. "Klaus Roth"@en . . . . . "1122154553"^^ . . "Inom matematiken \u00E4r Diofantisk approximation, uppkallat efter Diofantos, ett delomr\u00E5de av talteori som studerar approximeringen av reella tal med rationella tal. Det f\u00F6rsta problemet \u00E4r att veta hur noggrant ett givet reellt tal kan approximeras med rationella tal. Ett br\u00E5k a/b \u00E4r en bra approximation av det rella talet \u03B1 om absoluta v\u00E4rdet av deras differens inte kan minskas med att ers\u00E4tta a/b med ett annat br\u00E5k med mindre n\u00E4mnare. Problemet l\u00F6stes p\u00E5 1700-talet med hj\u00E4lp av kedjebr\u00E5k. Diofantisk approximation \u00E4r n\u00E4ra relaterat till . Diofantisk approximation kan ocks\u00E5 anv\u00E4ndas i studien av Diofantiska ekvationer."@sv . . . "Die mathematische Disziplin der diophantischen Approximation, benannt nach Diophantos von Alexandria, besch\u00E4ftigt sich urspr\u00FCnglich mit der Ann\u00E4herung reeller Zahlen durch rationale Zahlen. Bekannte S\u00E4tze in der Theorie der diophantischen Approximation sind der dirichletsche Approximationssatz und der Satz von Thue-Siegel-Roth. Allgemeiner l\u00E4sst sich das Gebiet definieren als Approximation der Null durch reelle Funktionen mit endlich vielen ganzzahligen Argumenten. Die Theorie spielt auch eine bedeutende Rolle bei der Frage der L\u00F6sbarkeit diophantischer Gleichungen und in der Theorie transzendenter Zahlen. H\u00E4ufig werden diophantische Ungleichungen betrachtet. Euler bewies im 18. Jahrhundert, dass die besten rationalen Approximationen reeller Zahlen durch die N\u00E4herungsbr\u00FCche ihrer regul\u00E4ren Kettenbruchentwicklung gegeben sind (bricht man den Kettenbruch an einer Stelle ab, hat man eine rationale Zahl als N\u00E4herung an die reelle Zahl). Dass eine beste Approximation von ist, bedeutet dabei, dass f\u00FCr jede rationale Zahl mit gilt \u2013 dass also jede bessere N\u00E4herung einen gr\u00F6\u00DFeren Nenner hat. Manchmal wird auch folgende Ungleichung f\u00FCr die Definition der besten N\u00E4herung verwendet: Beste N\u00E4herungen im Sinn dieser zweiten Definition sind auch beste N\u00E4herungen im Sinn der ersten Definition, aber nicht umgekehrt. Bei regul\u00E4ren Kettenbr\u00FCchen sind die -ten N\u00E4herungsbr\u00FCche beste N\u00E4herungen im Sinn der zweiten Definition (siehe Kettenbruch und weitere dort angegebene Resultate). Joseph Liouville bewies 1844, dass es bei algebraischen Zahlen (L\u00F6sungen einer algebraischen Gleichung vom Grad mit ganzzahligen Koeffizienten) eine untere Schranke f\u00FCr die N\u00E4herung durch rationale Zahlen gibt, die vom Nenner der rationalen Zahl abh\u00E4ngt und vom Grad der Gleichung: mit einer nur von der zu approximierenden Zahl abh\u00E4ngigen Konstanten . Der Satz l\u00E4sst sich so interpretieren, dass irrationale algebraische Zahlen nicht \u201Esehr gut\u201C durch rationale Zahlen approximierbar sind. Liouville gelang damit auch der erste Beweis der Existenz einer transzendenten Zahl, denn findet man eine irrationale Zahl, die sich durch rationale Zahlen \u201Esehr gut\u201C approximieren l\u00E4sst (das hei\u00DFt besser als durch die Beschr\u00E4nkungen des Satzes von Liouville m\u00F6glich ist), kann sie nicht algebraisch sein (Liouvillesche Zahlen). Der Satz von Liouville wurde im Lauf der Zeit versch\u00E4rft bis zum Satz von Thue-Siegel-Roth im 20. Jahrhundert mit einem Exponenten im Nenner bei der unteren Schranke und einer Konstanten, die zus\u00E4tzlich von der beliebig kleinen reellen Zahl abhing. Eine obere Schranke f\u00FCr die N\u00E4herung durch rationale Zahlen gibt der dirichletsche Approximationssatz: F\u00FCr jede reelle Zahl gibt es unendlich viele rationale N\u00E4herungen mit Auf der rechten Seite kann der Nenner noch zu verbessert werden (\u00C9mile Borel), eine weitere Versch\u00E4rfung ist nach dem Satz von Hurwitz nicht m\u00F6glich, da es f\u00FCr die N\u00E4herung der goldenen Zahl f\u00FCr im Nenner mit nur endlich viele L\u00F6sungen gibt."@de . . "Axel Thue"@en . . . "\u0422\u0435\u043E\u0440\u0438\u044F \u0434\u0438\u043E\u0444\u0430\u043D\u0442\u043E\u0432\u044B\u0445 \u043F\u0440\u0438\u0431\u043B\u0438\u0436\u0435\u043D\u0438\u0439 \u2014 \u0440\u0430\u0437\u0434\u0435\u043B \u0442\u0435\u043E\u0440\u0438\u0438 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043B, \u0438\u0437\u0443\u0447\u0430\u044E\u0449\u0438\u0439 \u043F\u0440\u0438\u0431\u043B\u0438\u0436\u0435\u043D\u0438\u044F \u0432\u0435\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043D\u043D\u044B\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043B \u0440\u0430\u0446\u0438\u043E\u043D\u0430\u043B\u044C\u043D\u044B\u043C\u0438; \u043D\u0430\u0437\u0432\u0430\u043D \u0438\u043C\u0435\u043D\u0435\u043C \u0414\u0438\u043E\u0444\u0430\u043D\u0442\u0430 \u0410\u043B\u0435\u043A\u0441\u0430\u043D\u0434\u0440\u0438\u0439\u0441\u043A\u043E\u0433\u043E. \u041F\u0435\u0440\u0432\u043E\u0439 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0435\u0439 \u0431\u044B\u043B \u0432\u043E\u043F\u0440\u043E\u0441, \u043D\u0430\u0441\u043A\u043E\u043B\u044C\u043A\u043E \u0445\u043E\u0440\u043E\u0448\u043E \u0432\u0435\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043D\u043D\u043E\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043B\u043E \u043C\u043E\u0436\u0435\u0442 \u0431\u044B\u0442\u044C \u043F\u0440\u0438\u0431\u043B\u0438\u0436\u0435\u043D\u043E \u0440\u0430\u0446\u0438\u043E\u043D\u0430\u043B\u044C\u043D\u044B\u043C\u0438 \u0447\u0438\u0441\u043B\u0430\u043C\u0438. \u0414\u043B\u044F \u044D\u0442\u043E\u0439 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438 \u0440\u0430\u0446\u0438\u043E\u043D\u0430\u043B\u044C\u043D\u043E\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043B\u043E a/b \u044F\u0432\u043B\u044F\u0435\u0442\u0441\u044F \u00AB\u0445\u043E\u0440\u043E\u0448\u0438\u043C\u00BB \u043F\u0440\u0438\u0431\u043B\u0438\u0436\u0435\u043D\u0438\u0435\u043C \u0432\u0435\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043D\u043D\u043E\u0433\u043E \u0447\u0438\u0441\u043B\u0430 \u03B1, \u0435\u0441\u043B\u0438 \u0430\u0431\u0441\u043E\u043B\u044E\u0442\u043D\u043E\u0435 \u0437\u043D\u0430\u0447\u0435\u043D\u0438\u0435 \u0440\u0430\u0437\u043D\u043E\u0441\u0442\u0438 a/b \u0438 \u03B1 \u043D\u0435 \u043C\u043E\u0436\u0435\u0442 \u0431\u044B\u0442\u044C \u0443\u043C\u0435\u043D\u044C\u0448\u0435\u043D\u043E, \u0435\u0441\u043B\u0438 \u0437\u0430\u043C\u0435\u043D\u0438\u0442\u044C a/b \u0434\u0440\u0443\u0433\u043E\u0439 \u0440\u0430\u0446\u0438\u043E\u043D\u0430\u043B\u044C\u043D\u043E\u0439 \u0434\u0440\u043E\u0431\u044C\u044E \u0441 \u043C\u0435\u043D\u044C\u0448\u0438\u043C \u0437\u043D\u0430\u043C\u0435\u043D\u0430\u0442\u0435\u043B\u0435\u043C. \u0417\u0430\u0434\u0430\u0447\u0430 \u0431\u044B\u043B\u0430 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043D\u0430 \u0432 XVIII \u0441\u0442\u043E\u043B\u0435\u0442\u0438\u0438 \u043F\u043E\u0441\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0432\u043E\u043C \u043D\u0435\u043F\u0440\u0435\u0440\u044B\u0432\u043D\u044B\u0445 \u0434\u0440\u043E\u0431\u0435\u0439. \u0415\u0441\u043B\u0438 \u0438\u0437\u0432\u0435\u0441\u0442\u043D\u044B \u00AB\u043B\u0443\u0447\u0448\u0438\u0435\u00BB \u043F\u0440\u0438\u0431\u043B\u0438\u0436\u0435\u043D\u0438\u044F \u0437\u0430\u0434\u0430\u043D\u043D\u043E\u0433\u043E \u0447\u0438\u0441\u043B\u0430, \u0433\u043B\u0430\u0432\u043D\u043E\u0439 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0435\u0439 \u043E\u0431\u043B\u0430\u0441\u0442\u0438 \u044F\u0432\u043B\u044F\u0435\u0442\u0441\u044F \u043F\u043E\u0438\u0441\u043A \u0442\u043E\u0447\u043D\u044B\u0445 \u0432\u0435\u0440\u0445\u043D\u0435\u0439 \u0438 \u043D\u0438\u0436\u043D\u0435\u0439 \u0433\u0440\u0430\u043D\u0438\u0446 \u0432\u044B\u0448\u0435\u0443\u043F\u043E\u043C\u044F\u043D\u0443\u0442\u043E\u0439 \u0440\u0430\u0437\u043D\u043E\u0441\u0442\u0438, \u0432\u044B\u0440\u0430\u0436\u0435\u043D\u043D\u043E\u0439 \u043A\u0430\u043A \u0444\u0443\u043D\u043A\u0446\u0438\u044F \u043E\u0442 \u0437\u043D\u0430\u043C\u0435\u043D\u0430\u0442\u0435\u043B\u044F. \u041F\u043E\u0445\u043E\u0436\u0435, \u0433\u0440\u0430\u043D\u0438\u0446\u044B \u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u044F\u0442 \u043E\u0442 \u043F\u0440\u0438\u0440\u043E\u0434\u044B \u0432\u0435\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043D\u043D\u044B\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043B \u2014 \u043D\u0438\u0436\u043D\u044F\u044F \u0433\u0440\u0430\u043D\u0438\u0446\u0430 \u043F\u0440\u0438\u0431\u043B\u0438\u0436\u0435\u043D\u0438\u044F \u0440\u0430\u0446\u0438\u043E\u043D\u0430\u043B\u044C\u043D\u044B\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043B \u0434\u0440\u0443\u0433\u0438\u043C \u0440\u0430\u0446\u0438\u043E\u043D\u0430\u043B\u044C\u043D\u044B\u043C \u0447\u0438\u0441\u043B\u043E\u043C \u0431\u043E\u043B\u044C\u0448\u0435, \u0447\u0435\u043C \u043D\u0438\u0436\u043D\u044F\u044F \u0433\u0440\u0430\u043D\u0438\u0446\u0430 \u0430\u043B\u0433\u0435\u0431\u0440\u0430\u0438\u0447\u0435\u0441\u043A\u0438\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043B, \u043A\u043E\u0442\u043E\u0440\u0430\u044F \u0441\u0430\u043C\u0430 \u0431\u043E\u043B\u044C\u0448\u0435 \u043D\u0438\u0436\u043D\u0435\u0439 \u0433\u0440\u0430\u043D\u0438\u0446\u044B \u0434\u043B\u044F \u0432\u0435\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043D\u043D\u044B\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043B. \u0422\u0430\u043A\u0438\u043C \u043E\u0431\u0440\u0430\u0437\u043E\u043C, \u0432\u0435\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043D\u043D\u044B\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043B\u0430, \u043A\u043E\u0442\u043E\u0440\u044B\u0435 \u043C\u043E\u0433\u0443\u0442 \u0431\u044B\u0442\u044C \u043B\u0443\u0447\u0448\u0435 \u043F\u0440\u0438\u0431\u043B\u0438\u0436\u0435\u043D\u044B, \u0447\u0435\u043C \u0433\u0440\u0430\u043D\u0438\u0446\u0430 \u0434\u043B\u044F \u0430\u043B\u0433\u0435\u0431\u0440\u0430\u0438\u0447\u0435\u0441\u043A\u0438\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043B, \u044D\u0442\u043E \u043E\u043F\u0440\u0435\u0434\u0435\u043B\u0451\u043D\u043D\u043E \u0442\u0440\u0430\u043D\u0441\u0446\u0435\u043D\u0434\u0435\u043D\u0442\u043D\u044B\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043B\u0430. \u042D\u0442\u043E \u0434\u0430\u043B\u043E \u0432\u043E\u0437\u043C\u043E\u0436\u043D\u043E\u0441\u0442\u044C \u041B\u0438\u0443\u0432\u0438\u043B\u043B\u044E \u0432 1844 \u043F\u043E\u043B\u0443\u0447\u0438\u0442\u044C \u043F\u0435\u0440\u0432\u043E\u0435 \u044F\u0432\u043D\u043E \u0437\u0430\u0434\u0430\u043D\u043D\u043E\u0435 \u0442\u0440\u0430\u043D\u0441\u0446\u0435\u043D\u0434\u0435\u043D\u0442\u043D\u043E\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043B\u043E. \u041F\u043E\u0437\u0434\u043D\u0435\u0435 \u0441 \u043F\u043E\u043C\u043E\u0449\u044C\u044E \u0430\u043D\u0430\u043B\u043E\u0433\u0438\u0447\u043D\u043E\u0433\u043E \u043C\u0435\u0442\u043E\u0434\u0430 \u0431\u044B\u043B\u043E \u0434\u043E\u043A\u0430\u0437\u0430\u043D\u043E, \u0447\u0442\u043E \u0438 \u044F\u0432\u043B\u044F\u044E\u0442\u0441\u044F \u0442\u0440\u0430\u043D\u0441\u0446\u0435\u043D\u0434\u0435\u043D\u0442\u043D\u044B\u043C\u0438. \u0422\u0430\u043A\u0438\u043C \u043E\u0431\u0440\u0430\u0437\u043E\u043C, \u0434\u0438\u043E\u0444\u0430\u043D\u0442\u043E\u0432\u044B \u043F\u0440\u0438\u0431\u043B\u0438\u0436\u0435\u043D\u0438\u044F \u0438 \u0442\u0435\u043E\u0440\u0438\u044F \u0442\u0440\u0430\u043D\u0441\u0446\u0435\u043D\u0434\u0435\u043D\u0442\u043D\u044B\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043B \u044F\u0432\u043B\u044F\u044E\u0442\u0441\u044F \u043E\u0447\u0435\u043D\u044C \u0431\u043B\u0438\u0437\u043A\u0438\u043C\u0438 \u043E\u0431\u043B\u0430\u0441\u0442\u044F\u043C\u0438 \u0438 \u0438\u043C\u0435\u044E\u0442 \u043C\u043D\u043E\u0433\u043E \u043E\u0431\u0449\u0438\u0445 \u0442\u0435\u043E\u0440\u0435\u043C \u0438 \u043C\u0435\u0442\u043E\u0434\u043E\u0432. \u0414\u0438\u043E\u0444\u0430\u043D\u0442\u043E\u0432\u044B \u043F\u0440\u0438\u0431\u043B\u0438\u0436\u0435\u043D\u0438\u044F \u0442\u0430\u043A\u0436\u0435 \u0438\u043C\u0435\u044E\u0442 \u0432\u0430\u0436\u043D\u044B\u0435 \u043F\u0440\u0438\u043B\u043E\u0436\u0435\u043D\u0438\u044F \u0432 \u0438\u0437\u0443\u0447\u0435\u043D\u0438\u0438 \u0434\u0438\u043E\u0444\u0430\u043D\u0442\u043E\u0432\u044B\u0445 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043D\u0435\u043D\u0438\u0439."@ru . . "Freeman Dyson"@en . "Diophantische Approximation"@de . "Aproximaci\u00F3n diof\u00E1ntica"@es . . . . . . . "\u0422\u0435\u043E\u0440\u0438\u044F \u0434\u0438\u043E\u0444\u0430\u043D\u0442\u043E\u0432\u044B\u0445 \u043F\u0440\u0438\u0431\u043B\u0438\u0436\u0435\u043D\u0438\u0439"@ru . . . "Thue"@en . "\u30C7\u30A3\u30AA\u30D5\u30A1\u30F3\u30C8\u30B9\u8FD1\u4F3C\uFF08\u30C7\u30A3\u30AA\u30D5\u30A1\u30F3\u30C8\u30B9\u304D\u3093\u3058\u3001\u82F1: Diophantine approximation\uFF09\u3068\u306F\u3042\u308B\u6570\uFF08\u5B9F\u6570\u306A\u3069\uFF09\u3092\u5225\u306E\u3088\u308A\u5358\u7D14\u306A\u69CB\u9020\u3092\u6301\u3064\u6570\uFF08\u6709\u7406\u6570\u306A\u3069\uFF09\u3067\u8FD1\u4F3C\u3059\u308B\u65B9\u6CD5\u3084\u305D\u306E\u5024\u3001\u3042\u308B\u3044\u306F\u305D\u308C\u306B\u3064\u3044\u3066\u7814\u7A76\u3059\u308B\u6570\u8AD6\u306E\u4E00\u5206\u91CE\u3067\u3042\u308B\u3002\u30A2\u30EC\u30AF\u30B5\u30F3\u30C9\u30EA\u30A2\u306E\u30C7\u30A3\u30AA\u30D5\u30A1\u30F3\u30C8\u30B9\u306B\u56E0\u3080\u3002 \u6700\u521D\u306E\u554F\u984C\u306F\u3001\u5B9F\u6570\u304C\u6709\u7406\u6570\u306B\u3088\u3063\u3066\u3069\u306E\u3050\u3089\u3044\u3088\u304F\u8FD1\u4F3C\u3067\u304D\u308B\u304B\u3092\u77E5\u308B\u3053\u3068\u3067\u3042\u3063\u305F\u3002\u3053\u306E\u554F\u984C\u306E\u305F\u3081\u306B\u3001\u6709\u7406\u6570 a/b \u304C\u5B9F\u6570 \u03B1 \u306E\u300C\u826F\u3044\u300D\u8FD1\u4F3C\u3067\u3042\u308B\u3068\u306F\u3001a/b \u3068 \u03B1 \u306E\u5DEE\u306E\u7D76\u5BFE\u5024\u304C\u3001a/b \u3092\u5206\u6BCD\u304C\u5C0F\u3055\u3044\u5225\u306E\u6709\u7406\u6570\u306B\u7F6E\u304D\u63DB\u3048\u305F\u3068\u304D\u306B\u5C0F\u3055\u304F\u306A\u3089\u306A\u3044\u3053\u3068\u3068\u3059\u308B\u3002\u3053\u306E\u554F\u984C\u306F\u9023\u5206\u6570\u306B\u3088\u3063\u306618\u4E16\u7D00\u306B\u89E3\u304B\u308C\u305F\u3002 \u4E0E\u3048\u3089\u308C\u305F\u6570\u306E\u300C\u6700\u3082\u3088\u3044\u300D\u8FD1\u4F3C\u304C\u5206\u304B\u308A\u3001\u3053\u306E\u5206\u91CE\u306E\u4E3B\u8981\u306A\u554F\u984C\u306F\u3001\u4E0A\u8A18\u306E\u5DEE\u306E\u3088\u3044\u4E0A\u754C\u3068\u4E0B\u754C\u306E\u5206\u6BCD\u306E\u95A2\u6570\u3068\u3057\u3066\u306E\u8868\u793A\u3092\u898B\u3064\u3051\u308B\u3053\u3068\u3067\u3042\u308B\u3002 \u3053\u308C\u3089\u306E\u4E0A\u4E0B\u754C\u306F\u8FD1\u4F3C\u3055\u308C\u308B\u5B9F\u6570\u306E\u6027\u8CEA\u306B\u4F9D\u5B58\u3059\u308B\u3068\u601D\u308F\u308C\u308B\u3002\u6709\u7406\u6570\u306E\u5225\u306E\u6709\u7406\u6570\u306B\u3088\u308B\u8FD1\u4F3C\u306B\u5BFE\u3059\u308B\u4E0B\u754C\u306F\u4EE3\u6570\u7684\u6570\u306B\u5BFE\u3057\u3066\u306E\u4E0B\u754C\u3088\u308A\u3082\u5927\u304D\u3044\u3002\u5F8C\u8005\u306F\u305D\u308C\u81EA\u8EAB\u3059\u3079\u3066\u306E\u5B9F\u6570\u306B\u5BFE\u3059\u308B\u4E0B\u754C\u3088\u308A\u3082\u5927\u304D\u3044\u3002\u3057\u305F\u304C\u3063\u3066\u4EE3\u6570\u7684\u6570\u306B\u5BFE\u3059\u308B\u4E0A\u4E0B\u754C\u3088\u308A\u3082\u3088\u304F\u8FD1\u4F3C\u3067\u304D\u308B\u5B9F\u6570\u306F\u3082\u3061\u308D\u3093\u8D85\u8D8A\u6570\u3067\u3042\u308B\u3002\u3053\u308C\u306B\u3088\u308A\u30EA\u30A6\u30F4\u30A3\u30EB\u306F1844\u5E74\u306B\u6700\u521D\u306E\u660E\u793A\u7684\u306A\u8D85\u8D8A\u6570\u3092\u751F\u307F\u51FA\u3057\u305F\u3002\u5F8C\u306B \u03C0 \u3084 e \u304C\u8D85\u8D8A\u6570\u3067\u3042\u308B\u3053\u3068\u306E\u8A3C\u660E\u304C\u985E\u4F3C\u306E\u65B9\u6CD5\u306B\u3088\u308A\u5F97\u3089\u308C\u305F\u3002"@ja . . . . "Axel"@en . . . "Na teoria dos n\u00FAmeros, a aproxima\u00E7\u00E3o diofantina, (nomeada assim por causa dos trabalhos do matem\u00E1tico Diofante de Alexandria), \u00E9 um ramo da matem\u00E1tica que parcela os n\u00FAmeros reais para executar a sua aproxima\u00E7\u00E3o com os n\u00FAmeros racionais. Para que isso ocorra, \u00E9 necess\u00E1ria uma diminui\u00E7\u00E3o dos n\u00FAmeros reais, e uma aproxima\u00E7\u00E3o deles (em termos de valor absoluto) ao conceito de n\u00FAmeros racionais, para que a aproxima\u00E7\u00E3o seja realizada. Um sutil significado considera qu\u00E3o f\u00E1cil e \u00E9 essa aproxima\u00E7\u00E3o, pela compara\u00E7\u00E3o do tamanho do denominador. As mat\u00E9ria podem ser vistas como bem fundamentadas, com resultado dos trabalhos de Joseph Liouville na \u00E1rea, principalmente nos n\u00FAmeros alg\u00E9bricos (o lema da mat\u00E9ria pode ser visto na \u00C1lgebra de Liouville), mas antes desses avan\u00E7os j\u00E1 era conhecido a teoria das fra\u00E7\u00F5es continuadas, como se aplicando \u00E0s ra\u00EDzes quadradas inteiras, e algumas que resultava em n\u00FAmeros irracionais. Os resultados foram aperfei\u00E7oados por Axel Thue, e outros, levando ao fim o : o expoente do teorema foi redizido de n, os graus dos n\u00FAmeros alg\u00E9bricos para qualquer n\u00FAmero maior que dois (i.e. '2+\u03B5'). Consequentemente, Schmidt generalizou este caso para uma aproxima\u00E7\u00E3o simult\u00E2nea. as provas s\u00E3o dif\u00EDceis, e n\u00E3o , pela desvantagem de aplica\u00E7\u00F5es."@pt . "251558"^^ . . . . "30148"^^ . . "In number theory, the study of Diophantine approximation deals with the approximation of real numbers by rational numbers. It is named after Diophantus of Alexandria. The first problem was to know how well a real number can be approximated by rational numbers. For this problem, a rational number a/b is a \"good\" approximation of a real number \u03B1 if the absolute value of the difference between a/b and \u03B1 may not decrease if a/b is replaced by another rational number with a smaller denominator. This problem was solved during the 18th century by means of continued fractions. Knowing the \"best\" approximations of a given number, the main problem of the field is to find sharp upper and lower bounds of the above difference, expressed as a function of the denominator. It appears that these bounds depend on the nature of the real numbers to be approximated: the lower bound for the approximation of a rational number by another rational number is larger than the lower bound for algebraic numbers, which is itself larger than the lower bound for all real numbers. Thus a real number that may be better approximated than the bound for algebraic numbers is certainly a transcendental number. This knowledge enabled Liouville, in 1844, to produce the first explicit transcendental number. Later, the proofs that \u03C0 and e are transcendental were obtained by a similar method. Diophantine approximations and transcendental number theory are very close areas that share many theorems and methods. Diophantine approximations also have important applications in the study of Diophantine equations. The 2022 Fields Medal was awarded to James Maynard for his work on Diophantine approximation."@en . . . . "L'approssimazione diofantea \u00E8 il campo della matematica che tratta dell'approssimazione dei numeri reali mediante numeri razionali. Prende il nome dal matematico greco Diofanto di Alessandria."@it . . "En teor\u00EDa de n\u00FAmeros, las aproximaciones diof\u00E1nticas (llamadas as\u00ED en honor al matem\u00E1tico griego Diofanto) tratan de las aproximaciones de n\u00FAmeros reales por medio de n\u00FAmeros racionales. El valor absoluto de la diferencia entre el real a aproximar y el racional que se aproxima, es una medida cruda, no dice nada acerca de \u00ABla calidad\u00BB de la aproximaci\u00F3n, ya que es posible encontrar racionales arbitrariamente cerca (el conjunto de los n\u00FAmeros racionales es denso en el conjunto de los n\u00FAmeros reales). Una medici\u00F3n m\u00E1s sutil de la calidad de la aproximaci\u00F3n, es comparar la distancia entre los denominadores de dos n\u00FAmeros racionales que se aproximan a un n\u00FAmero real."@es . . . "\uB514\uC624\uD310\uD1A0\uC2A4 \uADFC\uC0AC(Diophantine approximation)\uB294 \uC2E4\uC218\uB97C \uC720\uB9AC\uC218\uB85C \uADFC\uC0AC\uD558\uB294 \uAC83\uC73C\uB85C \uC54C\uB809\uC0B0\uB4DC\uB9AC\uC544\uC758 \uB514\uC624\uD310\uD1A0\uC2A4\uC758 \uC774\uB984\uC744 \uB530\uC628 \uAC83\uC774\uB2E4. \uBD84\uC790\uAC00 \uC815\uC218\uC774\uACE0 \uBD84\uBAA8\uAC00 \uC790\uC5F0\uC218\uC778 \uBD84\uC218\uB85C\uB294 \uB354 \uAC00\uAE4C\uC6B4 \uADFC\uC0AC\uAC00 \uBD88\uAC00\uB2A5\uD560 \uB54C \uB514\uC624\uD310\uD1A0\uC2A4 \uADFC\uC0AC\uB77C\uACE0 \uD55C\uB2E4."@ko . "\u0414\u0456\u043E\u0444\u0430\u043D\u0442\u043E\u0432\u0430 \u0430\u043F\u0440\u043E\u043A\u0441\u0456\u043C\u0430\u0446\u0456\u044F \u0430\u0431\u043E \u0414\u0456\u043E\u0444\u0430\u043D\u0442\u043E\u0432\u0456 \u043D\u0430\u0431\u043B\u0438\u0436\u0435\u043D\u043D\u044F \u2014 \u0440\u043E\u0437\u0434\u0456\u043B \u0442\u0435\u043E\u0440\u0456\u0457 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043B, \u0432 \u044F\u043A\u043E\u043C\u0443 \u0432\u0438\u0432\u0447\u0430\u044E\u0442\u044C\u0441\u044F \u043F\u0438\u0442\u0430\u043D\u043D\u044F \u0440\u043E\u0437\u0432'\u044F\u0437\u0430\u043D\u043D\u044F \u0432 \u0446\u0456\u043B\u0438\u0445 \u0447\u0438\u0441\u043B\u0430\u0445 \u043D\u0435\u0440\u0456\u0432\u043D\u043E\u0441\u0442\u0435\u0439 \u0430\u0431\u043E \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043C \u043D\u0435\u0440\u0456\u0432\u043D\u043E\u0441\u0442\u0435\u0439 \u0437 \u0434\u0456\u0439\u0441\u043D\u0438\u043C\u0438 \u043A\u043E\u0435\u0444\u0456\u0446\u0456\u0454\u043D\u0442\u0430\u043C\u0438. \u0414\u0456\u043E\u0444\u0430\u043D\u0442\u043E\u0432\u0456 \u043D\u0430\u0431\u043B\u0438\u0436\u0435\u043D\u043D\u044F \u0432\u0438\u0432\u0447\u0430\u044E\u0442\u044C, \u0437\u043E\u043A\u0440\u0435\u043C\u0430, \u043D\u0430\u0431\u043B\u0438\u0436\u0435\u043D\u043D\u044F \u0434\u0456\u0439\u0441\u043D\u0438\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043B \u0440\u0430\u0446\u0456\u043E\u043D\u0430\u043B\u044C\u043D\u0438\u043C\u0438. \u0422\u0430\u043A, \u0443 \u0434\u0456\u043E\u0444\u0430\u043D\u0442\u043E\u0432\u0438\u0445 \u043D\u0430\u0431\u043B\u0438\u0436\u0435\u043D\u043D\u044F\u0445 \u043D\u0430\u0431\u043B\u0438\u0436\u0435\u043D\u043D\u044F \u0434\u0456\u0439\u0441\u043D\u043E\u0433\u043E \u0447\u0438\u0441\u043B\u0430 \u0440\u0430\u0446\u0456\u043E\u043D\u0430\u043B\u044C\u043D\u0438\u043C\u0438 \u0431\u0443\u0434\u0435 \u043D\u0430\u0439\u043A\u0440\u0430\u0449\u0438\u043C \u0434\u0456\u043E\u0444\u0430\u043D\u0442\u043E\u0432\u0438\u043C \u043D\u0430\u0431\u043B\u0438\u0436\u0435\u043D\u043D\u044F\u043C, \u044F\u043A\u0449\u043E \u0434\u043B\u044F \u043A\u043E\u0436\u043D\u043E\u0433\u043E \u0440\u0430\u0446\u0456\u043E\u043D\u0430\u043B\u044C\u043D\u043E\u0433\u043E \u0447\u0438\u0441\u043B\u0430 \u0442\u0430\u043A\u043E\u0433\u043E, \u0449\u043E \u0406\u0441\u043D\u0443\u044E\u0442\u044C \u0456 \u0456\u043D\u0448\u0456 \u0432\u0430\u0440\u0456\u0430\u043D\u0442\u0438 \u043D\u0430\u0431\u043B\u0438\u0436\u0435\u043D\u044C. \u0414\u043E \u0434\u0456\u043E\u0444\u0430\u043D\u0442\u043E\u0432\u0438\u0445 \u043D\u0430\u0431\u043B\u0438\u0436\u0435\u043D\u044C \u043D\u0430\u043B\u0435\u0436\u0438\u0442\u044C \u0442\u0430\u043A\u043E\u0436 \u0442\u0435\u043E\u0440\u0456\u044F \u0442\u0440\u0430\u043D\u0441\u0446\u0435\u043D\u0434\u0435\u043D\u0442\u043D\u0438\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043B."@uk . . "\u0414\u0456\u043E\u0444\u0430\u043D\u0442\u043E\u0432\u0430 \u0430\u043F\u0440\u043E\u043A\u0441\u0438\u043C\u0430\u0446\u0456\u044F"@uk . "En th\u00E9orie des nombres, l'approximation diophantienne, qui porte le nom de Diophante d'Alexandrie, traite de l'approximation des nombres r\u00E9els par des nombres rationnels. Il est possible d'approcher tout nombre r\u00E9el par un rationnel avec une pr\u00E9cision arbitrairement grande (cette propri\u00E9t\u00E9 s'appelle la densit\u00E9 de l'ensemble des rationnels dans l'ensemble des r\u00E9els, muni de la distance usuelle). La valeur absolue de la diff\u00E9rence entre le nombre r\u00E9el \u00E0 approcher et le nombre rationnel qui l'approche fournit une mesure brute de la pr\u00E9cision de l'approximation."@fr . "Approssimazione diofantea"@it . . . . . . . "In number theory, the study of Diophantine approximation deals with the approximation of real numbers by rational numbers. It is named after Diophantus of Alexandria. The first problem was to know how well a real number can be approximated by rational numbers. For this problem, a rational number a/b is a \"good\" approximation of a real number \u03B1 if the absolute value of the difference between a/b and \u03B1 may not decrease if a/b is replaced by another rational number with a smaller denominator. This problem was solved during the 18th century by means of continued fractions."@en . "\u4E22\u756A\u56FE\u5206\u6790\uFF08\u82F1\u8A9E\uFF1ADiophantine approximation\uFF09\u662F\u6570\u8BBA\u7684\u4E00\u4E2A\u5206\u652F\u3002\u6700\u7ECF\u5178\u7684\u4E22\u756A\u56FE\u903C\u8FD1\u4E3B\u8981\u7528\u65BC\u6709\u7406\u6570\u903C\u8FD1\u5B9E\u6570\uFF0C\u4EA6\u5373\u5B9E\u6570\u7684\u6709\u7406\u903C\u8FD1\u76F8\u5173\u95EE\u9898\u3002\u5176\u4E2D\u6709\u7406\u6570\u4E00\u822C\u7528\u5206\u6570\u5F62\u5F0F\u8868\u8FBE\uFF0C\u4E14\u4E00\u5F8B\u8981\u6C42\u5206\u5B50\u4E3A\u6574\u6570\uFF0C\u5206\u6BCD\u4E3A\u6B63\u6574\u6570\uFF0C\u901A\u5E38\u8981\u6C42\u662F\u65E2\u7EA6\u5206\u6570\u3002 \u4E22\u756A\u56FE\u903C\u8FD1\u7684\u540D\u79F0\u6E90\u4E8E\u53E4\u5E0C\u814A\u6570\u5B66\u5BB6\u4E22\u756A\u56FE\u3002\u8FD9\u662F\u56E0\u4E3A\u6709\u7406\u903C\u8FD1\u53EF\u4EE5\u5F52\u7ED3\u4E3A\u6C42\u4E0D\u7B49\u5F0F\u6574\u6570\u89E3\u7684\u95EE\u9898\uFF0C\u800C\u6C42\u65B9\u7A0B\u6574\u6570\u89E3\u7684\u95EE\u9898\u4E00\u822C\u79F0\u4E3A\u4E22\u756A\u56FE\u65B9\u7A0B\uFF08\u6216\u4E0D\u5B9A\u65B9\u7A0B\uFF09\uFF0C\u6545\u800C\u5F97\u540D\u3002\u4E8B\u5B9E\u4E0A\uFF0C\u4E22\u756A\u56FE\u903C\u8FD1\u4E0E\u4E0D\u5B9A\u65B9\u7A0B\u7684\u7814\u7A76\u786E\u6709\u9887\u591A\u76F8\u5173\u3002 \u4E22\u756A\u56FE\u903C\u8FD1\u7684\u9996\u8981\u95EE\u9898\u662F\u5BFB\u6C42\u5B9E\u6570\u7684\u6700\u4F73\uFF08\u6709\u7406\uFF09\u4E22\u756A\u56FE\u903C\u8FD1\uFF0C\u7B80\u79F0\u6700\u4F73\u903C\u8FD1\u3002\u5177\u4F53\u6765\u8BF4\uFF0C\u5BF9\u4E8E\u4E00\u4E2A\u5B9E\u6570 \uFF0C\u5E0C\u671B\u627E\u5230\u4E00\u4E2A\u201C\u6700\u4F18\u201D\u7684\u6709\u7406\u6570 \u4F5C\u4E3A \u7684\u8FD1\u4F3C\uFF0C\u4F7F\u5728\u5206\u6BCD\u4E0D\u8D85\u8FC7 \u7684\u6240\u6709\u6709\u7406\u6570\u4E2D\uFF0C \u4E0E \u7684\u8DDD\u79BB\u6700\u5C0F\u3002\u8FD9\u91CC\u7684\u201C\u8DDD\u79BB\u201D\u53EF\u4EE5\u662F\u6B27\u6C0F\u8DDD\u79BB\uFF0C\u5373\u4E24\u6570\u4E4B\u5DEE\u7684\u7EDD\u5BF9\u503C\uFF1B\u4E5F\u53EF\u4EE5\u7528 \u7B49\u65B9\u5F0F\u5EA6\u91CF\u3002\u6EE1\u8DB3\u6B64\u7C7B\u8981\u6C42\u7684\u6709\u7406\u6570 \u79F0\u4E3A\u5B9E\u6570 \u7684\u4E00\u4E2A\u6700\u4F73\u903C\u8FD1\u3002\u5173\u4E8E\u5982\u4F55\u5BFB\u627E\u5B9E\u6570\u7684\u6700\u4F73\u903C\u8FD1\u53CA\u76F8\u5173\u8BBA\u9898\uFF0C\u5DF2\u4E8E18\u4E16\u7EAA\u968F\u7740\u8FDE\u5206\u6570\u7406\u8BBA\u7684\u53D1\u5C55\u5F97\u5230\u57FA\u672C\u89E3\u51B3\u3002 \u9664\u4E86\u4E0A\u8FF0\u6700\u7ECF\u5178\u7684\u5355\u4E2A\u5B9E\u6570\u7684\u6709\u7406\u903C\u8FD1\u95EE\u9898\uFF0C\u8BE5\u9886\u57DF\u8FD8\u5305\u62EC\u591A\u4E2A\u5B9E\u6570\u7684\u8054\u7ACB\u903C\u8FD1\uFF0C\u975E\u9F50\u6B21\u903C\u8FD1\uFF0C\u5B9E\u6570\u7684\u4EE3\u6570\u6570\u903C\u8FD1\uFF0C\u4E00\u81F4\u5206\u5E03\uFF08\u5747\u5300\u5206\u5E03\uFF09\u7B49\u65B9\u9762\u3002\u751A\u81F3\u8FDEp\u8FDB\u6570\u4E0A\u7684\u4E22\u756A\u56FE\u903C\u8FD1\u4E5F\u6709\u9887\u591A\u7814\u7A76\u3002"@zh . . . . "Dyson"@en . "Diofantisk approximation"@sv . "1909"^^ . "\u30C7\u30A3\u30AA\u30D5\u30A1\u30F3\u30C8\u30B9\u8FD1\u4F3C\uFF08\u30C7\u30A3\u30AA\u30D5\u30A1\u30F3\u30C8\u30B9\u304D\u3093\u3058\u3001\u82F1: Diophantine approximation\uFF09\u3068\u306F\u3042\u308B\u6570\uFF08\u5B9F\u6570\u306A\u3069\uFF09\u3092\u5225\u306E\u3088\u308A\u5358\u7D14\u306A\u69CB\u9020\u3092\u6301\u3064\u6570\uFF08\u6709\u7406\u6570\u306A\u3069\uFF09\u3067\u8FD1\u4F3C\u3059\u308B\u65B9\u6CD5\u3084\u305D\u306E\u5024\u3001\u3042\u308B\u3044\u306F\u305D\u308C\u306B\u3064\u3044\u3066\u7814\u7A76\u3059\u308B\u6570\u8AD6\u306E\u4E00\u5206\u91CE\u3067\u3042\u308B\u3002\u30A2\u30EC\u30AF\u30B5\u30F3\u30C9\u30EA\u30A2\u306E\u30C7\u30A3\u30AA\u30D5\u30A1\u30F3\u30C8\u30B9\u306B\u56E0\u3080\u3002 \u6700\u521D\u306E\u554F\u984C\u306F\u3001\u5B9F\u6570\u304C\u6709\u7406\u6570\u306B\u3088\u3063\u3066\u3069\u306E\u3050\u3089\u3044\u3088\u304F\u8FD1\u4F3C\u3067\u304D\u308B\u304B\u3092\u77E5\u308B\u3053\u3068\u3067\u3042\u3063\u305F\u3002\u3053\u306E\u554F\u984C\u306E\u305F\u3081\u306B\u3001\u6709\u7406\u6570 a/b \u304C\u5B9F\u6570 \u03B1 \u306E\u300C\u826F\u3044\u300D\u8FD1\u4F3C\u3067\u3042\u308B\u3068\u306F\u3001a/b \u3068 \u03B1 \u306E\u5DEE\u306E\u7D76\u5BFE\u5024\u304C\u3001a/b \u3092\u5206\u6BCD\u304C\u5C0F\u3055\u3044\u5225\u306E\u6709\u7406\u6570\u306B\u7F6E\u304D\u63DB\u3048\u305F\u3068\u304D\u306B\u5C0F\u3055\u304F\u306A\u3089\u306A\u3044\u3053\u3068\u3068\u3059\u308B\u3002\u3053\u306E\u554F\u984C\u306F\u9023\u5206\u6570\u306B\u3088\u3063\u306618\u4E16\u7D00\u306B\u89E3\u304B\u308C\u305F\u3002 \u4E0E\u3048\u3089\u308C\u305F\u6570\u306E\u300C\u6700\u3082\u3088\u3044\u300D\u8FD1\u4F3C\u304C\u5206\u304B\u308A\u3001\u3053\u306E\u5206\u91CE\u306E\u4E3B\u8981\u306A\u554F\u984C\u306F\u3001\u4E0A\u8A18\u306E\u5DEE\u306E\u3088\u3044\u4E0A\u754C\u3068\u4E0B\u754C\u306E\u5206\u6BCD\u306E\u95A2\u6570\u3068\u3057\u3066\u306E\u8868\u793A\u3092\u898B\u3064\u3051\u308B\u3053\u3068\u3067\u3042\u308B\u3002 \u3053\u308C\u3089\u306E\u4E0A\u4E0B\u754C\u306F\u8FD1\u4F3C\u3055\u308C\u308B\u5B9F\u6570\u306E\u6027\u8CEA\u306B\u4F9D\u5B58\u3059\u308B\u3068\u601D\u308F\u308C\u308B\u3002\u6709\u7406\u6570\u306E\u5225\u306E\u6709\u7406\u6570\u306B\u3088\u308B\u8FD1\u4F3C\u306B\u5BFE\u3059\u308B\u4E0B\u754C\u306F\u4EE3\u6570\u7684\u6570\u306B\u5BFE\u3057\u3066\u306E\u4E0B\u754C\u3088\u308A\u3082\u5927\u304D\u3044\u3002\u5F8C\u8005\u306F\u305D\u308C\u81EA\u8EAB\u3059\u3079\u3066\u306E\u5B9F\u6570\u306B\u5BFE\u3059\u308B\u4E0B\u754C\u3088\u308A\u3082\u5927\u304D\u3044\u3002\u3057\u305F\u304C\u3063\u3066\u4EE3\u6570\u7684\u6570\u306B\u5BFE\u3059\u308B\u4E0A\u4E0B\u754C\u3088\u308A\u3082\u3088\u304F\u8FD1\u4F3C\u3067\u304D\u308B\u5B9F\u6570\u306F\u3082\u3061\u308D\u3093\u8D85\u8D8A\u6570\u3067\u3042\u308B\u3002\u3053\u308C\u306B\u3088\u308A\u30EA\u30A6\u30F4\u30A3\u30EB\u306F1844\u5E74\u306B\u6700\u521D\u306E\u660E\u793A\u7684\u306A\u8D85\u8D8A\u6570\u3092\u751F\u307F\u51FA\u3057\u305F\u3002\u5F8C\u306B \u03C0 \u3084 e \u304C\u8D85\u8D8A\u6570\u3067\u3042\u308B\u3053\u3068\u306E\u8A3C\u660E\u304C\u985E\u4F3C\u306E\u65B9\u6CD5\u306B\u3088\u308A\u5F97\u3089\u308C\u305F\u3002 \u30C7\u30A3\u30AA\u30D5\u30A1\u30F3\u30C8\u30B9\u8FD1\u4F3C\u306F\u3001\u7121\u7406\u6570\u3084\u8D85\u8D8A\u6570\u306E\u7814\u7A76\u3068\u6DF1\u304F\u95A2\u9023\u3057\u3066\u3044\u308B\u3002\u5B9F\u969B\u3001\u4EE3\u6570\u7684\u6570\u306B\u3064\u3044\u3066\u306F\u6B21\u6570\u3084\u9AD8\u3055\u306B\u4F9D\u5B58\u3057\u3066\u8FD1\u4F3C\u306E\u7CBE\u5EA6\u306B\u9650\u754C\u304C\u3042\u308B\u3053\u3068\u304C\u77E5\u3089\u308C\u3066\u3044\u308B\u3002\u307E\u305F\u3001\u4E0D\u5B9A\u65B9\u7A0B\u5F0F\u306A\u3069\u3001\u6570\u5B66\u4E0A\u306E\u4ED6\u306E\u554F\u984C\u3067\u3082\u30C7\u30A3\u30AA\u30D5\u30A1\u30F3\u30C8\u30B9\u8FD1\u4F3C\u306B\u5E30\u7740\u3059\u308B\u3053\u3068\u304C\u591A\u3044\u3002\u4F8B\u3048\u3070\u3001\u30DA\u30EB\u65B9\u7A0B\u5F0F y2=2x2-1 \u306E\u6574\u6570\u89E3\u306F 2 \u306E\u5E73\u65B9\u6839\u306E\u30C7\u30A3\u30AA\u30D5\u30A1\u30F3\u30C8\u30B9\u8FD1\u4F3C\u306B\u5E30\u7740\u3059\u308B\u3002"@ja . "\u4E22\u756A\u56FE\u5206\u6790\uFF08\u82F1\u8A9E\uFF1ADiophantine approximation\uFF09\u662F\u6570\u8BBA\u7684\u4E00\u4E2A\u5206\u652F\u3002\u6700\u7ECF\u5178\u7684\u4E22\u756A\u56FE\u903C\u8FD1\u4E3B\u8981\u7528\u65BC\u6709\u7406\u6570\u903C\u8FD1\u5B9E\u6570\uFF0C\u4EA6\u5373\u5B9E\u6570\u7684\u6709\u7406\u903C\u8FD1\u76F8\u5173\u95EE\u9898\u3002\u5176\u4E2D\u6709\u7406\u6570\u4E00\u822C\u7528\u5206\u6570\u5F62\u5F0F\u8868\u8FBE\uFF0C\u4E14\u4E00\u5F8B\u8981\u6C42\u5206\u5B50\u4E3A\u6574\u6570\uFF0C\u5206\u6BCD\u4E3A\u6B63\u6574\u6570\uFF0C\u901A\u5E38\u8981\u6C42\u662F\u65E2\u7EA6\u5206\u6570\u3002 \u4E22\u756A\u56FE\u903C\u8FD1\u7684\u540D\u79F0\u6E90\u4E8E\u53E4\u5E0C\u814A\u6570\u5B66\u5BB6\u4E22\u756A\u56FE\u3002\u8FD9\u662F\u56E0\u4E3A\u6709\u7406\u903C\u8FD1\u53EF\u4EE5\u5F52\u7ED3\u4E3A\u6C42\u4E0D\u7B49\u5F0F\u6574\u6570\u89E3\u7684\u95EE\u9898\uFF0C\u800C\u6C42\u65B9\u7A0B\u6574\u6570\u89E3\u7684\u95EE\u9898\u4E00\u822C\u79F0\u4E3A\u4E22\u756A\u56FE\u65B9\u7A0B\uFF08\u6216\u4E0D\u5B9A\u65B9\u7A0B\uFF09\uFF0C\u6545\u800C\u5F97\u540D\u3002\u4E8B\u5B9E\u4E0A\uFF0C\u4E22\u756A\u56FE\u903C\u8FD1\u4E0E\u4E0D\u5B9A\u65B9\u7A0B\u7684\u7814\u7A76\u786E\u6709\u9887\u591A\u76F8\u5173\u3002 \u4E22\u756A\u56FE\u903C\u8FD1\u7684\u9996\u8981\u95EE\u9898\u662F\u5BFB\u6C42\u5B9E\u6570\u7684\u6700\u4F73\uFF08\u6709\u7406\uFF09\u4E22\u756A\u56FE\u903C\u8FD1\uFF0C\u7B80\u79F0\u6700\u4F73\u903C\u8FD1\u3002\u5177\u4F53\u6765\u8BF4\uFF0C\u5BF9\u4E8E\u4E00\u4E2A\u5B9E\u6570 \uFF0C\u5E0C\u671B\u627E\u5230\u4E00\u4E2A\u201C\u6700\u4F18\u201D\u7684\u6709\u7406\u6570 \u4F5C\u4E3A \u7684\u8FD1\u4F3C\uFF0C\u4F7F\u5728\u5206\u6BCD\u4E0D\u8D85\u8FC7 \u7684\u6240\u6709\u6709\u7406\u6570\u4E2D\uFF0C \u4E0E \u7684\u8DDD\u79BB\u6700\u5C0F\u3002\u8FD9\u91CC\u7684\u201C\u8DDD\u79BB\u201D\u53EF\u4EE5\u662F\u6B27\u6C0F\u8DDD\u79BB\uFF0C\u5373\u4E24\u6570\u4E4B\u5DEE\u7684\u7EDD\u5BF9\u503C\uFF1B\u4E5F\u53EF\u4EE5\u7528 \u7B49\u65B9\u5F0F\u5EA6\u91CF\u3002\u6EE1\u8DB3\u6B64\u7C7B\u8981\u6C42\u7684\u6709\u7406\u6570 \u79F0\u4E3A\u5B9E\u6570 \u7684\u4E00\u4E2A\u6700\u4F73\u903C\u8FD1\u3002\u5173\u4E8E\u5982\u4F55\u5BFB\u627E\u5B9E\u6570\u7684\u6700\u4F73\u903C\u8FD1\u53CA\u76F8\u5173\u8BBA\u9898\uFF0C\u5DF2\u4E8E18\u4E16\u7EAA\u968F\u7740\u8FDE\u5206\u6570\u7406\u8BBA\u7684\u53D1\u5C55\u5F97\u5230\u57FA\u672C\u89E3\u51B3\u3002 \u5176\u540E\uFF0C\u8BE5\u9886\u57DF\u7684\u4E3B\u8981\u6CE8\u610F\u529B\u8F6C\u5411\u5BF9\u6709\u7406\u903C\u8FD1\u7684\u8BEF\u5DEE\u8FDB\u884C\u4F30\u8BA1\u3001\u5EA6\u91CF\uFF0C\u4EE5\u7ED9\u51FA\u5C3D\u53EF\u80FD\u7CBE\u786E\u7684\u4E0A\u4E0B\u754C\uFF08\u4E00\u822C\u7528\u5206\u6BCD\u7684\u51FD\u6570\u8868\u793A\uFF09\u3002\u4F5C\u4E3A\u5206\u6BCD\u7684\u51FD\u6570, \u8FD9\u79CD\u4E0A\u4E0B\u754C\u7684\u9636\u4E0E \u7684\u6027\u8D28\u5BC6\u5207\u76F8\u5173\u3002\u5F53 \u5206\u522B\u4E3A\u6709\u7406\u6570\u3001\u4EE3\u6570\u6570\u3001\u8D85\u8D8A\u6570\u65F6\uFF0C\u5176\u6700\u4F73\u903C\u8FD1\u8BEF\u5DEE\u4E0B\u754C\u7684\u9636\u662F\u4E0D\u540C\u7684\u3002\u57FA\u4E8E\u8FD9\u79CD\u601D\u60F3\uFF0C\u5218\u7EF4\u5C14\u57281844\u5E74\u5EFA\u7ACB\u4E86\u6709\u5173\u4EE3\u6570\u6570\u903C\u8FD1\u7684\u4E00\u4E2A\u57FA\u672C\u7ED3\u8BBA\uFF0C\u5E76\u7531\u6B64\u5177\u4F53\u5730\u6784\u9020\u51FA\u4E86\u4E00\u4E2A\u8D85\u8D8A\u6570\uFF08\u53C2\u89C1\u5218\u7EF4\u5C14\u6570\uFF09\uFF0C\u8BC1\u660E\u4E86\u5B83\u7684\u8D85\u8D8A\u6027\u3002\u8FD9\u5728\u4EBA\u7C7B\u5386\u53F2\u4E0A\u5C1A\u5C5E\u9996\u6B21\u3002\u7531\u6B64\u53EF\u89C1\uFF0C\u4E22\u756A\u56FE\u903C\u8FD1\u4E0E\u6570\u8BBA\u7684\u53E6\u4E00\u5206\u652F\u2014\u2014\u8D85\u8D8A\u6570\u8BBA\u7D27\u5BC6\u76F8\u5173\u3002 \u9664\u4E86\u4E0A\u8FF0\u6700\u7ECF\u5178\u7684\u5355\u4E2A\u5B9E\u6570\u7684\u6709\u7406\u903C\u8FD1\u95EE\u9898\uFF0C\u8BE5\u9886\u57DF\u8FD8\u5305\u62EC\u591A\u4E2A\u5B9E\u6570\u7684\u8054\u7ACB\u903C\u8FD1\uFF0C\u975E\u9F50\u6B21\u903C\u8FD1\uFF0C\u5B9E\u6570\u7684\u4EE3\u6570\u6570\u903C\u8FD1\uFF0C\u4E00\u81F4\u5206\u5E03\uFF08\u5747\u5300\u5206\u5E03\uFF09\u7B49\u65B9\u9762\u3002\u751A\u81F3\u8FDEp\u8FDB\u6570\u4E0A\u7684\u4E22\u756A\u56FE\u903C\u8FD1\u4E5F\u6709\u9887\u591A\u7814\u7A76\u3002"@zh . . . "\u30C7\u30A3\u30AA\u30D5\u30A1\u30F3\u30C8\u30B9\u8FD1\u4F3C"@ja . . . "Roth"@en . "Carl Ludwig"@en . . "\u0422\u0435\u043E\u0440\u0438\u044F \u0434\u0438\u043E\u0444\u0430\u043D\u0442\u043E\u0432\u044B\u0445 \u043F\u0440\u0438\u0431\u043B\u0438\u0436\u0435\u043D\u0438\u0439 \u2014 \u0440\u0430\u0437\u0434\u0435\u043B \u0442\u0435\u043E\u0440\u0438\u0438 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043B, \u0438\u0437\u0443\u0447\u0430\u044E\u0449\u0438\u0439 \u043F\u0440\u0438\u0431\u043B\u0438\u0436\u0435\u043D\u0438\u044F \u0432\u0435\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043D\u043D\u044B\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043B \u0440\u0430\u0446\u0438\u043E\u043D\u0430\u043B\u044C\u043D\u044B\u043C\u0438; \u043D\u0430\u0437\u0432\u0430\u043D \u0438\u043C\u0435\u043D\u0435\u043C \u0414\u0438\u043E\u0444\u0430\u043D\u0442\u0430 \u0410\u043B\u0435\u043A\u0441\u0430\u043D\u0434\u0440\u0438\u0439\u0441\u043A\u043E\u0433\u043E. \u041F\u0435\u0440\u0432\u043E\u0439 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0435\u0439 \u0431\u044B\u043B \u0432\u043E\u043F\u0440\u043E\u0441, \u043D\u0430\u0441\u043A\u043E\u043B\u044C\u043A\u043E \u0445\u043E\u0440\u043E\u0448\u043E \u0432\u0435\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043D\u043D\u043E\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043B\u043E \u043C\u043E\u0436\u0435\u0442 \u0431\u044B\u0442\u044C \u043F\u0440\u0438\u0431\u043B\u0438\u0436\u0435\u043D\u043E \u0440\u0430\u0446\u0438\u043E\u043D\u0430\u043B\u044C\u043D\u044B\u043C\u0438 \u0447\u0438\u0441\u043B\u0430\u043C\u0438. \u0414\u043B\u044F \u044D\u0442\u043E\u0439 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438 \u0440\u0430\u0446\u0438\u043E\u043D\u0430\u043B\u044C\u043D\u043E\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043B\u043E a/b \u044F\u0432\u043B\u044F\u0435\u0442\u0441\u044F \u00AB\u0445\u043E\u0440\u043E\u0448\u0438\u043C\u00BB \u043F\u0440\u0438\u0431\u043B\u0438\u0436\u0435\u043D\u0438\u0435\u043C \u0432\u0435\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043D\u043D\u043E\u0433\u043E \u0447\u0438\u0441\u043B\u0430 \u03B1, \u0435\u0441\u043B\u0438 \u0430\u0431\u0441\u043E\u043B\u044E\u0442\u043D\u043E\u0435 \u0437\u043D\u0430\u0447\u0435\u043D\u0438\u0435 \u0440\u0430\u0437\u043D\u043E\u0441\u0442\u0438 a/b \u0438 \u03B1 \u043D\u0435 \u043C\u043E\u0436\u0435\u0442 \u0431\u044B\u0442\u044C \u0443\u043C\u0435\u043D\u044C\u0448\u0435\u043D\u043E, \u0435\u0441\u043B\u0438 \u0437\u0430\u043C\u0435\u043D\u0438\u0442\u044C a/b \u0434\u0440\u0443\u0433\u043E\u0439 \u0440\u0430\u0446\u0438\u043E\u043D\u0430\u043B\u044C\u043D\u043E\u0439 \u0434\u0440\u043E\u0431\u044C\u044E \u0441 \u043C\u0435\u043D\u044C\u0448\u0438\u043C \u0437\u043D\u0430\u043C\u0435\u043D\u0430\u0442\u0435\u043B\u0435\u043C. \u0417\u0430\u0434\u0430\u0447\u0430 \u0431\u044B\u043B\u0430 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043D\u0430 \u0432 XVIII \u0441\u0442\u043E\u043B\u0435\u0442\u0438\u0438 \u043F\u043E\u0441\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0432\u043E\u043C \u043D\u0435\u043F\u0440\u0435\u0440\u044B\u0432\u043D\u044B\u0445 \u0434\u0440\u043E\u0431\u0435\u0439."@ru . . . "Diophantine approximations"@en . . "Carl Ludwig Siegel"@en . "1947"^^ . "In de getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, heeft een diofantische benadering, vernoemd naar Diophantus van Alexandri\u00EB, betrekking op de benadering van re\u00EBle getallen door rationale getallen. De absolute waarde van het verschil tussen het te benaderen re\u00EBel getal en het rationale getal dat dit re\u00EBle getal benadert is een ruwe indicator van hoe goed de benadering is. Aangezien de rationale getallen echter dicht zijn in de re\u00EBle getallen, kan men altijd rationale getallen vinden die willekeurig dicht bij het te benaderen re\u00EBel getal liggen. Dus deze maat vertelt ons niets over de \"kwaliteit\" van de benadering. Een betere maat voor de kwaliteit van de benadering is door het verschil te vergelijken aan de hand van de grootte van de noemer. Bekende resultaten in de theorie van de diofantische benaderingen zijn de benaderingsstelling van Dirichlet en de stelling van Thue-Siegel-Roth."@nl . . "p/d032600"@en . . . . . . . "Diofantische benadering"@nl . . "Approximation diophantienne"@fr . "1921"^^ . "Aproxima\u00E7\u00E3o diofantina"@pt . . . . "Na teoria dos n\u00FAmeros, a aproxima\u00E7\u00E3o diofantina, (nomeada assim por causa dos trabalhos do matem\u00E1tico Diofante de Alexandria), \u00E9 um ramo da matem\u00E1tica que parcela os n\u00FAmeros reais para executar a sua aproxima\u00E7\u00E3o com os n\u00FAmeros racionais. Para que isso ocorra, \u00E9 necess\u00E1ria uma diminui\u00E7\u00E3o dos n\u00FAmeros reais, e uma aproxima\u00E7\u00E3o deles (em termos de valor absoluto) ao conceito de n\u00FAmeros racionais, para que a aproxima\u00E7\u00E3o seja realizada. Um sutil significado considera qu\u00E3o f\u00E1cil e \u00E9 essa aproxima\u00E7\u00E3o, pela compara\u00E7\u00E3o do tamanho do denominador."@pt . "En teor\u00EDa de n\u00FAmeros, las aproximaciones diof\u00E1nticas (llamadas as\u00ED en honor al matem\u00E1tico griego Diofanto) tratan de las aproximaciones de n\u00FAmeros reales por medio de n\u00FAmeros racionales. El valor absoluto de la diferencia entre el real a aproximar y el racional que se aproxima, es una medida cruda, no dice nada acerca de \u00ABla calidad\u00BB de la aproximaci\u00F3n, ya que es posible encontrar racionales arbitrariamente cerca (el conjunto de los n\u00FAmeros racionales es denso en el conjunto de los n\u00FAmeros reales)."@es . . . . "Siegel"@en . . . "\u0414\u0456\u043E\u0444\u0430\u043D\u0442\u043E\u0432\u0430 \u0430\u043F\u0440\u043E\u043A\u0441\u0456\u043C\u0430\u0446\u0456\u044F \u0430\u0431\u043E \u0414\u0456\u043E\u0444\u0430\u043D\u0442\u043E\u0432\u0456 \u043D\u0430\u0431\u043B\u0438\u0436\u0435\u043D\u043D\u044F \u2014 \u0440\u043E\u0437\u0434\u0456\u043B \u0442\u0435\u043E\u0440\u0456\u0457 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043B, \u0432 \u044F\u043A\u043E\u043C\u0443 \u0432\u0438\u0432\u0447\u0430\u044E\u0442\u044C\u0441\u044F \u043F\u0438\u0442\u0430\u043D\u043D\u044F \u0440\u043E\u0437\u0432'\u044F\u0437\u0430\u043D\u043D\u044F \u0432 \u0446\u0456\u043B\u0438\u0445 \u0447\u0438\u0441\u043B\u0430\u0445 \u043D\u0435\u0440\u0456\u0432\u043D\u043E\u0441\u0442\u0435\u0439 \u0430\u0431\u043E \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043C \u043D\u0435\u0440\u0456\u0432\u043D\u043E\u0441\u0442\u0435\u0439 \u0437 \u0434\u0456\u0439\u0441\u043D\u0438\u043C\u0438 \u043A\u043E\u0435\u0444\u0456\u0446\u0456\u0454\u043D\u0442\u0430\u043C\u0438. \u0414\u0456\u043E\u0444\u0430\u043D\u0442\u043E\u0432\u0456 \u043D\u0430\u0431\u043B\u0438\u0436\u0435\u043D\u043D\u044F \u0432\u0438\u0432\u0447\u0430\u044E\u0442\u044C, \u0437\u043E\u043A\u0440\u0435\u043C\u0430, \u043D\u0430\u0431\u043B\u0438\u0436\u0435\u043D\u043D\u044F \u0434\u0456\u0439\u0441\u043D\u0438\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043B \u0440\u0430\u0446\u0456\u043E\u043D\u0430\u043B\u044C\u043D\u0438\u043C\u0438. \u0422\u0430\u043A, \u0443 \u0434\u0456\u043E\u0444\u0430\u043D\u0442\u043E\u0432\u0438\u0445 \u043D\u0430\u0431\u043B\u0438\u0436\u0435\u043D\u043D\u044F\u0445 \u043D\u0430\u0431\u043B\u0438\u0436\u0435\u043D\u043D\u044F \u0434\u0456\u0439\u0441\u043D\u043E\u0433\u043E \u0447\u0438\u0441\u043B\u0430 \u0440\u0430\u0446\u0456\u043E\u043D\u0430\u043B\u044C\u043D\u0438\u043C\u0438 \u0431\u0443\u0434\u0435 \u043D\u0430\u0439\u043A\u0440\u0430\u0449\u0438\u043C \u0434\u0456\u043E\u0444\u0430\u043D\u0442\u043E\u0432\u0438\u043C \u043D\u0430\u0431\u043B\u0438\u0436\u0435\u043D\u043D\u044F\u043C, \u044F\u043A\u0449\u043E \u0434\u043B\u044F \u043A\u043E\u0436\u043D\u043E\u0433\u043E \u0440\u0430\u0446\u0456\u043E\u043D\u0430\u043B\u044C\u043D\u043E\u0433\u043E \u0447\u0438\u0441\u043B\u0430 \u0442\u0430\u043A\u043E\u0433\u043E, \u0449\u043E \u0406\u0441\u043D\u0443\u044E\u0442\u044C \u0456 \u0456\u043D\u0448\u0456 \u0432\u0430\u0440\u0456\u0430\u043D\u0442\u0438 \u043D\u0430\u0431\u043B\u0438\u0436\u0435\u043D\u044C. \u0414\u043E \u0434\u0456\u043E\u0444\u0430\u043D\u0442\u043E\u0432\u0438\u0445 \u043D\u0430\u0431\u043B\u0438\u0436\u0435\u043D\u044C \u043D\u0430\u043B\u0435\u0436\u0438\u0442\u044C \u0442\u0430\u043A\u043E\u0436 \u0442\u0435\u043E\u0440\u0456\u044F \u0442\u0440\u0430\u043D\u0441\u0446\u0435\u043D\u0434\u0435\u043D\u0442\u043D\u0438\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043B."@uk . . "\u4E1F\u756A\u5716\u903C\u8FD1"@zh . . . . . "Aproksymacja diofantyczna \u2013 dziedzina teorii liczb badaj\u0105ca mo\u017Cliwo\u015Bci przybli\u017Cania liczb rzeczywistych liczbami wymiernymi i stopie\u0144 dok\u0142adno\u015Bci takiego przybli\u017Cenia. Nazwa pochodzi od imienia Diofantosa z Aleksandrii. Zgrubnym miernikiem dok\u0142adno\u015Bci przybli\u017Cenia jest warto\u015B\u0107 bezwzgl\u0119dna r\u00F3\u017Cnicy mi\u0119dzy dan\u0105 liczb\u0105 rzeczywist\u0105 a jej przybli\u017Ceniem, subtelniejsze rozwa\u017Cania uwzgl\u0119dniaj\u0105 r\u00F3wnie\u017C wielko\u015B\u0107 mianownika odpowiedniego u\u0142amka. Mo\u017Cna przyj\u0105\u0107, \u017Ce pierwsze systematyczne badania w tej dziedzinie maj\u0105 pocz\u0105tek w pracach Liouvilla dotycz\u0105cych istnienia liczb przest\u0119pnych (tzw. liczb Liouville\u2019a). Wcze\u015Bniej wiedziano sporo na temat przybli\u017Cania liczb niewymiernych u\u0142amkami \u0142a\u0144cuchowymi, znane by\u0142o te\u017C twierdzenie Dirichleta o aproksymacji, jednak dopiero od Liouville\u2019a zagadnieniom tym po\u015Bwi\u0119cono systematyczn\u0105 uwag\u0119. Wyniki Liouville\u2019a, kt\u00F3re by\u0142y efektywne, poprawi\u0142 Axel Thue i jego nast\u0119pcy, ale stracili oni efektywno\u015B\u0107: udowodnione w roku 1955 twierdzenie Thuego-Siegela-Rotha m\u00F3wi, \u017Ce je\u015Bli liczba jest algebraiczna, to dla dowolnego nier\u00F3wno\u015B\u0107: ma tylko sko\u0144czenie wiele rozwi\u0105za\u0144 w liczbach i wzgl\u0119dnie pierwszych i wyk\u0142adnika po prawej stronie nie da si\u0119 ju\u017C zmniejszy\u0107. Twierdzenie Thuego-Siegela-Rotha zosta\u0142o uog\u00F3lnione na przypadek jednoczesnej aproksymacji sko\u0144czonego zbioru liczb, przez , wci\u0105\u017C nieefektywnie, co czyni ten wynik, i jego nieefektywnych poprzednik\u00F3w, ma\u0142o przydatnymi do oblicze\u0144. Druga grupa zagadnie\u0144 badanych w teorii aproksymacji to problematyka . Podstawowym wynikiem w tym kierunku jest , kt\u00F3re z kolei pokazuje zwi\u0105zek aproksymacji diofantycznej z . Inne problemy, jakie mog\u0105 si\u0119 tu pojawia\u0107, wi\u0105\u017C\u0105 si\u0119 z nieregularno\u015Bciami rozk\u0142adu. Jak w innych dzia\u0142ach teorii liczb, r\u00F3wnie\u017C tu istnieje wiele nierozwi\u0105zanych, a prosto sformu\u0142owanych problem\u00F3w. Jednym z nich jest hipoteza Littlewooda (dane z roku 2004), kt\u00F3ra g\u0142osi, \u017Ce dla dowolnych liczb niewymiernych i gdzie jest odleg\u0142o\u015Bci\u0105 od liczby do najbli\u017Cszej liczby ca\u0142kowitej:"@pl . . "1955"^^ . "Aproksymacja diofantyczna \u2013 dziedzina teorii liczb badaj\u0105ca mo\u017Cliwo\u015Bci przybli\u017Cania liczb rzeczywistych liczbami wymiernymi i stopie\u0144 dok\u0142adno\u015Bci takiego przybli\u017Cenia. Nazwa pochodzi od imienia Diofantosa z Aleksandrii. Zgrubnym miernikiem dok\u0142adno\u015Bci przybli\u017Cenia jest warto\u015B\u0107 bezwzgl\u0119dna r\u00F3\u017Cnicy mi\u0119dzy dan\u0105 liczb\u0105 rzeczywist\u0105 a jej przybli\u017Ceniem, subtelniejsze rozwa\u017Cania uwzgl\u0119dniaj\u0105 r\u00F3wnie\u017C wielko\u015B\u0107 mianownika odpowiedniego u\u0142amka. ma tylko sko\u0144czenie wiele rozwi\u0105za\u0144 w liczbach i wzgl\u0119dnie pierwszych i wyk\u0142adnika po prawej stronie nie da si\u0119 ju\u017C zmniejszy\u0107."@pl . "Inom matematiken \u00E4r Diofantisk approximation, uppkallat efter Diofantos, ett delomr\u00E5de av talteori som studerar approximeringen av reella tal med rationella tal. Det f\u00F6rsta problemet \u00E4r att veta hur noggrant ett givet reellt tal kan approximeras med rationella tal. Ett br\u00E5k a/b \u00E4r en bra approximation av det rella talet \u03B1 om absoluta v\u00E4rdet av deras differens inte kan minskas med att ers\u00E4tta a/b med ett annat br\u00E5k med mindre n\u00E4mnare. Problemet l\u00F6stes p\u00E5 1700-talet med hj\u00E4lp av kedjebr\u00E5k."@sv . . . . "Die mathematische Disziplin der diophantischen Approximation, benannt nach Diophantos von Alexandria, besch\u00E4ftigt sich urspr\u00FCnglich mit der Ann\u00E4herung reeller Zahlen durch rationale Zahlen. Bekannte S\u00E4tze in der Theorie der diophantischen Approximation sind der dirichletsche Approximationssatz und der Satz von Thue-Siegel-Roth. Allgemeiner l\u00E4sst sich das Gebiet definieren als Approximation der Null durch reelle Funktionen mit endlich vielen ganzzahligen Argumenten. f\u00FCr jede rationale Zahl mit gilt \u2013 dass also jede bessere N\u00E4herung einen gr\u00F6\u00DFeren Nenner hat."@de . . . . . . . . . . . . . . . "Diophantine approximation"@en . . . . "In de getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, heeft een diofantische benadering, vernoemd naar Diophantus van Alexandri\u00EB, betrekking op de benadering van re\u00EBle getallen door rationale getallen. De absolute waarde van het verschil tussen het te benaderen re\u00EBel getal en het rationale getal dat dit re\u00EBle getal benadert is een ruwe indicator van hoe goed de benadering is. Aangezien de rationale getallen echter dicht zijn in de re\u00EBle getallen, kan men altijd rationale getallen vinden die willekeurig dicht bij het te benaderen re\u00EBel getal liggen. Dus deze maat vertelt ons niets over de \"kwaliteit\" van de benadering."@nl . . . . . "\uB514\uC624\uD310\uD1A0\uC2A4 \uADFC\uC0AC"@ko . . . . . . . "Aproksymacja diofantyczna"@pl . . "L'approssimazione diofantea \u00E8 il campo della matematica che tratta dell'approssimazione dei numeri reali mediante numeri razionali. Prende il nome dal matematico greco Diofanto di Alessandria."@it . . . . . . . . "Klaus"@en . . . . . . . . "Freeman"@en . . "\uB514\uC624\uD310\uD1A0\uC2A4 \uADFC\uC0AC(Diophantine approximation)\uB294 \uC2E4\uC218\uB97C \uC720\uB9AC\uC218\uB85C \uADFC\uC0AC\uD558\uB294 \uAC83\uC73C\uB85C \uC54C\uB809\uC0B0\uB4DC\uB9AC\uC544\uC758 \uB514\uC624\uD310\uD1A0\uC2A4\uC758 \uC774\uB984\uC744 \uB530\uC628 \uAC83\uC774\uB2E4. \uBD84\uC790\uAC00 \uC815\uC218\uC774\uACE0 \uBD84\uBAA8\uAC00 \uC790\uC5F0\uC218\uC778 \uBD84\uC218\uB85C\uB294 \uB354 \uAC00\uAE4C\uC6B4 \uADFC\uC0AC\uAC00 \uBD88\uAC00\uB2A5\uD560 \uB54C \uB514\uC624\uD310\uD1A0\uC2A4 \uADFC\uC0AC\uB77C\uACE0 \uD55C\uB2E4."@ko . "En th\u00E9orie des nombres, l'approximation diophantienne, qui porte le nom de Diophante d'Alexandrie, traite de l'approximation des nombres r\u00E9els par des nombres rationnels. Il est possible d'approcher tout nombre r\u00E9el par un rationnel avec une pr\u00E9cision arbitrairement grande (cette propri\u00E9t\u00E9 s'appelle la densit\u00E9 de l'ensemble des rationnels dans l'ensemble des r\u00E9els, muni de la distance usuelle). La valeur absolue de la diff\u00E9rence entre le nombre r\u00E9el \u00E0 approcher et le nombre rationnel qui l'approche fournit une mesure brute de la pr\u00E9cision de l'approximation. Une mesure plus subtile tient compte de la taille du d\u00E9nominateur."@fr .