. . . . "7897"^^ . "En math\u00E9matiques, le th\u00E9or\u00E8me de Midy, d\u00FB au math\u00E9maticien fran\u00E7ais , est un \u00E9nonc\u00E9 concernant le d\u00E9veloppement d\u00E9cimal p\u00E9riodique d'une fraction a/p (comprise, sans perte de g\u00E9n\u00E9ralit\u00E9, entre 0 et 1), o\u00F9 p est un nombre premier (diff\u00E9rent de 2 et 5) tel que la p\u00E9riode soit paire. Une telle fraction s'\u00E9crit et le th\u00E9or\u00E8me \u00E9tablit que les chiffres dans la deuxi\u00E8me moiti\u00E9 de la p\u00E9riode sont les compl\u00E9ments \u00E0 9 de ceux qui leur correspondent dans la premi\u00E8re moiti\u00E9. En d'autres termes : ou encore : Par exemple, On peut donner des preuves exp\u00E9ditives de ce th\u00E9or\u00E8me en utilisant la th\u00E9orie des groupes. On peut aussi le d\u00E9montrer par des calculs d'alg\u00E8bre \u00E9l\u00E9mentaire et de congruence sur les entiers."@fr . . "4915939"^^ . . . "In mathematics, Midy's theorem, named after French mathematician E. Midy, is a statement about the decimal expansion of fractions a/p where p is a prime and a/p has a repeating decimal expansion with an even period (sequence in the OEIS). If the period of the decimal representation of a/p is 2n, so that then the digits in the second half of the repeating decimal period are the 9s complement of the corresponding digits in its first half. In other words, For example,"@en . . . "MidysTheorem"@en . "En math\u00E9matiques, le th\u00E9or\u00E8me de Midy, d\u00FB au math\u00E9maticien fran\u00E7ais , est un \u00E9nonc\u00E9 concernant le d\u00E9veloppement d\u00E9cimal p\u00E9riodique d'une fraction a/p (comprise, sans perte de g\u00E9n\u00E9ralit\u00E9, entre 0 et 1), o\u00F9 p est un nombre premier (diff\u00E9rent de 2 et 5) tel que la p\u00E9riode soit paire. Une telle fraction s'\u00E9crit et le th\u00E9or\u00E8me \u00E9tablit que les chiffres dans la deuxi\u00E8me moiti\u00E9 de la p\u00E9riode sont les compl\u00E9ments \u00E0 9 de ceux qui leur correspondent dans la premi\u00E8re moiti\u00E9. En d'autres termes : ou encore : Par exemple,"@fr . . . . . "\u0422\u0435\u043E\u0440\u0435\u043C\u0430 \u041C\u0438\u0434\u0438 \u2014 \u0442\u0435\u043E\u0440\u0435\u043C\u0430 \u0432 \u043C\u0430\u0442\u0435\u043C\u0430\u0442\u0438\u043A\u0435, \u043D\u0430\u0437\u0432\u0430\u043D\u043D\u0430\u044F \u0432 \u0447\u0435\u0441\u0442\u044C \u0444\u0440\u0430\u043D\u0446\u0443\u0437\u0441\u043A\u043E\u0433\u043E \u043C\u0430\u0442\u0435\u043C\u0430\u0442\u0438\u043A\u0430 \u041C\u0438\u0434\u0438 (M. E. Midy), \u0443\u0442\u0432\u0435\u0440\u0436\u0434\u0430\u0435\u0442, \u0447\u0442\u043E \u0435\u0441\u043B\u0438 \u0432 \u0434\u0435\u0441\u044F\u0442\u0438\u0447\u043D\u043E\u0439 \u0437\u0430\u043F\u0438\u0441\u0438 \u0434\u0440\u043E\u0431\u0438 (\u0433\u0434\u0435 \u2014 \u043F\u0440\u043E\u0441\u0442\u043E\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043B\u043E) \u0434\u043B\u0438\u043D\u0430 \u0437\u0430\u043F\u0438\u0441\u0438 \u043F\u0435\u0440\u0438\u043E\u0434\u0430 \u0434\u0440\u043E\u0431\u0438 \u0441\u043E\u0441\u0442\u043E\u0438\u0442 \u0438\u0437 \u0446\u0438\u0444\u0440, \u0442\u043E \u0435\u0441\u0442\u044C: \u0442\u043E \u0414\u0440\u0443\u0433\u0438\u043C\u0438 \u0441\u043B\u043E\u0432\u0430\u043C\u0438, \u0441\u0443\u043C\u043C\u0430 \u0446\u0438\u0444\u0440\u044B \u0432 \u0434\u0435\u0441\u044F\u0442\u0438\u0447\u043D\u043E\u0439 \u0437\u0430\u043F\u0438\u0441\u0438 \u043F\u0435\u0440\u0432\u043E\u0439 \u043F\u043E\u043B\u043E\u0432\u0438\u043D\u044B \u043F\u0435\u0440\u0438\u043E\u0434\u0430 \u0438 \u0441\u043E\u043E\u0442\u0432\u0435\u0442\u0441\u0442\u0432\u0443\u044E\u0449\u0435\u0439 \u0446\u0438\u0444\u0440\u044B \u0432\u043E \u0432\u0442\u043E\u0440\u043E\u0439 \u043F\u043E\u043B\u043E\u0432\u0438\u043D\u0435 \u0440\u0430\u0432\u043D\u0430 9. \u041D\u0430\u043F\u0440\u0438\u043C\u0435\u0440, \u0438"@ru . . "\u0422\u0435\u043E\u0440\u0435\u043C\u0430 \u041C\u0438\u0434\u0438"@ru . . . . . . . . . "In mathematics, Midy's theorem, named after French mathematician E. Midy, is a statement about the decimal expansion of fractions a/p where p is a prime and a/p has a repeating decimal expansion with an even period (sequence in the OEIS). If the period of the decimal representation of a/p is 2n, so that then the digits in the second half of the repeating decimal period are the 9s complement of the corresponding digits in its first half. In other words, For example,"@en . "\u0422\u0435\u043E\u0440\u0435\u043C\u0430 \u041C\u0438\u0434\u0438 \u2014 \u0442\u0435\u043E\u0440\u0435\u043C\u0430 \u0432 \u043C\u0430\u0442\u0435\u043C\u0430\u0442\u0438\u043A\u0435, \u043D\u0430\u0437\u0432\u0430\u043D\u043D\u0430\u044F \u0432 \u0447\u0435\u0441\u0442\u044C \u0444\u0440\u0430\u043D\u0446\u0443\u0437\u0441\u043A\u043E\u0433\u043E \u043C\u0430\u0442\u0435\u043C\u0430\u0442\u0438\u043A\u0430 \u041C\u0438\u0434\u0438 (M. E. Midy), \u0443\u0442\u0432\u0435\u0440\u0436\u0434\u0430\u0435\u0442, \u0447\u0442\u043E \u0435\u0441\u043B\u0438 \u0432 \u0434\u0435\u0441\u044F\u0442\u0438\u0447\u043D\u043E\u0439 \u0437\u0430\u043F\u0438\u0441\u0438 \u0434\u0440\u043E\u0431\u0438 (\u0433\u0434\u0435 \u2014 \u043F\u0440\u043E\u0441\u0442\u043E\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043B\u043E) \u0434\u043B\u0438\u043D\u0430 \u0437\u0430\u043F\u0438\u0441\u0438 \u043F\u0435\u0440\u0438\u043E\u0434\u0430 \u0434\u0440\u043E\u0431\u0438 \u0441\u043E\u0441\u0442\u043E\u0438\u0442 \u0438\u0437 \u0446\u0438\u0444\u0440, \u0442\u043E \u0435\u0441\u0442\u044C: \u0442\u043E \u0414\u0440\u0443\u0433\u0438\u043C\u0438 \u0441\u043B\u043E\u0432\u0430\u043C\u0438, \u0441\u0443\u043C\u043C\u0430 \u0446\u0438\u0444\u0440\u044B \u0432 \u0434\u0435\u0441\u044F\u0442\u0438\u0447\u043D\u043E\u0439 \u0437\u0430\u043F\u0438\u0441\u0438 \u043F\u0435\u0440\u0432\u043E\u0439 \u043F\u043E\u043B\u043E\u0432\u0438\u043D\u044B \u043F\u0435\u0440\u0438\u043E\u0434\u0430 \u0438 \u0441\u043E\u043E\u0442\u0432\u0435\u0442\u0441\u0442\u0432\u0443\u044E\u0449\u0435\u0439 \u0446\u0438\u0444\u0440\u044B \u0432\u043E \u0432\u0442\u043E\u0440\u043E\u0439 \u043F\u043E\u043B\u043E\u0432\u0438\u043D\u0435 \u0440\u0430\u0432\u043D\u0430 9. \u041D\u0430\u043F\u0440\u0438\u043C\u0435\u0440, \u0438"@ru . "Stelling van Midy"@nl . . . . . . . "1123375916"^^ . "\u7C73\u8FEA\u5B9A\u7406\u8AAA\u660E\u5982\u679C\u5C06\u5316\u4E3Ab\u8FDB\u5236\u5C0F\u6570\uFF08\u5176\u4E2Dp\u4E3A\u8D28\u6570\uFF0Ca\u662F\u5C0F\u4E8Ep\u7684\u6B63\u6574\u6570\uFF09\uFF0C\u4E14\u5C0F\u6570\u7684\u5FAA\u73AF\u8282\u957F\u5EA6\u662F\u5076\u6570\uFF0C\u5219\u6709\u4EE5\u4E0B\u6027\u8D28\uFF1A \n* \u82E5\u5C07\u9019\u500B\u5206\u6578\u7528\u5FAA\u74B0\u5C0F\u6578\u5BEB\u6210\uFF0C\u5219 \n* \n* \u9019\u500B\u5B9A\u7406\u9084\u53EF\u518D\u63A8\u5EE3\u4E3A\u5E7F\u4E49\u7C73\u8FEA\u5B9A\u7406\uFF1A\u82E5\u628A\u957F\u5EA62n\u7684\u5FAA\u73AF\u8282\u5212\u5206\u4E3A\u957F\u5EA6\u4E3Ak\u7684\u4E2A\u7EC4\uFF0C\u5373\uFF0C\u5219\u662F\u7684\u500D\u6578\u3002"@zh . . . "Em matem\u00E1tica, o teorema de Midy, em homenagem ao matem\u00E1tico franc\u00EAs E. Midy, \u00E9 uma declara\u00E7\u00E3o sobre a expans\u00E3o decimal das fra\u00E7\u00F5es a/p onde p \u00E9 primo e a/p tem uma expans\u00E3o decimal peri\u00F3dica com um per\u00EDodo par (sequ\u00EAncia no OEIS). Se o per\u00EDodo da representa\u00E7\u00E3o decimal de a/p \u00E9 2n, de modo que ent\u00E3o os d\u00EDgitos na segunda metade do per\u00EDodo decimal peri\u00F3dico s\u00E3o o dos d\u00EDgitos correspondentes em sua primeira metade. Em outras palavras, Por exemplo,"@pt . . . . . "Midy's theorem"@en . . . "De stelling van Midy is een stelling uit de getaltheorie, genoemd naar de Franse wiskundige , die ze in 1836 publiceerde. De stelling zegt: Indien de decimale expansie van een niet-vereenvoudigbare breuk een repeterend gedeelte heeft dat bestaat uit een even aantal cijfers , dan is de som van de twee helften van dat repeterende gedeelte gelijk aan (een getal met enkel negens) indien: \n* ofwel een priemgetal is; \n* ofwel een macht van een priemgetal is; \n* ofwel de grootste gemene deler van en gelijk is aan 1."@nl . . "Midy's Theorem"@en . "Em matem\u00E1tica, o teorema de Midy, em homenagem ao matem\u00E1tico franc\u00EAs E. Midy, \u00E9 uma declara\u00E7\u00E3o sobre a expans\u00E3o decimal das fra\u00E7\u00F5es a/p onde p \u00E9 primo e a/p tem uma expans\u00E3o decimal peri\u00F3dica com um per\u00EDodo par (sequ\u00EAncia no OEIS). Se o per\u00EDodo da representa\u00E7\u00E3o decimal de a/p \u00E9 2n, de modo que ent\u00E3o os d\u00EDgitos na segunda metade do per\u00EDodo decimal peri\u00F3dico s\u00E3o o dos d\u00EDgitos correspondentes em sua primeira metade. Em outras palavras, Por exemplo,"@pt . . . . . "\u7C73\u8FEA\u5B9A\u7406\u8AAA\u660E\u5982\u679C\u5C06\u5316\u4E3Ab\u8FDB\u5236\u5C0F\u6570\uFF08\u5176\u4E2Dp\u4E3A\u8D28\u6570\uFF0Ca\u662F\u5C0F\u4E8Ep\u7684\u6B63\u6574\u6570\uFF09\uFF0C\u4E14\u5C0F\u6570\u7684\u5FAA\u73AF\u8282\u957F\u5EA6\u662F\u5076\u6570\uFF0C\u5219\u6709\u4EE5\u4E0B\u6027\u8D28\uFF1A \n* \u82E5\u5C07\u9019\u500B\u5206\u6578\u7528\u5FAA\u74B0\u5C0F\u6578\u5BEB\u6210\uFF0C\u5219 \n* \n* \u9019\u500B\u5B9A\u7406\u9084\u53EF\u518D\u63A8\u5EE3\u4E3A\u5E7F\u4E49\u7C73\u8FEA\u5B9A\u7406\uFF1A\u82E5\u628A\u957F\u5EA62n\u7684\u5FAA\u73AF\u8282\u5212\u5206\u4E3A\u957F\u5EA6\u4E3Ak\u7684\u4E2A\u7EC4\uFF0C\u5373\uFF0C\u5219\u662F\u7684\u500D\u6578\u3002"@zh . . . . "De stelling van Midy is een stelling uit de getaltheorie, genoemd naar de Franse wiskundige , die ze in 1836 publiceerde. De stelling zegt: Indien de decimale expansie van een niet-vereenvoudigbare breuk een repeterend gedeelte heeft dat bestaat uit een even aantal cijfers , dan is de som van de twee helften van dat repeterende gedeelte gelijk aan (een getal met enkel negens) indien: \n* ofwel een priemgetal is; \n* ofwel een macht van een priemgetal is; \n* ofwel de grootste gemene deler van en gelijk is aan 1."@nl . "Teorema de Midy"@pt . . "Th\u00E9or\u00E8me de Midy"@fr . . . . . . . "\u7C73\u8FEA\u5B9A\u7406"@zh . . .