. "\u0411\u0438\u043A\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043D\u0438\u043E\u043D"@ru . . . . . . . . . . . . . . . . "\u8907\u56DB\u5143\u6578"@zh . "\u62BD\u8C61\u4EE3\u6578\u4E2D\uFF0C\u8907\u56DB\u5143\u6578\uFF08\u82F1\u8A9E\uFF1ABiquaternion\uFF09\u70BA\u4E00\u6578\u503Cw + x i + y j + z k\uFF0C\u5176\u4E2Dw\u3001x\u3001y\u3001z\u70BA\u8907\u6578\uFF0C\u800C{1, i, j, k}\u7B49\u5143\u7D20\u7684\u4E58\u7A4D\u65B9\u5F0F\u540C\u56DB\u5143\u7FA4\u3002\u5176\u8207\u76F8\u5C0D\u8AD6\u4E2D\u7684\u52DE\u4F96\u8332\u7FA4\u6709\u95DC\u3002"@zh . . . "Bikwaterniony"@pl . "En math\u00E9matiques, un biquaternion (ou quaternion complexe) est un \u00E9l\u00E9ment de l'alg\u00E8bre des quaternions sur les nombres complexes. Le concept d'un biquaternion fut mentionn\u00E9 la premi\u00E8re fois par William Rowan Hamilton au XIXe si\u00E8cle.William Kingdon Clifford utilisa le m\u00EAme nom \u00E0 propos d'une alg\u00E8bre diff\u00E9rente. Article d\u00E9taill\u00E9 : biquaternion de Clifford."@fr . . . . . . . . . . . . . . . "Bikuaternion (atau kuaternion ganda) adalah bilangan hiperkompleks dan merupakan suatu kuaternion di mana variabelnya w, x, y, dan z adalah bilangan kompleks. Perkalian elemen dasar bikuaternion {i, i, j, k} sama dengan perkalian elemen dasar kuaternion berbilangan cacah (bilangan riil). Karena ada terdapat 3 jenis bilangan kompleks, maka begitu pula dengan bikuaternion, yaitu: \n* Bikuaternion dengan bilangan kompleks biasa \n* Bikuaternion hiperbolik dengan bilangan kompleks hiperbolik (split-complex biquaternion) \n* Bikuaternion rangkap dengan bilangan rangkap (dual quaternion). Sesuai dengan aturan aljabar abstrak, ketiga-tiga jenis bikuaternion ini memiliki definisi aritmetis yang sama, dan hanya definisi aritmetis variabelnya yang berbeda."@in . . . . . . . . "Die Biquaternionen sind ein hyperkomplexes Zahlensystem, das von William Kingdon Clifford in der zweiten H\u00E4lfte des 19. Jahrhunderts beschrieben wurde. Vor Clifford hatte Arthur Cayley bereits die Quaternionen mit komplexen Koeffizienten (also die Menge ) als Biquaternionen bezeichnet."@de . . "1124902126"^^ . . . . . . . . . . "Bikwaterniony \u2013 liczby postaci gdzie wsp\u00F3\u0142czynniki wszystkie nale\u017C\u0105 do jednej z opisanych ni\u017Cej \u201Estruktur quasi-zespolonych\u201D, za\u015B elementy tworz\u0105 grup\u0119 kwaternion\u00F3w ze wzgl\u0119du na mno\u017Cenie, a zarazem s\u0105 przemienne ze wsp\u00F3\u0142czynnikami (dokonawszy odpowiednich uto\u017Csamie\u0144 element zwykle pomija si\u0119 w zapisie). Ze wzgl\u0119du na rodzaj liczb pe\u0142ni\u0105cych rol\u0119 wsp\u00F3\u0142czynnik\u00F3w wyr\u00F3\u017Cnia si\u0119: \n* bikwaterniony (klasyczne, zwyk\u0142e), w przypadku liczb zespolonych, \n* , w przypadku liczb podw\u00F3jnych, \n* , w przypadku liczb dualnych."@pl . . . "Biquaternion"@en . . . . . . . . . . . . . "\u0411\u0456\u043A\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043D\u0456\u043E\u043D\u0438 \u2014 \u043A\u043E\u043C\u043F\u043B\u0435\u043A\u0441\u0438\u0444\u0456\u043A\u0430\u0446\u0456\u044F (\u0440\u043E\u0437\u0448\u0438\u0440\u0435\u043D\u043D\u044F) \u0437\u0432\u0438\u0447\u0430\u0439\u043D\u0438\u0445 (\u0434\u0456\u0439\u0441\u043D\u0438\u0445) \u043A\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043D\u0456\u043E\u043D\u0456\u0432."@uk . . . . "Biquaternion"@fr . . "\u0411\u0456\u043A\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043D\u0456\u043E\u043D\u0438"@uk . "\u62BD\u8C61\u4EE3\u6578\u4E2D\uFF0C\u8907\u56DB\u5143\u6578\uFF08\u82F1\u8A9E\uFF1ABiquaternion\uFF09\u70BA\u4E00\u6578\u503Cw + x i + y j + z k\uFF0C\u5176\u4E2Dw\u3001x\u3001y\u3001z\u70BA\u8907\u6578\uFF0C\u800C{1, i, j, k}\u7B49\u5143\u7D20\u7684\u4E58\u7A4D\u65B9\u5F0F\u540C\u56DB\u5143\u7FA4\u3002\u5176\u8207\u76F8\u5C0D\u8AD6\u4E2D\u7684\u52DE\u4F96\u8332\u7FA4\u6709\u95DC\u3002"@zh . . . . "\u0411\u0438\u043A\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043D\u0438\u043E\u043D\u044B \u2014 \u043A\u043E\u043C\u043F\u043B\u0435\u043A\u0441\u0438\u0444\u0438\u043A\u0430\u0446\u0438\u044F (\u0440\u0430\u0441\u0448\u0438\u0440\u0435\u043D\u0438\u0435) \u043E\u0431\u044B\u0447\u043D\u044B\u0445 (\u0432\u0435\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043D\u043D\u044B\u0445) \u043A\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043D\u0438\u043E\u043D\u043E\u0432."@ru . . "21793"^^ . . . . . . . . . . . . . "1207070"^^ . . . . . . . . . . . "Bikwaterniony \u2013 liczby postaci gdzie wsp\u00F3\u0142czynniki wszystkie nale\u017C\u0105 do jednej z opisanych ni\u017Cej \u201Estruktur quasi-zespolonych\u201D, za\u015B elementy tworz\u0105 grup\u0119 kwaternion\u00F3w ze wzgl\u0119du na mno\u017Cenie, a zarazem s\u0105 przemienne ze wsp\u00F3\u0142czynnikami (dokonawszy odpowiednich uto\u017Csamie\u0144 element zwykle pomija si\u0119 w zapisie). Ze wzgl\u0119du na rodzaj liczb pe\u0142ni\u0105cych rol\u0119 wsp\u00F3\u0142czynnik\u00F3w wyr\u00F3\u017Cnia si\u0119: \n* bikwaterniony (klasyczne, zwyk\u0142e), w przypadku liczb zespolonych, \n* , w przypadku liczb podw\u00F3jnych, \n* , w przypadku liczb dualnych. William Rowan Hamilton, kt\u00F3ry opisa\u0142 je jako pierwszy (1844), nazywa\u0142 je biwektorami, ale znane s\u0105 te\u017C pod nazw\u0105 kwaternion\u00F3w zespolonych, co wynika z wprost z ich konstrukcji: mo\u017Cna je uwa\u017Ca\u0107 za kwaterniony, w kt\u00F3rych wsp\u00F3\u0142czynniki s\u0105 nie liczbami rzeczywistymi, a zespolonymi. Wraz z dzia\u0142aniami dodawania po wsp\u00F3\u0142rz\u0119dnych oraz mno\u017Cenia zgodnego z grup\u0105 kwaternion\u00F3w zbi\u00F3r bikwatenion\u00F3w tworzy czterowymiarow\u0105 algebr\u0119 nad cia\u0142em liczb zespolonych. Jest ona \u0142\u0105czna, ale nie przemienna; ponadto ka\u017Cdy bikwaternion jest albo dzielnikiem jedynki (jedno\u015Bci\u0105), albo dzielnikiem zera. Z punktu widzenia algebry abstrakcyjnej s\u0105 one kwaternion\u00F3w, czyli liczb zespolonych i kwaternion\u00F3w (odpowiednio jako algebry nad sob\u0105 jako cia\u0142em i algebry z dzieleniem nad liczbami rzeczywistymi). Bikwaterniony wykorzystuje si\u0119 podczas rozwi\u0105zywania r\u00F3wna\u0144 Maxwella. jednostkowa bikwaternion\u00F3w umo\u017Cliwia reprezentacj\u0119 grupy Lorentza le\u017C\u0105cej u podstaw szczeg\u00F3lnej teorii wzgl\u0119dno\u015Bci."@pl . . . . . . . . . "In abstract algebra, the biquaternions are the numbers w + x i + y j + z k, where w, x, y, and z are complex numbers, or variants thereof, and the elements of {1, i, j, k} multiply as in the quaternion group and commute with their coefficients. There are three types of biquaternions corresponding to complex numbers and the variations thereof: \n* Biquaternions when the coefficients are complex numbers. \n* Split-biquaternions when the coefficients are split-complex numbers. \n* Dual quaternions when the coefficients are dual numbers. This article is about the ordinary biquaternions named by William Rowan Hamilton in 1844 (see Proceedings of the Royal Irish Academy 1844 & 1850 page 388). Some of the more prominent proponents of these biquaternions include Alexander Macfarlane, Arthur W. Conway, Ludwik Silberstein, and Cornelius Lanczos. As developed below, the unit quasi-sphere of the biquaternions provides a representation of the Lorentz group, which is the foundation of special relativity. The algebra of biquaternions can be considered as a tensor product (taken over the reals) where C or is the field of complex numbers and H or is the division algebra of (real) quaternions. In other words, the biquaternions are just the complexification of the quaternions. Viewed as a complex algebra, the biquaternions are isomorphic to the algebra of 2 \u00D7 2 complex matrices M2(C). They are also isomorphic to several Clifford algebras including H(C) = C\u211303(C) = C\u21132(C) = C\u21131,2(R), the Pauli algebra C\u21133,0(R), and the even part C\u211301,3(R) = C\u211303,1(R) of the spacetime algebra."@en . . . . . "Bikuaternion"@in . . . . . . . . . "\u0411\u0456\u043A\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043D\u0456\u043E\u043D\u0438 \u2014 \u043A\u043E\u043C\u043F\u043B\u0435\u043A\u0441\u0438\u0444\u0456\u043A\u0430\u0446\u0456\u044F (\u0440\u043E\u0437\u0448\u0438\u0440\u0435\u043D\u043D\u044F) \u0437\u0432\u0438\u0447\u0430\u0439\u043D\u0438\u0445 (\u0434\u0456\u0439\u0441\u043D\u0438\u0445) \u043A\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043D\u0456\u043E\u043D\u0456\u0432."@uk . . . . . . . . . . . . . "En math\u00E9matiques, un biquaternion (ou quaternion complexe) est un \u00E9l\u00E9ment de l'alg\u00E8bre des quaternions sur les nombres complexes. Le concept d'un biquaternion fut mentionn\u00E9 la premi\u00E8re fois par William Rowan Hamilton au XIXe si\u00E8cle.William Kingdon Clifford utilisa le m\u00EAme nom \u00E0 propos d'une alg\u00E8bre diff\u00E9rente. Article d\u00E9taill\u00E9 : biquaternion de Clifford. Il y a aussi une autre notion de biquaternions, distincte : une alg\u00E8bre de biquaternions sur un corps commutatif K est une alg\u00E8bre qui est isomorphe au produit tensoriel de deux alg\u00E8bres de quaternions sur K (sa dimension est 16 sur K, et non pas 8 sur R)."@fr . . . . . . . . . "Biquaternion"@de . . . . . . . . . "Bikuaternion (atau kuaternion ganda) adalah bilangan hiperkompleks dan merupakan suatu kuaternion di mana variabelnya w, x, y, dan z adalah bilangan kompleks. Perkalian elemen dasar bikuaternion {i, i, j, k} sama dengan perkalian elemen dasar kuaternion berbilangan cacah (bilangan riil). Karena ada terdapat 3 jenis bilangan kompleks, maka begitu pula dengan bikuaternion, yaitu: \n* Bikuaternion dengan bilangan kompleks biasa \n* Bikuaternion hiperbolik dengan bilangan kompleks hiperbolik (split-complex biquaternion) \n* Bikuaternion rangkap dengan bilangan rangkap (dual quaternion)."@in . . . "In abstract algebra, the biquaternions are the numbers w + x i + y j + z k, where w, x, y, and z are complex numbers, or variants thereof, and the elements of {1, i, j, k} multiply as in the quaternion group and commute with their coefficients. There are three types of biquaternions corresponding to complex numbers and the variations thereof: \n* Biquaternions when the coefficients are complex numbers. \n* Split-biquaternions when the coefficients are split-complex numbers. \n* Dual quaternions when the coefficients are dual numbers."@en . . . . . "\u0411\u0438\u043A\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043D\u0438\u043E\u043D\u044B \u2014 \u043A\u043E\u043C\u043F\u043B\u0435\u043A\u0441\u0438\u0444\u0438\u043A\u0430\u0446\u0438\u044F (\u0440\u0430\u0441\u0448\u0438\u0440\u0435\u043D\u0438\u0435) \u043E\u0431\u044B\u0447\u043D\u044B\u0445 (\u0432\u0435\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043D\u043D\u044B\u0445) \u043A\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043D\u0438\u043E\u043D\u043E\u0432."@ru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . "Die Biquaternionen sind ein hyperkomplexes Zahlensystem, das von William Kingdon Clifford in der zweiten H\u00E4lfte des 19. Jahrhunderts beschrieben wurde. Vor Clifford hatte Arthur Cayley bereits die Quaternionen mit komplexen Koeffizienten (also die Menge ) als Biquaternionen bezeichnet."@de . .