. "De gram-schmidtmethode is een algoritme waarmee men een orthogonaal stelsel maakt van een verzameling lineair onafhankelijke vectoren in een vectorruimte voorzien van een inproduct, door van elke volgende vector de component te bepalen die orthogonaal is met alle vorige met betrekking tot dat inproduct. Die component verkrijgt men als het verschil met de projectie op de deelruimte die wordt voortgebracht door de vorige vectoren. Door elke vector vervolgens nog eens te normeren, verkrijgt men een orthonormaal stelsel vectoren."@nl . . "En matem\u00E0tiques, i en particular en \u00E0lgebra lineal i an\u00E0lisi num\u00E8rica, el proc\u00E9s d'ortogonalitzaci\u00F3 de Gram-Schmidt \u00E9s un m\u00E8tode per ortonormalitzar un conjunt de vectors d'un espai prehilberti\u00E0, habitualment l'espai euclidi\u00E0 Rn dotat amb el producte escalar est\u00E0ndard. El proc\u00E9s de Gram-Schmidt pren un conjunt finit linealment independent S = {v1, ..., vk} per k \u2264 n i produeix un conjunt ortogonal S\u2032 = {u1, ..., uk} que genera el mateix subespai k-dimensional de Rn que S."@ca . . "\u041F\u0440\u043E\u0446\u0435\u0441 \u0413\u0440\u0430\u043C\u0430 - \u0428\u043C\u0456\u0434\u0442\u0430 \u2014 \u043D\u0430\u0439\u0432\u0456\u0434\u043E\u043C\u0456\u0448\u0438\u0439 \u0430\u043B\u0433\u043E\u0440\u0438\u0442\u043C , \u0432 \u044F\u043A\u043E\u043C\u0443 \u0437\u0430 \u043B\u0456\u043D\u0456\u0439\u043D\u043E-\u043D\u0435\u0437\u0430\u043B\u0435\u0436\u043D\u043E\u044E \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043C\u043E\u044E \u0431\u0443\u0434\u0443\u0454\u0442\u044C\u0441\u044F \u0442\u0430\u043A\u0430, \u0449\u043E \u043A\u043E\u0436\u043D\u0438\u0439 \u0432\u0435\u043A\u0442\u043E\u0440 \u043B\u0456\u043D\u0456\u0439\u043D\u043E \u0432\u0438\u0440\u0430\u0436\u0430\u0454\u0442\u044C\u0441\u044F \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 , \u0442\u043E\u0431\u0442\u043E \u043C\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u044F \u043F\u0435\u0440\u0435\u0445\u043E\u0434\u0443 \u0432\u0456\u0434 \u0434\u043E \u2015 \u0432\u0435\u0440\u0445\u043D\u044F \u0442\u0440\u0438\u043A\u0443\u0442\u043D\u0430 \u043C\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u044F. \u041C\u043E\u0436\u043D\u0430 \u043F\u0440\u043E\u043D\u043E\u0440\u043C\u0443\u0432\u0430\u0442\u0438 \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043C\u0443 \u0456 \u0437\u0440\u043E\u0431\u0438\u0442\u0438, \u0449\u043E\u0431 \u0434\u0456\u0430\u0433\u043E\u043D\u0430\u043B\u044C\u043D\u0456 \u0435\u043B\u0435\u043C\u0435\u043D\u0442\u0438 \u043C\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0456 \u043F\u0435\u0440\u0435\u0445\u043E\u0434\u0443 \u0431\u0443\u043B\u0438 \u0434\u043E\u0434\u0430\u0442\u043D\u0456\u043C\u0438; \u0446\u0456 \u0443\u043C\u043E\u0432\u0438 \u043E\u0434\u043D\u043E\u0437\u043D\u0430\u0447\u043D\u043E \u0432\u0438\u0437\u043D\u0430\u0447\u0430\u044E\u0442\u044C \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043C\u0443 \u0442\u0430 \u043C\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u044E \u043F\u0435\u0440\u0435\u0445\u043E\u0434\u0443. \u041F\u0440\u043E\u0446\u0435\u0441 \u0413\u0440\u0430\u043C\u0430 \u2014 \u0428\u043C\u0456\u0434\u0442\u0430 \u0437\u0430\u0441\u0442\u043E\u0441\u043E\u0432\u0430\u043D\u0438\u0439 \u0434\u043E \u043C\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0456 \u0437 \u043B\u0456\u043D\u0456\u0439\u043D\u043E-\u043D\u0435\u0437\u0430\u043B\u0435\u0436\u043D\u0438\u043C\u0438 \u0441\u0442\u043E\u0432\u043F\u0446\u044F\u043C\u0438 \u0454 QR \u0440\u043E\u0437\u043A\u043B\u0430\u0434\u043E\u043C \u043C\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0456 (\u0440\u043E\u0437\u043A\u043B\u0430\u0434 \u043D\u0430 \u043E\u0440\u0442\u043E\u0433\u043E\u043D\u0430\u043B\u044C\u043D\u0443 \u0456 \u0432\u0435\u0440\u0445\u043D\u044E \u0442\u0440\u0438\u043A\u0443\u0442\u043D\u0443 \u043C\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u044E \u0437 \u0434\u043E\u0434\u0430\u0442\u043D\u0456\u043C\u0438 \u0434\u0456\u0430\u0433\u043E\u043D\u0430\u043B\u044C\u043D\u0438\u043C\u0438 \u0435\u043B\u0435\u043C\u0435\u043D\u0442\u0430\u043C\u0438)."@uk . . . . "\u5728\u7EBF\u6027\u4EE3\u6570\u4E2D\uFF0C\u5982\u679C\u5185\u79EF\u7A7A\u95F4\u4E0A\u7684\u4E00\u7EC4\u5411\u91CF\u80FD\u591F\u7EC4\u6210\u4E00\u4E2A\u5B50\u7A7A\u95F4\uFF0C\u90A3\u4E48\u8FD9\u4E00\u7EC4\u5411\u91CF\u5C31\u79F0\u4E3A\u8FD9\u4E2A\u5B50\u7A7A\u95F4\u7684\u4E00\u4E2A\u57FA\u3002Gram\uFF0DSchmidt\u6B63\u4EA4\u5316\u63D0\u4F9B\u4E86\u4E00\u79CD\u65B9\u6CD5\uFF0C\u80FD\u591F\u901A\u8FC7\u8FD9\u4E00\u5B50\u7A7A\u95F4\u4E0A\u7684\u4E00\u4E2A\u57FA\u5F97\u51FA\u5B50\u7A7A\u95F4\u7684\u4E00\u4E2A\u6B63\u4EA4\u57FA\uFF0C\u5E76\u53EF\u8FDB\u4E00\u6B65\u6C42\u51FA\u5BF9\u5E94\u7684\u6807\u51C6\u6B63\u4EA4\u57FA\u3002 \u8FD9\u79CD\u6B63\u4EA4\u5316\u65B9\u6CD5\u4EE5\u548C\u547D\u540D\uFF0C\u7136\u800C\u6BD4\u4ED6\u4EEC\u66F4\u65E9\u7684\u62C9\u666E\u62C9\u65AF\uFF08Laplace\uFF09\u548C\u67EF\u897F\uFF08Cauchy\uFF09\u5DF2\u7ECF\u53D1\u73B0\u4E86\u8FD9\u4E00\u65B9\u6CD5\u3002\u5728\u4E2D\uFF0C\u8FD9\u79CD\u65B9\u6CD5\u88AB\u63A8\u5E7F\u4E3A\u5CA9\u6CFD\u5206\u89E3\uFF08Iwasawa decomposition\uFF09\u3002 \u5728\u6570\u503C\u8BA1\u7B97\u4E2D\uFF0CGram\uFF0DSchmidt\u6B63\u4EA4\u5316\u662F\u6570\u503C\u4E0D\u7A33\u5B9A\u7684\uFF0C\u8BA1\u7B97\u4E2D\u7D2F\u79EF\u7684\u820D\u5165\u8BEF\u5DEE\u4F1A\u4F7F\u6700\u7EC8\u7ED3\u679C\u7684\u6B63\u4EA4\u6027\u53D8\u5F97\u5F88\u5DEE\u3002\u56E0\u6B64\u5728\u5B9E\u9645\u5E94\u7528\u4E2D\u901A\u5E38\u4F7F\u7528\u8C6A\u65AF\u970D\u5C14\u5FB7\u53D8\u6362\u6216Givens\u65CB\u8F6C\u8FDB\u884C\u6B63\u4EA4\u5316\u3002\u53EF\u4EE5\u7528\u4E8E\u77E9\u9635\u8BA1\u7B97\u3002"@zh . . . . . . . . "En alg\u00E8bre lin\u00E9aire, dans un espace pr\u00E9hilbertien (c'est-\u00E0-dire un espace vectoriel sur le corps des r\u00E9els ou celui des complexes, muni d'un produit scalaire), le proc\u00E9d\u00E9 ou algorithme de Gram-Schmidt est un algorithme pour construire, \u00E0 partir d'une famille libre finie, une base orthonorm\u00E9e du sous-espace qu'elle engendre. On peut aussi utiliser le proc\u00E9d\u00E9 de Gram-Schmidt sur une famille infinie d\u00E9nombrable de vecteurs. Ceci permet de d\u00E9montrer l'existence d'une base hilbertienne si l'espace est s\u00E9parable."@fr . . . "\u041F\u0440\u043E\u0446\u0435\u0441\u0441 \u0413\u0440\u0430\u043C\u0430 \u2015 \u0428\u043C\u0438\u0434\u0442\u0430 \u043F\u0440\u0435\u043E\u0431\u0440\u0430\u0437\u0443\u0435\u0442 \u043F\u043E\u0441\u043B\u0435\u0434\u043E\u0432\u0430\u0442\u0435\u043B\u044C\u043D\u043E\u0441\u0442\u044C \u043B\u0438\u043D\u0435\u0439\u043D\u043E \u043D\u0435\u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u043C\u044B\u0445 \u0432\u0435\u043A\u0442\u043E\u0440\u043E\u0432 \u0432 \u043E\u0440\u0442\u043E\u043D\u043E\u0440\u043C\u0438\u0440\u043E\u0432\u0430\u043D\u043D\u0443\u044E \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043C\u0443 \u0432\u0435\u043A\u0442\u043E\u0440\u043E\u0432 , \u043F\u0440\u0438\u0447\u0451\u043C \u0442\u0430\u043A, \u0447\u0442\u043E \u043A\u0430\u0436\u0434\u044B\u0439 \u0432\u0435\u043A\u0442\u043E\u0440 \u0435\u0441\u0442\u044C \u043B\u0438\u043D\u0435\u0439\u043D\u0430\u044F \u043A\u043E\u043C\u0431\u0438\u043D\u0430\u0446\u0438\u044F ."@ru . "\u041F\u0440\u043E\u0446\u0435\u0441 \u0413\u0440\u0430\u043C\u0430 - \u0428\u043C\u0456\u0434\u0442\u0430 \u2014 \u043D\u0430\u0439\u0432\u0456\u0434\u043E\u043C\u0456\u0448\u0438\u0439 \u0430\u043B\u0433\u043E\u0440\u0438\u0442\u043C , \u0432 \u044F\u043A\u043E\u043C\u0443 \u0437\u0430 \u043B\u0456\u043D\u0456\u0439\u043D\u043E-\u043D\u0435\u0437\u0430\u043B\u0435\u0436\u043D\u043E\u044E \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043C\u043E\u044E \u0431\u0443\u0434\u0443\u0454\u0442\u044C\u0441\u044F \u0442\u0430\u043A\u0430, \u0449\u043E \u043A\u043E\u0436\u043D\u0438\u0439 \u0432\u0435\u043A\u0442\u043E\u0440 \u043B\u0456\u043D\u0456\u0439\u043D\u043E \u0432\u0438\u0440\u0430\u0436\u0430\u0454\u0442\u044C\u0441\u044F \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 , \u0442\u043E\u0431\u0442\u043E \u043C\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u044F \u043F\u0435\u0440\u0435\u0445\u043E\u0434\u0443 \u0432\u0456\u0434 \u0434\u043E \u2015 \u0432\u0435\u0440\u0445\u043D\u044F \u0442\u0440\u0438\u043A\u0443\u0442\u043D\u0430 \u043C\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u044F. \u041C\u043E\u0436\u043D\u0430 \u043F\u0440\u043E\u043D\u043E\u0440\u043C\u0443\u0432\u0430\u0442\u0438 \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043C\u0443 \u0456 \u0437\u0440\u043E\u0431\u0438\u0442\u0438, \u0449\u043E\u0431 \u0434\u0456\u0430\u0433\u043E\u043D\u0430\u043B\u044C\u043D\u0456 \u0435\u043B\u0435\u043C\u0435\u043D\u0442\u0438 \u043C\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0456 \u043F\u0435\u0440\u0435\u0445\u043E\u0434\u0443 \u0431\u0443\u043B\u0438 \u0434\u043E\u0434\u0430\u0442\u043D\u0456\u043C\u0438; \u0446\u0456 \u0443\u043C\u043E\u0432\u0438 \u043E\u0434\u043D\u043E\u0437\u043D\u0430\u0447\u043D\u043E \u0432\u0438\u0437\u043D\u0430\u0447\u0430\u044E\u0442\u044C \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043C\u0443 \u0442\u0430 \u043C\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u044E \u043F\u0435\u0440\u0435\u0445\u043E\u0434\u0443. \u041F\u0440\u043E\u0446\u0435\u0441 \u0413\u0440\u0430\u043C\u0430 \u2014 \u0428\u043C\u0456\u0434\u0442\u0430 \u0437\u0430\u0441\u0442\u043E\u0441\u043E\u0432\u0430\u043D\u0438\u0439 \u0434\u043E \u043C\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0456 \u0437 \u043B\u0456\u043D\u0456\u0439\u043D\u043E-\u043D\u0435\u0437\u0430\u043B\u0435\u0436\u043D\u0438\u043C\u0438 \u0441\u0442\u043E\u0432\u043F\u0446\u044F\u043C\u0438 \u0454 QR \u0440\u043E\u0437\u043A\u043B\u0430\u0434\u043E\u043C \u043C\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0456 (\u0440\u043E\u0437\u043A\u043B\u0430\u0434 \u043D\u0430 \u043E\u0440\u0442\u043E\u0433\u043E\u043D\u0430\u043B\u044C\u043D\u0443 \u0456 \u0432\u0435\u0440\u0445\u043D\u044E \u0442\u0440\u0438\u043A\u0443\u0442\u043D\u0443 \u043C\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u044E \u0437 \u0434\u043E\u0434\u0430\u0442\u043D\u0456\u043C\u0438 \u0434\u0456\u0430\u0433\u043E\u043D\u0430\u043B\u044C\u043D\u0438\u043C\u0438 \u0435\u043B\u0435\u043C\u0435\u043D\u0442\u0430\u043C\u0438)."@uk . . "Processo de Gram-Schmidt"@pt . . . . . . . . . . . . . . . "\u041F\u0440\u043E\u0446\u0435\u0441 \u0413\u0440\u0430\u043C\u0430 \u2014 \u0428\u043C\u0456\u0434\u0442\u0430"@uk . . "Em matem\u00E1tica e an\u00E1lise num\u00E9rica, o processo de Gram-Schmidt \u00E9 um m\u00E9todo para ortonormaliza\u00E7\u00E3o de um conjunto de vetores em um espa\u00E7o com produto interno, normalmente o espa\u00E7o euclidiano Rn. O processo de Gram\u2013Schmidt recebe um conjunto finito, linearmente independente de vetores S = {v1, \u2026, vn} e retorna um conjunto ortonormal S' = {u1, \u2026, un} que gera o mesmo subespa\u00E7o S inicial. O m\u00E9todo leva o nome de J\u00F8rgen Pedersen Gram e Erhard Schmidt, mas pode ser encontrado antes nos trabalhos de Laplace e Cauchy. Em teoria de decomposi\u00E7\u00E3o do grupo de Lie \u00E9 generalizado pela . A aplica\u00E7\u00E3o do processo de Gram-Schmidt aos vetores de uma coluna matricial completa de classifica\u00E7\u00E3o produz a (decomposta numa matriz ortogonal e uma matriz triangular)."@pt . . . "\uADF8\uB78C-\uC288\uBBF8\uD2B8 \uACFC\uC815(Gram-Schmidt\u904E\u7A0B, \uC601\uC5B4: Gram-Schmidt process) \uB610\uB294 \uADF8\uB78C-\uC288\uBBF8\uD2B8 \uB2E8\uC704\uC9C1\uAD50\uD654(Gram-Schmidt\u55AE\u4F4D\u76F4\u4EA4\u5316, \uC601\uC5B4: Gram-Schmidt orthonormalization)\uB294 \uB0B4\uC801\uACF5\uAC04\uC5D0\uC11C \uC720\uD55C \uAC1C\uC758 \uC77C\uCC28\uB3C5\uB9BD \uBCA1\uD130 \uC9D1\uD569\uC744 \uC815\uADDC \uC9C1\uAD50 \uAE30\uC800\uB85C \uBCC0\uD658\uD558\uB294 \uBC29\uBC95\uC774\uB2E4. \uC5D0\uC11C \uC704\uB85C \uC815\uC0AC\uC601\uD55C \uB97C \uBE7C\uC11C \uC744 \uAD6C\uD560 \uC218 \uC788\uB2E4\uB294 \uAC83\uC744 \uC774\uC6A9\uD55C \uAC83\uC774\uB2E4."@ko . . "In mathematics, particularly linear algebra and numerical analysis, the Gram\u2013Schmidt process is a method for orthonormalizing a set of vectors in an inner product space, most commonly the Euclidean space Rn equipped with the standard inner product. The Gram\u2013Schmidt process takes a finite, linearly independent set of vectors S = {v1, ..., vk} for k \u2264 n and generates an orthogonal set S\u2032 = {u1, ..., uk} that spans the same k-dimensional subspace of Rn as S."@en . . . "Proceso de ortogonalizaci\u00F3n de Gram-Schmidt"@es . . . . . "\u041F\u0440\u043E\u0446\u0435\u0441\u0441 \u0413\u0440\u0430\u043C\u0430 \u2015 \u0428\u043C\u0438\u0434\u0442\u0430"@ru . . "En \u00E1lgebra lineal, el proceso de ortogonalizaci\u00F3n de Gram\u2013Schmidt es un algoritmo para construir, a partir de un conjunto de vectores de un espacio vectorial con producto interno, otro conjunto ortonormal de vectores que genere el mismo subespacio vectorial. Este algoritmo recibe su nombre de los matem\u00E1ticos y Erhard Schmidt."@es . . . "\u041F\u0440\u043E\u0446\u0435\u0441\u0441 \u0413\u0440\u0430\u043C\u0430 \u2015 \u0428\u043C\u0438\u0434\u0442\u0430 \u043F\u0440\u0435\u043E\u0431\u0440\u0430\u0437\u0443\u0435\u0442 \u043F\u043E\u0441\u043B\u0435\u0434\u043E\u0432\u0430\u0442\u0435\u043B\u044C\u043D\u043E\u0441\u0442\u044C \u043B\u0438\u043D\u0435\u0439\u043D\u043E \u043D\u0435\u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u043C\u044B\u0445 \u0432\u0435\u043A\u0442\u043E\u0440\u043E\u0432 \u0432 \u043E\u0440\u0442\u043E\u043D\u043E\u0440\u043C\u0438\u0440\u043E\u0432\u0430\u043D\u043D\u0443\u044E \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043C\u0443 \u0432\u0435\u043A\u0442\u043E\u0440\u043E\u0432 , \u043F\u0440\u0438\u0447\u0451\u043C \u0442\u0430\u043A, \u0447\u0442\u043E \u043A\u0430\u0436\u0434\u044B\u0439 \u0432\u0435\u043A\u0442\u043E\u0440 \u0435\u0441\u0442\u044C \u043B\u0438\u043D\u0435\u0439\u043D\u0430\u044F \u043A\u043E\u043C\u0431\u0438\u043D\u0430\u0446\u0438\u044F ."@ru . . . . . . . . . . "Das Gram-Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren ist ein Algorithmus aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Er erzeugt zu jedem System linear unabh\u00E4ngiger Vektoren aus einem Pr\u00E4hilbertraum (einem Vektorraum mit Skalarprodukt) ein Orthogonalsystem, das denselben Untervektorraum erzeugt. Eine Erweiterung stellt das Gram-Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren dar: Statt eines Orthogonalsystems berechnet es ein Orthonormalsystem. Verwendet man ein System von Basisvektoren als Eingabe f\u00FCr die Algorithmen, so berechnen sie eine Orthogonal- bzw. Orthonormalbasis."@de . . . . . "Gram\u2013Schmidts ortogonaliseringsprocess \u00E4r en algoritm f\u00F6r att generera en ortonormerad bas (ortogonal bas med norm 1) ur en given m\u00E4ngd vektorer tillh\u00F6rande ett inre produktrum med en skal\u00E4rprodukt . Metoden \u00E4r uppkallad efter Erhard Schmidt och J\u00F8rgen Pedersen Gram, men d\u00F6k upp tidigare i verk av Laplace och Cauchy. \u00E4r en generalisering av metoden."@sv . . "In matematica, e in particolare in algebra lineare, l'ortogonalizzazione Gram-Schmidt \u00E8 un algoritmo che permette di ottenere un insieme di vettori ortogonali a partire da un generico insieme di vettori linearmente indipendenti in uno spazio vettoriale dotato di un prodotto scalare definito positivo."@it . "Gram-schmidtmethode"@nl . . . . . . . . . "Orthogonalization"@en . . "Gram\u016Fv-Schmidt\u016Fv proces neboli Gramova-Schmidtova ortogonalizace (nespr\u00E1vn\u011B Gram-Schmidtova ortogonalizace) je metoda, kter\u00E1 v dan\u00E9m unit\u00E1rn\u00EDm prostoru (neboli vektorov\u00E9m prostoru se skal\u00E1rn\u00EDm sou\u010Dinem) umo\u017E\u0148uje pro zadanou kone\u010Dnou mno\u017Einu vektor\u016F nal\u00E9zt ortonorm\u00E1ln\u00ED b\u00E1zi podprostoru jimi generovan\u00E9ho."@cs . "\uADF8\uB78C-\uC288\uBBF8\uD2B8 \uACFC\uC815(Gram-Schmidt\u904E\u7A0B, \uC601\uC5B4: Gram-Schmidt process) \uB610\uB294 \uADF8\uB78C-\uC288\uBBF8\uD2B8 \uB2E8\uC704\uC9C1\uAD50\uD654(Gram-Schmidt\u55AE\u4F4D\u76F4\u4EA4\u5316, \uC601\uC5B4: Gram-Schmidt orthonormalization)\uB294 \uB0B4\uC801\uACF5\uAC04\uC5D0\uC11C \uC720\uD55C \uAC1C\uC758 \uC77C\uCC28\uB3C5\uB9BD \uBCA1\uD130 \uC9D1\uD569\uC744 \uC815\uADDC \uC9C1\uAD50 \uAE30\uC800\uB85C \uBCC0\uD658\uD558\uB294 \uBC29\uBC95\uC774\uB2E4. \uC5D0\uC11C \uC704\uB85C \uC815\uC0AC\uC601\uD55C \uB97C \uBE7C\uC11C \uC744 \uAD6C\uD560 \uC218 \uC788\uB2E4\uB294 \uAC83\uC744 \uC774\uC6A9\uD55C \uAC83\uC774\uB2E4."@ko . "Gramova\u2013Schmidtova ortogonalizace"@cs . . "\u5728\u7EBF\u6027\u4EE3\u6570\u4E2D\uFF0C\u5982\u679C\u5185\u79EF\u7A7A\u95F4\u4E0A\u7684\u4E00\u7EC4\u5411\u91CF\u80FD\u591F\u7EC4\u6210\u4E00\u4E2A\u5B50\u7A7A\u95F4\uFF0C\u90A3\u4E48\u8FD9\u4E00\u7EC4\u5411\u91CF\u5C31\u79F0\u4E3A\u8FD9\u4E2A\u5B50\u7A7A\u95F4\u7684\u4E00\u4E2A\u57FA\u3002Gram\uFF0DSchmidt\u6B63\u4EA4\u5316\u63D0\u4F9B\u4E86\u4E00\u79CD\u65B9\u6CD5\uFF0C\u80FD\u591F\u901A\u8FC7\u8FD9\u4E00\u5B50\u7A7A\u95F4\u4E0A\u7684\u4E00\u4E2A\u57FA\u5F97\u51FA\u5B50\u7A7A\u95F4\u7684\u4E00\u4E2A\u6B63\u4EA4\u57FA\uFF0C\u5E76\u53EF\u8FDB\u4E00\u6B65\u6C42\u51FA\u5BF9\u5E94\u7684\u6807\u51C6\u6B63\u4EA4\u57FA\u3002 \u8FD9\u79CD\u6B63\u4EA4\u5316\u65B9\u6CD5\u4EE5\u548C\u547D\u540D\uFF0C\u7136\u800C\u6BD4\u4ED6\u4EEC\u66F4\u65E9\u7684\u62C9\u666E\u62C9\u65AF\uFF08Laplace\uFF09\u548C\u67EF\u897F\uFF08Cauchy\uFF09\u5DF2\u7ECF\u53D1\u73B0\u4E86\u8FD9\u4E00\u65B9\u6CD5\u3002\u5728\u4E2D\uFF0C\u8FD9\u79CD\u65B9\u6CD5\u88AB\u63A8\u5E7F\u4E3A\u5CA9\u6CFD\u5206\u89E3\uFF08Iwasawa decomposition\uFF09\u3002 \u5728\u6570\u503C\u8BA1\u7B97\u4E2D\uFF0CGram\uFF0DSchmidt\u6B63\u4EA4\u5316\u662F\u6570\u503C\u4E0D\u7A33\u5B9A\u7684\uFF0C\u8BA1\u7B97\u4E2D\u7D2F\u79EF\u7684\u820D\u5165\u8BEF\u5DEE\u4F1A\u4F7F\u6700\u7EC8\u7ED3\u679C\u7684\u6B63\u4EA4\u6027\u53D8\u5F97\u5F88\u5DEE\u3002\u56E0\u6B64\u5728\u5B9E\u9645\u5E94\u7528\u4E2D\u901A\u5E38\u4F7F\u7528\u8C6A\u65AF\u970D\u5C14\u5FB7\u53D8\u6362\u6216Givens\u65CB\u8F6C\u8FDB\u884C\u6B63\u4EA4\u5316\u3002\u53EF\u4EE5\u7528\u4E8E\u77E9\u9635\u8BA1\u7B97\u3002"@zh . . . "Ortogonalizacja Grama-Schmidta \u2013 przekszta\u0142cenie uk\u0142adu liniowo niezale\u017Cnych wektor\u00F3w przestrzeni unitarnej w uk\u0142ad wektor\u00F3w ortogonalnych. Przestrzenie liniowe rozpinane przez uk\u0142ady przed i po ortogonalizacji s\u0105 to\u017Csame, tak wi\u0119c proces mo\u017Ce s\u0142u\u017Cy\u0107 do ortogonalizowania bazy. Opisana w tym artykule metoda nazwana zosta\u0142a na cze\u015B\u0107 , matematyka du\u0144skiego oraz , matematyka niemieckiego."@pl . . . . "24390"^^ . . . . . . . "Gram\u2013Schmidt process"@en . "En alg\u00E8bre lin\u00E9aire, dans un espace pr\u00E9hilbertien (c'est-\u00E0-dire un espace vectoriel sur le corps des r\u00E9els ou celui des complexes, muni d'un produit scalaire), le proc\u00E9d\u00E9 ou algorithme de Gram-Schmidt est un algorithme pour construire, \u00E0 partir d'une famille libre finie, une base orthonorm\u00E9e du sous-espace qu'elle engendre. On peut aussi utiliser le proc\u00E9d\u00E9 de Gram-Schmidt sur une famille infinie d\u00E9nombrable de vecteurs. Ceci permet de d\u00E9montrer l'existence d'une base hilbertienne si l'espace est s\u00E9parable."@fr . . "Gram\u2013Schmidts ortogonaliseringsprocess \u00E4r en algoritm f\u00F6r att generera en ortonormerad bas (ortogonal bas med norm 1) ur en given m\u00E4ngd vektorer tillh\u00F6rande ett inre produktrum med en skal\u00E4rprodukt . Metoden \u00E4r uppkallad efter Erhard Schmidt och J\u00F8rgen Pedersen Gram, men d\u00F6k upp tidigare i verk av Laplace och Cauchy. \u00E4r en generalisering av metoden."@sv . . "\u30B0\u30E9\u30E0\u30FB\u30B7\u30E5\u30DF\u30C3\u30C8\u306E\u6B63\u898F\u76F4\u4EA4\u5316\u6CD5\uFF08\u30B0\u30E9\u30E0\u30FB\u30B7\u30E5\u30DF\u30C3\u30C8\u306E\u305B\u3044\u304D\u3061\u3087\u3063\u3053\u3046\u304B\u307B\u3046\u3001\u82F1: Gram\u2013Schmidt orthonormalization\uFF09\u3068\u306F\u3001\u8A08\u91CF\u30D9\u30AF\u30C8\u30EB\u7A7A\u9593\u306B\u5C5E\u3059\u308B\u7DDA\u578B\u72EC\u7ACB\u306A\u6709\u9650\u500B\u306E\u30D9\u30AF\u30C8\u30EB\u304C\u4E0E\u3048\u3089\u308C\u305F\u3068\u304D\u3001\u305D\u308C\u3089\u3068\u540C\u3058\u90E8\u5206\u7A7A\u9593\u3092\u5F35\u308B\u6B63\u898F\u76F4\u4EA4\u7CFB\u3092\u4F5C\u308A\u51FA\u3059\u30A2\u30EB\u30B4\u30EA\u30BA\u30E0\u306E\u4E00\u7A2E\u3002\u30B7\u30E5\u30DF\u30C3\u30C8\u306E\u76F4\u4EA4\u5316\uFF08\u3061\u3087\u3063\u3053\u3046\u304B\u3001orthogonalization\uFF09\u3068\u3082\u3044\u3046\u3002\u30E8\u30EB\u30B2\u30F3\u30FB\u30DA\u30C0\u30FC\u30BB\u30F3\u30FB\u30B0\u30E9\u30E0\u304A\u3088\u3073\u30A8\u30EB\u30CF\u30EB\u30C8\u30FB\u30B7\u30E5\u30DF\u30C3\u30C8\u306B\u3061\u306A\u3093\u3067\u540D\u4ED8\u3051\u3089\u308C\u305F\u3002\u5909\u63DB\u884C\u5217\u306F\u4E0A\u4E09\u89D2\u884C\u5217\u306B\u53D6\u308B\u3053\u3068\u304C\u3067\u304D\u308B\u3002\u6B63\u898F\u5316\u3059\u308B\u5DE5\u7A0B\u3092\u7701\u7565\u3059\u308B\u3068\u3001\u5FC5\u305A\u3057\u3082\u6B63\u898F\u3067\u306A\u3044\u76F4\u4EA4\u7CFB\u3092\u5F97\u308B\u3053\u3068\u304C\u3067\u304D\u308B\u3002"@ja . . . "\u683C\u62C9\u59C6-\u65BD\u5BC6\u7279\u6B63\u4EA4\u5316"@zh . . . . . . . . . . . . "En matem\u00E0tiques, i en particular en \u00E0lgebra lineal i an\u00E0lisi num\u00E8rica, el proc\u00E9s d'ortogonalitzaci\u00F3 de Gram-Schmidt \u00E9s un m\u00E8tode per ortonormalitzar un conjunt de vectors d'un espai prehilberti\u00E0, habitualment l'espai euclidi\u00E0 Rn dotat amb el producte escalar est\u00E0ndard. El proc\u00E9s de Gram-Schmidt pren un conjunt finit linealment independent S = {v1, ..., vk} per k \u2264 n i produeix un conjunt ortogonal S\u2032 = {u1, ..., uk} que genera el mateix subespai k-dimensional de Rn que S. El proc\u00E9s rep aquest nom per J\u00F8rgen Pedersen Gram i Erhard Schmidt, encara que va apar\u00E8ixer anteriorment en l'obra de Laplace i Cauchy. En la teoria de descomposicions de es generalitza com la . L'aplicaci\u00F3 del proc\u00E9s d'ortogonalitzaci\u00F3 de Gram-Schmidt al cas dels vectors d'una matriu amb rang per columnes complet proporciona la descomposici\u00F3 QR (la matriu descompon en una matriu ortogonal i una matriu triangular)."@ca . . . . . . "\uADF8\uB78C-\uC288\uBBF8\uD2B8 \uACFC\uC815"@ko . . "In matematica, e in particolare in algebra lineare, l'ortogonalizzazione Gram-Schmidt \u00E8 un algoritmo che permette di ottenere un insieme di vettori ortogonali a partire da un generico insieme di vettori linearmente indipendenti in uno spazio vettoriale dotato di un prodotto scalare definito positivo."@it . . . . . . . "\u30B0\u30E9\u30E0\u30FB\u30B7\u30E5\u30DF\u30C3\u30C8\u306E\u6B63\u898F\u76F4\u4EA4\u5316\u6CD5"@ja . . . . "1122448200"^^ . . "Ortogonalizacja Grama-Schmidta"@pl . . "Gram\u016Fv-Schmidt\u016Fv proces neboli Gramova-Schmidtova ortogonalizace (nespr\u00E1vn\u011B Gram-Schmidtova ortogonalizace) je metoda, kter\u00E1 v dan\u00E9m unit\u00E1rn\u00EDm prostoru (neboli vektorov\u00E9m prostoru se skal\u00E1rn\u00EDm sou\u010Dinem) umo\u017E\u0148uje pro zadanou kone\u010Dnou mno\u017Einu vektor\u016F nal\u00E9zt ortonorm\u00E1ln\u00ED b\u00E1zi podprostoru jimi generovan\u00E9ho."@cs . "Proc\u00E9s d'ortogonalitzaci\u00F3 de Gram-Schmidt"@ca . "Algorithme de Gram-Schmidt"@fr . . "Gram\u2013Schmidts ortogonaliseringsprocess"@sv . . . . . . . "Ortogonalizacja Grama-Schmidta \u2013 przekszta\u0142cenie uk\u0142adu liniowo niezale\u017Cnych wektor\u00F3w przestrzeni unitarnej w uk\u0142ad wektor\u00F3w ortogonalnych. Przestrzenie liniowe rozpinane przez uk\u0142ady przed i po ortogonalizacji s\u0105 to\u017Csame, tak wi\u0119c proces mo\u017Ce s\u0142u\u017Cy\u0107 do ortogonalizowania bazy. Opisana w tym artykule metoda nazwana zosta\u0142a na cze\u015B\u0107 , matematyka du\u0144skiego oraz , matematyka niemieckiego."@pl . . . . . . "Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren"@de . "p/o070420"@en . "In mathematics, particularly linear algebra and numerical analysis, the Gram\u2013Schmidt process is a method for orthonormalizing a set of vectors in an inner product space, most commonly the Euclidean space Rn equipped with the standard inner product. The Gram\u2013Schmidt process takes a finite, linearly independent set of vectors S = {v1, ..., vk} for k \u2264 n and generates an orthogonal set S\u2032 = {u1, ..., uk} that spans the same k-dimensional subspace of Rn as S. The method is named after J\u00F8rgen Pedersen Gram and Erhard Schmidt, but Pierre-Simon Laplace had been familiar with it before Gram and Schmidt. In the theory of Lie group decompositions it is generalized by the Iwasawa decomposition. The application of the Gram\u2013Schmidt process to the column vectors of a full column rank matrix yields the QR decomposition (it is decomposed into an orthogonal and a triangular matrix)."@en . "Das Gram-Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren ist ein Algorithmus aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Er erzeugt zu jedem System linear unabh\u00E4ngiger Vektoren aus einem Pr\u00E4hilbertraum (einem Vektorraum mit Skalarprodukt) ein Orthogonalsystem, das denselben Untervektorraum erzeugt. Eine Erweiterung stellt das Gram-Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren dar: Statt eines Orthogonalsystems berechnet es ein Orthonormalsystem. Verwendet man ein System von Basisvektoren als Eingabe f\u00FCr die Algorithmen, so berechnen sie eine Orthogonal- bzw. Orthonormalbasis. Die beiden Verfahren sind nach J\u00F8rgen Pedersen Gram und Erhard Schmidt benannt. Sie wurden allerdings bereits fr\u00FCher in den Werken von Pierre-Simon Laplace und Augustin-Louis Cauchy verwendet. F\u00FCr die numerische Berechnung durch einen Computer mit Gleitpunktarithmetik sind die Gram-Schmidt-Verfahren schlecht geeignet. Durch akkumulierte Rundungsfehler sind die berechneten Vektoren nicht mehr orthogonal. Es existieren aber Modifikationen des Verfahrens, die diesen Nachteil nicht haben. Andere Orthogonalisierungsverfahren basieren auf Householdertransformationen oder Givens-Rotationen."@de . . "82361"^^ . "Em matem\u00E1tica e an\u00E1lise num\u00E9rica, o processo de Gram-Schmidt \u00E9 um m\u00E9todo para ortonormaliza\u00E7\u00E3o de um conjunto de vetores em um espa\u00E7o com produto interno, normalmente o espa\u00E7o euclidiano Rn. O processo de Gram\u2013Schmidt recebe um conjunto finito, linearmente independente de vetores S = {v1, \u2026, vn} e retorna um conjunto ortonormal S' = {u1, \u2026, un} que gera o mesmo subespa\u00E7o S inicial. O m\u00E9todo leva o nome de J\u00F8rgen Pedersen Gram e Erhard Schmidt, mas pode ser encontrado antes nos trabalhos de Laplace e Cauchy. Em teoria de decomposi\u00E7\u00E3o do grupo de Lie \u00E9 generalizado pela ."@pt . . . . . "De gram-schmidtmethode is een algoritme waarmee men een orthogonaal stelsel maakt van een verzameling lineair onafhankelijke vectoren in een vectorruimte voorzien van een inproduct, door van elke volgende vector de component te bepalen die orthogonaal is met alle vorige met betrekking tot dat inproduct. Die component verkrijgt men als het verschil met de projectie op de deelruimte die wordt voortgebracht door de vorige vectoren. Door elke vector vervolgens nog eens te normeren, verkrijgt men een orthonormaal stelsel vectoren. De methode is vernoemd naar J\u00F8rgen Pedersen Gram en Erhard Schmidt, maar is van oudere datum en werd al gevonden door Laplace en Cauchy. In de theorie van Lie-groepen is de methode gegeneraliseerd door Kenkichi Iwasawa."@nl . . . . . "En \u00E1lgebra lineal, el proceso de ortogonalizaci\u00F3n de Gram\u2013Schmidt es un algoritmo para construir, a partir de un conjunto de vectores de un espacio vectorial con producto interno, otro conjunto ortonormal de vectores que genere el mismo subespacio vectorial. El proceso se basa en un resultado de la geometr\u00EDa eucl\u00EDdea, el cual establece que la diferencia entre un vector y su proyecci\u00F3n sobre otro vector , es perpendicular al vector .\u200B Dicho resultado constituye una herramienta para construir, a partir de un conjunto de dos vectores no paralelos, otro conjunto, conformado por dos vectores perpendiculares. Este algoritmo recibe su nombre de los matem\u00E1ticos y Erhard Schmidt."@es . . . . . . . . "\u30B0\u30E9\u30E0\u30FB\u30B7\u30E5\u30DF\u30C3\u30C8\u306E\u6B63\u898F\u76F4\u4EA4\u5316\u6CD5\uFF08\u30B0\u30E9\u30E0\u30FB\u30B7\u30E5\u30DF\u30C3\u30C8\u306E\u305B\u3044\u304D\u3061\u3087\u3063\u3053\u3046\u304B\u307B\u3046\u3001\u82F1: Gram\u2013Schmidt orthonormalization\uFF09\u3068\u306F\u3001\u8A08\u91CF\u30D9\u30AF\u30C8\u30EB\u7A7A\u9593\u306B\u5C5E\u3059\u308B\u7DDA\u578B\u72EC\u7ACB\u306A\u6709\u9650\u500B\u306E\u30D9\u30AF\u30C8\u30EB\u304C\u4E0E\u3048\u3089\u308C\u305F\u3068\u304D\u3001\u305D\u308C\u3089\u3068\u540C\u3058\u90E8\u5206\u7A7A\u9593\u3092\u5F35\u308B\u6B63\u898F\u76F4\u4EA4\u7CFB\u3092\u4F5C\u308A\u51FA\u3059\u30A2\u30EB\u30B4\u30EA\u30BA\u30E0\u306E\u4E00\u7A2E\u3002\u30B7\u30E5\u30DF\u30C3\u30C8\u306E\u76F4\u4EA4\u5316\uFF08\u3061\u3087\u3063\u3053\u3046\u304B\u3001orthogonalization\uFF09\u3068\u3082\u3044\u3046\u3002\u30E8\u30EB\u30B2\u30F3\u30FB\u30DA\u30C0\u30FC\u30BB\u30F3\u30FB\u30B0\u30E9\u30E0\u304A\u3088\u3073\u30A8\u30EB\u30CF\u30EB\u30C8\u30FB\u30B7\u30E5\u30DF\u30C3\u30C8\u306B\u3061\u306A\u3093\u3067\u540D\u4ED8\u3051\u3089\u308C\u305F\u3002\u5909\u63DB\u884C\u5217\u306F\u4E0A\u4E09\u89D2\u884C\u5217\u306B\u53D6\u308B\u3053\u3068\u304C\u3067\u304D\u308B\u3002\u6B63\u898F\u5316\u3059\u308B\u5DE5\u7A0B\u3092\u7701\u7565\u3059\u308B\u3068\u3001\u5FC5\u305A\u3057\u3082\u6B63\u898F\u3067\u306A\u3044\u76F4\u4EA4\u7CFB\u3092\u5F97\u308B\u3053\u3068\u304C\u3067\u304D\u308B\u3002"@ja . . . "Ortogonalizzazione di Gram-Schmidt"@it . .