. . . . "Na \u00E1lgebra abstrata, um conjunto gerador de um grupo \u00E9 um subconjunto que n\u00E3o est\u00E1 contido em nenhum subgrupo pr\u00F3prio do grupo. Equivalentemente, um conjunto gerador de um grupo \u00E9 um subconjunto, tal que todo elemento do grupo pode ser expresso como a combina\u00E7\u00E3o (sob a opera\u00E7\u00E3o do grupo) de elementos finitos do subconjunto e seus inversos.Generalizando, se S \u00E9 um subconjunto do grupo G, ent\u00E3o , o subgrupo gerado por S, \u00E9 o menor subgrupo de G contendo todos os elementos de S, significando a inser\u00E7\u00E3o em todos os subgrupos contendo os elementos de S; Equivalentemente, \u00E9 o subgrupo de todos os elementos de G que podem ser expressos como um produto finito de elementos em S e seus inversos."@pt . . "Conjunto generador de un grupo"@es . . "In abstract algebra, a generating set of a group is a subset of the group set such that every element of the group can be expressed as a combination (under the group operation) of finitely many elements of the subset and their inverses. In other words, if S is a subset of a group G, then \u27E8S\u27E9, the subgroup generated by S, is the smallest subgroup of G containing every element of S, which is equal to the intersection over all subgroups containing the elements of S; equivalently, \u27E8S\u27E9 is the subgroup of all elements of G that can be expressed as the finite product of elements in S and their inverses. (Note that inverses are only needed if the group is infinite; in a finite group, the inverse of an element can be expressed as a power of that element.) If G = \u27E8S\u27E9, then we say that S generates G, and the elements in S are called generators or group generators. If S is the empty set, then \u27E8S\u27E9 is the trivial group {e}, since we consider the empty product to be the identity. When there is only a single element x in S, \u27E8S\u27E9 is usually written as \u27E8x\u27E9. In this case, \u27E8x\u27E9 is the cyclic subgroup of the powers of x, a cyclic group, and we say this group is generated by x. Equivalent to saying an element x generates a group is saying that \u27E8x\u27E9 equals the entire group G. For finite groups, it is also equivalent to saying that x has order |G|. A group may need an infinite number of generators. For example the additive group of rational numbers Q is not finitely generated. It is generated by the inverses of all the integers, but any finite number of these generators can be removed from the generating set without it ceasing to be a generating set. In a case like this, all the elements in a generating set are nevertheless \"non-generating elements\", as are in fact all the elements of the whole group \u2212 see below. If G is a topological group then a subset S of G is called a set of topological generators if \u27E8S\u27E9 is dense in G, i.e. the closure of \u27E8S\u27E9 is the whole group G."@en . . "Generov\u00E1n\u00ED grupy je matematick\u00FD pojem z teorie grup. Je speci\u00E1ln\u00EDm p\u0159\u00EDpadem obecn\u00E9ho pojmu , kter\u00FD popisuje, kdy je n\u011Bjakou matematickou strukturu mo\u017En\u00E9 vytvo\u0159it z jej\u00ED vlastn\u00ED \u010D\u00E1sti pomoc\u00ED jist\u00FDch operac\u00ED."@cs . . "Conjunto gerador de um grupo"@pt . . "\u5728\u62BD\u8C61\u4EE3\u6578\u4E2D\uFF0C\u7FA4 \u7684\u751F\u6210\u96C6\u5408\u662F\u5B50\u96C6 S \u4F7F\u5F97\u6240\u6709 G \u7684\u6240\u6709\u5143\u7D20\u90FD\u53EF\u4EE5\u8868\u9054\u70BA S \u7684\u5143\u7D20\u548C\u5B83\u5011\u7684\u9006\u5143\u4E2D\u7684\u6709\u9650\u591A\u500B\u5143\u7D20\u7684\u4E58\u7A4D\u3002 \u66F4\u4E00\u822C\u7684\u8AAA\uFF0C\u5982\u679C S \u662F\u7FA4 G \u7684\u5B50\u96C6\uFF0C\u5247 \u6240\u751F\u6210\u7684\u5B50\u7FA4 \u662F\u5305\u542B\u6240\u6709 S \u7684\u5143\u7D20\u7684 G \u7684\u6700\u5C0F\u5B50\u7FA4\uFF0C\u9019\u610F\u5473\u8457\u5B83\u662F\u5305\u542B S \u5143\u7D20\u7684\u6240\u6709\u5B50\u7FA4\u7684\u4EA4\u96C6\uFF1B\u7B49\u50F9\u7684\u8AAA\uFF0C \u662F G \u4E2D\u6240\u6709\u53EF\u4EE5\u7528 S \u7684\u5143\u7D20\u548C\u5B83\u5011\u7684\u9006\u5143\u4E2D\u7684\u6709\u9650\u4E58\u7A4D\u8868\u9054\u7684\u5143\u7D20\u7684\u5B50\u7FA4\u3002 \u5982\u679C G = \uFF0C\u5247\u6211\u5011\u7A31 S \u751F\u6210 G\uFF1BS \u4E2D\u7684\u5143\u7D20\u53EB\u505A\u751F\u6210\u5143\u6216\u7FA4\u751F\u6210\u5143\u3002\u5982\u679C S \u662F\u7A7A\u96C6\uFF0C\u5247 \u662F\u5E73\u51E1\u7FA4 {e}\uFF0C\u56E0\u70BA\u6211\u5011\u8A8D\u70BA\u7A7A\u4E58\u7A4D\u662F\u55AE\u4F4D\u5143\u3002 \u5728 S \u4E2D\u53EA\u6709\u4E00\u500B\u55AE\u4E00\u5143\u7D20 x \u7684\u6642\u5019\uFF0C \u901A\u5E38\u5BEB\u70BA \u3002\u5728\u9019\u7A2E\u60C5\u6CC1\u4E0B\uFF0C \u662F x \u7684\u51AA\u7684\u5FAA\u74B0\u5B50\u7FA4\uFF0C\u6211\u5011\u7A31\u9019\u500B\u5FAA\u74B0\u7FA4\u662F\u7528 x \u751F\u6210\u7684\u3002\u8207\u8072\u7A31\u4E00\u500B\u5143\u7D20 x \u751F\u6210\u4E00\u500B\u7FA4\u7B49\u50F9\uFF0C\u9084\u53EF\u4EE5\u8072\u7A31\u5B83\u6709\u968E |G|\uFF0C\u6216\u8005\u8AAA \u7B49\u4E8E\u6574\u500B\u7FA4 G\u3002"@zh . "\u62BD\u8C61\u4EE3\u6570\u5B66\u306B\u304A\u3044\u3066\u3001\u7FA4\u306E\u751F\u6210\u7CFB\u3001\u751F\u6210\u96C6\u5408 (generating set of a group) \u306F\u90E8\u5206\u96C6\u5408\u3067\u3042\u3063\u3066\u7FA4\u306E\u3059\u3079\u3066\u306E\u5143\u304C\uFF08\u7FA4\u6F14\u7B97\u306E\u3082\u3068\u3067\uFF09\u305D\u306E\u90E8\u5206\u96C6\u5408\u306E\u6709\u9650\u500B\u306E\u5143\u3068\u305D\u308C\u3089\u306E\u9006\u5143\u306E\u7D50\u5408\u3068\u3057\u3066\u8868\u73FE\u3067\u304D\u308B\u3082\u306E\u3067\u3042\u308B\u3002 \u8A00\u3044\u63DB\u3048\u308B\u3068\u3001S \u304C\u7FA4 G \u306E\u90E8\u5206\u96C6\u5408\u3067\u3042\u308C\u3070\u3001\u3001S \u3067\u751F\u6210\u3055\u308C\u308B\u90E8\u5206\u7FA4 (subgroup generated by S)\u3001\u306F S \u306E\u3059\u3079\u3066\u306E\u5143\u3092\u542B\u3080 G \u306E\u6700\u5C0F\u306E\u90E8\u5206\u7FA4\u3067\u3042\u308B\u3001\u3059\u306A\u308F\u3061 S \u306E\u3059\u3079\u3066\u306E\u5143\u3092\u542B\u3080\u90E8\u5206\u7FA4\u3059\u3079\u3066\u306B\u6E21\u308B\u5171\u901A\u90E8\u5206\u3067\u3042\u308B\u3002\u540C\u3058\u3053\u3068\u3060\u304C\u3001 \u306F S \u306E\u5143\u3068\u305D\u308C\u3089\u306E\u9006\u5143\u306E\u6709\u9650\u7A4D\u3068\u3057\u3066\u66F8\u3051\u308B G \u306E\u3059\u3079\u3066\u306E\u5143\u304B\u3089\u306A\u308B\u90E8\u5206\u7FA4\u3067\u3042\u308B\u3002 G = \u3067\u3042\u308C\u3070\u3001S \u306F G \u3092\u751F\u6210\u3059\u308B (generate) \u3068\u3044\u3044\u3001S \u306E\u5143\u306F\u751F\u6210\u5143 (generator) \u3084\u7FA4\u306E\u751F\u6210\u5143 (group generator) \u3068\u547C\u3070\u308C\u308B\u3002S \u304C\u7A7A\u96C6\u5408\u3067\u3042\u308C\u3070\u3001 \u306F\u81EA\u660E\u7FA4 {e} \u3067\u3042\u308B\u3001\u306A\u305C\u306A\u3089\u3070\u7A7A\u7A4D\u3092\u5358\u4F4D\u5143\u3068\u8003\u3048\u308B\u304B\u3089\u3067\u3042\u308B\u3002 S \u306B\u305F\u3063\u305F1\u3064\u306E\u5143 x \u3057\u304B\u306A\u3051\u308C\u3070\u3001 \u306F\u901A\u5E38 \u3068\u66F8\u304B\u308C\u308B\u3002\u3053\u306E\u5834\u5408\u3001 \u306F x \u306E\u30D9\u30AD\u304B\u3089\u306A\u308B\u5DE1\u56DE\u90E8\u5206\u7FA4 (cyclic subgroup) \u3067\u3042\u308A\u3001\u5DE1\u56DE\u7FA4\u3067\u3001\u3053\u306E\u7FA4\u306F x \u306B\u3088\u3063\u3066\u751F\u6210\u3055\u308C\u308B\u3068\u3044\u3046\u3002\u5143 x \u304C\u7FA4\u3092\u751F\u6210\u3059\u308B\u3068\u8A00\u3046\u3053\u3068\u3068\u540C\u5024\u306A\u3053\u3068\u306F \u304C\u7FA4\u5168\u4F53\u3068\u7B49\u3057\u3044\u3068\u8A00\u3046\u3053\u3068\u3067\u3042\u308B\u3002\u6709\u9650\u7FA4\u306B\u5BFE\u3057\u3066\u306F\u3001x \u304C\u4F4D\u6570 |G| \u3092\u3082\u3064\u3068\u8A00\u3063\u3066\u3082\u540C\u5024\u3067\u3042\u308B\u3002"@ja . . . "\u0641\u064A \u0627\u0644\u062C\u0628\u0631 \u0627\u0644\u062A\u062C\u0631\u064A\u062F\u064A\u060C \u0645\u062C\u0645\u0648\u0639\u0629 \u0645\u0648\u0644\u062F\u0629 \u0644\u0632\u0645\u0631\u0629 (\u0628\u0627\u0644\u0625\u0646\u062C\u0644\u064A\u0632\u064A\u0629: Generating set of a group)\u200F \u0647\u064A \u0645\u062C\u0645\u0648\u0639\u0629 \u062C\u0632\u0626\u064A\u0629 \u062D\u064A\u062B \u064A\u0645\u0643\u0646 \u0623\u0646 \u064A\u064F\u0639\u0628\u064E\u0651\u0631 \u0639\u0646 \u062C\u0645\u064A\u0639 \u0639\u0646\u0627\u0635\u0631 \u0627\u0644\u0632\u0645\u0631\u0629 \u0628\u0648\u0627\u0633\u0637\u0629 \u062A\u0623\u0644\u064A\u0641 \u0645\u0627 \u0644\u0639\u062F\u062F \u0645\u0646\u062A\u0647 \u0645\u0646 \u0639\u0646\u0627\u0635\u0631 \u0647\u0630\u0647 \u0627\u0644\u0645\u062C\u0645\u0648\u0639\u0629 \u0627\u0644\u062C\u0632\u0626\u064A\u0629 \u0628\u0627\u0644\u0625\u0636\u0627\u0641\u0629 \u0625\u0644\u0649 \u0645\u0639\u0627\u0643\u0633\u0627\u062A\u0647\u0646."@ar . . . "In abstract algebra, a generating set of a group is a subset of the group set such that every element of the group can be expressed as a combination (under the group operation) of finitely many elements of the subset and their inverses. If G = \u27E8S\u27E9, then we say that S generates G, and the elements in S are called generators or group generators. If S is the empty set, then \u27E8S\u27E9 is the trivial group {e}, since we consider the empty product to be the identity."@en . . . . . . . "In de abstracte algebra is een genererende verzameling of voortbrengende verzameling van een groep een deelverzameling , zodat elk element van kan worden uitgedrukt als het product van een eindig aantal elementen van en hun inversen. Als door wordt gegenereerd, schrijft men . De elementen van worden de generatoren of groepsgeneratoren genoemd. Als de lege verzameling is, dan is de triviale groep , dit omdat we het lege product beschouwen als de identiteit."@nl . . . . . . "In de abstracte algebra is een genererende verzameling of voortbrengende verzameling van een groep een deelverzameling , zodat elk element van kan worden uitgedrukt als het product van een eindig aantal elementen van en hun inversen. Als door wordt gegenereerd, schrijft men . De elementen van worden de generatoren of groepsgeneratoren genoemd. Andersom, als een deelverzameling is van een groep , dan is , de ondergroep gegenereerd, voortgebracht, door , de kleinste ondergroep van die elk element van bevat, wat betekent dat het de doorsnede is van alle ondergroepen die elk element van bevatten. Dat komt ermee overeen dat de ondergroep is van alle elementen van die als het eindige product van de elementen van en hun inversen kunnen worden uitgedrukt. Als er slechts \u00E9\u00E9n enkel element deel uitmaakt van , wordt meestal geschreven als . In dat geval is de cyclische ondergroep van de machten van , een cyclische groep. wordt dus door gegenereerd en heet de voortbrenger van de groep. De orde van een element is gedefinieerd als de orde van , het aantal elementen. Als de lege verzameling is, dan is de triviale groep , dit omdat we het lege product beschouwen als de identiteit."@nl . . . "Zbi\u00F3r generator\u00F3w grupy \u2013 podzbi\u00F3r, kt\u00F3ry nie zawiera si\u0119 w \u017Cadnej podgrupie w\u0142a\u015Bciwej danej grupy. R\u00F3wnowa\u017Cnie zbi\u00F3r generator\u00F3w grupy to taki podzbi\u00F3r grupy, \u017Ce ka\u017Cdy element grupy mo\u017Cna przedstawi\u0107 jako kombinacj\u0119 (wzgl\u0119dem operacji grupowej) sko\u0144czenie wielu element\u00F3w tego podzbioru i ich element\u00F3w odwrotnych (w notacji addytywnej odpowiada to kombinacji liniowej). Og\u00F3lniej, je\u017Celi jest podzbiorem grupy to podgrupa generowana przez , oznaczana symbolem jest najmniejsz\u0105 podgrup\u0105 grupy zawieraj\u0105c\u0105 ka\u017Cdy element zbioru czyli cz\u0119\u015Bci\u0105 wsp\u00F3ln\u0105 wszystkich podgrup zawieraj\u0105cych elementy . R\u00F3wnowa\u017Cnie to podgrupa tych wszystkich element\u00F3w kt\u00F3re mog\u0105 by\u0107 przedstawione jako sko\u0144czony iloczyn element\u00F3w i ich odwrotno\u015Bci. Gdy to m\u00F3wi si\u0119, \u017Ce generuje . Elementy nazywa si\u0119 wtedy generatorami grupy . Je\u015Bli jest zbiorem pustym, to jest grup\u0105 trywialn\u0105 Je\u015Bli zawiera tylko jeden element to zwykle pisze si\u0119 (z tego zapisu korzysta si\u0119 tak\u017Ce dla sko\u0144czonej liczby generator\u00F3w). W tym przypadku jest podgrup\u0105 cykliczn\u0105 pot\u0119g kt\u00F3ra jest grup\u0105 cykliczn\u0105; m\u00F3wi si\u0119 wtedy, \u017Ce grupa ta jest generowana przez O tym, \u017Ce generuje grup\u0119 mo\u017Cna r\u00F3wnowa\u017Cnie powiedzie\u0107, i\u017C jest r\u00F3wne ca\u0142ej grupie Dla grup sko\u0144czonych jest to tak\u017Ce r\u00F3wnowa\u017Cne stwierdzeniu, i\u017C ma rz\u0105d r\u00F3wny"@pl . . . "99945"^^ . . . . . . . "\u041F\u043E\u0440\u043E\u0434\u0436\u0443\u0432\u0430\u043B\u044C\u043D\u0430 \u043C\u043D\u043E\u0436\u0438\u043D\u0430 \u0433\u0440\u0443\u043F\u0438 \u2014 \u0446\u0435 \u0442\u0430\u043A\u0430 \u043F\u0456\u0434\u043C\u043D\u043E\u0436\u0438\u043D\u0430 S \u0433\u0440\u0443\u043F\u0438 G, \u0449\u043E \u043A\u043E\u0436\u0435\u043D \u0435\u043B\u0435\u043C\u0435\u043D\u0442 \u0433\u0440\u0443\u043F\u0438 G \u043C\u043E\u0436\u043D\u0430 \u043F\u043E\u0434\u0430\u0442\u0438 \u044F\u043A \u0434\u043E\u0431\u0443\u0442\u043E\u043A \u0441\u043A\u0456\u043D\u0447\u0435\u043D\u043D\u043E\u0457 \u043A\u0456\u043B\u044C\u043A\u043E\u0441\u0442\u0456 \u0435\u043B\u0435\u043C\u0435\u043D\u0442\u0456\u0432 \u0456\u0437 S \u0442\u0430 \u043E\u0431\u0435\u0440\u043D\u0435\u043D\u0438\u0445 \u0434\u043E \u043D\u0438\u0445. \u0417\u0430\u0433\u0430\u043B\u044C\u043D\u0456\u0448\u0435, \u044F\u043A\u0449\u043E S \u043F\u0456\u0434\u043C\u043D\u043E\u0436\u0438\u043D\u0430 \u0433\u0440\u0443\u043F\u0438 G, \u0442\u043E\u0434\u0456 \u2014 \u043F\u0456\u0434\u0433\u0440\u0443\u043F\u0430 \u043F\u043E\u0440\u043E\u0434\u0436\u0435\u043D\u0430 S, \u0446\u0435 \u043D\u0430\u0439\u043C\u0435\u043D\u0448\u0430 \u043F\u0456\u0434\u0433\u0440\u0443\u043F\u0430 G \u044F\u043A\u0430 \u043C\u0456\u0441\u0442\u0438\u0442\u044C \u0432\u0441\u0456 \u0435\u043B\u0435\u043C\u0435\u043D\u0442\u0438 S. \u0415\u043A\u0432\u0456\u0432\u0430\u043B\u0435\u043D\u0442\u043D\u043E, \u0446\u0435 \u043F\u0456\u0434\u0433\u0440\u0443\u043F\u0430 \u0432\u0441\u0456\u0445 \u0435\u043B\u0435\u043C\u0435\u043D\u0442\u0456\u0432 G, \u044F\u043A\u0456 \u043C\u043E\u0436\u0443\u0442\u044C \u0431\u0443\u0442\u0438 \u043F\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043B\u0435\u043D\u0456 \u044F\u043A \u0434\u043E\u0431\u0443\u0442\u043A\u0438 \u0441\u043A\u0456\u043D\u0447\u0435\u043D\u043D\u043E\u0457 \u043A\u0456\u043B\u044C\u043A\u043E\u0441\u0442\u0456 \u0435\u043B\u0435\u043C\u0435\u043D\u0442\u0456\u0432 \u0437 S \u0442\u0430 \u043E\u0431\u0435\u0440\u043D\u0435\u043D\u0438\u0445 \u0434\u043E \u043D\u0438\u0445. \u042F\u043A\u0449\u043E G = , \u0433\u043E\u0432\u043E\u0440\u044F\u0442\u044C, \u0449\u043E S \u043F\u043E\u0440\u043E\u0434\u0436\u0443\u0454 G, \u0430 \u0435\u043B\u0435\u043C\u0435\u043D\u0442\u0438 S \u043D\u0430\u0437\u0438\u0432\u0430\u044E\u0442\u044C\u0441\u044F \u0442\u0432\u0456\u0440\u043D\u0438\u043C\u0438 \u0430\u0431\u043E \u043F\u043E\u0440\u043E\u0434\u0436\u0443\u0432\u0430\u043B\u044C\u043D\u0438\u043C\u0438 \u0435\u043B\u0435\u043C\u0435\u043D\u0442\u0430\u043C\u0438 \u0433\u0440\u0443\u043F\u0438 G. \u042F\u043A\u0449\u043E S \u2014 \u043F\u043E\u0440\u043E\u0436\u043D\u044F, \u0442\u043E \u0437\u0430 \u0432\u0438\u0437\u043D\u0430\u0447\u0435\u043D\u043D\u044F\u043C, \u0432\u0432\u0430\u0436\u0430\u0454\u0442\u044C\u0441\u044F = {e}. \u041A\u043E\u043B\u0438 S \u043C\u0456\u0441\u0442\u0438\u0442\u044C \u0442\u0456\u043B\u044C\u043A\u0438 \u043E\u0434\u0438\u043D \u0435\u043B\u0435\u043C\u0435\u043D\u0442 x, \u0437\u0430\u0437\u0432\u0438\u0447\u0430\u0439 \u043F\u0438\u0448\u0443\u0442\u044C = G. \u0412 \u0442\u0430\u043A\u043E\u043C\u0443 \u0432\u0438\u043F\u0430\u0434\u043A\u0443 \u2014 \u0446\u0435 \u0446\u0438\u043A\u043B\u0456\u0447\u043D\u0430 \u043F\u0456\u0434\u0433\u0440\u0443\u043F\u0430 \u0441\u0442\u0435\u043F\u0435\u043D\u0456\u0432 x \u0432 G."@uk . . . "1107921039"^^ . "Generov\u00E1n\u00ED grupy"@cs . . . . . . . . . . "\u041F\u043E\u0440\u043E\u0434\u0436\u0443\u0432\u0430\u043B\u044C\u043D\u0430 \u043C\u043D\u043E\u0436\u0438\u043D\u0430 \u0433\u0440\u0443\u043F\u0438 \u2014 \u0446\u0435 \u0442\u0430\u043A\u0430 \u043F\u0456\u0434\u043C\u043D\u043E\u0436\u0438\u043D\u0430 S \u0433\u0440\u0443\u043F\u0438 G, \u0449\u043E \u043A\u043E\u0436\u0435\u043D \u0435\u043B\u0435\u043C\u0435\u043D\u0442 \u0433\u0440\u0443\u043F\u0438 G \u043C\u043E\u0436\u043D\u0430 \u043F\u043E\u0434\u0430\u0442\u0438 \u044F\u043A \u0434\u043E\u0431\u0443\u0442\u043E\u043A \u0441\u043A\u0456\u043D\u0447\u0435\u043D\u043D\u043E\u0457 \u043A\u0456\u043B\u044C\u043A\u043E\u0441\u0442\u0456 \u0435\u043B\u0435\u043C\u0435\u043D\u0442\u0456\u0432 \u0456\u0437 S \u0442\u0430 \u043E\u0431\u0435\u0440\u043D\u0435\u043D\u0438\u0445 \u0434\u043E \u043D\u0438\u0445. \u0417\u0430\u0433\u0430\u043B\u044C\u043D\u0456\u0448\u0435, \u044F\u043A\u0449\u043E S \u043F\u0456\u0434\u043C\u043D\u043E\u0436\u0438\u043D\u0430 \u0433\u0440\u0443\u043F\u0438 G, \u0442\u043E\u0434\u0456 \u2014 \u043F\u0456\u0434\u0433\u0440\u0443\u043F\u0430 \u043F\u043E\u0440\u043E\u0434\u0436\u0435\u043D\u0430 S, \u0446\u0435 \u043D\u0430\u0439\u043C\u0435\u043D\u0448\u0430 \u043F\u0456\u0434\u0433\u0440\u0443\u043F\u0430 G \u044F\u043A\u0430 \u043C\u0456\u0441\u0442\u0438\u0442\u044C \u0432\u0441\u0456 \u0435\u043B\u0435\u043C\u0435\u043D\u0442\u0438 S. \u0415\u043A\u0432\u0456\u0432\u0430\u043B\u0435\u043D\u0442\u043D\u043E, \u0446\u0435 \u043F\u0456\u0434\u0433\u0440\u0443\u043F\u0430 \u0432\u0441\u0456\u0445 \u0435\u043B\u0435\u043C\u0435\u043D\u0442\u0456\u0432 G, \u044F\u043A\u0456 \u043C\u043E\u0436\u0443\u0442\u044C \u0431\u0443\u0442\u0438 \u043F\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043B\u0435\u043D\u0456 \u044F\u043A \u0434\u043E\u0431\u0443\u0442\u043A\u0438 \u0441\u043A\u0456\u043D\u0447\u0435\u043D\u043D\u043E\u0457 \u043A\u0456\u043B\u044C\u043A\u043E\u0441\u0442\u0456 \u0435\u043B\u0435\u043C\u0435\u043D\u0442\u0456\u0432 \u0437 S \u0442\u0430 \u043E\u0431\u0435\u0440\u043D\u0435\u043D\u0438\u0445 \u0434\u043E \u043D\u0438\u0445. \u041A\u043E\u043B\u0438 S \u043C\u0456\u0441\u0442\u0438\u0442\u044C \u0442\u0456\u043B\u044C\u043A\u0438 \u043E\u0434\u0438\u043D \u0435\u043B\u0435\u043C\u0435\u043D\u0442 x, \u0437\u0430\u0437\u0432\u0438\u0447\u0430\u0439 \u043F\u0438\u0448\u0443\u0442\u044C = G. \u0412 \u0442\u0430\u043A\u043E\u043C\u0443 \u0432\u0438\u043F\u0430\u0434\u043A\u0443 \u2014 \u0446\u0435 \u0446\u0438\u043A\u043B\u0456\u0447\u043D\u0430 \u043F\u0456\u0434\u0433\u0440\u0443\u043F\u0430 \u0441\u0442\u0435\u043F\u0435\u043D\u0456\u0432 x \u0432 G."@uk . . . . . . . . "\u041F\u043E\u0440\u043E\u0436\u0434\u0430\u044E\u0449\u0435\u0435 \u043C\u043D\u043E\u0436\u0435\u0441\u0442\u0432\u043E \u0433\u0440\u0443\u043F\u043F\u044B"@ru . . "Generating set of a group"@en . . "\u041F\u043E\u0440\u043E\u0436\u0434\u0430\u044E\u0449\u0435\u0435 \u043C\u043D\u043E\u0436\u0435\u0441\u0442\u0432\u043E \u0433\u0440\u0443\u043F\u043F\u044B (\u0438\u043B\u0438 \u043C\u043D\u043E\u0436\u0435\u0441\u0442\u0432\u043E \u043E\u0431\u0440\u0430\u0437\u0443\u044E\u0449\u0438\u0445, \u0438\u043B\u0438 \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043C\u0430 \u043E\u0431\u0440\u0430\u0437\u0443\u044E\u0449\u0438\u0445) \u2014 \u044D\u0442\u043E \u043F\u043E\u0434\u043C\u043D\u043E\u0436\u0435\u0441\u0442\u0432\u043E \u0432 , \u0442\u0430\u043A\u043E\u0435, \u0447\u0442\u043E \u043A\u0430\u0436\u0434\u044B\u0439 \u044D\u043B\u0435\u043C\u0435\u043D\u0442 \u043C\u043E\u0436\u0435\u0442 \u0431\u044B\u0442\u044C \u0437\u0430\u043F\u0438\u0441\u0430\u043D \u043A\u0430\u043A \u043F\u0440\u043E\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043D\u0438\u0435 \u043A\u043E\u043D\u0435\u0447\u043D\u043E\u0433\u043E \u0447\u0438\u0441\u043B\u0430 \u044D\u043B\u0435\u043C\u0435\u043D\u0442\u043E\u0432 \u0438 \u0438\u0445 \u043E\u0431\u0440\u0430\u0442\u043D\u044B\u0445."@ru . "Genererende verzameling"@nl . "Zbi\u00F3r generator\u00F3w grupy"@pl . . "\u7FA4\u7684\u751F\u6210\u96C6\u5408"@zh . "En teor\u00EDa de grupos, un conjunto generador de un grupo G es un subconjunto S de G tal que todo elemento de G puede ser expresado como el producto de un n\u00FAmero finito de elementos de S y de sus inversos. M\u00E1s generalmente, si S \u2286 G, es el m\u00EDnimo subgrupo de G que contiene a S, llamado subgrupo generado por S; equivalentemente, es el subgrupo de G conformado por todos los elementos que pueden ser expresados como el producto de un n\u00FAmero finito de elementos de S y de sus inversos."@es . . . . . "10475"^^ . "Zbi\u00F3r generator\u00F3w grupy \u2013 podzbi\u00F3r, kt\u00F3ry nie zawiera si\u0119 w \u017Cadnej podgrupie w\u0142a\u015Bciwej danej grupy. R\u00F3wnowa\u017Cnie zbi\u00F3r generator\u00F3w grupy to taki podzbi\u00F3r grupy, \u017Ce ka\u017Cdy element grupy mo\u017Cna przedstawi\u0107 jako kombinacj\u0119 (wzgl\u0119dem operacji grupowej) sko\u0144czenie wielu element\u00F3w tego podzbioru i ich element\u00F3w odwrotnych (w notacji addytywnej odpowiada to kombinacji liniowej). Gdy to m\u00F3wi si\u0119, \u017Ce generuje . Elementy nazywa si\u0119 wtedy generatorami grupy . Je\u015Bli jest zbiorem pustym, to jest grup\u0105 trywialn\u0105"@pl . . "En th\u00E9orie des groupes, une partie g\u00E9n\u00E9ratrice d'un groupe est une partie A de ce groupe telle que tout \u00E9l\u00E9ment du groupe s'\u00E9crit comme produit d'un nombre fini d'\u00E9l\u00E9ments de A et de leurs inverses. Un groupe est dit de type fini lorsqu'il admet une partie g\u00E9n\u00E9ratrice finie. Un groupe engendr\u00E9 par un seul \u00E9l\u00E9ment est isomorphe soit au groupe additif des entiers relatifs (\u2124, +), soit \u00E0 un groupe additif de classes modulo n (\u2124/n\u2124, +) ; on dit que c'est un groupe monog\u00E8ne. Les sous-groupes des groupes commutatifs de type fini sont \u00E9galement de type fini, mais cela n'est pas vrai sans hypoth\u00E8se de commutativit\u00E9."@fr . . . "Na \u00E1lgebra abstrata, um conjunto gerador de um grupo \u00E9 um subconjunto que n\u00E3o est\u00E1 contido em nenhum subgrupo pr\u00F3prio do grupo. Equivalentemente, um conjunto gerador de um grupo \u00E9 um subconjunto, tal que todo elemento do grupo pode ser expresso como a combina\u00E7\u00E3o (sob a opera\u00E7\u00E3o do grupo) de elementos finitos do subconjunto e seus inversos.Generalizando, se S \u00E9 um subconjunto do grupo G, ent\u00E3o , o subgrupo gerado por S, \u00E9 o menor subgrupo de G contendo todos os elementos de S, significando a inser\u00E7\u00E3o em todos os subgrupos contendo os elementos de S; Equivalentemente, \u00E9 o subgrupo de todos os elementos de G que podem ser expressos como um produto finito de elementos em S e seus inversos. Se G = , ent\u00E3o dizemos que S gera G; e os elementos em S s\u00E3o chamados geradores ou grupo gerador. Se S \u00E9 um conjunto vazio, ent\u00E3o \u00E9 o grupo trivial {e}, desde que consideremos o produto vazio como sendo Identidade. Quando h\u00E1 somente um \u00FAnico elemento x em S, \u00E9 geralmente escrito como . Neste caso, \u00E9 o subgrupo c\u00EDclico das pot\u00EAncias de x, um grupo c\u00EDclico, e dizemos que este grupo \u00E9 gerado por x. Equivalente a dizer que um elemento x gera um grupo \u00E9 dizer que equivale ao grupo de inteiros G. Para grupos finitos, tamb\u00E9m \u00E9 equivalente a dizer que x tem ordem |G|."@pt . . . . "En teor\u00EDa de grupos, un conjunto generador de un grupo G es un subconjunto S de G tal que todo elemento de G puede ser expresado como el producto de un n\u00FAmero finito de elementos de S y de sus inversos. M\u00E1s generalmente, si S \u2286 G, es el m\u00EDnimo subgrupo de G que contiene a S, llamado subgrupo generado por S; equivalentemente, es el subgrupo de G conformado por todos los elementos que pueden ser expresados como el producto de un n\u00FAmero finito de elementos de S y de sus inversos. Si G = , se dice que S genera a G, y los elementos de S se llaman generadores de G. Si S = \u2205, entonces es el grupo trivial {e} (lo cual concuerda con la primera definici\u00F3n del subgrupo generado), puesto que el resultado de un producto vac\u00EDo se define como el elemento neutro. Si S = {x}, es el subgrupo conformado por las potencias de x, el cual es un grupo c\u00EDclico (m\u00E1s precisamente, un subgrupo c\u00EDclico de G), usualmente denotado por ; se dice que este grupo es generado por x. Decir que x genera el grupo G es equivalente a decir que = G, caso en el cual G mismo ser\u00EDa un grupo c\u00EDclico; si G tiene tama\u00F1o finito, cualquiera de esas dos condiciones es equivalente a que x tenga orden |G|."@es . . "Group generators"@en . "\u5728\u62BD\u8C61\u4EE3\u6578\u4E2D\uFF0C\u7FA4 \u7684\u751F\u6210\u96C6\u5408\u662F\u5B50\u96C6 S \u4F7F\u5F97\u6240\u6709 G \u7684\u6240\u6709\u5143\u7D20\u90FD\u53EF\u4EE5\u8868\u9054\u70BA S \u7684\u5143\u7D20\u548C\u5B83\u5011\u7684\u9006\u5143\u4E2D\u7684\u6709\u9650\u591A\u500B\u5143\u7D20\u7684\u4E58\u7A4D\u3002 \u66F4\u4E00\u822C\u7684\u8AAA\uFF0C\u5982\u679C S \u662F\u7FA4 G \u7684\u5B50\u96C6\uFF0C\u5247 \u6240\u751F\u6210\u7684\u5B50\u7FA4 \u662F\u5305\u542B\u6240\u6709 S \u7684\u5143\u7D20\u7684 G \u7684\u6700\u5C0F\u5B50\u7FA4\uFF0C\u9019\u610F\u5473\u8457\u5B83\u662F\u5305\u542B S \u5143\u7D20\u7684\u6240\u6709\u5B50\u7FA4\u7684\u4EA4\u96C6\uFF1B\u7B49\u50F9\u7684\u8AAA\uFF0C \u662F G \u4E2D\u6240\u6709\u53EF\u4EE5\u7528 S \u7684\u5143\u7D20\u548C\u5B83\u5011\u7684\u9006\u5143\u4E2D\u7684\u6709\u9650\u4E58\u7A4D\u8868\u9054\u7684\u5143\u7D20\u7684\u5B50\u7FA4\u3002 \u5982\u679C G = \uFF0C\u5247\u6211\u5011\u7A31 S \u751F\u6210 G\uFF1BS \u4E2D\u7684\u5143\u7D20\u53EB\u505A\u751F\u6210\u5143\u6216\u7FA4\u751F\u6210\u5143\u3002\u5982\u679C S \u662F\u7A7A\u96C6\uFF0C\u5247 \u662F\u5E73\u51E1\u7FA4 {e}\uFF0C\u56E0\u70BA\u6211\u5011\u8A8D\u70BA\u7A7A\u4E58\u7A4D\u662F\u55AE\u4F4D\u5143\u3002 \u5728 S \u4E2D\u53EA\u6709\u4E00\u500B\u55AE\u4E00\u5143\u7D20 x \u7684\u6642\u5019\uFF0C \u901A\u5E38\u5BEB\u70BA \u3002\u5728\u9019\u7A2E\u60C5\u6CC1\u4E0B\uFF0C \u662F x \u7684\u51AA\u7684\u5FAA\u74B0\u5B50\u7FA4\uFF0C\u6211\u5011\u7A31\u9019\u500B\u5FAA\u74B0\u7FA4\u662F\u7528 x \u751F\u6210\u7684\u3002\u8207\u8072\u7A31\u4E00\u500B\u5143\u7D20 x \u751F\u6210\u4E00\u500B\u7FA4\u7B49\u50F9\uFF0C\u9084\u53EF\u4EE5\u8072\u7A31\u5B83\u6709\u968E |G|\uFF0C\u6216\u8005\u8AAA \u7B49\u4E8E\u6574\u500B\u7FA4 G\u3002"@zh . . . . "\u041F\u043E\u0440\u043E\u0434\u0436\u0443\u0432\u0430\u043B\u044C\u043D\u0430 \u043C\u043D\u043E\u0436\u0438\u043D\u0430 \u0433\u0440\u0443\u043F\u0438"@uk . . . . . "\u7FA4\u306E\u751F\u6210\u7CFB"@ja . "Partie g\u00E9n\u00E9ratrice d'un groupe"@fr . "\u62BD\u8C61\u4EE3\u6570\u5B66\u306B\u304A\u3044\u3066\u3001\u7FA4\u306E\u751F\u6210\u7CFB\u3001\u751F\u6210\u96C6\u5408 (generating set of a group) \u306F\u90E8\u5206\u96C6\u5408\u3067\u3042\u3063\u3066\u7FA4\u306E\u3059\u3079\u3066\u306E\u5143\u304C\uFF08\u7FA4\u6F14\u7B97\u306E\u3082\u3068\u3067\uFF09\u305D\u306E\u90E8\u5206\u96C6\u5408\u306E\u6709\u9650\u500B\u306E\u5143\u3068\u305D\u308C\u3089\u306E\u9006\u5143\u306E\u7D50\u5408\u3068\u3057\u3066\u8868\u73FE\u3067\u304D\u308B\u3082\u306E\u3067\u3042\u308B\u3002 \u8A00\u3044\u63DB\u3048\u308B\u3068\u3001S \u304C\u7FA4 G \u306E\u90E8\u5206\u96C6\u5408\u3067\u3042\u308C\u3070\u3001\u3001S \u3067\u751F\u6210\u3055\u308C\u308B\u90E8\u5206\u7FA4 (subgroup generated by S)\u3001\u306F S \u306E\u3059\u3079\u3066\u306E\u5143\u3092\u542B\u3080 G \u306E\u6700\u5C0F\u306E\u90E8\u5206\u7FA4\u3067\u3042\u308B\u3001\u3059\u306A\u308F\u3061 S \u306E\u3059\u3079\u3066\u306E\u5143\u3092\u542B\u3080\u90E8\u5206\u7FA4\u3059\u3079\u3066\u306B\u6E21\u308B\u5171\u901A\u90E8\u5206\u3067\u3042\u308B\u3002\u540C\u3058\u3053\u3068\u3060\u304C\u3001 \u306F S \u306E\u5143\u3068\u305D\u308C\u3089\u306E\u9006\u5143\u306E\u6709\u9650\u7A4D\u3068\u3057\u3066\u66F8\u3051\u308B G \u306E\u3059\u3079\u3066\u306E\u5143\u304B\u3089\u306A\u308B\u90E8\u5206\u7FA4\u3067\u3042\u308B\u3002 G = \u3067\u3042\u308C\u3070\u3001S \u306F G \u3092\u751F\u6210\u3059\u308B (generate) \u3068\u3044\u3044\u3001S \u306E\u5143\u306F\u751F\u6210\u5143 (generator) \u3084\u7FA4\u306E\u751F\u6210\u5143 (group generator) \u3068\u547C\u3070\u308C\u308B\u3002S \u304C\u7A7A\u96C6\u5408\u3067\u3042\u308C\u3070\u3001 \u306F\u81EA\u660E\u7FA4 {e} \u3067\u3042\u308B\u3001\u306A\u305C\u306A\u3089\u3070\u7A7A\u7A4D\u3092\u5358\u4F4D\u5143\u3068\u8003\u3048\u308B\u304B\u3089\u3067\u3042\u308B\u3002"@ja . . . "\u0641\u064A \u0627\u0644\u062C\u0628\u0631 \u0627\u0644\u062A\u062C\u0631\u064A\u062F\u064A\u060C \u0645\u062C\u0645\u0648\u0639\u0629 \u0645\u0648\u0644\u062F\u0629 \u0644\u0632\u0645\u0631\u0629 (\u0628\u0627\u0644\u0625\u0646\u062C\u0644\u064A\u0632\u064A\u0629: Generating set of a group)\u200F \u0647\u064A \u0645\u062C\u0645\u0648\u0639\u0629 \u062C\u0632\u0626\u064A\u0629 \u062D\u064A\u062B \u064A\u0645\u0643\u0646 \u0623\u0646 \u064A\u064F\u0639\u0628\u064E\u0651\u0631 \u0639\u0646 \u062C\u0645\u064A\u0639 \u0639\u0646\u0627\u0635\u0631 \u0627\u0644\u0632\u0645\u0631\u0629 \u0628\u0648\u0627\u0633\u0637\u0629 \u062A\u0623\u0644\u064A\u0641 \u0645\u0627 \u0644\u0639\u062F\u062F \u0645\u0646\u062A\u0647 \u0645\u0646 \u0639\u0646\u0627\u0635\u0631 \u0647\u0630\u0647 \u0627\u0644\u0645\u062C\u0645\u0648\u0639\u0629 \u0627\u0644\u062C\u0632\u0626\u064A\u0629 \u0628\u0627\u0644\u0625\u0636\u0627\u0641\u0629 \u0625\u0644\u0649 \u0645\u0639\u0627\u0643\u0633\u0627\u062A\u0647\u0646."@ar . "Generov\u00E1n\u00ED grupy je matematick\u00FD pojem z teorie grup. Je speci\u00E1ln\u00EDm p\u0159\u00EDpadem obecn\u00E9ho pojmu , kter\u00FD popisuje, kdy je n\u011Bjakou matematickou strukturu mo\u017En\u00E9 vytvo\u0159it z jej\u00ED vlastn\u00ED \u010D\u00E1sti pomoc\u00ED jist\u00FDch operac\u00ED."@cs . . . . "\u041F\u043E\u0440\u043E\u0436\u0434\u0430\u044E\u0449\u0435\u0435 \u043C\u043D\u043E\u0436\u0435\u0441\u0442\u0432\u043E \u0433\u0440\u0443\u043F\u043F\u044B (\u0438\u043B\u0438 \u043C\u043D\u043E\u0436\u0435\u0441\u0442\u0432\u043E \u043E\u0431\u0440\u0430\u0437\u0443\u044E\u0449\u0438\u0445, \u0438\u043B\u0438 \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043C\u0430 \u043E\u0431\u0440\u0430\u0437\u0443\u044E\u0449\u0438\u0445) \u2014 \u044D\u0442\u043E \u043F\u043E\u0434\u043C\u043D\u043E\u0436\u0435\u0441\u0442\u0432\u043E \u0432 , \u0442\u0430\u043A\u043E\u0435, \u0447\u0442\u043E \u043A\u0430\u0436\u0434\u044B\u0439 \u044D\u043B\u0435\u043C\u0435\u043D\u0442 \u043C\u043E\u0436\u0435\u0442 \u0431\u044B\u0442\u044C \u0437\u0430\u043F\u0438\u0441\u0430\u043D \u043A\u0430\u043A \u043F\u0440\u043E\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043D\u0438\u0435 \u043A\u043E\u043D\u0435\u0447\u043D\u043E\u0433\u043E \u0447\u0438\u0441\u043B\u0430 \u044D\u043B\u0435\u043C\u0435\u043D\u0442\u043E\u0432 \u0438 \u0438\u0445 \u043E\u0431\u0440\u0430\u0442\u043D\u044B\u0445."@ru . . . "En th\u00E9orie des groupes, une partie g\u00E9n\u00E9ratrice d'un groupe est une partie A de ce groupe telle que tout \u00E9l\u00E9ment du groupe s'\u00E9crit comme produit d'un nombre fini d'\u00E9l\u00E9ments de A et de leurs inverses. Un groupe est dit de type fini lorsqu'il admet une partie g\u00E9n\u00E9ratrice finie. Un groupe engendr\u00E9 par un seul \u00E9l\u00E9ment est isomorphe soit au groupe additif des entiers relatifs (\u2124, +), soit \u00E0 un groupe additif de classes modulo n (\u2124/n\u2124, +) ; on dit que c'est un groupe monog\u00E8ne. Les sous-groupes des groupes commutatifs de type fini sont \u00E9galement de type fini, mais cela n'est pas vrai sans hypoth\u00E8se de commutativit\u00E9."@fr . "GroupGenerators"@en . "\u0645\u062C\u0645\u0648\u0639\u0629 \u0645\u0648\u0644\u062F\u0629 \u0644\u0632\u0645\u0631\u0629"@ar .