. . . . . . . . . "\u30D0\u30CA\u30C3\u30CF\uFF1D\u30BF\u30EB\u30B9\u30AD\u30FC\u306E\u30D1\u30E9\u30C9\u30C3\u30AF\u30B9 (Banach-Tarski paradox) \u306F\u3001\u7403\u30923\u6B21\u5143\u7A7A\u9593\u5185\u3067\u3001\u6709\u9650\u500B\u306E\u90E8\u5206\u306B\u5206\u5272\u3057\u3001\u305D\u308C\u3089\u3092\u56DE\u8EE2\u30FB\u5E73\u884C\u79FB\u52D5\u64CD\u4F5C\u306E\u307F\u3092\u4F7F\u3063\u3066\u3046\u307E\u304F\u7D44\u307F\u66FF\u3048\u308B\u3053\u3068\u3067\u3001\u5143\u306E\u7403\u3068\u540C\u3058\u534A\u5F84\u306E\u7403\u30922\u3064\u4F5C\u308B\u3053\u3068\u304C\u3067\u304D\u308B\u3068\u3044\u3046\u5B9A\u7406\uFF08\u305F\u3060\u3057\u3001\u5404\u65AD\u7247\u306F\u901A\u5E38\u306E\u610F\u5473\u3067\u4F53\u7A4D\u3092\u5B9A\u7FA9\u3067\u304D\u306A\u3044\uFF09\u3002\u3053\u306E\u64CD\u4F5C\u3092\u884C\u3046\u305F\u3081\u306B\u7403\u3092\u6700\u4F4E5\u3064\u306B\u5206\u5272\u3059\u308B\u5FC5\u8981\u304C\u3042\u308B\u3002 \u30D0\u30CA\u30C3\u30CF\uFF1D\u30BF\u30EB\u30B9\u30AD\u30FC\u306E\u8A3C\u660E\u3067\u306F\u3001\u30CF\u30A6\u30B9\u30C9\u30EB\u30D5\u306E\u30D1\u30E9\u30C9\u30C3\u30AF\u30B9\u304C\u63F4\u7528\u3055\u308C\u3001\u305D\u306E\u5F8C\u3001\u591A\u304F\u306E\u4EBA\u306B\u3088\u308A\u8A3C\u660E\u306E\u6700\u9069\u5316\u3001\u69D8\u3005\u306A\u7A7A\u9593\u3078\u306E\u62E1\u5F35\u304C\u884C\u308F\u308C\u305F\u3002 \u3053\u306E\u5B9A\u7406\u306F\u6B21\u306E\u3088\u3046\u306B\u8FF0\u3079\u308B\u3053\u3068\u3082\u51FA\u6765\u308B\u3002 \n* \u7403\u306F\u3001\u305D\u308C\u81EA\u8EAB\u3068\u540C\u3058\u7403\u4E8C\u3064\u3068\u5206\u5272\u5408\u540C\u3067\u3042\u308B\u3002 \u305F\u3060\u3057\u3001\u5206\u5272\u5408\u540C\u3068\u306F\u4EE5\u4E0B\u306E\u3088\u3046\u306B\u5B9A\u7FA9\u3055\u308C\u308B:A \u3068 B \u3092\u30E6\u30FC\u30AF\u30EA\u30C3\u30C9\u7A7A\u9593\u306E\u90E8\u5206\u96C6\u5408\u3068\u3059\u308B\u3002A \u3068 B \u304C\u6709\u9650\u500B\u306E\u4E92\u3044\u306B\u4EA4\u308F\u3089\u306A\u3044\u90E8\u5206\u96C6\u5408\u306E\u5408\u4F75\u3068\u3057\u3066 \u3064\u307E\u308A\u3001 A = A1 \u222A ... \u222A An , B = B1 \u222A ... \u222A Bn \u3068\u8868\u3059\u3053\u3068\u304C\u3067\u304D\u3001\u5168\u3066\u306E i \u306B\u3064\u3044\u3066\u3001 \u3068 \u304C\u5408\u540C\u3067\u3042\u308B\u3068\u304D\u3001A \u3068 B \u3092\u5206\u5272\u5408\u540C\u3068\u3044\u3046\u3002 \u3055\u3089\u306B\u3001\u3053\u306E\u5B9A\u7406\u304B\u3089\u6B21\u306E\u3088\u308A\u5F37\u3044\u5F62\u306E\u7CFB\u3092\u5C0E\u304F\u3053\u3068\u304C\u51FA\u6765\u308B\u3002 \n* 3\u6B21\u5143\u30E6\u30FC\u30AF\u30EA\u30C3\u30C9\u7A7A\u9593\u306E\u6709\u754C\u306A\u90E8\u5206\u96C6\u5408\u3067\u3001\u5185\u90E8\u304C\u7A7A\u3067\u306A\u3044\u3082\u306E(\u3064\u307E\u308A\u3001\u6709\u9650\u306E\u62E1\u304C\u308A\u3092\u6301\u3061\u3001\u66F2\u7DDA\u3084\u66F2\u9762\u3067\u306F\u306A\u3044\u3082\u306E)\u3092\u4EFB\u610F\u306B\u4E8C\u3064\u9078\u3093\u3060\u3068\u3059\u308B\u3068\u3001\u305D\u308C\u3089\u306F\u5206\u5272\u5408\u540C\u3067\u3042\u308B\u3002 \u3068\u3059\u308B\u4E8B\u304C\u51FA\u6765\u308B\u3002"@ja . . . "\u041F\u0430\u0440\u0430\u0434\u043E\u043A\u0441 \u0411\u0430\u043D\u0430\u0445\u0430 \u2014 \u0422\u0430\u0440\u0441\u044C\u043A\u043E\u0433\u043E, \u0430\u0431\u043E \u043F\u0430\u0440\u0430\u0434\u043E\u043A\u0441 \u043F\u043E\u0434\u0432\u043E\u0454\u043D\u043D\u044F \u043A\u0443\u043B\u0456, \u0441\u0442\u0432\u0435\u0440\u0434\u0436\u0443\u0454, \u0449\u043E \u0442\u0440\u0438\u0432\u0438\u043C\u0456\u0440\u043D\u0430 \u043A\u0443\u043B\u044F \u0440\u0456\u0432\u043D\u043E\u0441\u043A\u043B\u0430\u0434\u0435\u043D\u0430 \u0434\u0432\u043E\u043C \u0441\u0432\u043E\u0457\u043C \u043A\u043E\u043F\u0456\u044F\u043C. \u0414\u0432\u0456 \u043F\u0456\u0434\u043C\u043D\u043E\u0436\u0438\u043D\u0438 \u0435\u0432\u043A\u043B\u0456\u0434\u043E\u0432\u043E\u0433\u043E \u043F\u0440\u043E\u0441\u0442\u043E\u0440\u0443 \u043D\u0430\u0437\u0438\u0432\u0430\u044E\u0442\u044C\u0441\u044F \u0440\u0456\u0432\u043D\u043E\u0441\u043A\u043B\u0430\u0434\u0435\u043D\u0438\u043C\u0438, \u044F\u043A\u0449\u043E \u043E\u0434\u043D\u0443 \u043C\u043E\u0436\u043D\u0430 \u0440\u043E\u0437\u0431\u0438\u0442\u0438 \u043D\u0430 \u0441\u043A\u0456\u043D\u0447\u0435\u043D\u043D\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043B\u043E \u00AB\u0448\u043C\u0430\u0442\u043A\u0456\u0432\u00BB \u0456 \u0441\u043A\u043B\u0430\u0441\u0442\u0438 \u0437 \u043D\u0438\u0445 \u0434\u0440\u0443\u0433\u0443. \u041F\u0440\u0438 \u0446\u044C\u043E\u043C\u0443 \u0434\u043B\u044F \u043F\u043E\u0434\u0432\u043E\u0454\u043D\u043D\u044F \u043A\u0443\u043B\u0456 \u0434\u043E\u0441\u0442\u0430\u0442\u043D\u044C\u043E \u043F'\u044F\u0442\u0438 \u0448\u043C\u0430\u0442\u043A\u0456\u0432, \u0430\u043B\u0435 \u0447\u043E\u0442\u0438\u0440\u044C\u043E\u0445 \u2014 \u043D\u0456. \u0422\u043E\u0447\u043D\u0456\u0448\u0435, \u0434\u0432\u0456 \u043C\u043D\u043E\u0436\u0438\u043D\u0438 \u0456 \u0454 \u0440\u0456\u0432\u043D\u043E\u0441\u043A\u043B\u0430\u0434\u0435\u043D\u0438\u043C\u0438, \u044F\u043A\u0449\u043E \u0457\u0445 \u043C\u043E\u0436\u043D\u0430 \u043F\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u0442\u0438 \u044F\u043A \u0441\u043A\u0456\u043D\u0447\u0435\u043D\u043D\u0435 \u043E\u0431'\u0454\u0434\u043D\u0430\u043D\u043D\u044F \u043F\u0456\u0434\u043C\u043D\u043E\u0436\u0438\u043D \u0431\u0435\u0437 \u043F\u0435\u0440\u0435\u0442\u0438\u043D\u0456\u0432 , \u0442\u0430\u043A, \u0449\u043E \u0434\u043B\u044F \u043A\u043E\u0436\u043D\u043E\u0433\u043E \u043F\u0456\u0434\u043C\u043D\u043E\u0436\u0438\u043D\u0430 \u043A\u043E\u043D\u0433\u0440\u0443\u0435\u043D\u0442\u043D\u0430 . \u0414\u0456\u0439\u0441\u043D\u0438\u0439 \u0442\u0430\u043A\u043E\u0436 \u0441\u0438\u043B\u044C\u043D\u0456\u0448\u0438\u0439 \u0432\u0430\u0440\u0456\u0430\u043D\u0442 \u043F\u0430\u0440\u0430\u0434\u043E\u043A\u0441\u0443:"@uk . . . . . . "Banach\u016Fv\u2013Tarsk\u00E9ho paradox je tvrzen\u00ED z oblasti geometrick\u00E9 teorie mno\u017Ein, kter\u00E9 dok\u00E1zali Stefan Banach a Alfred Tarski. V nejjednodu\u0161\u0161\u00ED verzi \u0159\u00EDk\u00E1, \u017Ee ve trojrozm\u011Brn\u00E9m prostoru lze libovolnou kouli rozd\u011Blit na kone\u010Dn\u00FD po\u010Det disjunktn\u00EDch podmno\u017Ein \u010Di \u010D\u00E1st\u00ED (pozd\u011Bji bylo dok\u00E1z\u00E1no, \u017Ee sta\u010D\u00ED p\u011Bt), kter\u00E9 lze pot\u00E9 bez zm\u011Bny jejich tvaru slo\u017Eit tak, \u017Ee vytvo\u0159\u00ED dv\u011B identick\u00E9 kopie p\u016Fvodn\u00ED koule. Tvrzen\u00ED lze zobecnit na libovoln\u00E9 rozumn\u011B vypadaj\u00EDc\u00ED objekty; nap\u0159\u00EDklad \u017Ee kuli\u010Dku velikosti hr\u00E1\u0161ku lze rozd\u011Blit na \u010D\u00E1sti, ze kter\u00FDch se d\u00E1 slo\u017Eit koule velikosti Slunce; proto se n\u011Bkdy hovo\u0159\u00ED o paradoxu hr\u00E1\u0161ku a Slunce."@cs . "Il paradosso di Banach-Tarski, o paradosso di Hausdorff-Banach-Tarski \u00E8 stato dimostrato per la prima volta da Stefan Banach e Alfred Tarski nel 1924. \u00C8 il risultato noto come \"raddoppiamento della sfera\" (\"doubling the ball\"), con cui si stabilisce che, adoperando l'assioma della scelta, \u00E8 possibile prendere una sfera nello spazio a tre dimensioni, suddividerla in un insieme finito di pezzi non misurabili e, utilizzando solo rotazioni e traslazioni, riassemblare i pezzi in modo da ottenere due sfere dello stesso raggio della sfera originale."@it . "Banach\u2013Tarski paradox"@en . . "Banach-Tarski-Paradoxon"@de . "Banach\u016Fv\u2013Tarsk\u00E9ho paradox je tvrzen\u00ED z oblasti geometrick\u00E9 teorie mno\u017Ein, kter\u00E9 dok\u00E1zali Stefan Banach a Alfred Tarski. V nejjednodu\u0161\u0161\u00ED verzi \u0159\u00EDk\u00E1, \u017Ee ve trojrozm\u011Brn\u00E9m prostoru lze libovolnou kouli rozd\u011Blit na kone\u010Dn\u00FD po\u010Det disjunktn\u00EDch podmno\u017Ein \u010Di \u010D\u00E1st\u00ED (pozd\u011Bji bylo dok\u00E1z\u00E1no, \u017Ee sta\u010D\u00ED p\u011Bt), kter\u00E9 lze pot\u00E9 bez zm\u011Bny jejich tvaru slo\u017Eit tak, \u017Ee vytvo\u0159\u00ED dv\u011B identick\u00E9 kopie p\u016Fvodn\u00ED koule. Tvrzen\u00ED lze zobecnit na libovoln\u00E9 rozumn\u011B vypadaj\u00EDc\u00ED objekty; nap\u0159\u00EDklad \u017Ee kuli\u010Dku velikosti hr\u00E1\u0161ku lze rozd\u011Blit na \u010D\u00E1sti, ze kter\u00FDch se d\u00E1 slo\u017Eit koule velikosti Slunce; proto se n\u011Bkdy hovo\u0159\u00ED o paradoxu hr\u00E1\u0161ku a Slunce. Paradoxnost tvrzen\u00ED spo\u010D\u00EDv\u00E1 v tom, \u017Ee jde proti intuitivn\u00ED p\u0159edstav\u011B o zachov\u00E1n\u00ED objemu p\u0159i p\u0159eskupov\u00E1n\u00ED \u010D\u00E1st\u00ED. Banachovo a Tarsk\u00E9ho tvrzen\u00ED se ov\u0161em op\u00EDr\u00E1 o axiomy teorie mno\u017Ein a disjunktn\u00ED podmno\u017Einy, kter\u00E9 uva\u017Euje, nejsou spojit\u00E9 \u010D\u00E1sti, ale tak slo\u017Eit\u00E1 seskupen\u00ED bod\u016F, \u017Ee jejich objem nen\u00ED definov\u00E1n. Lze je ch\u00E1pat jako demonstraci toho, \u017Ee v r\u00E1mci standardn\u00ED teorie mno\u017Ein nelze roz\u0161\u00ED\u0159it definici integr\u00E1lu (tj. objemu) tak, aby smyslupln\u011B vych\u00E1zel pro libovolnou omezenou mno\u017Einu \u2013 ur\u010Dit\u00E9 typy mno\u017Ein musej\u00ED z\u016Fstat neintegrovateln\u00E9, nem\u011B\u0159iteln\u00E9."@cs . . . . . . . . "O teorema de Banach\u2013Tarski estabelece que \u00E9 poss\u00EDvel dividir uma esfera s\u00F3lida em um n\u00FAmero finito de peda\u00E7os (em um caso particular Raphael M. Robinson dividiu em exatamente cinco peda\u00E7os), e com estes peda\u00E7os construir duas esferas, do mesmo tamanho da original. \u00C9 considerado um paradoxo por ser um resultado contra-intuitivo, mas n\u00E3o por ser contradit\u00F3rio ou por introduzir contradi\u00E7\u00F5es. O teorema pode ser generalizado para quaisquer regi\u00F5es do espa\u00E7o que sejam limitadas e que tenham um interior, ou, mais especificamente: Sejam e dois subconjuntos de que s\u00E3o limitados e cujo interior n\u00E3o \u00E9 vazio. Ent\u00E3o \u00E9 poss\u00EDvel decompor e em parti\u00E7\u00F5es finitas e tal que cada \u00E9 congruente a cada . Naturalmente n\u00E3o \u00E9 poss\u00EDvel cortar desta forma uma esfera real, como uma laranja, com uma faca real. Trata-se de uma abstra\u00E7\u00E3o matem\u00E1tica. A demonstra\u00E7\u00E3o prova a exist\u00EAncia te\u00F3rica de uma forma de repartir a esfera com estas caracter\u00EDsticas. N\u00E3o h\u00E1 uma prova construtivista, isto \u00E9, que descreva a maneira pela qual a esfera deve ser repartida. A demonstra\u00E7\u00E3o faz uso do axioma da escolha. Banach e Tarski propuseram este paradoxo como uma evid\u00EAncia para se rejeitar o axioma da escolha, mas os matem\u00E1ticos apenas consideram que o axioma da escolha tem consequ\u00EAncias bizarras e contra-intuitivas."@pt . "\u03A4\u03BF \u03C0\u03B1\u03C1\u03AC\u03B4\u03BF\u03BE\u03BF \u03C4\u03C9\u03BD \u039C\u03C0\u03AC\u03BD\u03B1\u03C7(\u03B1\u03BB\u03BB\u03B9\u03CE\u03C2 \u039C\u03C0\u03AC\u03BD\u03B1\u03BA) \u03BA\u03B1\u03B9 \u03A4\u03AC\u03C1\u03C3\u03BA\u03B9 \u03B5\u03AF\u03BD\u03B1\u03B9 \u03AD\u03BD\u03B1 \u00AB\u03B8\u03B5\u03CE\u03C1\u03B7\u03BC\u03B1\u00BB \u03C3\u03C4\u03B7 \u03C3\u03C5\u03BD\u03CC\u03BB\u03C9\u03BD, \u03C4\u03BF \u03BF\u03C0\u03BF\u03AF\u03BF \u03B4\u03B7\u03BB\u03CE\u03BD\u03B5\u03B9 \u03C4\u03B1 \u03B5\u03BE\u03AE\u03C2: \u0394\u03B5\u03B4\u03BF\u03BC\u03AD\u03BD\u03B7\u03C2 \u03BC\u03B9\u03B1\u03C2 \u03C3\u03C5\u03BC\u03C0\u03B1\u03B3\u03BF\u03CD\u03C2 \u03C3\u03C6\u03B1\u03AF\u03C1\u03B1\u03C2 \u03C3\u03C4\u03BF\u03BD \u03C4\u03C1\u03B9\u03C3\u03B4\u03B9\u03AC\u03C3\u03C4\u03B1\u03C4\u03BF \u03C7\u03CE\u03C1\u03BF, \u03B5\u03AF\u03BD\u03B1\u03B9 \u03B4\u03C5\u03BD\u03B1\u03C4\u03AE \u03BC\u03B9\u03B1 \u03B1\u03C0\u03BF\u03C3\u03CD\u03BD\u03B8\u03B5\u03C3\u03B7 \u03C4\u03B7\u03C2 \u03C3\u03C6\u03B1\u03AF\u03C1\u03B1\u03C2 \u03C3\u03B5 \u03AD\u03BD\u03B1\u03BD \u03C0\u03B5\u03C0\u03B5\u03C1\u03B1\u03C3\u03BC\u03AD\u03BD\u03BF \u03B1\u03C1\u03B9\u03B8\u03BC\u03CC \u03B4\u03B9\u03B1\u03C6\u03BF\u03C1\u03B5\u03C4\u03B9\u03BA\u03CE\u03BD \u03C5\u03C0\u03BF\u03C3\u03C5\u03BD\u03CC\u03BB\u03C9\u03BD, \u03C4\u03B1 \u03BF\u03C0\u03BF\u03AF\u03B1 \u03C3\u03C4\u03B7 \u03C3\u03C5\u03BD\u03AD\u03C7\u03B5\u03B9\u03B1 \u03BC\u03C0\u03BF\u03C1\u03BF\u03CD\u03BD \u03BD\u03B1 \u03B5\u03C0\u03B1\u03BD\u03B1\u03C3\u03C5\u03BD\u03B4\u03C5\u03B1\u03C3\u03C4\u03BF\u03CD\u03BD \u03BC\u03B5 \u03B4\u03B9\u03B1\u03C6\u03BF\u03C1\u03B5\u03C4\u03B9\u03BA\u03CC \u03C4\u03C1\u03CC\u03C0\u03BF \u03CE\u03C3\u03C4\u03B5 \u03BD\u03B1 \u03B4\u03B7\u03BC\u03B9\u03BF\u03C5\u03C1\u03B3\u03B7\u03B8\u03BF\u03CD\u03BD \u03B4\u03CD\u03BF \u03C0\u03B1\u03BD\u03BF\u03BC\u03BF\u03B9\u03CC\u03C4\u03C5\u03C0\u03B1 \u03B1\u03BD\u03C4\u03AF\u03B3\u03C1\u03B1\u03C6\u03B1 \u03C4\u03B7\u03C2 \u03B1\u03C1\u03C7\u03B9\u03BA\u03AE\u03C2 \u03C3\u03C6\u03B1\u03AF\u03C1\u03B1\u03C2. \u03A0\u03C1\u03AC\u03B3\u03BC\u03B1\u03C4\u03B9, \u03B7 \u03B4\u03B9\u03B1\u03B4\u03B9\u03BA\u03B1\u03C3\u03AF\u03B1 \u03B5\u03C0\u03B1\u03BD\u03B1\u03C3\u03C5\u03BD\u03B1\u03C1\u03BC\u03BF\u03BB\u03CC\u03B3\u03B7\u03C3\u03B7\u03C2 \u03C0\u03B5\u03C1\u03B9\u03BB\u03B1\u03BC\u03B2\u03AC\u03BD\u03B5\u03B9 \u03BC\u03CC\u03BD\u03BF \u03C4\u03B7 \u03BC\u03B5\u03C4\u03B1\u03BA\u03AF\u03BD\u03B7\u03C3\u03B7 \u03BA\u03B1\u03B9 \u03C4\u03B7\u03BD \u03C0\u03B5\u03C1\u03B9\u03C3\u03C4\u03C1\u03BF\u03C6\u03AE \u03C4\u03C9\u03BD \u03C4\u03B5\u03BC\u03B1\u03C7\u03AF\u03C9\u03BD \u03C7\u03C9\u03C1\u03AF\u03C2 \u03BD\u03B1 \u03B1\u03BB\u03BB\u03AC\u03B6\u03B5\u03B9 \u03C4\u03BF \u03C3\u03C7\u03AE\u03BC\u03B1 \u03C4\u03BF\u03C5\u03C2. \u03A9\u03C3\u03C4\u03CC\u03C3\u03BF, \u03C4\u03B1 \u03AF\u03B4\u03B9\u03B1 \u03C4\u03B1 \u03BA\u03BF\u03BC\u03BC\u03AC\u03C4\u03B9\u03B1 \u03B4\u03B5\u03BD \u03B5\u03AF\u03BD\u03B1\u03B9 \"\u03C3\u03C4\u03B5\u03C1\u03B5\u03AC\" \u03BC\u03B5 \u03C4\u03B7 \u03C3\u03C5\u03BD\u03B7\u03B8\u03B9\u03C3\u03BC\u03AD\u03BD\u03B7 \u03AD\u03BD\u03BD\u03BF\u03B9\u03B1, \u03B1\u03BB\u03BB\u03AC \u03AC\u03C0\u03B5\u03B9\u03C1\u03B1 \u03B4\u03B9\u03AC\u03C3\u03C0\u03B1\u03C1\u03C4\u03B1 \u03C3\u03B7\u03BC\u03B5\u03AF\u03B1. \u0397 \u03B1\u03BD\u03B1\u03BA\u03B1\u03C4\u03B1\u03C3\u03BA\u03B5\u03C5\u03AE \u03BC\u03C0\u03BF\u03C1\u03B5\u03AF \u03BD\u03B1 \u03BB\u03B5\u03B9\u03C4\u03BF\u03C5\u03C1\u03B3\u03AE\u03C3\u03B5\u03B9 \u03BC\u03B5 \u03BC\u03CC\u03BB\u03B9\u03C2 \u03C0\u03AD\u03BD\u03C4\u03B5 \u03C4\u03B5\u03BC\u03AC\u03C7\u03B9\u03B1."@el . . . "La paradoxa de Banach-Tarski \u00E9s en realitat un teorema (en ZFC) que afirma que \u00E9s possible dividir una esfera (plena) de radi 1 en vuit parts disjuntes dos a dos, de manera que, aplicant moviments oportuns a cinc d'elles, obtinguem nous conjunts que constitueixin una partici\u00F3 d'una esfera (plena) de radi 1, i passi el mateix amb les tres parts restants. En paraules m\u00E9s senzilles, se suposa que \u00E9s possible fabricar un trencaclosques tridimensional d'un total de vuit peces, les quals, combinades d'una determinada manera, formarien una esfera completa i plena (sense forats) i, combinades d'una altra manera, formarien dues esferes farcides (sense forats) del mateix radi que la primera. El teorema de Banach-Tarski rep el nom de paradoxa perqu\u00E8 contradiu la nostra intu\u00EFci\u00F3 geom\u00E8trica b\u00E0sica. Les operacions b\u00E0siques que es realitzen preserven el volum sempre que els fragments siguin mesurables, per\u00F2 precisament les vuit parts citades en el teorema s\u00F3n conjunts no mesurables. La construcci\u00F3 d'aquests conjunts fa \u00FAs de l'axioma d'elecci\u00F3 per a realitzar una quantitat no numerable d'eleccions arbitr\u00E0ries."@ca . "\u041F\u0430\u0440\u0430\u0434\u043E\u043A\u0441 \u0411\u0430\u0301\u043D\u0430\u0445\u0430 \u2014 \u0422\u0430\u0301\u0440\u0441\u043A\u043E\u0433\u043E (\u0442\u0430\u043A\u0436\u0435 \u043D\u0430\u0437\u044B\u0432\u0430\u0435\u0442\u0441\u044F \u043F\u0430\u0440\u0430\u0434\u043E\u043A\u0441\u043E\u043C \u0443\u0434\u0432\u043E\u0435\u043D\u0438\u044F \u0448\u0430\u0440\u0430 \u0438 \u043F\u0430\u0440\u0430\u0434\u043E\u043A\u0441\u043E\u043C \u0425\u0430\u0443\u0441\u0434\u043E\u0301\u0440\u0444\u0430 \u2014 \u0411\u0430\u043D\u0430\u0445\u0430 \u2014 \u0422\u0430\u0440\u0441\u043A\u043E\u0433\u043E) \u2014 \u0442\u0435\u043E\u0440\u0435\u043C\u0430 \u0432 \u0442\u0435\u043E\u0440\u0438\u0438 \u043C\u043D\u043E\u0436\u0435\u0441\u0442\u0432, \u0443\u0442\u0432\u0435\u0440\u0436\u0434\u0430\u044E\u0449\u0430\u044F, \u0447\u0442\u043E \u0442\u0440\u0451\u0445\u043C\u0435\u0440\u043D\u044B\u0439 \u0448\u0430\u0440 \u0440\u0430\u0432\u043D\u043E\u0441\u043E\u0441\u0442\u0430\u0432\u043B\u0435\u043D \u0434\u0432\u0443\u043C \u0441\u0432\u043E\u0438\u043C \u043A\u043E\u043F\u0438\u044F\u043C. \u0414\u0432\u0430 \u043F\u043E\u0434\u043C\u043D\u043E\u0436\u0435\u0441\u0442\u0432\u0430 \u0435\u0432\u043A\u043B\u0438\u0434\u043E\u0432\u0430 \u043F\u0440\u043E\u0441\u0442\u0440\u0430\u043D\u0441\u0442\u0432\u0430 \u043D\u0430\u0437\u044B\u0432\u0430\u044E\u0442\u0441\u044F \u0440\u0430\u0432\u043D\u043E\u0441\u043E\u0441\u0442\u0430\u0432\u043B\u0435\u043D\u043D\u044B\u043C\u0438, \u0435\u0441\u043B\u0438 \u043E\u0434\u043D\u043E \u043C\u043E\u0436\u043D\u043E \u0440\u0430\u0437\u0431\u0438\u0442\u044C \u043D\u0430 \u043A\u043E\u043D\u0435\u0447\u043D\u043E\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043B\u043E (\u043D\u0435 \u043E\u0431\u044F\u0437\u0430\u0442\u0435\u043B\u044C\u043D\u043E \u0441\u0432\u044F\u0437\u043D\u044B\u0445) \u043F\u043E\u043F\u0430\u0440\u043D\u043E \u043D\u0435\u043F\u0435\u0440\u0435\u0441\u0435\u043A\u0430\u044E\u0449\u0438\u0445\u0441\u044F \u0447\u0430\u0441\u0442\u0435\u0439, \u043F\u0435\u0440\u0435\u0434\u0432\u0438\u043D\u0443\u0442\u044C \u0438\u0445 \u0438 \u0441\u043E\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u0442\u044C \u0438\u0437 \u043D\u0438\u0445 \u0432\u0442\u043E\u0440\u043E\u0435 (\u0432 \u043F\u0440\u043E\u043C\u0435\u0436\u0443\u0442\u043E\u0447\u043D\u043E\u043C \u043F\u043E\u043B\u043E\u0436\u0435\u043D\u0438\u0438 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438 \u043C\u043E\u0433\u0443\u0442 \u043F\u0435\u0440\u0435\u0441\u0435\u043A\u0430\u0442\u044C\u0441\u044F, \u0430 \u0432 \u043D\u0430\u0447\u0430\u043B\u044C\u043D\u043E\u043C \u0438 \u043A\u043E\u043D\u0435\u0447\u043D\u043E\u043C \u043D\u0435 \u043C\u043E\u0433\u0443\u0442). \u0411\u043E\u043B\u0435\u0435 \u0442\u043E\u0447\u043D\u043E, \u0434\u0432\u0430 \u043C\u043D\u043E\u0436\u0435\u0441\u0442\u0432\u0430 \u0438 \u044F\u0432\u043B\u044F\u044E\u0442\u0441\u044F \u0440\u0430\u0432\u043D\u043E\u0441\u043E\u0441\u0442\u0430\u0432\u043B\u0435\u043D\u043D\u044B\u043C\u0438, \u0435\u0441\u043B\u0438 \u0438\u0445 \u043C\u043E\u0436\u043D\u043E \u043F\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u0442\u044C \u043A\u0430\u043A \u043A\u043E\u043D\u0435\u0447\u043D\u043E\u0435 \u043E\u0431\u044A\u0435\u0434\u0438\u043D\u0435\u043D\u0438\u0435 \u043F\u043E\u043F\u0430\u0440\u043D\u043E \u043D\u0435\u043F\u0435\u0440\u0435\u0441\u0435\u043A\u0430\u044E\u0449\u0438\u0445\u0441\u044F \u043F\u043E\u0434\u043C\u043D\u043E\u0436\u0435\u0441\u0442\u0432 , \u0442\u0430\u043A, \u0447\u0442\u043E \u0434\u043B\u044F \u043A\u0430\u0436\u0434\u043E\u0433\u043E \u043F\u043E\u0434\u043C\u043D\u043E\u0436\u0435\u0441\u0442\u0432\u043E \u043A\u043E\u043D\u0433\u0440\u0443\u044D\u043D\u0442\u043D\u043E . \u0414\u043E\u043A\u0430\u0437\u0430\u043D\u043E, \u0447\u0442\u043E \u0434\u043B\u044F \u0443\u0434\u0432\u043E\u0435\u043D\u0438\u044F \u0448\u0430\u0440\u0430 \u0434\u043E\u0441\u0442\u0430\u0442\u043E\u0447\u043D\u043E \u043F\u044F\u0442\u0438 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0435\u0439, \u043D\u043E \u0447\u0435\u0442\u044B\u0440\u0451\u0445 \u043D\u0435\u0434\u043E\u0441\u0442\u0430\u0442\u043E\u0447\u043D\u043E. \u0412\u0435\u0440\u0435\u043D \u0442\u0430\u043A\u0436\u0435 \u0431\u043E\u043B\u0435\u0435 \u0441\u0438\u043B\u044C\u043D\u044B\u0439 \u0432\u0430\u0440\u0438\u0430\u043D\u0442 \u043F\u0430\u0440\u0430\u0434\u043E\u043A\u0441\u0430: \u0412\u0432\u0438\u0434\u0443 \u0442\u043E\u0433\u043E, \u0447\u0442\u043E \u0432\u044B\u0432\u043E\u0434 \u044D\u0442\u043E\u0439 \u0442\u0435\u043E\u0440\u0435\u043C\u044B \u043C\u043E\u0436\u0435\u0442 \u043F\u043E\u043A\u0430\u0437\u0430\u0442\u044C\u0441\u044F \u043D\u0435\u043F\u0440\u0430\u0432\u0434\u043E\u043F\u043E\u0434\u043E\u0431\u043D\u044B\u043C, \u043E\u043D\u0430 \u0438\u043D\u043E\u0433\u0434\u0430 \u0438\u0441\u043F\u043E\u043B\u044C\u0437\u0443\u0435\u0442\u0441\u044F \u043A\u0430\u043A \u0434\u043E\u0432\u043E\u0434 \u043F\u0440\u043E\u0442\u0438\u0432 \u043F\u0440\u0438\u043D\u044F\u0442\u0438\u044F \u0430\u043A\u0441\u0438\u043E\u043C\u044B \u0432\u044B\u0431\u043E\u0440\u0430, \u043A\u043E\u0442\u043E\u0440\u0430\u044F \u0441\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043D\u043D\u043E \u0438\u0441\u043F\u043E\u043B\u044C\u0437\u0443\u0435\u0442\u0441\u044F \u043F\u0440\u0438 \u043F\u043E\u0441\u0442\u0440\u043E\u0435\u043D\u0438\u0438 \u0442\u0430\u043A\u043E\u0433\u043E \u0440\u0430\u0437\u0431\u0438\u0435\u043D\u0438\u044F.\u041F\u0440\u0438\u043D\u044F\u0442\u0438\u0435 \u043F\u043E\u0434\u0445\u043E\u0434\u044F\u0449\u0435\u0439 \u0430\u043B\u044C\u0442\u0435\u0440\u043D\u0430\u0442\u0438\u0432\u043D\u043E\u0439 \u0430\u043A\u0441\u0438\u043E\u043C\u044B \u043F\u043E\u0437\u0432\u043E\u043B\u044F\u0435\u0442 \u0434\u043E\u043A\u0430\u0437\u0430\u0442\u044C \u043D\u0435\u0432\u043E\u0437\u043C\u043E\u0436\u043D\u043E\u0441\u0442\u044C \u0443\u043A\u0430\u0437\u0430\u043D\u043D\u043E\u0433\u043E \u0440\u0430\u0437\u0431\u0438\u0435\u043D\u0438\u044F, \u043D\u0435 \u043E\u0441\u0442\u0430\u0432\u043B\u044F\u044F \u043C\u0435\u0441\u0442\u0430 \u0434\u043B\u044F \u044D\u0442\u043E\u0433\u043E \u043F\u0430\u0440\u0430\u0434\u043E\u043A\u0441\u0430. \u0423\u0434\u0432\u043E\u0435\u043D\u0438\u0435 \u0448\u0430\u0440\u0430, \u0445\u043E\u0442\u044F \u0438 \u043A\u0430\u0436\u0435\u0442\u0441\u044F \u0432\u0435\u0441\u044C\u043C\u0430 \u043F\u043E\u0434\u043E\u0437\u0440\u0438\u0442\u0435\u043B\u044C\u043D\u044B\u043C \u0441 \u0442\u043E\u0447\u043A\u0438 \u0437\u0440\u0435\u043D\u0438\u044F \u043F\u043E\u0432\u0441\u0435\u0434\u043D\u0435\u0432\u043D\u043E\u0439 \u0438\u043D\u0442\u0443\u0438\u0446\u0438\u0438 (\u0432 \u0441\u0430\u043C\u043E\u043C \u0434\u0435\u043B\u0435, \u043D\u0435\u043B\u044C\u0437\u044F \u0436\u0435 \u0438\u0437 \u043E\u0434\u043D\u043E\u0433\u043E \u0430\u043F\u0435\u043B\u044C\u0441\u0438\u043D\u0430 \u0441\u0434\u0435\u043B\u0430\u0442\u044C \u0434\u0432\u0430 \u043F\u0440\u0438 \u043F\u043E\u043C\u043E\u0449\u0438 \u043E\u0434\u043D\u043E\u0433\u043E \u0442\u043E\u043B\u044C\u043A\u043E \u043D\u043E\u0436\u0430), \u0442\u0435\u043C \u043D\u0435 \u043C\u0435\u043D\u0435\u0435 \u043D\u0435 \u044F\u0432\u043B\u044F\u0435\u0442\u0441\u044F \u043F\u0430\u0440\u0430\u0434\u043E\u043A\u0441\u043E\u043C \u0432 \u043B\u043E\u0433\u0438\u0447\u0435\u0441\u043A\u043E\u043C \u0441\u043C\u044B\u0441\u043B\u0435 \u044D\u0442\u043E\u0433\u043E \u0441\u043B\u043E\u0432\u0430, \u043F\u043E\u0441\u043A\u043E\u043B\u044C\u043A\u0443 \u043D\u0435 \u043F\u0440\u0438\u0432\u043E\u0434\u0438\u0442 \u043A \u043B\u043E\u0433\u0438\u0447\u0435\u0441\u043A\u043E\u043C\u0443 \u043F\u0440\u043E\u0442\u0438\u0432\u043E\u0440\u0435\u0447\u0438\u044E \u043D\u0430\u043F\u043E\u0434\u043E\u0431\u0438\u0435 \u0442\u043E\u0433\u043E, \u043A\u0430\u043A \u043A \u043B\u043E\u0433\u0438\u0447\u0435\u0441\u043A\u043E\u043C\u0443 \u043F\u0440\u043E\u0442\u0438\u0432\u043E\u0440\u0435\u0447\u0438\u044E \u043F\u0440\u0438\u0432\u043E\u0434\u0438\u0442 \u0442\u0430\u043A \u043D\u0430\u0437\u044B\u0432\u0430\u0435\u043C\u044B\u0439 \u043F\u0430\u0440\u0430\u0434\u043E\u043A\u0441 \u0431\u0440\u0430\u0434\u043E\u0431\u0440\u0435\u044F \u0438\u043B\u0438 \u043F\u0430\u0440\u0430\u0434\u043E\u043A\u0441 \u0420\u0430\u0441\u0441\u0435\u043B\u0430."@ru . . . . "The Banach\u2013Tarski paradox is a theorem in set-theoretic geometry, which states the following: Given a solid ball in three-dimensional space, there exists a decomposition of the ball into a finite number of disjoint subsets, which can then be put back together in a different way to yield two identical copies of the original ball. Indeed, the reassembly process involves only moving the pieces around and rotating them without changing their shape. However, the pieces themselves are not \"solids\" in the usual sense, but infinite scatterings of points. The reconstruction can work with as few as five pieces."@en . . . . . . . "Banach\u2013Tarskis paradox \u00E4r ett teorem i m\u00E4ngdteorin inom geometrin som p\u00E5st\u00E5r f\u00F6ljande: Ett givet klot i en tredimensionell rymd, kan s\u00F6nderdelas i ett \u00E4ndligt antal delm\u00E4ngder och sedan s\u00E4ttas ihop igen p\u00E5 ett nytt s\u00E4tt, s\u00E5 att tv\u00E5 identiska kopior av originalet erh\u00E5lls. Det var i en artikel publicerad 1924 som Stefan Banach och Alfred Tarski p\u00E5visade f\u00F6ljande resultat, av m\u00E5nga betraktat som mycket f\u00F6rv\u00E5nande: Satsen s\u00E4ger till exempel att en \u00E4rta kan delas i \u00E4ndligt m\u00E5nga bitar och sedan pusslas ihop till ett (solitt) jordklot. Teoremet har till och med uttrycks s\u00E5 h\u00E4r: och i \u00F6vers\u00E4ttning: Detta utg\u00F6r paradoxen i Banach-Tarskis teorem. L\u00F6sningen ligger i att \u201Dbitarna\u201D \u00E4r s\u00E5 komplicerade att det inte g\u00E5r att definiera deras volym p\u00E5 ett vettigt s\u00E4tt. Bitarna har bland annat egenskapen att deras volym f\u00F6r\u00E4ndras n\u00E4r de roteras. Till skillnad fr\u00E5n flertalet teorem inom geometrin beror resultatet p\u00E5 vilket m\u00E4ngdteoretiskt axiom som v\u00E4ljs. Teoremet kan bara bevisas n\u00E4r urvalsaxiomet anv\u00E4nds."@sv . . . "Paradoxa de Banach-Tarski"@ca . . . . . . "\u041F\u0430\u0440\u0430\u0434\u043E\u043A\u0441 \u0411\u0430\u043D\u0430\u0445\u0430 \u2014 \u0422\u0430\u0440\u0441\u044C\u043A\u043E\u0433\u043E"@uk . . . . . . . . . . "\u03A4\u03BF \u03C0\u03B1\u03C1\u03AC\u03B4\u03BF\u03BE\u03BF \u03C4\u03C9\u03BD \u039C\u03C0\u03AC\u03BD\u03B1\u03C7(\u03B1\u03BB\u03BB\u03B9\u03CE\u03C2 \u039C\u03C0\u03AC\u03BD\u03B1\u03BA) \u03BA\u03B1\u03B9 \u03A4\u03AC\u03C1\u03C3\u03BA\u03B9 \u03B5\u03AF\u03BD\u03B1\u03B9 \u03AD\u03BD\u03B1 \u00AB\u03B8\u03B5\u03CE\u03C1\u03B7\u03BC\u03B1\u00BB \u03C3\u03C4\u03B7 \u03C3\u03C5\u03BD\u03CC\u03BB\u03C9\u03BD, \u03C4\u03BF \u03BF\u03C0\u03BF\u03AF\u03BF \u03B4\u03B7\u03BB\u03CE\u03BD\u03B5\u03B9 \u03C4\u03B1 \u03B5\u03BE\u03AE\u03C2: \u0394\u03B5\u03B4\u03BF\u03BC\u03AD\u03BD\u03B7\u03C2 \u03BC\u03B9\u03B1\u03C2 \u03C3\u03C5\u03BC\u03C0\u03B1\u03B3\u03BF\u03CD\u03C2 \u03C3\u03C6\u03B1\u03AF\u03C1\u03B1\u03C2 \u03C3\u03C4\u03BF\u03BD \u03C4\u03C1\u03B9\u03C3\u03B4\u03B9\u03AC\u03C3\u03C4\u03B1\u03C4\u03BF \u03C7\u03CE\u03C1\u03BF, \u03B5\u03AF\u03BD\u03B1\u03B9 \u03B4\u03C5\u03BD\u03B1\u03C4\u03AE \u03BC\u03B9\u03B1 \u03B1\u03C0\u03BF\u03C3\u03CD\u03BD\u03B8\u03B5\u03C3\u03B7 \u03C4\u03B7\u03C2 \u03C3\u03C6\u03B1\u03AF\u03C1\u03B1\u03C2 \u03C3\u03B5 \u03AD\u03BD\u03B1\u03BD \u03C0\u03B5\u03C0\u03B5\u03C1\u03B1\u03C3\u03BC\u03AD\u03BD\u03BF \u03B1\u03C1\u03B9\u03B8\u03BC\u03CC \u03B4\u03B9\u03B1\u03C6\u03BF\u03C1\u03B5\u03C4\u03B9\u03BA\u03CE\u03BD \u03C5\u03C0\u03BF\u03C3\u03C5\u03BD\u03CC\u03BB\u03C9\u03BD, \u03C4\u03B1 \u03BF\u03C0\u03BF\u03AF\u03B1 \u03C3\u03C4\u03B7 \u03C3\u03C5\u03BD\u03AD\u03C7\u03B5\u03B9\u03B1 \u03BC\u03C0\u03BF\u03C1\u03BF\u03CD\u03BD \u03BD\u03B1 \u03B5\u03C0\u03B1\u03BD\u03B1\u03C3\u03C5\u03BD\u03B4\u03C5\u03B1\u03C3\u03C4\u03BF\u03CD\u03BD \u03BC\u03B5 \u03B4\u03B9\u03B1\u03C6\u03BF\u03C1\u03B5\u03C4\u03B9\u03BA\u03CC \u03C4\u03C1\u03CC\u03C0\u03BF \u03CE\u03C3\u03C4\u03B5 \u03BD\u03B1 \u03B4\u03B7\u03BC\u03B9\u03BF\u03C5\u03C1\u03B3\u03B7\u03B8\u03BF\u03CD\u03BD \u03B4\u03CD\u03BF \u03C0\u03B1\u03BD\u03BF\u03BC\u03BF\u03B9\u03CC\u03C4\u03C5\u03C0\u03B1 \u03B1\u03BD\u03C4\u03AF\u03B3\u03C1\u03B1\u03C6\u03B1 \u03C4\u03B7\u03C2 \u03B1\u03C1\u03C7\u03B9\u03BA\u03AE\u03C2 \u03C3\u03C6\u03B1\u03AF\u03C1\u03B1\u03C2. \u03A0\u03C1\u03AC\u03B3\u03BC\u03B1\u03C4\u03B9, \u03B7 \u03B4\u03B9\u03B1\u03B4\u03B9\u03BA\u03B1\u03C3\u03AF\u03B1 \u03B5\u03C0\u03B1\u03BD\u03B1\u03C3\u03C5\u03BD\u03B1\u03C1\u03BC\u03BF\u03BB\u03CC\u03B3\u03B7\u03C3\u03B7\u03C2 \u03C0\u03B5\u03C1\u03B9\u03BB\u03B1\u03BC\u03B2\u03AC\u03BD\u03B5\u03B9 \u03BC\u03CC\u03BD\u03BF \u03C4\u03B7 \u03BC\u03B5\u03C4\u03B1\u03BA\u03AF\u03BD\u03B7\u03C3\u03B7 \u03BA\u03B1\u03B9 \u03C4\u03B7\u03BD \u03C0\u03B5\u03C1\u03B9\u03C3\u03C4\u03C1\u03BF\u03C6\u03AE \u03C4\u03C9\u03BD \u03C4\u03B5\u03BC\u03B1\u03C7\u03AF\u03C9\u03BD \u03C7\u03C9\u03C1\u03AF\u03C2 \u03BD\u03B1 \u03B1\u03BB\u03BB\u03AC\u03B6\u03B5\u03B9 \u03C4\u03BF \u03C3\u03C7\u03AE\u03BC\u03B1 \u03C4\u03BF\u03C5\u03C2. \u03A9\u03C3\u03C4\u03CC\u03C3\u03BF, \u03C4\u03B1 \u03AF\u03B4\u03B9\u03B1 \u03C4\u03B1 \u03BA\u03BF\u03BC\u03BC\u03AC\u03C4\u03B9\u03B1 \u03B4\u03B5\u03BD \u03B5\u03AF\u03BD\u03B1\u03B9 \"\u03C3\u03C4\u03B5\u03C1\u03B5\u03AC\" \u03BC\u03B5 \u03C4\u03B7 \u03C3\u03C5\u03BD\u03B7\u03B8\u03B9\u03C3\u03BC\u03AD\u03BD\u03B7 \u03AD\u03BD\u03BD\u03BF\u03B9\u03B1, \u03B1\u03BB\u03BB\u03AC \u03AC\u03C0\u03B5\u03B9\u03C1\u03B1 \u03B4\u03B9\u03AC\u03C3\u03C0\u03B1\u03C1\u03C4\u03B1 \u03C3\u03B7\u03BC\u03B5\u03AF\u03B1. \u0397 \u03B1\u03BD\u03B1\u03BA\u03B1\u03C4\u03B1\u03C3\u03BA\u03B5\u03C5\u03AE \u03BC\u03C0\u03BF\u03C1\u03B5\u03AF \u03BD\u03B1 \u03BB\u03B5\u03B9\u03C4\u03BF\u03C5\u03C1\u03B3\u03AE\u03C3\u03B5\u03B9 \u03BC\u03B5 \u03BC\u03CC\u03BB\u03B9\u03C2 \u03C0\u03AD\u03BD\u03C4\u03B5 \u03C4\u03B5\u03BC\u03AC\u03C7\u03B9\u03B1."@el . . . "Banach-Tarski Paradox"@en . . . "\u0645\u0641\u0627\u0631\u0642\u0629 \u0628\u0627\u0646\u0627\u062E-\u062A\u0627\u0631\u0633\u0643\u064A \u062A\u0646\u0635 \u0647\u0630\u0647 \u0627\u0644\u0645\u0641\u0627\u0631\u0642\u0629 \u0623\u0646\u0647 \u0625\u0630\u0627 \u0642\u0645\u062A \u0628\u062A\u0642\u0633\u064A\u0645 \u0643\u0631\u0629 \u0630\u0627\u062A \u062D\u062C\u0645 \u0623\u0648 \u0642\u0637\u0631 \u064A\u0633\u0627\u0648\u064A \u00AB\u0623\u00BB \u0628\u0637\u0631\u064A\u0642\u0629 \u0645\u0639\u064A\u0646\u0629 \u062B\u0645 \u0642\u0645\u062A \u0628\u062A\u062C\u0645\u064A\u0639 \u0647\u0630\u0647 \u0627\u0644\u0623\u062C\u0632\u0627\u0621 \u0628\u0637\u0631\u064A\u0642\u0629 \u0645\u0639\u064A\u0646\u0629\u060C \u0641\u0625\u0646\u0647 \u064A\u0645\u0643\u0646\u0643 \u0623\u0646 \u062A\u0643\u0648\u0646 \u0643\u0631\u062A\u064A\u0646 \u0645\u0646 \u0627\u0644\u062D\u062C\u0645 \u0623\u0648 \u0627\u0644\u0642\u0637\u0631 \u00AB\u0623\u00BB. \u0627\u0644\u0645\u0641\u0627\u0631\u0642\u0629 \u062A\u0643\u0645\u0646 \u0641\u064A \u0623\u0646 \u0647\u0646\u0627\u0643 \u062D\u062C\u0645\u0627\u064B \u0645\u0636\u0627\u0641\u0627\u064B \u0644\u0627 \u064A\u0639\u0644\u0645 \u0645\u0635\u062F\u0631\u0647. \u0628\u0627\u0646\u0627\u062E \u0628\u0631\u0647\u0646\u0627 \u0635\u062D\u0629 \u0648\u0625\u0645\u0643\u0627\u0646\u064A\u0629 \u0648\u062C\u0648\u062F \u0647\u0630\u0647 \u0627\u0644\u0638\u0627\u0647\u0631\u0629 \u0631\u064A\u0627\u0636\u064A\u0627\u064F \u0648\u0646\u0638\u0631\u064A\u0627\u064B \u0648\u0644\u0643\u0646 \u0641\u0642\u0637 \u0648\u0641\u0642\u0627\u064B \u0644\u0645\u0628\u062F\u0623 \u0628\u062F\u064A\u0647\u064A\u0629 \u0627\u0644\u0627\u062E\u062A\u064A\u0627\u0631 \u0648\u0644\u0642\u062F \u0627\u0639\u062A\u0628\u0631\u0627\u0647\u0627 \u0646\u0642\u062F\u0627\u064B \u0644\u0635\u062D\u0629 \u0647\u0630\u0627 \u0627\u0644\u0645\u0628\u062F\u0623 \u0627\u0644\u0630\u064A \u0637\u0627\u0644\u0645\u0627 \u0643\u0627\u0646 \u0645\u062B\u064A\u0631\u0627 \u0644\u0644\u062C\u062F\u0644. \u062D\u064A\u062B \u0623\u0646 \u062C\u0645\u064A\u0639 \u0627\u0644\u0642\u0648\u0627\u0646\u064A\u0646 \u0627\u0644\u0645\u0633\u062A\u062E\u062F\u0645\u0629 \u0641\u064A \u0627\u0644\u0625\u062B\u0628\u0627\u062A \u062A\u062D\u0641\u0638 \u0627\u0644\u062D\u062C\u0645 \u0648\u0628\u0647\u0630\u0627 \u064A\u0643\u0648\u0646 \u0627\u0644\u062E\u0637\u0623 \u0631\u0627\u062C\u0639 \u0644\u0644\u0645\u0628\u062F\u0623. \u0641\u0639\u0646\u062F \u0627\u0633\u062A\u062E\u062F\u0627\u0645 \u0645\u0628\u062F\u0623 -\u0627\u0644\u0645\u0631\u0634\u062D \u062D\u062F\u064A\u062B\u0627\u064B \u0643\u0628\u062F\u064A\u0644- \u0645\u062B\u0644\u0627 \u0644\u0627 \u064A\u0645\u0643\u0646 \u0625\u062B\u0628\u0627\u062A \u0627\u0644\u0645\u0641\u0627\u0631\u0642\u0629. \u0648\u0644\u0643\u0646 \u0639\u0644\u0645\u0627\u0621 \u0627\u0644\u0631\u064A\u0627\u0636\u064A\u0627\u062A \u0627\u0644\u0628\u062D\u062A\u0629 \u0644\u0627 \u0632\u0627\u0644\u0648\u0627 \u064A\u062A\u0645\u0633\u0643\u0648\u0646 \u0628\u0627\u0644\u0645\u0628\u062F\u0623 \u0644\u0627\u0639\u062A\u0642\u0627\u062F\u0647\u0645 \u0628\u0648\u062C\u0648\u062F \u062E\u0637\u0623 \u0641\u064A \u0645\u0643\u0627\u0646 \u0645\u0627 \u0641\u064A \u0645\u062B\u0644 \u0647\u0630\u0627 \u0627\u0644\u0625\u062B\u0628\u0627\u062A\u0627\u062A \u063A\u064A\u0631 \u0627\u0644\u0645\u0646\u0637\u0642\u064A\u0629."@ar . . . "\uBC14\uB098\uD750-\uD0C0\uB974\uC2A4\uD0A4 \uC5ED\uC124(\uC601\uC5B4: Banach\u2013Tarski paradox)\uC740 \uC9D1\uD569\uB860 \uAE30\uD558\uD559\uC758 \uC815\uB9AC \uC911 \uD558\uB098\uB85C, 3\uCC28\uC6D0 \uC0C1\uC758 \uACF5\uC744 \uC720\uD55C \uAC1C\uC758 \uC870\uAC01\uC73C\uB85C \uC798\uB77C\uC11C, \uBCC0\uD615 \uC5C6\uC774 \uC21C\uC218 \uACF5\uAC04\uC774\uB3D9\uB9CC\uC73C\uB85C \uC7AC\uC870\uD569\uD558\uBA74 \uC6D0\uB798 \uACF5\uACFC \uAC19\uC740 \uBD80\uD53C\uB97C \uAC16\uB294 \uACF5 \uB450 \uAC1C\uB97C \uB9CC\uB4E4 \uC218 \uC788\uB2E4\uB294 \uC815\uB9AC\uC774\uB2E4. \uC774 \uC815\uB9AC\uB294 \uCD5C\uC18C 5\uAC1C \uC870\uAC01\uC73C\uB85C \uB9CC\uB4DC\uB294 \uAC83\uC774 \uAC00\uB2A5\uD558\uB2E4. \uC2A4\uD14C\uD310 \uBC14\uB098\uD750\uC640 \uC54C\uD504\uB808\uD2B8 \uD0C0\uB974\uC2A4\uD0A4\uC5D0 \uC758\uD574 \uC120\uD0DD \uACF5\uB9AC\uB97C \uCD94\uAC00\uD55C \uCCB4\uB974\uBA5C\uB85C-\uD504\uB81D\uCF08 \uC9D1\uD569\uB860\uC5D0\uC11C \uC99D\uBA85\uB418\uC5C8\uB2E4. \uC774 \uB54C \uACF5\uC744 \uC720\uD55C \uAC1C\uC758 \uBD80\uBD84\uC9D1\uD569\uC73C\uB85C \uBD84\uD560\uD560 \uB54C\uC758 \uAC01 \uBD80\uBD84\uC9D1\uD569\uC740 \uB974\uBCA0\uADF8 \uBE44\uAC00\uCE21 \uC9D1\uD569\uC774\uB2E4. \uC774 \uC815\uB9AC\uC758 \uAC15\uB825\uD55C \uD615\uD0DC\uB294 \uD070 \uACF5\uACFC \uC791\uC740 \uACF5\uACFC \uAC19\uC740 \uC801\uB2F9\uD55C \uB450 \uB2E8\uB2E8\uD55C \uBB3C\uCCB4 \uC911 \uD558\uB098\uB97C \uC801\uB2F9\uD55C \uC870\uAC01\uC73C\uB85C \uC798\uB77C\uC11C \uB2E4\uB978 \uBB3C\uCCB4\uB85C \uC7AC\uC870\uB9BD\uD560 \uC218 \uC788\uB2E4\uB294 \uC815\uB9AC\uC774\uB2E4. \uC774\uB97C \uC601\uBBF8\uAD8C\uC5D0\uC11C\uB294 \uC885\uC885 \"\uC644\uB450\uCF69\uC744 \uC798\uAC1C \uC370\uC5B4 \uC7AC\uC870\uB9BD\uD558\uBA74 \uD0DC\uC591\uC744 \uB9CC\uB4E4 \uC218 \uC788\uB2E4\"\uB77C\uACE0 \uC778\uC6A9\uD558\uAE30 \uB54C\uBB38\uC5D0 \uC644\uB450\uCF69\uACFC \uD0DC\uC591 \uC5ED\uC124(pea and the Sun paradox)\uC774\uB77C\uACE0 \uBD80\uB974\uAE30\uB3C4 \uD55C\uB2E4. \uC774 \uC5ED\uC124\uC758 \uACB0\uACFC\uB97C \uC99D\uBA85\uD560 \uB54C\uC5D0\uB294 \uC120\uD0DD \uACF5\uB9AC\uAC00 \uBC18\uB4DC\uC2DC \uD544\uC694\uD558\uB2E4. \uC120\uD0DD\uACF5\uB9AC\uAC00 \uC5C6\uC744 \uACBD\uC6B0(\uCCB4\uB974\uBA5C\uB85C-\uD504\uB81D\uCF08 \uC9D1\uD569\uB860)\uB098, \uC120\uD0DD \uACF5\uB9AC \uB300\uC2E0 \uC758\uC874\uC801 \uC120\uD0DD \uACF5\uB9AC\uB97C \uC0AC\uC6A9\uD560 \uACBD\uC6B0 \uC815\uB9AC\uAC00 \uC131\uB9BD\uD558\uC9C0 \uC54A\uB294\uB2E4."@ko . . "Banach\u016Fv\u2013Tarsk\u00E9ho paradox"@cs . . "Paradosso di Banach-Tarski"@it . "De Banach-Tarskiparadox is een stelling uit de meetkunde die zegt dat een massieve driedimensionale bol in een eindig aantal disjuncte (dat wil zeggen niet overlappende) delen gesplitst kan worden die weer samengevoegd kunnen worden tot twee identieke kopie\u00EBn van de oorspronkelijke bol. Er is nader bewezen dat het met vijf delen kan. Argumenten als deze paradox uit de verzamelingenleer hebben voor felle kritiek op het keuzeaxioma gezorgd, nochtans wordt het keuzeaxioma nu door de meeste wiskundigen aanvaard."@nl . . "Banach\u2013Tarskis paradox \u00E4r ett teorem i m\u00E4ngdteorin inom geometrin som p\u00E5st\u00E5r f\u00F6ljande: Ett givet klot i en tredimensionell rymd, kan s\u00F6nderdelas i ett \u00E4ndligt antal delm\u00E4ngder och sedan s\u00E4ttas ihop igen p\u00E5 ett nytt s\u00E4tt, s\u00E5 att tv\u00E5 identiska kopior av originalet erh\u00E5lls. Det var i en artikel publicerad 1924 som Stefan Banach och Alfred Tarski p\u00E5visade f\u00F6ljande resultat, av m\u00E5nga betraktat som mycket f\u00F6rv\u00E5nande: Satsen s\u00E4ger till exempel att en \u00E4rta kan delas i \u00E4ndligt m\u00E5nga bitar och sedan pusslas ihop till ett (solitt) jordklot. Teoremet har till och med uttrycks s\u00E5 h\u00E4r: och i \u00F6vers\u00E4ttning:"@sv . . . . . . . . . . "19759220"^^ . . "\u03A0\u03B1\u03C1\u03AC\u03B4\u03BF\u03BE\u03BF \u03C4\u03C9\u03BD \u039C\u03C0\u03AC\u03BD\u03B1\u03C7 \u03BA\u03B1\u03B9 \u03A4\u03AC\u03C1\u03C3\u03BA\u03B9"@el . . . . . . "Paradoxe de Banach-Tarski"@fr . . . . "\uBC14\uB098\uD750-\uD0C0\uB974\uC2A4\uD0A4 \uC5ED\uC124"@ko . . . "En math\u00E9matiques, et plus pr\u00E9cis\u00E9ment en g\u00E9om\u00E9trie, le paradoxe de Banach-Tarski est un th\u00E9or\u00E8me, d\u00E9montr\u00E9 en 1924 par Stefan Banach et Alfred Tarski, qui affirme qu'il est possible de d\u00E9couper une boule de l'espace usuel en un nombre fini de morceaux et de r\u00E9assembler ces morceaux pour former deux boules identiques \u00E0 la premi\u00E8re, \u00E0 un d\u00E9placement pr\u00E8s. Ce r\u00E9sultat paradoxal implique que ces morceaux soient non mesurables, sans quoi on obtiendrait une contradiction (le volume \u00E9tant un exemple de mesure, cela veut plus simplement dire que ces morceaux n'ont pas de volume). Le paradoxe de Banach-Tarski se g\u00E9n\u00E9ralise \u00E0 tous les , mais ne peut se r\u00E9aliser dans le plan . La d\u00E9monstration de ce r\u00E9sultat utilise l\u2019axiome du choix, n\u00E9cessaire pour construire des ensembles non mesurables."@fr . "En math\u00E9matiques, et plus pr\u00E9cis\u00E9ment en g\u00E9om\u00E9trie, le paradoxe de Banach-Tarski est un th\u00E9or\u00E8me, d\u00E9montr\u00E9 en 1924 par Stefan Banach et Alfred Tarski, qui affirme qu'il est possible de d\u00E9couper une boule de l'espace usuel en un nombre fini de morceaux et de r\u00E9assembler ces morceaux pour former deux boules identiques \u00E0 la premi\u00E8re, \u00E0 un d\u00E9placement pr\u00E8s. Ce r\u00E9sultat paradoxal implique que ces morceaux soient non mesurables, sans quoi on obtiendrait une contradiction (le volume \u00E9tant un exemple de mesure, cela veut plus simplement dire que ces morceaux n'ont pas de volume)."@fr . "Paradoks Banacha-Tarskiego (paradoks Hausdorffa-Banacha-Tarskiego, paradoksalny rozk\u0142ad kuli) \u2013 paradoksalne twierdzenie teorii miary sformu\u0142owane i udowodnione przez Stefana Banacha i Alfreda Tarskiego w 1924 roku. Twierdzenie g\u0142osi, \u017Ce tr\u00F3jwymiarow\u0105 kul\u0119 mo\u017Cna \u201Erozci\u0105\u0107\u201D na sko\u0144czon\u0105 liczb\u0119 cz\u0119\u015Bci (wystarczy ich pi\u0119\u0107), a nast\u0119pnie u\u017Cywaj\u0105c wy\u0142\u0105cznie przesuni\u0119\u0107 i obrot\u00F3w mo\u017Cna z\u0142o\u017Cy\u0107 z tych cz\u0119\u015Bci dwie kule o takich samych promieniach jak promie\u0144 kuli wyj\u015Bciowej."@pl . "47707"^^ . . . . . . . . "\u041F\u0430\u0440\u0430\u0434\u043E\u043A\u0441 \u0411\u0430\u043D\u0430\u0445\u0430 \u2014 \u0422\u0430\u0440\u0441\u044C\u043A\u043E\u0433\u043E, \u0430\u0431\u043E \u043F\u0430\u0440\u0430\u0434\u043E\u043A\u0441 \u043F\u043E\u0434\u0432\u043E\u0454\u043D\u043D\u044F \u043A\u0443\u043B\u0456, \u0441\u0442\u0432\u0435\u0440\u0434\u0436\u0443\u0454, \u0449\u043E \u0442\u0440\u0438\u0432\u0438\u043C\u0456\u0440\u043D\u0430 \u043A\u0443\u043B\u044F \u0440\u0456\u0432\u043D\u043E\u0441\u043A\u043B\u0430\u0434\u0435\u043D\u0430 \u0434\u0432\u043E\u043C \u0441\u0432\u043E\u0457\u043C \u043A\u043E\u043F\u0456\u044F\u043C. \u0414\u0432\u0456 \u043F\u0456\u0434\u043C\u043D\u043E\u0436\u0438\u043D\u0438 \u0435\u0432\u043A\u043B\u0456\u0434\u043E\u0432\u043E\u0433\u043E \u043F\u0440\u043E\u0441\u0442\u043E\u0440\u0443 \u043D\u0430\u0437\u0438\u0432\u0430\u044E\u0442\u044C\u0441\u044F \u0440\u0456\u0432\u043D\u043E\u0441\u043A\u043B\u0430\u0434\u0435\u043D\u0438\u043C\u0438, \u044F\u043A\u0449\u043E \u043E\u0434\u043D\u0443 \u043C\u043E\u0436\u043D\u0430 \u0440\u043E\u0437\u0431\u0438\u0442\u0438 \u043D\u0430 \u0441\u043A\u0456\u043D\u0447\u0435\u043D\u043D\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043B\u043E \u00AB\u0448\u043C\u0430\u0442\u043A\u0456\u0432\u00BB \u0456 \u0441\u043A\u043B\u0430\u0441\u0442\u0438 \u0437 \u043D\u0438\u0445 \u0434\u0440\u0443\u0433\u0443. \u041F\u0440\u0438 \u0446\u044C\u043E\u043C\u0443 \u0434\u043B\u044F \u043F\u043E\u0434\u0432\u043E\u0454\u043D\u043D\u044F \u043A\u0443\u043B\u0456 \u0434\u043E\u0441\u0442\u0430\u0442\u043D\u044C\u043E \u043F'\u044F\u0442\u0438 \u0448\u043C\u0430\u0442\u043A\u0456\u0432, \u0430\u043B\u0435 \u0447\u043E\u0442\u0438\u0440\u044C\u043E\u0445 \u2014 \u043D\u0456. \u0422\u043E\u0447\u043D\u0456\u0448\u0435, \u0434\u0432\u0456 \u043C\u043D\u043E\u0436\u0438\u043D\u0438 \u0456 \u0454 \u0440\u0456\u0432\u043D\u043E\u0441\u043A\u043B\u0430\u0434\u0435\u043D\u0438\u043C\u0438, \u044F\u043A\u0449\u043E \u0457\u0445 \u043C\u043E\u0436\u043D\u0430 \u043F\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u0442\u0438 \u044F\u043A \u0441\u043A\u0456\u043D\u0447\u0435\u043D\u043D\u0435 \u043E\u0431'\u0454\u0434\u043D\u0430\u043D\u043D\u044F \u043F\u0456\u0434\u043C\u043D\u043E\u0436\u0438\u043D \u0431\u0435\u0437 \u043F\u0435\u0440\u0435\u0442\u0438\u043D\u0456\u0432 , \u0442\u0430\u043A, \u0449\u043E \u0434\u043B\u044F \u043A\u043E\u0436\u043D\u043E\u0433\u043E \u043F\u0456\u0434\u043C\u043D\u043E\u0436\u0438\u043D\u0430 \u043A\u043E\u043D\u0433\u0440\u0443\u0435\u043D\u0442\u043D\u0430 . \u0414\u0456\u0439\u0441\u043D\u0438\u0439 \u0442\u0430\u043A\u043E\u0436 \u0441\u0438\u043B\u044C\u043D\u0456\u0448\u0438\u0439 \u0432\u0430\u0440\u0456\u0430\u043D\u0442 \u043F\u0430\u0440\u0430\u0434\u043E\u043A\u0441\u0443: \u0417\u0432\u0430\u0436\u0430\u044E\u0447\u0438 \u043D\u0430 \u0439\u043E\u0433\u043E \u043D\u0435\u043F\u0440\u0430\u0432\u0434\u043E\u043F\u043E\u0434\u0456\u0431\u043D\u0456\u0441\u0442\u044C, \u0446\u0435\u0439 \u043F\u0430\u0440\u0430\u0434\u043E\u043A\u0441 \u0447\u0430\u0441\u0442\u043E \u0432\u0438\u043A\u043E\u0440\u0438\u0441\u0442\u043E\u0432\u0443\u044E\u0442\u044C \u044F\u043A \u0430\u0440\u0433\u0443\u043C\u0435\u043D\u0442 \u043F\u0440\u043E\u0442\u0438 \u043F\u0440\u0438\u0439\u043D\u044F\u0442\u0442\u044F \u0430\u043A\u0441\u0456\u043E\u043C\u0438 \u0432\u0438\u0431\u043E\u0440\u0443, \u044F\u043A\u0430 \u0456\u0441\u0442\u043E\u0442\u043D\u043E \u0432\u0438\u043A\u043E\u0440\u0438\u0441\u0442\u043E\u0432\u0443\u0454\u0442\u044C\u0441\u044F \u0434\u043B\u044F \u043F\u043E\u0431\u0443\u0434\u043E\u0432\u0438 \u0442\u0430\u043A\u043E\u0433\u043E \u0440\u043E\u0437\u0431\u0438\u0442\u0442\u044F.\u041F\u0440\u0438\u0439\u043D\u044F\u0442\u0442\u044F \u0432\u0456\u0434\u043F\u043E\u0432\u0456\u0434\u043D\u043E\u0457 \u0430\u043B\u044C\u0442\u0435\u0440\u043D\u0430\u0442\u0438\u0432\u043D\u043E\u0457 \u0430\u043A\u0441\u0456\u043E\u043C\u0438 \u0434\u043E\u0437\u0432\u043E\u043B\u044F\u0454 \u0434\u043E\u0432\u0435\u0441\u0442\u0438 \u043D\u0435\u043C\u043E\u0436\u043B\u0438\u0432\u0456\u0441\u0442\u044C \u0437\u0430\u0437\u043D\u0430\u0447\u0435\u043D\u043E\u0433\u043E \u0440\u043E\u0437\u0431\u0438\u0442\u0442\u044F, \u043D\u0435 \u0437\u0430\u043B\u0438\u0448\u0430\u044E\u0447\u0438 \u043C\u0456\u0441\u0446\u044F \u0434\u043B\u044F \u0446\u044C\u043E\u0433\u043E \u043F\u0430\u0440\u0430\u0434\u043E\u043A\u0441\u0443. \u041F\u0430\u0440\u0430\u0434\u043E\u043A\u0441 \u0431\u0443\u0432 \u0432\u0456\u0434\u043A\u0440\u0438\u0442\u0438\u0439 1926 \u0440\u043E\u043A\u0443 \u0421\u0442\u0435\u0444\u0430\u043D\u043E\u043C \u0411\u0430\u043D\u0430\u0445\u043E\u043C \u0456 \u0410\u043B\u044C\u0444\u0440\u0435\u0434\u043E\u043C \u0422\u0430\u0440\u0441\u044C\u043A\u0438\u043C. \u0414\u0443\u0436\u0435 \u043F\u043E\u0434\u0456\u0431\u043D\u0438\u0439 \u043D\u0430 \u0431\u0456\u043B\u044C\u0448 \u0440\u0430\u043D\u043D\u0456\u0439 \u043F\u0430\u0440\u0430\u0434\u043E\u043A\u0441 \u0413\u0430\u0443\u0441\u0434\u043E\u0440\u0444\u0430, \u0456 \u0439\u043E\u0433\u043E \u0434\u043E\u0432\u0435\u0434\u0435\u043D\u043D\u044F \u0437\u0430\u0441\u043D\u043E\u0432\u0430\u043D\u0435 \u043D\u0430 \u0442\u0456\u0439 \u0441\u0430\u043C\u0456\u0439 \u0456\u0434\u0435\u0457. \u0422\u043E\u043C\u0443 \u043F\u0440\u0430\u0432\u0438\u043B\u044C\u043D\u0456\u0448\u0435 \u043D\u0430\u0437\u0438\u0432\u0430\u0442\u0438 \u041F\u0430\u0440\u0430\u0434\u043E\u043A\u0441 \u0411\u0430\u043D\u0430\u0445\u0430 \u2014 \u0422\u0430\u0440\u0441\u044C\u043A\u043E\u0433\u043E \u043F\u0430\u0440\u0430\u0434\u043E\u043A\u0441\u043E\u043C \u0413\u0430\u0443\u0441\u0434\u043E\u0440\u0444\u0430 \u2014 \u0411\u0430\u043D\u0430\u0445\u0430 \u2014 \u0422\u0430\u0440\u0441\u044C\u043A\u043E\u0433\u043E."@uk . . . . . "\u30D0\u30CA\u30C3\u30CF\uFF1D\u30BF\u30EB\u30B9\u30AD\u30FC\u306E\u30D1\u30E9\u30C9\u30C3\u30AF\u30B9 (Banach-Tarski paradox) \u306F\u3001\u7403\u30923\u6B21\u5143\u7A7A\u9593\u5185\u3067\u3001\u6709\u9650\u500B\u306E\u90E8\u5206\u306B\u5206\u5272\u3057\u3001\u305D\u308C\u3089\u3092\u56DE\u8EE2\u30FB\u5E73\u884C\u79FB\u52D5\u64CD\u4F5C\u306E\u307F\u3092\u4F7F\u3063\u3066\u3046\u307E\u304F\u7D44\u307F\u66FF\u3048\u308B\u3053\u3068\u3067\u3001\u5143\u306E\u7403\u3068\u540C\u3058\u534A\u5F84\u306E\u7403\u30922\u3064\u4F5C\u308B\u3053\u3068\u304C\u3067\u304D\u308B\u3068\u3044\u3046\u5B9A\u7406\uFF08\u305F\u3060\u3057\u3001\u5404\u65AD\u7247\u306F\u901A\u5E38\u306E\u610F\u5473\u3067\u4F53\u7A4D\u3092\u5B9A\u7FA9\u3067\u304D\u306A\u3044\uFF09\u3002\u3053\u306E\u64CD\u4F5C\u3092\u884C\u3046\u305F\u3081\u306B\u7403\u3092\u6700\u4F4E5\u3064\u306B\u5206\u5272\u3059\u308B\u5FC5\u8981\u304C\u3042\u308B\u3002 \u30D0\u30CA\u30C3\u30CF\uFF1D\u30BF\u30EB\u30B9\u30AD\u30FC\u306E\u8A3C\u660E\u3067\u306F\u3001\u30CF\u30A6\u30B9\u30C9\u30EB\u30D5\u306E\u30D1\u30E9\u30C9\u30C3\u30AF\u30B9\u304C\u63F4\u7528\u3055\u308C\u3001\u305D\u306E\u5F8C\u3001\u591A\u304F\u306E\u4EBA\u306B\u3088\u308A\u8A3C\u660E\u306E\u6700\u9069\u5316\u3001\u69D8\u3005\u306A\u7A7A\u9593\u3078\u306E\u62E1\u5F35\u304C\u884C\u308F\u308C\u305F\u3002 \u7D50\u679C\u304C\u76F4\u89B3\u306B\u53CD\u3059\u308B\u3053\u3068\u304B\u3089\u3001\u5B9A\u7406\u3067\u3042\u308B\u304C\u300C\u30D1\u30E9\u30C9\u30C3\u30AF\u30B9\u300D\u3068\u547C\u3070\u308C\u308B\u3002\u8A3C\u660E\u306E1\u7B87\u6240\u3067\u9078\u629E\u516C\u7406\u3092\u4F7F\u3046\u305F\u3081\u3001\u9078\u629E\u516C\u7406\u306E\u4E0D\u5408\u7406\u6027\u3092\u8AD6\u3058\u308B\u6587\u8108\u3067\u5F15\u7528\u3055\u308C\u308B\u3053\u3068\u304C\u3042\u308B\u3002\u30B9\u30C6\u30D5\u30A1\u30F3\u30FB\u30D0\u30CA\u30D5\uFF08\u30D0\u30CA\u30C3\u30CF\uFF09\u3068\u30A2\u30EB\u30D5\u30EC\u30C8\u30FB\u30BF\u30EB\u30B9\u30AD\u304C1924\u5E74\u306B\u521D\u3081\u3066\u3053\u306E\u5B9A\u7406\u3092\u8FF0\u3079\u305F\u3068\u304D\u306B\u9078\u629E\u516C\u7406\u3092\u80AF\u5B9A\u7684\u306B\u3068\u3089\u3048\u3066\u3044\u305F\u304B\u3001\u5426\u5B9A\u7684\u306B\u3068\u3089\u3048\u3066\u3044\u305F\u304B\u3001\u5224\u65AD\u3059\u308B\u3053\u3068\u306F\u96E3\u3057\u3044\uFF08\u300C\u3053\u306E\u7814\u7A76\u306B\u5BFE\u3059\u308B\u9078\u629E\u516C\u7406\u306E\u679C\u305F\u3059\u5F79\u5272\u306F\u6CE8\u76EE\u306B\u5024\u3059\u308B\u3002\u300D(Le r\u00F4le que joue cet axiome dans nos raisonnements nous semble m\u00E9riter l'attention.)\u3068\u3057\u304B\u8FF0\u3079\u3066\u3044\u306A\u3044\uFF09\u3002\u306A\u304A\u3001\u9078\u629E\u516C\u7406\u3088\u308A\u3082\u771F\u306B\u5F31\u3044\u30CF\u30FC\u30F3\u2013\u30D0\u30CA\u30C3\u30CF\u306E\u5B9A\u7406\u304B\u3089\u30D0\u30CA\u30C3\u30CF\uFF1D\u30BF\u30EB\u30B9\u30AD\u30FC\u306E\u30D1\u30E9\u30C9\u30C3\u30AF\u30B9\u3092\u5C0E\u304F\u3053\u3068\u304C\u3067\u304D\u308B\u3002\u307E\u305F\u4F3C\u305F\u3088\u3046\u306A\u8A71\u984C\u3068\u3057\u3066\u30B7\u30A7\u30EB\u30D4\u30F3\u30B9\u30AD\u30FC\u30FB\u30DE\u30BA\u30EB\u30AD\u30FC\u30A6\u30A3\u30C1\u306E\u30D1\u30E9\u30C9\u30C3\u30AF\u30B9\u304C\u3042\u308B\u304C\u3053\u3061\u3089\u306F\u9078\u629E\u516C\u7406\u306B\u4F9D\u5B58\u3057\u306A\u3044\u3002 \u3053\u306E\u5B9A\u7406\u306F\u6B21\u306E\u3088\u3046\u306B\u8FF0\u3079\u308B\u3053\u3068\u3082\u51FA\u6765\u308B\u3002 \n* \u7403\u306F\u3001\u305D\u308C\u81EA\u8EAB\u3068\u540C\u3058\u7403\u4E8C\u3064\u3068\u5206\u5272\u5408\u540C\u3067\u3042\u308B\u3002 \u305F\u3060\u3057\u3001\u5206\u5272\u5408\u540C\u3068\u306F\u4EE5\u4E0B\u306E\u3088\u3046\u306B\u5B9A\u7FA9\u3055\u308C\u308B:A \u3068 B \u3092\u30E6\u30FC\u30AF\u30EA\u30C3\u30C9\u7A7A\u9593\u306E\u90E8\u5206\u96C6\u5408\u3068\u3059\u308B\u3002A \u3068 B \u304C\u6709\u9650\u500B\u306E\u4E92\u3044\u306B\u4EA4\u308F\u3089\u306A\u3044\u90E8\u5206\u96C6\u5408\u306E\u5408\u4F75\u3068\u3057\u3066 \u3064\u307E\u308A\u3001 A = A1 \u222A ... \u222A An , B = B1 \u222A ... \u222A Bn \u3068\u8868\u3059\u3053\u3068\u304C\u3067\u304D\u3001\u5168\u3066\u306E i \u306B\u3064\u3044\u3066\u3001 \u3068 \u304C\u5408\u540C\u3067\u3042\u308B\u3068\u304D\u3001A \u3068 B \u3092\u5206\u5272\u5408\u540C\u3068\u3044\u3046\u3002 \u3055\u3089\u306B\u3001\u3053\u306E\u5B9A\u7406\u304B\u3089\u6B21\u306E\u3088\u308A\u5F37\u3044\u5F62\u306E\u7CFB\u3092\u5C0E\u304F\u3053\u3068\u304C\u51FA\u6765\u308B\u3002 \n* 3\u6B21\u5143\u30E6\u30FC\u30AF\u30EA\u30C3\u30C9\u7A7A\u9593\u306E\u6709\u754C\u306A\u90E8\u5206\u96C6\u5408\u3067\u3001\u5185\u90E8\u304C\u7A7A\u3067\u306A\u3044\u3082\u306E(\u3064\u307E\u308A\u3001\u6709\u9650\u306E\u62E1\u304C\u308A\u3092\u6301\u3061\u3001\u66F2\u7DDA\u3084\u66F2\u9762\u3067\u306F\u306A\u3044\u3082\u306E)\u3092\u4EFB\u610F\u306B\u4E8C\u3064\u9078\u3093\u3060\u3068\u3059\u308B\u3068\u3001\u305D\u308C\u3089\u306F\u5206\u5272\u5408\u540C\u3067\u3042\u308B\u3002 \u8A00\u3044\u63DB\u3048\u308B\u3068\u3001\u30D3\u30FC\u7389\u3092\u6709\u9650\u500B\u306B\u5206\u5272\u3057\u3066\u7D44\u307F\u66FF\u3048\u308B\u3053\u3068\u3067\u6708\u3092\u4F5C\u3063\u305F\u308A\u3001\u96FB\u8A71\u3092\u7D44\u307F\u66FF\u3048\u3066\u7761\u84EE\u3092\u4F5C\u3063\u305F\u308A\u51FA\u6765\u308B\uFF08\u5F53\u7136\u306E\u3054\u3068\u304F\u6750\u8CEA\u306F\u5909\u3048\u3089\u308C\u306A\u3044\uFF09\u3001\u3068\u3044\u3046\u3053\u3068\u3067\u3042\u308B\u3002\u3053\u306E\u5B9A\u7406\u306E\u8A3C\u660E\u3067\u3001\u70B9\u96C6\u5408\u306F\u9078\u629E\u516C\u7406\u3092\u4F7F\u3063\u3066\u3064\u304F\u3089\u308C\u308B\u9078\u629E\u96C6\u5408\u3067\u69CB\u6210\u3055\u308C\u3066\u304A\u308A\u3001\u5404\u65AD\u7247\u306F\u30EB\u30D9\u30FC\u30B0\u53EF\u6E2C\u3067\u306F\u306A\u3044\u3002\u3059\u306A\u308F\u3061\u3001\u5404\u65AD\u7247\u306F\u660E\u78BA\u306A\u5883\u754C\u3084\u901A\u5E38\u306E\u610F\u5473\u3067\u306E\u4F53\u7A4D\u3092\u6301\u305F\u306A\u3044\u3002\u7269\u7406\u7684\u306A\u5206\u5272\u3067\u306F\u53EF\u6E2C\u306A\u96C6\u5408\u3057\u304B\u4F5C\u308C\u306A\u3044\u306E\u3067\u3001\u73FE\u5B9F\u306B\u306F\u3053\u306E\u3088\u3046\u306A\u5206\u5272\u306F\u4E0D\u53EF\u80FD\u3067\u3042\u308B\u3002\u3057\u304B\u3057\u306A\u304C\u3089\u3001\u305D\u308C\u3089\u306E\u5E7E\u4F55\u5B66\u7684\u306A\u5F62\u72B6\u306B\u5BFE\u3057\u3066\u306F\u3053\u306E\u3088\u3046\u306A\u5909\u63DB\u304C\u53EF\u80FD\u306A\u306E\u3067\u3042\u308B\u3002 \u3053\u306E\u5B9A\u7406\u306F 3\u6B21\u5143\u4EE5\u4E0A\u306E\u5168\u3066\u306E\u6B21\u5143\u306B\u304A\u3044\u3066\u3082\u6210\u308A\u7ACB\u3064\u30022\u6B21\u5143\u30E6\u30FC\u30AF\u30EA\u30C3\u30C9\u5E73\u9762\u306B\u304A\u3044\u3066\u306F\u6210\u308A\u7ACB\u305F\u306A\u3044\u3082\u306E\u306E\u30012\u6B21\u5143\u306B\u304A\u3044\u3066\u3082\u5206\u5272\u306B\u95A2\u3059\u308B\u30D1\u30E9\u30C9\u30C3\u30AF\u30B9\u306F\u5B58\u5728\u3059\u308B:\u5186\u3092\u6709\u9650\u500B\u306E\u90E8\u5206\u306B\u5206\u5272\u3057\u3066\u7D44\u66FF\u3048\u308B\u4E8B\u3067\u3001\u540C\u3058\u9762\u7A4D\u306E\u6B63\u65B9\u5F62\u3092\u4F5C\u308B\u3053\u3068\u304C\u51FA\u6765\u308B\u306E\u3067\u3042\u308B\u3002\u3053\u308C\u306F\u30BF\u30EB\u30B9\u30AD\u30FC\u306E\u5186\u7A4D\u554F\u984C(en:Tarski's circle-squaring problem)\u3068\u3057\u3066\u77E5\u3089\u308C\u3066\u3044\u308B\u3002 2\u6B21\u5143\u30E6\u30FC\u30AF\u30EA\u30C3\u30C9\u5E73\u9762\u306B\u304A\u3044\u3066\u306F\u3001\u5408\u540C\u5909\u63DB\u3067\u306F\u306A\u304F\u9762\u7A4D\u3092\u4FDD\u3064\u5909\u63DB\u306B\u6761\u4EF6\u3092\u3086\u308B\u3081\u308B\u3068\u3001\u30D0\u30CA\u30C3\u30CF\uFF1D\u30BF\u30EB\u30B9\u30AD\u30FC\u306E\u30D1\u30E9\u30C9\u30C3\u30AF\u30B9\u3068\u540C\u69D8\u306A\u5B9A\u7406\u304C\u6210\u7ACB\u3059\u308B\u3053\u3068\u3092\u30011929\u5E74\u306B\u30B8\u30E7\u30F3\u30FB\u30D5\u30A9\u30F3\u30FB\u30CE\u30A4\u30DE\u30F3\u304C\u8A3C\u660E\u3057\u305F\u3002\u3053\u306E\u5B9A\u7406\u306F\u6B21\u306E\u3088\u3046\u306B\u8FF0\u3079\u308B\u3053\u3068\u304C\u51FA\u6765\u308B\u3002 A \u3068 B \u30922\u6B21\u5143\u30E6\u30FC\u30AF\u30EA\u30C3\u30C9\u7A7A\u9593\u306E\u5185\u70B9\u3092\u6301\u3064\u6709\u754C\u306A\u90E8\u5206\u96C6\u5408\u3068\u3059\u308B\u3002 A \u3068 B \u304C\u6709\u9650\u500B\u306E\u4E92\u3044\u306B\u4EA4\u308F\u3089\u306A\u3044\u90E8\u5206\u96C6\u5408\u306E\u5408\u4F75\u3068\u3057\u3066 \u3068\u8868\u3059\u3053\u3068\u304C\u51FA\u6765\u308B\u3002\u3053\u3053\u3067\u3001\u5168\u3066\u306E i \u306B\u3064\u3044\u3066\u3001\u9762\u7A4D\u3092\u4FDD\u3064\u5909\u63DB \u304C\u5B58\u5728\u3057\u3066 \u3068\u3059\u308B\u4E8B\u304C\u51FA\u6765\u308B\u3002"@ja . . . "\u041F\u0430\u0440\u0430\u0434\u043E\u043A\u0441 \u0411\u0430\u0301\u043D\u0430\u0445\u0430 \u2014 \u0422\u0430\u0301\u0440\u0441\u043A\u043E\u0433\u043E (\u0442\u0430\u043A\u0436\u0435 \u043D\u0430\u0437\u044B\u0432\u0430\u0435\u0442\u0441\u044F \u043F\u0430\u0440\u0430\u0434\u043E\u043A\u0441\u043E\u043C \u0443\u0434\u0432\u043E\u0435\u043D\u0438\u044F \u0448\u0430\u0440\u0430 \u0438 \u043F\u0430\u0440\u0430\u0434\u043E\u043A\u0441\u043E\u043C \u0425\u0430\u0443\u0441\u0434\u043E\u0301\u0440\u0444\u0430 \u2014 \u0411\u0430\u043D\u0430\u0445\u0430 \u2014 \u0422\u0430\u0440\u0441\u043A\u043E\u0433\u043E) \u2014 \u0442\u0435\u043E\u0440\u0435\u043C\u0430 \u0432 \u0442\u0435\u043E\u0440\u0438\u0438 \u043C\u043D\u043E\u0436\u0435\u0441\u0442\u0432, \u0443\u0442\u0432\u0435\u0440\u0436\u0434\u0430\u044E\u0449\u0430\u044F, \u0447\u0442\u043E \u0442\u0440\u0451\u0445\u043C\u0435\u0440\u043D\u044B\u0439 \u0448\u0430\u0440 \u0440\u0430\u0432\u043D\u043E\u0441\u043E\u0441\u0442\u0430\u0432\u043B\u0435\u043D \u0434\u0432\u0443\u043C \u0441\u0432\u043E\u0438\u043C \u043A\u043E\u043F\u0438\u044F\u043C. \u0414\u0432\u0430 \u043F\u043E\u0434\u043C\u043D\u043E\u0436\u0435\u0441\u0442\u0432\u0430 \u0435\u0432\u043A\u043B\u0438\u0434\u043E\u0432\u0430 \u043F\u0440\u043E\u0441\u0442\u0440\u0430\u043D\u0441\u0442\u0432\u0430 \u043D\u0430\u0437\u044B\u0432\u0430\u044E\u0442\u0441\u044F \u0440\u0430\u0432\u043D\u043E\u0441\u043E\u0441\u0442\u0430\u0432\u043B\u0435\u043D\u043D\u044B\u043C\u0438, \u0435\u0441\u043B\u0438 \u043E\u0434\u043D\u043E \u043C\u043E\u0436\u043D\u043E \u0440\u0430\u0437\u0431\u0438\u0442\u044C \u043D\u0430 \u043A\u043E\u043D\u0435\u0447\u043D\u043E\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043B\u043E (\u043D\u0435 \u043E\u0431\u044F\u0437\u0430\u0442\u0435\u043B\u044C\u043D\u043E \u0441\u0432\u044F\u0437\u043D\u044B\u0445) \u043F\u043E\u043F\u0430\u0440\u043D\u043E \u043D\u0435\u043F\u0435\u0440\u0435\u0441\u0435\u043A\u0430\u044E\u0449\u0438\u0445\u0441\u044F \u0447\u0430\u0441\u0442\u0435\u0439, \u043F\u0435\u0440\u0435\u0434\u0432\u0438\u043D\u0443\u0442\u044C \u0438\u0445 \u0438 \u0441\u043E\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u0442\u044C \u0438\u0437 \u043D\u0438\u0445 \u0432\u0442\u043E\u0440\u043E\u0435 (\u0432 \u043F\u0440\u043E\u043C\u0435\u0436\u0443\u0442\u043E\u0447\u043D\u043E\u043C \u043F\u043E\u043B\u043E\u0436\u0435\u043D\u0438\u0438 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438 \u043C\u043E\u0433\u0443\u0442 \u043F\u0435\u0440\u0435\u0441\u0435\u043A\u0430\u0442\u044C\u0441\u044F, \u0430 \u0432 \u043D\u0430\u0447\u0430\u043B\u044C\u043D\u043E\u043C \u0438 \u043A\u043E\u043D\u0435\u0447\u043D\u043E\u043C \u043D\u0435 \u043C\u043E\u0433\u0443\u0442). \u0414\u043E\u043A\u0430\u0437\u0430\u043D\u043E, \u0447\u0442\u043E \u0434\u043B\u044F \u0443\u0434\u0432\u043E\u0435\u043D\u0438\u044F \u0448\u0430\u0440\u0430 \u0434\u043E\u0441\u0442\u0430\u0442\u043E\u0447\u043D\u043E \u043F\u044F\u0442\u0438 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0435\u0439, \u043D\u043E \u0447\u0435\u0442\u044B\u0440\u0451\u0445 \u043D\u0435\u0434\u043E\u0441\u0442\u0430\u0442\u043E\u0447\u043D\u043E."@ru . . . . . . . . . . . "Paradoja de Banach-Tarski"@es . . . . . "Das Banach-Tarski-Paradoxon oder auch Satz von Banach und Tarski ist eine Aussage der Mathematik, die demonstriert, dass sich der anschauliche Volumenbegriff nicht auf beliebige Punktmengen verallgemeinern l\u00E4sst. Danach kann man eine Kugel in drei oder mehr Dimensionen derart zerlegen, dass sich ihre Teile wieder zu zwei l\u00FCckenlosen Kugeln zusammenf\u00FCgen lassen, von denen jede denselben Durchmesser hat wie die urspr\u00FCngliche. Das Volumen verdoppelt sich, ohne dass anschaulich ersichtlich ist, wie durch diesen Vorgang Volumen aus dem Nichts entstehen k\u00F6nnen sollte. Dieses Paradoxon demonstriert, dass das mathematische Modell des Raumes als Punktmenge in der Mathematik Aspekte hat, die sich in der physischen Realit\u00E4t nicht wiederfinden."@de . "Paradoks Banach\u2013Tarski adalah sebuah teorema geometri teori himpunan, yang dinyatakan sebagai berikut: Sebuah bola padat ditempatkan di ruang 3 dimensi, bola tersebut kemudian dipecah berkeping-keping dan disatukan kembali menjadi dua bola dengan ukuran yang sama dengan bola yang asli. Rekonstruksi dapat dilakukan dengan setidaknya lima kepingan. Paradoks tersebut sering kali dinyatakan sebagai \"sebuah kacang yang dapat dipecah dan disatukan kembali menjadi Matahari\" dan disebut \"paradoks kacang dan Matahari\"."@in . . . . "Banach\u2013Tarski paradox"@en . . . "De Banach-Tarskiparadox is een stelling uit de meetkunde die zegt dat een massieve driedimensionale bol in een eindig aantal disjuncte (dat wil zeggen niet overlappende) delen gesplitst kan worden die weer samengevoegd kunnen worden tot twee identieke kopie\u00EBn van de oorspronkelijke bol. Er is nader bewezen dat het met vijf delen kan. Het weer samenvoegen gebeurt enkel met behulp van rotaties en translaties, dus uit directe isometrie\u00EBn van de ruimte, wat afbeeldingen zijn die de vorm en grootte niet veranderen. De delen bestaan uit verzamelingen van allemaal losse punten, een soort stofwolken, met een zo ingewikkelde structuur dat ze niet meetbaar zijn, zodat het volume van elk niet gedefinieerd is. Daardoor is de stelling niet in strijd met de maattheorie. Stefan Banach en Alfred Tarski gaven in 1924 in een krant de constructie van een dergelijke \"paradoxale decompositie\", gebaseerd op eerder werk door Giuseppe Vitali met betrekking tot het eenheidsinterval en op de hausdorff-paradox, een paradoxale decompositie van de bol door Felix Hausdorff. Ze bewezen ook de sterke vorm van de banach-tarskiparadox: Gegeven twee willekeurige eindige begrensde deelverzamelingen en van de euclidische ruimte van minstens drie dimensies die beide een niet-leeg inwendige hebben, dan bestaan er eindige partities van en met evenveel delen, dus disjuncte deelverzamelingen en met en zodat voor elke de verzamelingen en congruent zijn. Dit geldt niet in een of twee dimensies, maar Banach en Tarski hebben aangetoond dat een analoge stelling wel nog waar is, indien we aftelbaar veel deelverzamelingen toelaten. Het verschil tussen een en twee dimensies enerzijds en drie en meer dimensies anderzijds is het gevolg van de veel rijkere structuur van de groep van Euclidische transformaties in hogere dimensies. Terwijl onder aanname van het keuzeaxioma de vitali-verzamelingen laten zien dat er niet-meetbare verzamelingen zijn (in de zin van een maat met sigma-additiviteit) blijkt hier (ook weer onder aanname van het keuzeaxioma) dat er in drie dimensies zelfs geen volume-begrip met eindige additiviteit is. De reden waarom dit een paradox genoemd wordt, is omdat het tegen de meetkundige intu\u00EFtie ingaat, alleen al qua volume. \"De bal verdubbelen\" door hem in stukken te verdelen, de stukken in het rond te laten draaien en te verplaatsen, zonder deze uit te rekken of nieuwe punten toe te voegen lijkt onmogelijk, omdat al deze operaties het volume bewaren. Maar toch is het volume op het einde verdubbeld. Dankzij de sterke versie kunnen de punten van een erwt in stukken worden verdeeld om vervolgens opnieuw samengevoegd te worden om uiteindelijk zelfs de afmeting van de zon aan te nemen. Argumenten als deze paradox uit de verzamelingenleer hebben voor felle kritiek op het keuzeaxioma gezorgd, nochtans wordt het keuzeaxioma nu door de meeste wiskundigen aanvaard."@nl . . . . . . . . . . "La paradoja de Banach\u2013Tarski es un teorema en geometr\u00EDa te\u00F3rica de conjuntos cuyo enunciado es el siguiente: A continuaci\u00F3n vemos una versi\u00F3n m\u00E1s contundente del teorema: Informalmente esto se dice con frecuencia de la siguiente forma: Esta \u00FAltima forma se llama la \"paradoja del guisante y el Sol.\" La raz\u00F3n por la que se considera una paradoja a este teorema es porque contradice la intuici\u00F3n geom\u00E9trica b\u00E1sica. \"Doblar la bola\" dividi\u00E9ndola en partes y removi\u00E9ndolas por rotaciones, sin ning\u00FAn estiramiento, curvatura, o adici\u00F3n de nuevos puntos, parece ser imposible, ya que todas estas operaciones conservan el volumen. Al contrario de la mayor\u00EDa de teoremas de geometr\u00EDa, este resultado depende de forma cr\u00EDtica de la elecci\u00F3n de los axiomas de la teor\u00EDa de conjuntos.\u00DAnicamente puede demostrarse usando el axioma de elecci\u00F3n,\u200B que permite la construcci\u00F3n de conjuntos no medibles, es decir, colecciones de puntos que no tienen un volumen en el sentido ordinario y que para su construcci\u00F3n requerir\u00EDan un n\u00FAmero infinito de elecciones. En 2005 se demostr\u00F3 que las piezas de la descomposici\u00F3n pueden elegirse de tal forma que puedan moverse continuamente sin solaparse entre s\u00ED.\u200B"@es . "Paradoxo de Banach\u2013Tarski"@pt . . "Il paradosso di Banach-Tarski, o paradosso di Hausdorff-Banach-Tarski \u00E8 stato dimostrato per la prima volta da Stefan Banach e Alfred Tarski nel 1924. \u00C8 il risultato noto come \"raddoppiamento della sfera\" (\"doubling the ball\"), con cui si stabilisce che, adoperando l'assioma della scelta, \u00E8 possibile prendere una sfera nello spazio a tre dimensioni, suddividerla in un insieme finito di pezzi non misurabili e, utilizzando solo rotazioni e traslazioni, riassemblare i pezzi in modo da ottenere due sfere dello stesso raggio della sfera originale."@it . . . . . . . "\u0645\u0641\u0627\u0631\u0642\u0629 \u0628\u0627\u0646\u0627\u062E \u062A\u0627\u0631\u0633\u0643\u064A"@ar . . . . . . . . . . . "\u5DF4\u62FF\u8D6B-\u5854\u65AF\u57FA\u5B9A\u7406\uFF08Banach\u2013Tarski paradox\uFF0C\u6216\u79F0\u8C6A\u65AF\u591A\u592B-\u5DF4\u62FF\u8D6B-\u5854\u65AF\u57FA\u5B9A\u7406\uFF0C\u53C8\u540D\u201C\u5206\u7403\u602A\u8BBA\u201D\uFF09\uFF0C\u662F\u4E00\u6761\u6570\u5B66\u5B9A\u7406\u30021924\u5E74\uFF0C\u65AF\u7279\u51E1\u00B7\u5DF4\u62FF\u8D6B\u548C\u963F\u5C14\u5F17\u96F7\u5FB7\u00B7\u5854\u65AF\u57FA\u9996\u6B21\u63D0\u51FA\u8FD9\u4E00\u5B9A\u7406\uFF0C\u6307\u51FA\u5728\u9009\u62E9\u516C\u7406\u6210\u7ACB\u7684\u60C5\u51B5\u4E0B\uFF0C\u53EF\u4EE5\u5C06\u4E00\u4E2A\u4E09\u7EF4\u5B9E\u5FC3\u7403\u5206\u6210\u6709\u9650\uFF08\u4E0D\u53EF\u6D4B\u7684\uFF09\u90E8\u5206\uFF0C\u7136\u540E\u4EC5\u4EC5\u901A\u8FC7\u65CB\u8F6C\u548C\u5E73\u79FB\u5230\u5176\u4ED6\u5730\u65B9\u91CD\u65B0\u7EC4\u5408\uFF0C\u5C31\u53EF\u4EE5\u7EC4\u6210\u4E24\u4E2A\u534A\u5F84\u548C\u539F\u6765\u76F8\u540C\u7684\u5B8C\u6574\u7684\u7403\u3002 \u5DF4\u62FF\u8D6B\u548C\u5854\u65AF\u57FA\u63D0\u51FA\u8FD9\u4E00\u5B9A\u7406\u539F\u610F\u662F\u60F3\u62D2\u7EDD\u9009\u62E9\u516C\u7406\uFF0C\u4F46\u8BE5\u8BC1\u660E\u5F88\u81EA\u7136\uFF0C\u56E0\u6B64\u6570\u5B66\u5BB6\u8BA4\u4E3A\u8FD9\u4EC5\u610F\u5473\u7740\u9009\u62E9\u516C\u7406\u53EF\u4EE5\u5BFC\u81F4\u5C11\u6570\u4EE4\u4EBA\u60CA\u8BB6\u548C\u53CD\u76F4\u89C9\u7684\u7ED3\u679C\u3002\u6709\u4E9B\u53D9\u8FF0\u4E2D\u8FD9\u6761\u5B9A\u7406\u88AB\u770B\u6210\u662F\u6096\u8BBA\uFF0C\u4F46\u662F\u5B9A\u7406\u672C\u8EAB\u6CA1\u6709\u903B\u8F91\u4E0A\u4E0D\u4E00\u81F4\u7684\u5730\u65B9\uFF0C\u5B9E\u9645\u4E0A\u4E0D\u7B26\u5408\u6096\u8BBA\u7684\u5B9A\u4E49\u3002"@zh . . . . . . . . . . . "Paradoks Banacha-Tarskiego (paradoks Hausdorffa-Banacha-Tarskiego, paradoksalny rozk\u0142ad kuli) \u2013 paradoksalne twierdzenie teorii miary sformu\u0142owane i udowodnione przez Stefana Banacha i Alfreda Tarskiego w 1924 roku. Twierdzenie g\u0142osi, \u017Ce tr\u00F3jwymiarow\u0105 kul\u0119 mo\u017Cna \u201Erozci\u0105\u0107\u201D na sko\u0144czon\u0105 liczb\u0119 cz\u0119\u015Bci (wystarczy ich pi\u0119\u0107), a nast\u0119pnie u\u017Cywaj\u0105c wy\u0142\u0105cznie przesuni\u0119\u0107 i obrot\u00F3w mo\u017Cna z\u0142o\u017Cy\u0107 z tych cz\u0119\u015Bci dwie kule o takich samych promieniach jak promie\u0144 kuli wyj\u015Bciowej. Paradoksalne jest to, \u017Ce z jednej strony w wyniku operacji rozcinania, przesuni\u0119cia, obracania i sk\u0142adania nast\u0119puje podwojenie obj\u0119to\u015Bci kuli, z drugiej u\u017Cyte operacje przesuni\u0119cia i obrotu s\u0105 izometriami i zachowuj\u0105 obj\u0119to\u015B\u0107 bry\u0142. \u0179r\u00F3d\u0142o paradoksu tkwi w tym, \u017Ce cz\u0119\u015Bci, na kt\u00F3re dzielona jest kula, s\u0105 zbiorami niemierzalnymi (w sensie Lebesgue\u2019a) tj. nie maj\u0105 obj\u0119to\u015Bci i nie stosuje si\u0119 do nich addytywno\u015B\u0107 miary, zgodnie z kt\u00F3r\u0105 suma miar roz\u0142\u0105cznych zbior\u00F3w mierzalnych jest miar\u0105 sumy mnogo\u015Bciowej tych zbior\u00F3w. Twierdzenie Banacha-Tarskiego i pokrewne wyniki u\u015Bwiadamiaj\u0105 ograniczenia mo\u017Cliwych rozszerze\u0144 miary Lebesgue\u2019a, kt\u00F3re mia\u0142yby pozosta\u0107 niezmiennicze wzgl\u0119dem pewnych przekszta\u0142ce\u0144 przestrzeni euklidesowych. Paradoks Banacha-Tarskiego ma swoj\u0105 popularn\u0105 wersj\u0119: ziarnko grochu mo\u017Ce by\u0107 podzielone na sko\u0144czenie wiele cz\u0119\u015Bci, z kt\u00F3rych (przez izometrie) mo\u017Cna z\u0142o\u017Cy\u0107 kul\u0119 wielko\u015Bci S\u0142o\u0144ca. W jednej z ksi\u0105\u017Cek dotycz\u0105cych paradoksu Banacha-Tarskiego zamieszczone jest motto wskazuj\u0105ce jeden ze sposob\u00F3w rozwi\u0105zania problemu delijskiego: Delijczycy: W jaki spos\u00F3b mo\u017Cemy uwolni\u0107 si\u0119 od zarazy?Wyrocznia delficka: Powi\u0119kszcie dwukrotnie obj\u0119to\u015B\u0107 o\u0142tarza Apolla zachowuj\u0105c jego kszta\u0142t sze\u015Bcianu!Banach i Tarski: Czy mo\u017Cemy u\u017Cy\u0107 aksjomatu wyboru?"@pl . . . . "\u5DF4\u62FF\u8D6B-\u5854\u65AF\u57FA\u5B9A\u7406"@zh . . "1102806640"^^ . . . . . . . . . . "\uBC14\uB098\uD750-\uD0C0\uB974\uC2A4\uD0A4 \uC5ED\uC124(\uC601\uC5B4: Banach\u2013Tarski paradox)\uC740 \uC9D1\uD569\uB860 \uAE30\uD558\uD559\uC758 \uC815\uB9AC \uC911 \uD558\uB098\uB85C, 3\uCC28\uC6D0 \uC0C1\uC758 \uACF5\uC744 \uC720\uD55C \uAC1C\uC758 \uC870\uAC01\uC73C\uB85C \uC798\uB77C\uC11C, \uBCC0\uD615 \uC5C6\uC774 \uC21C\uC218 \uACF5\uAC04\uC774\uB3D9\uB9CC\uC73C\uB85C \uC7AC\uC870\uD569\uD558\uBA74 \uC6D0\uB798 \uACF5\uACFC \uAC19\uC740 \uBD80\uD53C\uB97C \uAC16\uB294 \uACF5 \uB450 \uAC1C\uB97C \uB9CC\uB4E4 \uC218 \uC788\uB2E4\uB294 \uC815\uB9AC\uC774\uB2E4. \uC774 \uC815\uB9AC\uB294 \uCD5C\uC18C 5\uAC1C \uC870\uAC01\uC73C\uB85C \uB9CC\uB4DC\uB294 \uAC83\uC774 \uAC00\uB2A5\uD558\uB2E4. \uC2A4\uD14C\uD310 \uBC14\uB098\uD750\uC640 \uC54C\uD504\uB808\uD2B8 \uD0C0\uB974\uC2A4\uD0A4\uC5D0 \uC758\uD574 \uC120\uD0DD \uACF5\uB9AC\uB97C \uCD94\uAC00\uD55C \uCCB4\uB974\uBA5C\uB85C-\uD504\uB81D\uCF08 \uC9D1\uD569\uB860\uC5D0\uC11C \uC99D\uBA85\uB418\uC5C8\uB2E4. \uC774 \uB54C \uACF5\uC744 \uC720\uD55C \uAC1C\uC758 \uBD80\uBD84\uC9D1\uD569\uC73C\uB85C \uBD84\uD560\uD560 \uB54C\uC758 \uAC01 \uBD80\uBD84\uC9D1\uD569\uC740 \uB974\uBCA0\uADF8 \uBE44\uAC00\uCE21 \uC9D1\uD569\uC774\uB2E4. \uC774 \uC815\uB9AC\uC758 \uAC15\uB825\uD55C \uD615\uD0DC\uB294 \uD070 \uACF5\uACFC \uC791\uC740 \uACF5\uACFC \uAC19\uC740 \uC801\uB2F9\uD55C \uB450 \uB2E8\uB2E8\uD55C \uBB3C\uCCB4 \uC911 \uD558\uB098\uB97C \uC801\uB2F9\uD55C \uC870\uAC01\uC73C\uB85C \uC798\uB77C\uC11C \uB2E4\uB978 \uBB3C\uCCB4\uB85C \uC7AC\uC870\uB9BD\uD560 \uC218 \uC788\uB2E4\uB294 \uC815\uB9AC\uC774\uB2E4. \uC774\uB97C \uC601\uBBF8\uAD8C\uC5D0\uC11C\uB294 \uC885\uC885 \"\uC644\uB450\uCF69\uC744 \uC798\uAC1C \uC370\uC5B4 \uC7AC\uC870\uB9BD\uD558\uBA74 \uD0DC\uC591\uC744 \uB9CC\uB4E4 \uC218 \uC788\uB2E4\"\uB77C\uACE0 \uC778\uC6A9\uD558\uAE30 \uB54C\uBB38\uC5D0 \uC644\uB450\uCF69\uACFC \uD0DC\uC591 \uC5ED\uC124(pea and the Sun paradox)\uC774\uB77C\uACE0 \uBD80\uB974\uAE30\uB3C4 \uD55C\uB2E4. \uBC14\uB098\uD750-\uD0C0\uB974\uC2A4\uD0A4 \uC815\uB9AC\uAC00 \"\uC5ED\uC124\"\uC774\uB77C\uACE0 \uBD88\uB9AC\uB294 \uC774\uC720\uB294 \uAE30\uBCF8\uC801\uC73C\uB85C \uAE30\uD558\uD559\uC801 \uC9C1\uAD00\uACFC\uB294 \uC5B4\uAE0B\uB098\uB294 \uACB0\uACFC\uC774\uAE30 \uB54C\uBB38\uC774\uB2E4. \uACF5\uC744 \uBCC0\uD615\uD558\uAC70\uB098, \uB298\uC5B4\uB098\uAC8C \uD558\uAC70\uB098 \uC0C8\uB85C\uC6B4 \uC810\uC744 \uB354\uD558\uC9C0 \uC54A\uC740 \uCC44 \uC624\uC9C1 \uC5EC\uB7EC \uC870\uAC01\uC73C\uB85C \uCABC\uAC20 \uD6C4 \uD68C\uC804 \uBC0F \uD3C9\uD589 \uC774\uB3D9\uB9CC\uC744 \uD1B5\uD574 \"\uACF5\uC744 \uB450\uBC30\uB85C \uB9CC\uB4DC\uAC8C \uD558\uB294 \uAC83\"\uC740 \uBD80\uD53C\uB97C \uADF8\uB300\uB85C \uC720\uC9C0\uD55C \uCC44 \uC2DC\uD589\uD558\uB77C\uACE0 \uB4E4\uB9AC\uAE30 \uB54C\uBB38\uC5D0 \uC77C\uACAC \uBD88\uAC00\uB2A5\uD558\uAC8C \uB4E4\uB9B0\uB2E4. \uD68C\uC804\uACFC \uC774\uB3D9\uC774 \uBD80\uD53C\uB97C \uBCF4\uC874\uD55C\uB2E4\uB294 \uC9C1\uAD00\uC740 \uC218\uD559\uC801\uC73C\uB85C \uC5B4\uAE0B\uB098\uC9C0 \uC54A\uC73C\uBA70 \uACE0\uC804\uC801\uC778 \uBD80\uD53C\uC758 \uAC1C\uB150\uC5D0\uB3C4 \uD569\uB2F9\uD558\uB2E4. \uD558\uC9C0\uB9CC \uBC14\uB098\uD750-\uD0C0\uB974\uC2A4\uD0A4 \uC815\uB9AC\uC758 \uACBD\uC6B0\uC5D0\uB294 \uC790\uB97C \uB54C \uD558\uC704 \uC9D1\uD569, \uC989 \uAC01 \uC870\uAC01\uC758 \uBD80\uD53C\uB97C \uC815\uC758\uD560 \uC218 \uC5C6\uC73C\uBBC0\uB85C \uACE0\uC804\uC801\uC778 \uBD80\uD53C\uC758 \uC815\uC758\uB97C \uC801\uC6A9\uD560 \uC218 \uC5C6\uB2E4. \uC774 \uACBD\uC6B0 \uC7AC\uC870\uB9BD \uC2DC '\uBD80\uD53C'\uB77C\uACE0 \uB9D0\uD558\uB294 \uAC12\uC774 \uB298\uC5B4\uB098\uC11C \uC870\uB9BD\uD558\uAE30 \uC804\uACFC \uD6C4\uC758 '\uBD80\uD53C'\uAC00 \uB2EC\uB77C\uC9C0\uB294 \uACBD\uC6B0\uAC00 \uBC1C\uC0DD\uD55C\uB2E4. \uC774 \uC5ED\uC124\uC758 \uACB0\uACFC\uB97C \uC99D\uBA85\uD560 \uB54C\uC5D0\uB294 \uC120\uD0DD \uACF5\uB9AC\uAC00 \uBC18\uB4DC\uC2DC \uD544\uC694\uD558\uB2E4. \uC120\uD0DD\uACF5\uB9AC\uAC00 \uC5C6\uC744 \uACBD\uC6B0(\uCCB4\uB974\uBA5C\uB85C-\uD504\uB81D\uCF08 \uC9D1\uD569\uB860)\uB098, \uC120\uD0DD \uACF5\uB9AC \uB300\uC2E0 \uC758\uC874\uC801 \uC120\uD0DD \uACF5\uB9AC\uB97C \uC0AC\uC6A9\uD560 \uACBD\uC6B0 \uC815\uB9AC\uAC00 \uC131\uB9BD\uD558\uC9C0 \uC54A\uB294\uB2E4."@ko . "\u30D0\u30CA\u30C3\u30CF\uFF1D\u30BF\u30EB\u30B9\u30AD\u30FC\u306E\u30D1\u30E9\u30C9\u30C3\u30AF\u30B9"@ja . . "La paradoxa de Banach-Tarski \u00E9s en realitat un teorema (en ZFC) que afirma que \u00E9s possible dividir una esfera (plena) de radi 1 en vuit parts disjuntes dos a dos, de manera que, aplicant moviments oportuns a cinc d'elles, obtinguem nous conjunts que constitueixin una partici\u00F3 d'una esfera (plena) de radi 1, i passi el mateix amb les tres parts restants."@ca . "\u0645\u0641\u0627\u0631\u0642\u0629 \u0628\u0627\u0646\u0627\u062E-\u062A\u0627\u0631\u0633\u0643\u064A \u062A\u0646\u0635 \u0647\u0630\u0647 \u0627\u0644\u0645\u0641\u0627\u0631\u0642\u0629 \u0623\u0646\u0647 \u0625\u0630\u0627 \u0642\u0645\u062A \u0628\u062A\u0642\u0633\u064A\u0645 \u0643\u0631\u0629 \u0630\u0627\u062A \u062D\u062C\u0645 \u0623\u0648 \u0642\u0637\u0631 \u064A\u0633\u0627\u0648\u064A \u00AB\u0623\u00BB \u0628\u0637\u0631\u064A\u0642\u0629 \u0645\u0639\u064A\u0646\u0629 \u062B\u0645 \u0642\u0645\u062A \u0628\u062A\u062C\u0645\u064A\u0639 \u0647\u0630\u0647 \u0627\u0644\u0623\u062C\u0632\u0627\u0621 \u0628\u0637\u0631\u064A\u0642\u0629 \u0645\u0639\u064A\u0646\u0629\u060C \u0641\u0625\u0646\u0647 \u064A\u0645\u0643\u0646\u0643 \u0623\u0646 \u062A\u0643\u0648\u0646 \u0643\u0631\u062A\u064A\u0646 \u0645\u0646 \u0627\u0644\u062D\u062C\u0645 \u0623\u0648 \u0627\u0644\u0642\u0637\u0631 \u00AB\u0623\u00BB. \u0627\u0644\u0645\u0641\u0627\u0631\u0642\u0629 \u062A\u0643\u0645\u0646 \u0641\u064A \u0623\u0646 \u0647\u0646\u0627\u0643 \u062D\u062C\u0645\u0627\u064B \u0645\u0636\u0627\u0641\u0627\u064B \u0644\u0627 \u064A\u0639\u0644\u0645 \u0645\u0635\u062F\u0631\u0647. \u0628\u0627\u0646\u0627\u062E \u0628\u0631\u0647\u0646\u0627 \u0635\u062D\u0629 \u0648\u0625\u0645\u0643\u0627\u0646\u064A\u0629 \u0648\u062C\u0648\u062F \u0647\u0630\u0647 \u0627\u0644\u0638\u0627\u0647\u0631\u0629 \u0631\u064A\u0627\u0636\u064A\u0627\u064F \u0648\u0646\u0638\u0631\u064A\u0627\u064B \u0648\u0644\u0643\u0646 \u0641\u0642\u0637 \u0648\u0641\u0642\u0627\u064B \u0644\u0645\u0628\u062F\u0623 \u0628\u062F\u064A\u0647\u064A\u0629 \u0627\u0644\u0627\u062E\u062A\u064A\u0627\u0631 \u0648\u0644\u0642\u062F \u0627\u0639\u062A\u0628\u0631\u0627\u0647\u0627 \u0646\u0642\u062F\u0627\u064B \u0644\u0635\u062D\u0629 \u0647\u0630\u0627 \u0627\u0644\u0645\u0628\u062F\u0623 \u0627\u0644\u0630\u064A \u0637\u0627\u0644\u0645\u0627 \u0643\u0627\u0646 \u0645\u062B\u064A\u0631\u0627 \u0644\u0644\u062C\u062F\u0644. \u062D\u064A\u062B \u0623\u0646 \u062C\u0645\u064A\u0639 \u0627\u0644\u0642\u0648\u0627\u0646\u064A\u0646 \u0627\u0644\u0645\u0633\u062A\u062E\u062F\u0645\u0629 \u0641\u064A \u0627\u0644\u0625\u062B\u0628\u0627\u062A \u062A\u062D\u0641\u0638 \u0627\u0644\u062D\u062C\u0645 \u0648\u0628\u0647\u0630\u0627 \u064A\u0643\u0648\u0646 \u0627\u0644\u062E\u0637\u0623 \u0631\u0627\u062C\u0639 \u0644\u0644\u0645\u0628\u062F\u0623. \u0641\u0639\u0646\u062F \u0627\u0633\u062A\u062E\u062F\u0627\u0645 \u0645\u0628\u062F\u0623 -\u0627\u0644\u0645\u0631\u0634\u062D \u062D\u062F\u064A\u062B\u0627\u064B \u0643\u0628\u062F\u064A\u0644- \u0645\u062B\u0644\u0627 \u0644\u0627 \u064A\u0645\u0643\u0646 \u0625\u062B\u0628\u0627\u062A \u0627\u0644\u0645\u0641\u0627\u0631\u0642\u0629. \u0648\u0644\u0643\u0646 \u0639\u0644\u0645\u0627\u0621 \u0627\u0644\u0631\u064A\u0627\u0636\u064A\u0627\u062A \u0627\u0644\u0628\u062D\u062A\u0629 \u0644\u0627 \u0632\u0627\u0644\u0648\u0627 \u064A\u062A\u0645\u0633\u0643\u0648\u0646 \u0628\u0627\u0644\u0645\u0628\u062F\u0623 \u0644\u0627\u0639\u062A\u0642\u0627\u062F\u0647\u0645 \u0628\u0648\u062C\u0648\u062F \u062E\u0637\u0623 \u0641\u064A \u0645\u0643\u0627\u0646 \u0645\u0627 \u0641\u064A \u0645\u062B\u0644 \u0647\u0630\u0627 \u0627\u0644\u0625\u062B\u0628\u0627\u062A\u0627\u062A \u063A\u064A\u0631 \u0627\u0644\u0645\u0646\u0637\u0642\u064A\u0629."@ar . . . . "O teorema de Banach\u2013Tarski estabelece que \u00E9 poss\u00EDvel dividir uma esfera s\u00F3lida em um n\u00FAmero finito de peda\u00E7os (em um caso particular Raphael M. Robinson dividiu em exatamente cinco peda\u00E7os), e com estes peda\u00E7os construir duas esferas, do mesmo tamanho da original. \u00C9 considerado um paradoxo por ser um resultado contra-intuitivo, mas n\u00E3o por ser contradit\u00F3rio ou por introduzir contradi\u00E7\u00F5es. O teorema pode ser generalizado para quaisquer regi\u00F5es do espa\u00E7o que sejam limitadas e que tenham um interior, ou, mais especificamente:"@pt . . . "Das Banach-Tarski-Paradoxon oder auch Satz von Banach und Tarski ist eine Aussage der Mathematik, die demonstriert, dass sich der anschauliche Volumenbegriff nicht auf beliebige Punktmengen verallgemeinern l\u00E4sst. Danach kann man eine Kugel in drei oder mehr Dimensionen derart zerlegen, dass sich ihre Teile wieder zu zwei l\u00FCckenlosen Kugeln zusammenf\u00FCgen lassen, von denen jede denselben Durchmesser hat wie die urspr\u00FCngliche. Das Volumen verdoppelt sich, ohne dass anschaulich ersichtlich ist, wie durch diesen Vorgang Volumen aus dem Nichts entstehen k\u00F6nnen sollte. Dieses Paradoxon demonstriert, dass das mathematische Modell des Raumes als Punktmenge in der Mathematik Aspekte hat, die sich in der physischen Realit\u00E4t nicht wiederfinden."@de . "Paradoks Banach\u2013Tarski adalah sebuah teorema geometri teori himpunan, yang dinyatakan sebagai berikut: Sebuah bola padat ditempatkan di ruang 3 dimensi, bola tersebut kemudian dipecah berkeping-keping dan disatukan kembali menjadi dua bola dengan ukuran yang sama dengan bola yang asli. Rekonstruksi dapat dilakukan dengan setidaknya lima kepingan. Paradoks tersebut sering kali dinyatakan sebagai \"sebuah kacang yang dapat dipecah dan disatukan kembali menjadi Matahari\" dan disebut \"paradoks kacang dan Matahari\"."@in . . "La paradoja de Banach\u2013Tarski es un teorema en geometr\u00EDa te\u00F3rica de conjuntos cuyo enunciado es el siguiente: A continuaci\u00F3n vemos una versi\u00F3n m\u00E1s contundente del teorema: Informalmente esto se dice con frecuencia de la siguiente forma: Esta \u00FAltima forma se llama la \"paradoja del guisante y el Sol.\" En 2005 se demostr\u00F3 que las piezas de la descomposici\u00F3n pueden elegirse de tal forma que puedan moverse continuamente sin solaparse entre s\u00ED.\u200B"@es . . . . "Paradoks Banach\u2013Tarski"@in . . . . . . . . . "The Banach\u2013Tarski paradox is a theorem in set-theoretic geometry, which states the following: Given a solid ball in three-dimensional space, there exists a decomposition of the ball into a finite number of disjoint subsets, which can then be put back together in a different way to yield two identical copies of the original ball. Indeed, the reassembly process involves only moving the pieces around and rotating them without changing their shape. However, the pieces themselves are not \"solids\" in the usual sense, but infinite scatterings of points. The reconstruction can work with as few as five pieces. An alternate form of the theorem states that given any two \"reasonable\" solid objects (such as a small ball and a huge ball), the cut pieces of either one can be reassembled into the other. This is often stated informally as \"a pea can be chopped up and reassembled into the Sun\" and called the \"pea and the Sun paradox\". The theorem is called a paradox because it contradicts basic geometric intuition. \"Doubling the ball\" by dividing it into parts and moving them around by rotations and translations, without any stretching, bending, or adding new points, seems to be impossible, since all these operations ought, intuitively speaking, to preserve the volume. The intuition that such operations preserve volumes is not mathematically absurd and it is even included in the formal definition of volumes. However, this is not applicable here because in this case it is impossible to define the volumes of the considered subsets. Reassembling them reproduces a set that has a volume, which happens to be different from the volume at the start. Unlike most theorems in geometry, the mathematical proof of this result depends on the choice of axioms for set theory in a critical way. It can be proven using the axiom of choice, which allows for the construction of non-measurable sets, i.e., collections of points that do not have a volume in the ordinary sense, and whose construction requires an uncountable number of choices. It was shown in 2005 that the pieces in the decomposition can be chosen in such a way that they can be moved continuously into place without running into one another. As proved independently by Leroy and Simpson, the Banach\u2013Tarski paradox does not violate volumes if one works with locales rather than topological spaces. In this abstract setting, it is possible to have subspaces without point but still nonempty. The parts of the paradoxical decomposition do intersect a lot in the sense of locales, so much that some of these intersections should be given a positive mass. Allowing for this hidden mass to be taken into account, the theory of locales permits all subsets (and even all sublocales) of the Euclidean space to be satisfactorily measured."@en . . . . . "Banach-Tarskis paradox"@sv . . "Paradoks Banacha-Tarskiego"@pl . . . "\u041F\u0430\u0440\u0430\u0434\u043E\u043A\u0441 \u0411\u0430\u043D\u0430\u0445\u0430 \u2014 \u0422\u0430\u0440\u0441\u043A\u043E\u0433\u043E"@ru . . . . . . "Banach-tarskiparadox"@nl . . "\u5DF4\u62FF\u8D6B-\u5854\u65AF\u57FA\u5B9A\u7406\uFF08Banach\u2013Tarski paradox\uFF0C\u6216\u79F0\u8C6A\u65AF\u591A\u592B-\u5DF4\u62FF\u8D6B-\u5854\u65AF\u57FA\u5B9A\u7406\uFF0C\u53C8\u540D\u201C\u5206\u7403\u602A\u8BBA\u201D\uFF09\uFF0C\u662F\u4E00\u6761\u6570\u5B66\u5B9A\u7406\u30021924\u5E74\uFF0C\u65AF\u7279\u51E1\u00B7\u5DF4\u62FF\u8D6B\u548C\u963F\u5C14\u5F17\u96F7\u5FB7\u00B7\u5854\u65AF\u57FA\u9996\u6B21\u63D0\u51FA\u8FD9\u4E00\u5B9A\u7406\uFF0C\u6307\u51FA\u5728\u9009\u62E9\u516C\u7406\u6210\u7ACB\u7684\u60C5\u51B5\u4E0B\uFF0C\u53EF\u4EE5\u5C06\u4E00\u4E2A\u4E09\u7EF4\u5B9E\u5FC3\u7403\u5206\u6210\u6709\u9650\uFF08\u4E0D\u53EF\u6D4B\u7684\uFF09\u90E8\u5206\uFF0C\u7136\u540E\u4EC5\u4EC5\u901A\u8FC7\u65CB\u8F6C\u548C\u5E73\u79FB\u5230\u5176\u4ED6\u5730\u65B9\u91CD\u65B0\u7EC4\u5408\uFF0C\u5C31\u53EF\u4EE5\u7EC4\u6210\u4E24\u4E2A\u534A\u5F84\u548C\u539F\u6765\u76F8\u540C\u7684\u5B8C\u6574\u7684\u7403\u3002 \u5DF4\u62FF\u8D6B\u548C\u5854\u65AF\u57FA\u63D0\u51FA\u8FD9\u4E00\u5B9A\u7406\u539F\u610F\u662F\u60F3\u62D2\u7EDD\u9009\u62E9\u516C\u7406\uFF0C\u4F46\u8BE5\u8BC1\u660E\u5F88\u81EA\u7136\uFF0C\u56E0\u6B64\u6570\u5B66\u5BB6\u8BA4\u4E3A\u8FD9\u4EC5\u610F\u5473\u7740\u9009\u62E9\u516C\u7406\u53EF\u4EE5\u5BFC\u81F4\u5C11\u6570\u4EE4\u4EBA\u60CA\u8BB6\u548C\u53CD\u76F4\u89C9\u7684\u7ED3\u679C\u3002\u6709\u4E9B\u53D9\u8FF0\u4E2D\u8FD9\u6761\u5B9A\u7406\u88AB\u770B\u6210\u662F\u6096\u8BBA\uFF0C\u4F46\u662F\u5B9A\u7406\u672C\u8EAB\u6CA1\u6709\u903B\u8F91\u4E0A\u4E0D\u4E00\u81F4\u7684\u5730\u65B9\uFF0C\u5B9E\u9645\u4E0A\u4E0D\u7B26\u5408\u6096\u8BBA\u7684\u5B9A\u4E49\u3002"@zh . .