adi\u00E7\u00E3o, nega\u00E7\u00E3o e multiplica\u00E7\u00E3o. \u00C9 um anel comutativo e \u00E9 o prot\u00F3tipo em virtude de satisfazer apenas as equa\u00E7\u00F5es mantidas por todos os an\u00E9is comutativos com a identidade; na verdade \u00E9 o anel comutativo inicial, assim como \u00E9 o anel inicial. Mais genericamente o anel de inteiros de um corpo num\u00E9rico alg\u00E9brico K, frequentemente notado por OK (ou ), \u00E9 o anel de contido em K."@pt . . . . "Anillo de los n\u00FAmeros enteros"@es . . . . . "Ring van de gehele getallen"@nl . "Okruh celistv\u00FDch \u010D\u00EDsel \u010D\u00EDseln\u00E9ho t\u011Blesa je v abstraktn\u00ED algeb\u0159e ozna\u010Den\u00ED pro celistv\u00FD uz\u00E1v\u011Br okruhu cel\u00FDch \u010D\u00EDsel v , tedy okruh tvo\u0159en\u00FD v\u0161emi prvky celistv\u00FDmi nad . Obvykle je zna\u010Den\u00FD . Jedn\u00E1 se o zobecn\u011Bn\u00ED vztahu okruhu cel\u00FDch \u010D\u00EDsel a t\u011Blesa racion\u00E1ln\u00EDch \u010D\u00EDsel."@cs . "Okruh celistv\u00FDch \u010D\u00EDsel \u010D\u00EDseln\u00E9ho t\u011Blesa je v abstraktn\u00ED algeb\u0159e ozna\u010Den\u00ED pro celistv\u00FD uz\u00E1v\u011Br okruhu cel\u00FDch \u010D\u00EDsel v , tedy okruh tvo\u0159en\u00FD v\u0161emi prvky celistv\u00FDmi nad . Obvykle je zna\u010Den\u00FD . Jedn\u00E1 se o zobecn\u011Bn\u00ED vztahu okruhu cel\u00FDch \u010D\u00EDsel a t\u011Blesa racion\u00E1ln\u00EDch \u010D\u00EDsel."@cs . "\u0388\u03C3\u03C4\u03C9 \u039A \u03AD\u03BD\u03B1 \u03B1\u03C1\u03B9\u03B8\u03BC\u03B7\u03C4\u03B9\u03BA\u03CC \u03C3\u03CE\u03BC\u03B1. \u03A9\u03C2 \u03B4\u03B1\u03BA\u03C4\u03CD\u03BB\u03B9\u03BF \u03B1\u03BA\u03B5\u03C1\u03B1\u03AF\u03C9\u03BD \u03C4\u03BF\u03C5 \u039A (ring of integers of K ) \u03BF\u03C1\u03AF\u03B6\u03BF\u03C5\u03BC\u03B5 \u03C4\u03BF \u03C3\u03CD\u03BD\u03BF\u03BB\u03BF . \u03A4\u03BF \u03C3\u03CD\u03BD\u03BF\u03BB\u03BF \u03B1\u03C5\u03C4\u03CC \u03B5\u03AF\u03BD\u03B1\u03B9 \u03B4\u03B1\u03BA\u03C4\u03CD\u03BB\u03B9\u03BF\u03C2 \u03C9\u03C2 \u03C5\u03C0\u03BF\u03B4\u03B1\u03BA\u03C4\u03CD\u03BB\u03B9\u03BF\u03C2 \u03C4\u03BF\u03C5 \u03BA\u03B1\u03B8\u03CE\u03C2 \u03C4\u03B1 \u03B5\u03AF\u03BD\u03B1\u03B9 \u03C5\u03C0\u03BF\u03B4\u03B1\u03BA\u03C4\u03CD\u03BB\u03B9\u03BF\u03B9 \u03C4\u03BF\u03C5 .\u0391\u03BA\u03CC\u03BC\u03B1 \u03B5\u03C0\u03B5\u03B9\u03B4\u03AE \u03BA\u03B1\u03B9 \u03AD\u03C0\u03B5\u03C4\u03B1\u03B9 \u03AC\u03BC\u03B5\u03C3\u03B1 \u03CC\u03C4\u03B9 ."@el . . "En matem\u00E1ticas, la frase anillo de los n\u00FAmeros enteros se puede referir a \n* el anillo de todos los enteros (positivos, negativos o cero), usualmente indicado como Z. \n* dado un campo num\u00E9rico algebraico K, los enteros algebraicos contenidos en K forman un anillo, el anillo de los enteros de K, com\u00FAnmente indicado como OK u . Usando esta notaci\u00F3n, se puede escribir Z = OQ dado que Z es el anillo de enteros del campo Q de n\u00FAmeros racionales. Y en efecto por esta raz\u00F3n, en la teor\u00EDa algebraica de n\u00FAmeros los elementos de Z son com\u00FAnmente llamados los \"enteros racionales\"."@es . . . "Ringen av heltal"@sv . "Anneau des entiers"@fr . "Ring of integers"@en . "\u6570\u5B66\u306B\u304A\u3044\u3066\u3001\u4EE3\u6570\u4F53 K \u306E\u6574\u6570\u74B0\uFF08\u305B\u3044\u3059\u3046\u304B\u3093\u3001\u82F1: ring of integers\uFF09\u3068\u306F\u3001K \u306B\u542B\u307E\u308C\u308B\u3059\u3079\u3066\u306E\u6574\u306A\u5143\u304B\u3089\u306A\u308B\u74B0\u3067\u3042\u308B\u3002\u6574\u306A\u5143\u3068\u306F\u6709\u7406\u6574\u6570\u4FC2\u6570\u306E\u5358\u591A\u9805\u5F0F xn + cn\u22121xn\u22121 + \u22EF + c0 \u306E\u6839\u3067\u3042\u308B\u3002\u3053\u306E\u74B0\u306F\u3057\u3070\u3057\u3070 OK \u3042\u308B\u3044\u306F \u3068\u66F8\u304B\u308C\u308B\u3002\u4EFB\u610F\u306E\u6709\u7406\u6574\u6570\u306F K \u306B\u5C5E\u3057\u3001\u305D\u306E\u6574\u5143\u3067\u3042\u308B\u304B\u3089\u3001\u74B0 Z \u306F\u3064\u306D\u306B OK \u306E\u90E8\u5206\u74B0\u3067\u3042\u308B\u3002 \u74B0 Z \u306F\u6700\u3082\u7C21\u5358\u306A\u6574\u6570\u74B0\u3067\u3042\u308B\u3002\u3059\u306A\u308F\u3061\u3001Z = OQ \u305F\u3060\u3057 Q \u306F\u6709\u7406\u6570\u4F53\u3067\u3042\u308B\u3002\u305D\u3057\u3066\u5B9F\u969B\u3001\u4EE3\u6570\u7684\u6574\u6570\u8AD6\u3067\u306F\u3001Z \u306E\u5143\u306F\u3053\u306E\u305F\u3081\u3057\u3070\u3057\u3070\u300C\u6709\u7406\u6574\u6570\u300D\u3068\u547C\u3070\u308C\u308B\u3002 \u4EE3\u6570\u4F53\u306E\u6574\u6570\u74B0\u306F\u4F53\u306E\u4E00\u610F\u7684\u306A\u6975\u5927\u3067\u3042\u308B\u3002"@ja . . . . . . . . "Anello degli interi"@it . . . . "\u041A\u0456\u043B\u044C\u0446\u0435 \u0446\u0456\u043B\u0438\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043B \u2014 \u043C\u043D\u043E\u0436\u0438\u043D\u0430 \u0446\u0456\u043B\u0438\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043B, \u0437 \u043E\u043F\u0435\u0440\u0430\u0446\u0456\u044F\u043C\u0438 \u0434\u043E\u0434\u0430\u0432\u0430\u043D\u043D\u044F, \u0432\u0456\u0434\u043D\u0456\u043C\u0430\u043D\u043D\u044F \u0456 \u043C\u043D\u043E\u0436\u0435\u043D\u043D\u044F. \u0411\u0456\u043B\u044C\u0448 \u0437\u0430\u0433\u0430\u043B\u044C\u043D\u043E \u043A\u0456\u043B\u044C\u0446\u0435 \u0446\u0456\u043B\u0438\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043B \u0447\u0438\u0441\u043B\u043E\u0432\u043E\u0433\u043E \u043F\u043E\u043B\u044F K, \u0449\u043E \u0447\u0430\u0441\u0442\u043E \u043F\u043E\u0437\u043D\u0430\u0447\u0430\u0454\u0442\u044C\u0441\u044F OK (\u0447\u0438 ) \u2014 \u043A\u0456\u043B\u044C\u0446\u0435 \u0446\u0456\u043B\u0438\u0445 \u0430\u043B\u0433\u0435\u0431\u0440\u0430\u0457\u0447\u043D\u0438\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043B, \u0449\u043E \u043C\u0456\u0441\u0442\u044F\u0442\u044C\u0441\u044F \u0432 K. \u0412\u0438\u043A\u043E\u0440\u0438\u0441\u0442\u043E\u0432\u0443\u044E\u0447\u0438 \u0446\u044E \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043C\u0443 \u043F\u043E\u0437\u043D\u0430\u0447\u0435\u043D\u044C, \u043C\u043E\u0436\u043D\u0430 \u0437\u0430\u043F\u0438\u0441\u0430\u0442\u0438 \u043E\u0441\u043A\u0456\u043B\u044C\u043A\u0438 \u0454 \u043A\u0456\u043B\u044C\u0446\u0435\u043C \u0446\u0456\u043B\u0438\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043B \u043F\u043E\u043B\u044F \u0440\u0430\u0446\u0456\u043E\u043D\u0430\u043B\u044C\u043D\u0438\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043B. \u0412 \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u0446\u0435 \u0435\u043B\u0435\u043C\u0435\u043D\u0442\u0438 \u0447\u0430\u0441\u0442\u043E \u043D\u0430\u0437\u0438\u0432\u0430\u044E\u0442\u044C \u00AB\u0440\u0430\u0446\u0456\u043E\u043D\u0430\u043B\u044C\u043D\u0438\u043C\u0438 \u0446\u0456\u043B\u0438\u043C\u0438 \u0447\u0438\u0441\u043B\u0430\u043C\u0438\u00BB. \u0434\u0435 . \u0420\u0430\u043D\u0433 n OK \u044F\u043A \u0432\u0456\u043B\u044C\u043D\u043E\u0433\u043E Z-\u043C\u043E\u0434\u0443\u043B\u044F \u0440\u0456\u0432\u043D\u0438\u0439 \u0441\u0442\u0435\u043F\u0435\u043D\u044E K \u044F\u043A \u0440\u043E\u0437\u0448\u0438\u0440\u0435\u043D\u043D\u044F \u043F\u043E\u043B\u044F Q. \u041A\u0456\u043B\u044C\u0446\u0435 \u0446\u0456\u043B\u0438\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043B \u0447\u0438\u0441\u043B\u043E\u0432\u043E\u0433\u043E \u043F\u043E\u043B\u044F \u0454 \u043A\u0456\u043B\u044C\u0446\u0435\u043C \u0414\u0435\u0434\u0435\u043A\u0456\u043D\u0434\u0430."@uk . "Pier\u015Bcie\u0144 liczb ca\u0142kowitych \u2013 zbi\u00F3r liczb ca\u0142kowitych tworz\u0105cych struktur\u0119 algebraiczn\u0105 z operacjami dodawania, brania liczby przeciwnej i mno\u017Cenia. Stanowi\u0105 one pier\u015Bcie\u0144 przemienny, kt\u00F3rego s\u0105 prawzorem poprzez fakt spe\u0142niania tylko tych r\u00F3wna\u0144, kt\u00F3re zachodz\u0105 dla wszystkich pier\u015Bcieni przemiennych z jedynk\u0105; istotnie, jest to pocz\u0105tkowy pier\u015Bcie\u0144 przemienny, a nawet pier\u015Bcie\u0144 pocz\u0105tkowy."@pl . . "Inom matematiken \u00E4r ringen av heltal av en algebraisk talkropp K, ringen av alla heltalselement i K. Ett heltalselement \u00E4r en rot av ett moniskt polynom med rationella heltalskoefficienter xn + cn\u22121xn\u22121 + \u2026 + c0\u2009. Denna ring betecknas ofta med OK eller . Eftersom alla rationella heltal tillh\u00F6r K och \u00E4r dess heltalselement, s\u00E5 \u00E4r ringen av heltal Z alltid en av OK. Ringen Z \u00E4r den enklaste ringen av heltal emedan Z = OQ d\u00E4r Q \u00E4r kroppen av rationella tal. Beroende p\u00E5 detta kallas elementen av Z ofta \"de rationella heltalen\" inom algebraisk talteori."@sv . . . . "1101643818"^^ . . "Okruh celistv\u00FDch \u010D\u00EDsel"@cs . . . . . . . . . . "\u041A\u0456\u043B\u044C\u0446\u0435 \u0446\u0456\u043B\u0438\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043B \u2014 \u043C\u043D\u043E\u0436\u0438\u043D\u0430 \u0446\u0456\u043B\u0438\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043B, \u0437 \u043E\u043F\u0435\u0440\u0430\u0446\u0456\u044F\u043C\u0438 \u0434\u043E\u0434\u0430\u0432\u0430\u043D\u043D\u044F, \u0432\u0456\u0434\u043D\u0456\u043C\u0430\u043D\u043D\u044F \u0456 \u043C\u043D\u043E\u0436\u0435\u043D\u043D\u044F. \u0411\u0456\u043B\u044C\u0448 \u0437\u0430\u0433\u0430\u043B\u044C\u043D\u043E \u043A\u0456\u043B\u044C\u0446\u0435 \u0446\u0456\u043B\u0438\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043B \u0447\u0438\u0441\u043B\u043E\u0432\u043E\u0433\u043E \u043F\u043E\u043B\u044F K, \u0449\u043E \u0447\u0430\u0441\u0442\u043E \u043F\u043E\u0437\u043D\u0430\u0447\u0430\u0454\u0442\u044C\u0441\u044F OK (\u0447\u0438 ) \u2014 \u043A\u0456\u043B\u044C\u0446\u0435 \u0446\u0456\u043B\u0438\u0445 \u0430\u043B\u0433\u0435\u0431\u0440\u0430\u0457\u0447\u043D\u0438\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043B, \u0449\u043E \u043C\u0456\u0441\u0442\u044F\u0442\u044C\u0441\u044F \u0432 K. \u0412\u0438\u043A\u043E\u0440\u0438\u0441\u0442\u043E\u0432\u0443\u044E\u0447\u0438 \u0446\u044E \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043C\u0443 \u043F\u043E\u0437\u043D\u0430\u0447\u0435\u043D\u044C, \u043C\u043E\u0436\u043D\u0430 \u0437\u0430\u043F\u0438\u0441\u0430\u0442\u0438 \u043E\u0441\u043A\u0456\u043B\u044C\u043A\u0438 \u0454 \u043A\u0456\u043B\u044C\u0446\u0435\u043C \u0446\u0456\u043B\u0438\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043B \u043F\u043E\u043B\u044F \u0440\u0430\u0446\u0456\u043E\u043D\u0430\u043B\u044C\u043D\u0438\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043B. \u0412 \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u0446\u0435 \u0435\u043B\u0435\u043C\u0435\u043D\u0442\u0438 \u0447\u0430\u0441\u0442\u043E \u043D\u0430\u0437\u0438\u0432\u0430\u044E\u0442\u044C \u00AB\u0440\u0430\u0446\u0456\u043E\u043D\u0430\u043B\u044C\u043D\u0438\u043C\u0438 \u0446\u0456\u043B\u0438\u043C\u0438 \u0447\u0438\u0441\u043B\u0430\u043C\u0438\u00BB. \u041A\u0456\u043B\u044C\u0446\u0435 \u0446\u0456\u043B\u0438\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043B OK \u0454 -\u043C\u043E\u0434\u0443\u043B\u0435\u043C; \u0432\u0456\u043D \u0454 \u0432\u0456\u043B\u044C\u043D\u0438\u043C \u043C\u043E\u0434\u0443\u043B\u0435\u043C \u0456 \u0442\u043E\u043C\u0443 \u043C\u0430\u0454 \u0446\u0456\u043B\u043E\u0447\u0438\u0441\u0435\u043B\u044C\u043D\u0438\u0439 \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441, \u0442\u043E\u0431\u0442\u043E \u0456\u0441\u043D\u0443\u044E\u0442\u044C \u0435\u043B\u0435\u043C\u0435\u043D\u0442\u0438 b1,...,bn \u2208 OK \u0442\u0430\u043A\u0456, \u0449\u043E \u0434\u043E\u0432\u0456\u043B\u044C\u043D\u0438\u0439 \u0435\u043B\u0435\u043C\u0435\u043D\u0442 x \u043A\u0456\u043B\u044C\u0446\u044F OK \u043C\u043E\u0436\u0435 \u0454\u0434\u0438\u043D\u0438\u043C \u0447\u0438\u043D\u043E\u043C \u0431\u0443\u0442\u0438 \u0437\u0430\u043F\u0438\u0441\u0430\u043D\u0438\u0439 \u0443 \u0432\u0438\u0434\u0456: \u0434\u0435 . \u0420\u0430\u043D\u0433 n OK \u044F\u043A \u0432\u0456\u043B\u044C\u043D\u043E\u0433\u043E Z-\u043C\u043E\u0434\u0443\u043B\u044F \u0440\u0456\u0432\u043D\u0438\u0439 \u0441\u0442\u0435\u043F\u0435\u043D\u044E K \u044F\u043A \u0440\u043E\u0437\u0448\u0438\u0440\u0435\u043D\u043D\u044F \u043F\u043E\u043B\u044F Q. \u041A\u0456\u043B\u044C\u0446\u0435 \u0446\u0456\u043B\u0438\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043B \u0447\u0438\u0441\u043B\u043E\u0432\u043E\u0433\u043E \u043F\u043E\u043B\u044F \u0454 \u043A\u0456\u043B\u044C\u0446\u0435\u043C \u0414\u0435\u0434\u0435\u043A\u0456\u043D\u0434\u0430."@uk . . . . "Inom matematiken \u00E4r ringen av heltal av en algebraisk talkropp K, ringen av alla heltalselement i K. Ett heltalselement \u00E4r en rot av ett moniskt polynom med rationella heltalskoefficienter xn + cn\u22121xn\u22121 + \u2026 + c0\u2009. Denna ring betecknas ofta med OK eller . Eftersom alla rationella heltal tillh\u00F6r K och \u00E4r dess heltalselement, s\u00E5 \u00E4r ringen av heltal Z alltid en av OK. Ringen Z \u00E4r den enklaste ringen av heltal emedan Z = OQ d\u00E4r Q \u00E4r kroppen av rationella tal. Beroende p\u00E5 detta kallas elementen av Z ofta \"de rationella heltalen\" inom algebraisk talteori. Ringen av heltal av en algebraisk talkropp \u00E4r den unika maximala av talkroppen."@sv . . "\u041A\u043E\u043B\u044C\u0446\u043E \u0446\u0435\u043B\u044B\u0445"@ru . . . . . "In matematica, l'anello degli interi di un campo di numeri algebrico \u00E8 l'anello di tutti gli elementi interi contenuti in Un elemento intero \u00E8 una radice di un polinomio monico con coefficienti interi Questo anello \u00E8 spesso indicato con Poich\u00E9 ogni numero intero appartiene a ed \u00E8 un elemento intero di l'anello \u00E8 sempre un sottoanello di L'anello dei numeri interi \u00E8 l'anello degli interi pi\u00F9 semplice possibile. Cio\u00E8 dove \u00E8 il campo dei numeri razionali. In teoria algebrica dei numeri gli elementi di sono spesso chiamati \"interi razionali\" per questo motivo. Il secondo esempio pi\u00F9 semplice \u00E8 l'anello degli interi gaussiani costituito da numeri complessi le cui parti reali e immaginarie sono numeri interi. \u00C8 l'anello degli interi nel campo di numeri dei numeri complessi le cui parti reali e immaginarie sono numeri razionali. Come gli interi razionali, \u00E8 un dominio euclideo. L'anello degli interi di un campo di numeri algebrico \u00E8 l'unico ordine massimo nel campo. \u00C8 sempre un dominio di Dedekind."@it . . . "Im mathematischen Teilgebiet der algebraischen Zahlentheorie ist der Ganzheitsring eines algebraischen Zahlk\u00F6rpers das Analogon des Ringes der ganzen Zahlen im Fall des K\u00F6rpers der rationalen Zahlen. Die Elemente eines Ganzheitsringes werden als algebraisch ganze Zahlen bezeichnet, die Menge aller algebraisch ganzen Zahlen ist der Ganzheitsring im K\u00F6rper aller algebraischen Zahlen."@de . . . "\u041A\u0456\u043B\u044C\u0446\u0435 \u0446\u0456\u043B\u0438\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043B"@uk . . . . . "In mathematics, the ring of integers of an algebraic number field is the ring of all algebraic integers contained in . An algebraic integer is a root of a monic polynomial with integer coefficients: . This ring is often denoted by or . Since any integer belongs to and is an integral element of , the ring is always a subring of . The ring of integers is the simplest possible ring of integers. Namely, where is the field of rational numbers. And indeed, in algebraic number theory the elements of are often called the \"rational integers\" because of this. The next simplest example is the ring of Gaussian integers , consisting of complex numbers whose real and imaginary parts are integers. It is the ring of integers in the number field of Gaussian rationals, consisting of complex numbers whose real and imaginary parts are rational numbers. Like the rational integers, is a Euclidean domain. The ring of integers of an algebraic number field is the unique maximal order in the field. It is always a Dedekind domain."@en . . "Em matem\u00E1tica, o anel de inteiros \u00E9 o conjunto de inteiros constru\u00EDdo sobre uma estrutura alg\u00E9brica Z com as opera\u00E7\u00F5es de inteiros da adi\u00E7\u00E3o, nega\u00E7\u00E3o e multiplica\u00E7\u00E3o. \u00C9 um anel comutativo e \u00E9 o prot\u00F3tipo em virtude de satisfazer apenas as equa\u00E7\u00F5es mantidas por todos os an\u00E9is comutativos com a identidade; na verdade \u00E9 o anel comutativo inicial, assim como \u00E9 o anel inicial. Mais genericamente o anel de inteiros de um corpo num\u00E9rico alg\u00E9brico K, frequentemente notado por OK (ou ), \u00E9 o anel de contido em K."@pt . "In de algebra\u00EFsche getaltheorie is de ring van de gehele getallen de verzameling van gehele getallen, die tot een algebra\u00EFsche structuur , uitgerust met de operaties van optelling, aftrekken en vermenigvuldiging, is gemaakt. De ring van de gehele getallen is een commutatieve ring. Meer in het algemeen is de ring van gehele getallen van een algebra\u00EFsch getallenlichaam , vaak aangeduid met of met , de ring van algebra\u00EFsche gehele getallen in . Door gebruik te maken van deze notatie, kunnen we schrijven, dit aangezien , zoals hierboven, de ring van gehele getallen van het lichaam (Nederlands) of veld (Belgisch) van de rationale getallen is. En inderdaad worden in de algebra\u00EFsche getaltheorie de elementen van daarom vaak de rationale gehele getallen genoemd. De ring van gehele getallen is een -moduul. Minder duidelijk is het dat het een vrij -moduul is en dus een basis heeft, waarmee wij bedoelen dat er een bestaat, de basis, zodanig dat ieder element in op unieke wijze kan worden weergegeven als met . De rang van als een vrij -moduul is gelijk aan de graad van over . Ringen van gehele getallen in getallenlichamen zijn Dedekind-domeinen."@nl . . . . . . "8078"^^ . . . "Pier\u015Bcie\u0144 liczb ca\u0142kowitych \u2013 zbi\u00F3r liczb ca\u0142kowitych tworz\u0105cych struktur\u0119 algebraiczn\u0105 z operacjami dodawania, brania liczby przeciwnej i mno\u017Cenia. Stanowi\u0105 one pier\u015Bcie\u0144 przemienny, kt\u00F3rego s\u0105 prawzorem poprzez fakt spe\u0142niania tylko tych r\u00F3wna\u0144, kt\u00F3re zachodz\u0105 dla wszystkich pier\u015Bcieni przemiennych z jedynk\u0105; istotnie, jest to pocz\u0105tkowy pier\u015Bcie\u0144 przemienny, a nawet pier\u015Bcie\u0144 pocz\u0105tkowy."@pl . . "\u6570\u5B66\u306B\u304A\u3044\u3066\u3001\u4EE3\u6570\u4F53 K \u306E\u6574\u6570\u74B0\uFF08\u305B\u3044\u3059\u3046\u304B\u3093\u3001\u82F1: ring of integers\uFF09\u3068\u306F\u3001K \u306B\u542B\u307E\u308C\u308B\u3059\u3079\u3066\u306E\u6574\u306A\u5143\u304B\u3089\u306A\u308B\u74B0\u3067\u3042\u308B\u3002\u6574\u306A\u5143\u3068\u306F\u6709\u7406\u6574\u6570\u4FC2\u6570\u306E\u5358\u591A\u9805\u5F0F xn + cn\u22121xn\u22121 + \u22EF + c0 \u306E\u6839\u3067\u3042\u308B\u3002\u3053\u306E\u74B0\u306F\u3057\u3070\u3057\u3070 OK \u3042\u308B\u3044\u306F \u3068\u66F8\u304B\u308C\u308B\u3002\u4EFB\u610F\u306E\u6709\u7406\u6574\u6570\u306F K \u306B\u5C5E\u3057\u3001\u305D\u306E\u6574\u5143\u3067\u3042\u308B\u304B\u3089\u3001\u74B0 Z \u306F\u3064\u306D\u306B OK \u306E\u90E8\u5206\u74B0\u3067\u3042\u308B\u3002 \u74B0 Z \u306F\u6700\u3082\u7C21\u5358\u306A\u6574\u6570\u74B0\u3067\u3042\u308B\u3002\u3059\u306A\u308F\u3061\u3001Z = OQ \u305F\u3060\u3057 Q \u306F\u6709\u7406\u6570\u4F53\u3067\u3042\u308B\u3002\u305D\u3057\u3066\u5B9F\u969B\u3001\u4EE3\u6570\u7684\u6574\u6570\u8AD6\u3067\u306F\u3001Z \u306E\u5143\u306F\u3053\u306E\u305F\u3081\u3057\u3070\u3057\u3070\u300C\u6709\u7406\u6574\u6570\u300D\u3068\u547C\u3070\u308C\u308B\u3002 \u4EE3\u6570\u4F53\u306E\u6574\u6570\u74B0\u306F\u4F53\u306E\u4E00\u610F\u7684\u306A\u6975\u5927\u3067\u3042\u308B\u3002"@ja . . . . "Ganzheitsring"@de . . . . . "\u6574\u6570\u74B0"@ja . . . . "In de algebra\u00EFsche getaltheorie is de ring van de gehele getallen de verzameling van gehele getallen, die tot een algebra\u00EFsche structuur , uitgerust met de operaties van optelling, aftrekken en vermenigvuldiging, is gemaakt. De ring van de gehele getallen is een commutatieve ring. Meer in het algemeen is de ring van gehele getallen van een algebra\u00EFsch getallenlichaam , vaak aangeduid met of met , de ring van algebra\u00EFsche gehele getallen in . met . De rang van als een vrij -moduul is gelijk aan de graad van over . Ringen van gehele getallen in getallenlichamen zijn Dedekind-domeinen."@nl . . "En matem\u00E1ticas, la frase anillo de los n\u00FAmeros enteros se puede referir a \n* el anillo de todos los enteros (positivos, negativos o cero), usualmente indicado como Z. \n* dado un campo num\u00E9rico algebraico K, los enteros algebraicos contenidos en K forman un anillo, el anillo de los enteros de K, com\u00FAnmente indicado como OK u . Usando esta notaci\u00F3n, se puede escribir Z = OQ dado que Z es el anillo de enteros del campo Q de n\u00FAmeros racionales. Y en efecto por esta raz\u00F3n, en la teor\u00EDa algebraica de n\u00FAmeros los elementos de Z son com\u00FAnmente llamados los \"enteros racionales\"."@es . . "\u0388\u03C3\u03C4\u03C9 \u039A \u03AD\u03BD\u03B1 \u03B1\u03C1\u03B9\u03B8\u03BC\u03B7\u03C4\u03B9\u03BA\u03CC \u03C3\u03CE\u03BC\u03B1. \u03A9\u03C2 \u03B4\u03B1\u03BA\u03C4\u03CD\u03BB\u03B9\u03BF \u03B1\u03BA\u03B5\u03C1\u03B1\u03AF\u03C9\u03BD \u03C4\u03BF\u03C5 \u039A (ring of integers of K ) \u03BF\u03C1\u03AF\u03B6\u03BF\u03C5\u03BC\u03B5 \u03C4\u03BF \u03C3\u03CD\u03BD\u03BF\u03BB\u03BF . \u03A4\u03BF \u03C3\u03CD\u03BD\u03BF\u03BB\u03BF \u03B1\u03C5\u03C4\u03CC \u03B5\u03AF\u03BD\u03B1\u03B9 \u03B4\u03B1\u03BA\u03C4\u03CD\u03BB\u03B9\u03BF\u03C2 \u03C9\u03C2 \u03C5\u03C0\u03BF\u03B4\u03B1\u03BA\u03C4\u03CD\u03BB\u03B9\u03BF\u03C2 \u03C4\u03BF\u03C5 \u03BA\u03B1\u03B8\u03CE\u03C2 \u03C4\u03B1 \u03B5\u03AF\u03BD\u03B1\u03B9 \u03C5\u03C0\u03BF\u03B4\u03B1\u03BA\u03C4\u03CD\u03BB\u03B9\u03BF\u03B9 \u03C4\u03BF\u03C5 .\u0391\u03BA\u03CC\u03BC\u03B1 \u03B5\u03C0\u03B5\u03B9\u03B4\u03AE \u03BA\u03B1\u03B9 \u03AD\u03C0\u03B5\u03C4\u03B1\u03B9 \u03AC\u03BC\u03B5\u03C3\u03B1 \u03CC\u03C4\u03B9 ."@el . . . . "En alg\u00E8bre commutative, l'anneau des entiers est une construction que l'on peut obtenir \u00E0 partir de tout corps de nombres en consid\u00E9rant ses \u00E9l\u00E9ments entiers. Par exemple, l'anneau des entiers de est . Il existe des algorithmes efficaces pour calculer cet anneau pour tout corps de nombres. La notion peut en fait \u00EAtre \u00E9tendue \u00E0 d'autres objets (notamment les corps de fonctions), et porte une interpr\u00E9tation g\u00E9om\u00E9trique."@fr . "\uB300\uC218\uC801 \uC815\uC218\uD658"@ko . . . . . . . . . "460613"^^ . . "Im mathematischen Teilgebiet der algebraischen Zahlentheorie ist der Ganzheitsring eines algebraischen Zahlk\u00F6rpers das Analogon des Ringes der ganzen Zahlen im Fall des K\u00F6rpers der rationalen Zahlen. Die Elemente eines Ganzheitsringes werden als algebraisch ganze Zahlen bezeichnet, die Menge aller algebraisch ganzen Zahlen ist der Ganzheitsring im K\u00F6rper aller algebraischen Zahlen."@de . "In matematica, l'anello degli interi di un campo di numeri algebrico \u00E8 l'anello di tutti gli elementi interi contenuti in Un elemento intero \u00E8 una radice di un polinomio monico con coefficienti interi Questo anello \u00E8 spesso indicato con Poich\u00E9 ogni numero intero appartiene a ed \u00E8 un elemento intero di l'anello \u00E8 sempre un sottoanello di L'anello dei numeri interi \u00E8 l'anello degli interi pi\u00F9 semplice possibile. Cio\u00E8 dove \u00E8 il campo dei numeri razionali. In teoria algebrica dei numeri gli elementi di sono spesso chiamati \"interi razionali\" per questo motivo."@it . "En alg\u00E8bre commutative, l'anneau des entiers est une construction que l'on peut obtenir \u00E0 partir de tout corps de nombres en consid\u00E9rant ses \u00E9l\u00E9ments entiers. Par exemple, l'anneau des entiers de est . Il existe des algorithmes efficaces pour calculer cet anneau pour tout corps de nombres. La notion peut en fait \u00EAtre \u00E9tendue \u00E0 d'autres objets (notamment les corps de fonctions), et porte une interpr\u00E9tation g\u00E9om\u00E9trique."@fr . "\u0394\u03B1\u03BA\u03C4\u03CD\u03BB\u03B9\u03BF\u03C2 \u03B1\u03BA\u03B5\u03C1\u03B1\u03AF\u03C9\u03BD"@el . "In mathematics, the ring of integers of an algebraic number field is the ring of all algebraic integers contained in . An algebraic integer is a root of a monic polynomial with integer coefficients: . This ring is often denoted by or . Since any integer belongs to and is an integral element of , the ring is always a subring of . The ring of integers is the simplest possible ring of integers. Namely, where is the field of rational numbers. And indeed, in algebraic number theory the elements of are often called the \"rational integers\" because of this."@en . "Pier\u015Bcie\u0144 liczb ca\u0142kowitych"@pl . . . . . . . "Anel de inteiros"@pt .