. "In de groepentheorie, een onderdeel van de wiskunde, is een permutatiegroep een groep , waarvan de elementen permutaties zijn van de elementen van een verzameling . Een permutatie is een bijectie tussen en zichzelf. De groepsbewerking in een permutatiegroep is de samenstelling van de permutaties. De groep van alle permutaties van heet de symmetrische groep van . Deze kan worden geschreven als . Aangezien alle permutaties van bevat, is iedere permutatiegroep over een ondergroep van . Als het alleen gaat om de groepsstructuur, is bij een eindige verzameling alleen het aantal elementen van belang. In dat geval, of als verzameling uit de context duidelijk is, wordt de symmetrische groep van elementen aangeduid met . De theorie van de permutatiegroepen kent toepassingen in de studie van symmetrie\u00EBn, de combinatoriek en vele andere takken van de wiskunde, de natuurkunde en de scheikunde."@nl . "\u0632\u0645\u0631\u0629 \u062A\u0628\u062F\u064A\u0644\u0627\u062A"@ar . . . "En matem\u00E0tiques, un grup de permutacions \u00E9s un grup G els elements del qual s\u00F3n permutacions d'un conjunt M donat, juntament amb l'operaci\u00F3 de grup definida com la composici\u00F3 de permutacions de G (vistes com a funcions bijectives del conjunt M en ell mateix). El grup de totes les permutacions d'un conjunt M \u00E9s el grup sim\u00E8tric de M, sovint denotat per Sim(M). El terme grup de permutacions \u00E9s un subgrup del grup sim\u00E8tric. Si M = {1,2,...,n}, llavors Sim(M), el grup sim\u00E8tric de n elements, s'acostuma a simbolitzar Sn."@ca . . . . . . . . . "En permutationsgrupp \u00E4r inom matematik, specifikt gruppteori, en grupp best\u00E5ende av permutationer (bijektiva funktioner fr\u00E5n m\u00E4ngden till sig sj\u00E4lv) p\u00E5 n\u00E5gon m\u00E4ngd d\u00E4r gruppoperationen \u00E4r permutationsmultiplikation. Enligt Cayleys sats \u00E4r varje grupp isomorf med n\u00E5gon permutationsgrupp. Vidare, om en permutationsgrupp best\u00E5r av permutationer en m\u00E4ngd X \u00E4r det en delgrupp av den symmetriska gruppen \u00F6ver X, som best\u00E5r av alla permutationer p\u00E5 X."@sv . . "En matem\u00E0tiques, un grup de permutacions \u00E9s un grup G els elements del qual s\u00F3n permutacions d'un conjunt M donat, juntament amb l'operaci\u00F3 de grup definida com la composici\u00F3 de permutacions de G (vistes com a funcions bijectives del conjunt M en ell mateix). El grup de totes les permutacions d'un conjunt M \u00E9s el grup sim\u00E8tric de M, sovint denotat per Sim(M). El terme grup de permutacions \u00E9s un subgrup del grup sim\u00E8tric. Si M = {1,2,...,n}, llavors Sim(M), el grup sim\u00E8tric de n elements, s'acostuma a simbolitzar Sn. La forma en la qual els elements d'un grup de permutacions permuten els elements del conjunt s'anomena acci\u00F3 de grup. Les accions de grup tenen aplicacions en l'estudi de simetries, combinat\u00F2ria i altres branques de les matem\u00E0tiques, la f\u00EDsica i la qu\u00EDmica."@ca . . . . . . . . . . "\u6570\u5B66\u4E0A\uFF0C\u4E00\u4E2A\u7ED9\u5B9A\u96C6\u4E0A\uFF0C\u6240\u6709\u5230\u81EA\u8EAB\u7684\u53EF\u9006\u6620\u5C04\u6784\u6210\u7684\u96C6\u5408\u5173\u4E8E\u6620\u5C04\u7684\u5408\u6210\u6784\u6210\u4E00\u4E2A\u7FA4\uFF0C\u79F0\u4E3A\u7684\u5BF9\u79F0\u7FA4\uFF0C\u8BB0\u4E3A\u3002\u7684\u4EFB\u4E00\u5B50\u7FA4\u79F0\u4E3A\u4E0A\u7684\u53D8\u6362\u7FA4\u3002\u5982\u679C\u662F\u5305\u542B\u4E2A\u5143\u7D20\u7684\u6709\u9650\u96C6\uFF0C\u79F0\u5176\u5230\u81EA\u8EAB\u7684\u53EF\u9006\u6620\u5C04\u4E3A\u9636\u7F6E\u6362\uFF08\u82F1\u8BED\uFF1Apermutation\uFF09\u3002\u5176\u5BF9\u79F0\u7FA4\u79F0\u4E3A\u9636\u5BF9\u79F0\u7FA4\uFF08\u82F1\u8BED\uFF1Asysmmetric group of degree n\uFF09\uFF0C\u5E76\u628A\u8BB0\u4E3A\u3002\u540C\u65F6\u79F0\u7684\u4EFB\u4E00\u5B50\u7FA4\u4E3A\u7F6E\u6362\u7FA4\u3002 \u7F6E\u6362\u7FA4\u5230\u88AB\u7F6E\u6362\u7684\u5143\u7D20\u7684\u5E94\u7528\u79F0\u4E3A\u7FA4\u4F5C\u7528\uFF1B\u5B83\u5728\u5BF9\u79F0\u6027\u548C\u7EC4\u5408\u8BBA\u4EE5\u53CA\u6570\u5B66\u7684\u5176\u4ED6\u5F88\u591A\u5206\u652F\u4E2D\u6709\u5E94\u7528\uFF0C\u4E5F\u662F\u7814\u7A76\u6676\u4F53\u7684\u7ED3\u6784\u7B49\u6240\u4E0D\u53EF\u6216\u7F3A\u7684\u5DE5\u5177\u3002"@zh . . . . . . "\uC21C\uC5F4\uAD70"@ko . "En th\u00E9orie des groupes (math\u00E9matiques), un groupe de permutations d'un ensemble X est par d\u00E9finition un sous-groupe du groupe sym\u00E9trique SX. On parle d'un groupe de permutations de X ou, s'il n'est pas n\u00E9cessaire de pr\u00E9ciser l'ensemble X, d'un groupe de permutations."@fr . "\u0641\u064A \u0627\u0644\u0631\u064A\u0627\u0636\u064A\u0627\u062A\u060C \u0632\u0645\u0631\u0629 \u062A\u0628\u062F\u064A\u0644\u0627\u062A (\u0628\u0627\u0644\u0625\u0646\u062C\u0644\u064A\u0632\u064A\u0629: Permutation group)\u200F \u0647\u064A \u0632\u0645\u0631\u0629 G \u0639\u0646\u0627\u0635\u0631\u0647\u0627 \u062A\u0628\u062F\u064A\u0644\u0627\u062A \u0644\u0645\u062C\u0645\u0648\u0639\u0629 \u0645\u0627 M \u0648\u0627\u0644\u0639\u0645\u0644\u064A\u0629 \u0627\u0644\u0645\u0639\u0631\u0650\u0641\u0629 \u0644\u0644\u0632\u0645\u0631\u0629 \u0647\u064A \u062A\u0631\u0643\u064A\u0628 \u0647\u0624\u0644\u0627\u0621 \u0627\u0644\u062A\u0628\u062F\u064A\u0644\u0627\u062A \u0641\u064A G .\u0647\u0624\u0644\u0627\u0621 \u0627\u0644\u062A\u0628\u062F\u064A\u0644\u0627\u062A \u0647\u0646 \u062A\u0642\u0627\u0628\u0644\u0627\u062A \u0645\u0646 \u0627\u0644\u0645\u062C\u0645\u0648\u0639\u0629 M \u0625\u0644\u0649 \u0627\u0644\u0645\u062C\u0645\u0648\u0639\u0629 M \u0646\u0641\u0633\u0647\u0627\u060C \u0644\u0627 \u0623\u0642\u0644 \u0648\u0644\u0627 \u0623\u0643\u062B\u0631. \u0632\u0645\u0631\u0629 \u062C\u0645\u064A\u0639 \u0627\u0644\u062A\u0628\u062F\u064A\u0644\u0627\u062A \u0627\u0644\u0645\u0639\u0631\u0641\u0629 \u0639\u0644\u0649 \u0645\u062C\u0645\u0648\u0639\u0629 \u0645\u0627 M\u060C \u0647\u064A \u0627\u0644\u0632\u0645\u0631\u0629 \u0627\u0644\u0645\u062A\u0645\u0627\u062B\u0644\u0629 \u0644 M\u060C \u0648\u0627\u0644\u062A\u064A \u0639\u0627\u062F\u0629 \u0645\u0627 \u064A\u0631\u0645\u0632 \u0625\u0644\u064A\u0647\u0627 \u0628 Sym(M). \u064A\u0634\u064A\u0631 \u0627\u0644\u0645\u0635\u0637\u0644\u062D \u0632\u0645\u0631\u0629 \u062A\u0628\u062F\u064A\u0644\u0627\u062A \u0625\u0630\u0646\u060C \u0625\u0644\u0649 \u0632\u0645\u0631\u0629 \u062C\u0632\u0626\u064A\u0629 \u0645\u0646 \u0627\u0644\u0632\u0645\u0631\u0629 \u0627\u0644\u0645\u062A\u0645\u0627\u062B\u0644\u0629. \u0646\u0638\u0631\u0627 \u0625\u0644\u0649 \u0645\u0628\u0631\u0647\u0646\u0629 \u0643\u0627\u064A\u0644\u064A\u060C \u0643\u0644 \u0632\u0645\u0631\u0629 \u0647\u064A \u0641\u064A \u062A\u0633\u0627\u0648\u064D \u0644\u0644\u0634\u0643\u0644 \u0645\u0639 \u0632\u0645\u0631\u0629 \u062A\u0628\u062F\u064A\u0644\u0627\u062A\u064D \u0645\u0627. \u0627\u0644\u0637\u0631\u064A\u0642\u0629 \u0627\u0644\u062A\u064A \u062A\u064F\u0628\u062F\u0644 \u0628\u0647\u0627 \u0639\u0646\u0627\u0635\u0631 \u0632\u0645\u0631\u0629 \u062A\u0628\u062F\u064A\u0644\u0627\u062A \u0645\u0627 \u0639\u0646\u0627\u0635\u0631 \u0645\u062C\u0645\u0648\u0639\u0629 \u0645\u0627 \u0645\u0639 \u0628\u0639\u0636\u0647\u0627 \u0627\u0644\u0628\u0639\u0636 \u062A\u0633\u0645\u0649 ."@ar . . . . . . . . . "24634"^^ . . . "Grupa permutacji \u2013 grupa wszystkich permutacji ustalonego zbioru sko\u0144czonego z dzia\u0142aniem sk\u0142adania pe\u0142ni\u0105cym rol\u0119 dzia\u0142ania grupowego (i to\u017Csamo\u015Bci\u0105 jako elementem neutralnym; element odwrotny dany jest jako permutacja odwrotna). Liczba element\u00F3w (tj. rz\u0105d) grupy permutacji zbioru -elementowego wynosi (zob. silnia). Og\u00F3lnie ka\u017Cd\u0105 grup\u0119 mo\u017Cna rozumie\u0107 jako grup\u0119 permutacji element\u00F3w zbioru, na kt\u00F3rym zosta\u0142a okre\u015Blona (tzw. twierdzenie Cayleya): w zwi\u0105zku z tym wszystkie wyniki dotycz\u0105ce grup permutacji dotycz\u0105 r\u00F3wnie\u017C dowolnych grup sko\u0144czonych."@pl . . "Permutationsgrupp"@sv . . . . . . . . . . . "Grupa permutacji"@pl . . . . "23927"^^ . . "In de groepentheorie, een onderdeel van de wiskunde, is een permutatiegroep een groep , waarvan de elementen permutaties zijn van de elementen van een verzameling . Een permutatie is een bijectie tussen en zichzelf. De groepsbewerking in een permutatiegroep is de samenstelling van de permutaties. De groep van alle permutaties van heet de symmetrische groep van . Deze kan worden geschreven als . Aangezien alle permutaties van bevat, is iedere permutatiegroep over een ondergroep van ."@nl . . "p/p072280"@en . . . . "In der Gruppentheorie nennt man eine Gruppe von Permutationen einer endlichen Menge mit der Hintereinanderausf\u00FChrung als Gruppenverkn\u00FCpfung Permutationsgruppe. Die Gruppe aller Permutationen von nennt man ihre symmetrische Gruppe . Die Permutationsgruppen sind in diesem Sinne genau die Untergruppen der symmetrischen Gruppen. Nach dem Satz von Cayley ist jede endliche Gruppe zu einer Untergruppe der symmetrischen Gruppe, also zu einer Permutationsgruppe isomorph. Insofern \u201Eist\u201C jede endliche Gruppe eine Permutationsgruppe. Sieht man die endliche Gruppe als abstrakte algebraische Struktur an, dann sagt man daher genauer: operiert als Permutationsgruppe auf der Menge . Damit wird deutlich, dass es sich bei dieser treuen Permutationsdarstellung um eine eindeutige Beschreibung der Gruppenstruktur handelt, neben der auch andere Beschreibungen m\u00F6glich sind."@de . . . "Dalam matematika, khususnya aljabar, suatu grup permutasi adalah suatu grup dengan unsur-unsurnya adalah permutasi dari suatu himpunan dan operasi grupnya adalah komposisi dari permutasi. Grup permutasi tersebut dinotasikan sebagai Sym (notasi Sym di sini bermakna Symmetric). Khusus untuk himpunan , grup permutasi tersebut umumnya dinotasikan sebagai ."@in . . "Permutation group"@en . . . "\u6570\u5B66\u4E0A\uFF0C\u4E00\u4E2A\u7ED9\u5B9A\u96C6\u4E0A\uFF0C\u6240\u6709\u5230\u81EA\u8EAB\u7684\u53EF\u9006\u6620\u5C04\u6784\u6210\u7684\u96C6\u5408\u5173\u4E8E\u6620\u5C04\u7684\u5408\u6210\u6784\u6210\u4E00\u4E2A\u7FA4\uFF0C\u79F0\u4E3A\u7684\u5BF9\u79F0\u7FA4\uFF0C\u8BB0\u4E3A\u3002\u7684\u4EFB\u4E00\u5B50\u7FA4\u79F0\u4E3A\u4E0A\u7684\u53D8\u6362\u7FA4\u3002\u5982\u679C\u662F\u5305\u542B\u4E2A\u5143\u7D20\u7684\u6709\u9650\u96C6\uFF0C\u79F0\u5176\u5230\u81EA\u8EAB\u7684\u53EF\u9006\u6620\u5C04\u4E3A\u9636\u7F6E\u6362\uFF08\u82F1\u8BED\uFF1Apermutation\uFF09\u3002\u5176\u5BF9\u79F0\u7FA4\u79F0\u4E3A\u9636\u5BF9\u79F0\u7FA4\uFF08\u82F1\u8BED\uFF1Asysmmetric group of degree n\uFF09\uFF0C\u5E76\u628A\u8BB0\u4E3A\u3002\u540C\u65F6\u79F0\u7684\u4EFB\u4E00\u5B50\u7FA4\u4E3A\u7F6E\u6362\u7FA4\u3002 \u7F6E\u6362\u7FA4\u5230\u88AB\u7F6E\u6362\u7684\u5143\u7D20\u7684\u5E94\u7528\u79F0\u4E3A\u7FA4\u4F5C\u7528\uFF1B\u5B83\u5728\u5BF9\u79F0\u6027\u548C\u7EC4\u5408\u8BBA\u4EE5\u53CA\u6570\u5B66\u7684\u5176\u4ED6\u5F88\u591A\u5206\u652F\u4E2D\u6709\u5E94\u7528\uFF0C\u4E5F\u662F\u7814\u7A76\u6676\u4F53\u7684\u7ED3\u6784\u7B49\u6240\u4E0D\u53EF\u6216\u7F3A\u7684\u5DE5\u5177\u3002"@zh . . . . "Grupo de permuta\u00E7\u00E3o"@pt . "Grup de permutacions"@ca . . . . . . "\u0641\u064A \u0627\u0644\u0631\u064A\u0627\u0636\u064A\u0627\u062A\u060C \u0632\u0645\u0631\u0629 \u062A\u0628\u062F\u064A\u0644\u0627\u062A (\u0628\u0627\u0644\u0625\u0646\u062C\u0644\u064A\u0632\u064A\u0629: Permutation group)\u200F \u0647\u064A \u0632\u0645\u0631\u0629 G \u0639\u0646\u0627\u0635\u0631\u0647\u0627 \u062A\u0628\u062F\u064A\u0644\u0627\u062A \u0644\u0645\u062C\u0645\u0648\u0639\u0629 \u0645\u0627 M \u0648\u0627\u0644\u0639\u0645\u0644\u064A\u0629 \u0627\u0644\u0645\u0639\u0631\u0650\u0641\u0629 \u0644\u0644\u0632\u0645\u0631\u0629 \u0647\u064A \u062A\u0631\u0643\u064A\u0628 \u0647\u0624\u0644\u0627\u0621 \u0627\u0644\u062A\u0628\u062F\u064A\u0644\u0627\u062A \u0641\u064A G .\u0647\u0624\u0644\u0627\u0621 \u0627\u0644\u062A\u0628\u062F\u064A\u0644\u0627\u062A \u0647\u0646 \u062A\u0642\u0627\u0628\u0644\u0627\u062A \u0645\u0646 \u0627\u0644\u0645\u062C\u0645\u0648\u0639\u0629 M \u0625\u0644\u0649 \u0627\u0644\u0645\u062C\u0645\u0648\u0639\u0629 M \u0646\u0641\u0633\u0647\u0627\u060C \u0644\u0627 \u0623\u0642\u0644 \u0648\u0644\u0627 \u0623\u0643\u062B\u0631. \u0632\u0645\u0631\u0629 \u062C\u0645\u064A\u0639 \u0627\u0644\u062A\u0628\u062F\u064A\u0644\u0627\u062A \u0627\u0644\u0645\u0639\u0631\u0641\u0629 \u0639\u0644\u0649 \u0645\u062C\u0645\u0648\u0639\u0629 \u0645\u0627 M\u060C \u0647\u064A \u0627\u0644\u0632\u0645\u0631\u0629 \u0627\u0644\u0645\u062A\u0645\u0627\u062B\u0644\u0629 \u0644 M\u060C \u0648\u0627\u0644\u062A\u064A \u0639\u0627\u062F\u0629 \u0645\u0627 \u064A\u0631\u0645\u0632 \u0625\u0644\u064A\u0647\u0627 \u0628 Sym(M). \u064A\u0634\u064A\u0631 \u0627\u0644\u0645\u0635\u0637\u0644\u062D \u0632\u0645\u0631\u0629 \u062A\u0628\u062F\u064A\u0644\u0627\u062A \u0625\u0630\u0646\u060C \u0625\u0644\u0649 \u0632\u0645\u0631\u0629 \u062C\u0632\u0626\u064A\u0629 \u0645\u0646 \u0627\u0644\u0632\u0645\u0631\u0629 \u0627\u0644\u0645\u062A\u0645\u0627\u062B\u0644\u0629. \u0646\u0638\u0631\u0627 \u0625\u0644\u0649 \u0645\u0628\u0631\u0647\u0646\u0629 \u0643\u0627\u064A\u0644\u064A\u060C \u0643\u0644 \u0632\u0645\u0631\u0629 \u0647\u064A \u0641\u064A \u062A\u0633\u0627\u0648\u064D \u0644\u0644\u0634\u0643\u0644 \u0645\u0639 \u0632\u0645\u0631\u0629 \u062A\u0628\u062F\u064A\u0644\u0627\u062A\u064D \u0645\u0627. \u0627\u0644\u0637\u0631\u064A\u0642\u0629 \u0627\u0644\u062A\u064A \u062A\u064F\u0628\u062F\u0644 \u0628\u0647\u0627 \u0639\u0646\u0627\u0635\u0631 \u0632\u0645\u0631\u0629 \u062A\u0628\u062F\u064A\u0644\u0627\u062A \u0645\u0627 \u0639\u0646\u0627\u0635\u0631 \u0645\u062C\u0645\u0648\u0639\u0629 \u0645\u0627 \u0645\u0639 \u0628\u0639\u0636\u0647\u0627 \u0627\u0644\u0628\u0639\u0636 \u062A\u0633\u0645\u0649 ."@ar . "In mathematics, a permutation group is a group G whose elements are permutations of a given set M and whose group operation is the composition of permutations in G (which are thought of as bijective functions from the set M to itself). The group of all permutations of a set M is the symmetric group of M, often written as Sym(M). The term permutation group thus means a subgroup of the symmetric group. If M = {1, 2, ..., n} then Sym(M) is usually denoted by Sn, and may be called the symmetric group on n letters. By Cayley's theorem, every group is isomorphic to some permutation group."@en . . . . . . . . . . "In der Gruppentheorie nennt man eine Gruppe von Permutationen einer endlichen Menge mit der Hintereinanderausf\u00FChrung als Gruppenverkn\u00FCpfung Permutationsgruppe. Die Gruppe aller Permutationen von nennt man ihre symmetrische Gruppe . Die Permutationsgruppen sind in diesem Sinne genau die Untergruppen der symmetrischen Gruppen."@de . . . "Dalam matematika, khususnya aljabar, suatu grup permutasi adalah suatu grup dengan unsur-unsurnya adalah permutasi dari suatu himpunan dan operasi grupnya adalah komposisi dari permutasi. Grup permutasi tersebut dinotasikan sebagai Sym (notasi Sym di sini bermakna Symmetric). Khusus untuk himpunan , grup permutasi tersebut umumnya dinotasikan sebagai ."@in . "En permutationsgrupp \u00E4r inom matematik, specifikt gruppteori, en grupp best\u00E5ende av permutationer (bijektiva funktioner fr\u00E5n m\u00E4ngden till sig sj\u00E4lv) p\u00E5 n\u00E5gon m\u00E4ngd d\u00E4r gruppoperationen \u00E4r permutationsmultiplikation. Enligt Cayleys sats \u00E4r varje grupp isomorf med n\u00E5gon permutationsgrupp. Vidare, om en permutationsgrupp best\u00E5r av permutationer en m\u00E4ngd X \u00E4r det en delgrupp av den symmetriska gruppen \u00F6ver X, som best\u00E5r av alla permutationer p\u00E5 X."@sv . . . . . . "Groupe de permutations"@fr . . . "1108508473"^^ . . . "In mathematics, a permutation group is a group G whose elements are permutations of a given set M and whose group operation is the composition of permutations in G (which are thought of as bijective functions from the set M to itself). The group of all permutations of a set M is the symmetric group of M, often written as Sym(M). The term permutation group thus means a subgroup of the symmetric group. If M = {1, 2, ..., n} then Sym(M) is usually denoted by Sn, and may be called the symmetric group on n letters. By Cayley's theorem, every group is isomorphic to some permutation group. The way in which the elements of a permutation group permute the elements of the set is called its group action. Group actions have applications in the study of symmetries, combinatorics and many other branches of mathematics, physics and chemistry."@en . "En th\u00E9orie des groupes (math\u00E9matiques), un groupe de permutations d'un ensemble X est par d\u00E9finition un sous-groupe du groupe sym\u00E9trique SX. On parle d'un groupe de permutations de X ou, s'il n'est pas n\u00E9cessaire de pr\u00E9ciser l'ensemble X, d'un groupe de permutations."@fr . . . "\u7F6E\u6362\u7FA4"@zh . . "Em matem\u00E1tica e, em particular, na teoria dos grupos, um grupo de permuta\u00E7\u00E3o \u00E9 um grupo cujos elementos s\u00E3o permuta\u00E7\u00F5es de elementos de um conjunto M, com a opera\u00E7\u00E3o bin\u00E1ria de composi\u00E7\u00E3o de fun\u00E7\u00F5es. O teorema de Cayley afirma que qualquer grupo \u00E9 isomorfo a um grupo de permuta\u00E7\u00F5es. O grupo sim\u00E9trico \u00E9 o grupo de todas as permuta\u00E7\u00F5es de um conjunto."@pt . "Em matem\u00E1tica e, em particular, na teoria dos grupos, um grupo de permuta\u00E7\u00E3o \u00E9 um grupo cujos elementos s\u00E3o permuta\u00E7\u00F5es de elementos de um conjunto M, com a opera\u00E7\u00E3o bin\u00E1ria de composi\u00E7\u00E3o de fun\u00E7\u00F5es. O teorema de Cayley afirma que qualquer grupo \u00E9 isomorfo a um grupo de permuta\u00E7\u00F5es. O grupo sim\u00E9trico \u00E9 o grupo de todas as permuta\u00E7\u00F5es de um conjunto."@pt . "Permutation group"@en . . . "Permutationsgruppe"@de . "Grupa permutacji \u2013 grupa wszystkich permutacji ustalonego zbioru sko\u0144czonego z dzia\u0142aniem sk\u0142adania pe\u0142ni\u0105cym rol\u0119 dzia\u0142ania grupowego (i to\u017Csamo\u015Bci\u0105 jako elementem neutralnym; element odwrotny dany jest jako permutacja odwrotna). Liczba element\u00F3w (tj. rz\u0105d) grupy permutacji zbioru -elementowego wynosi (zob. silnia). Grupy permutacji by\u0142y punktem wyj\u015Bcia teorii grup: zacz\u0119to je bada\u0107 w zwi\u0105zku z poszukiwaniem og\u00F3lnych rozwi\u0105za\u0144 r\u00F3wna\u0144 algebraicznych. Grupy symetryczne o wi\u0119cej ni\u017C dw\u00F3ch elementach nie s\u0105 przemienne (abelowe), a o wi\u0119cej ni\u017C czterech elementach nie s\u0105 rozwi\u0105zalne: zgodnie z teori\u0105 Galois jest to pow\u00F3d, dla kt\u00F3rego r\u00F3wnania algebraiczne stopnia wi\u0119kszego ni\u017C cztery nie maj\u0105 rozwi\u0105za\u0144 og\u00F3lnych (tzw. twierdzenie Abela-Ruffiniego). Og\u00F3lnie ka\u017Cd\u0105 grup\u0119 mo\u017Cna rozumie\u0107 jako grup\u0119 permutacji element\u00F3w zbioru, na kt\u00F3rym zosta\u0142a okre\u015Blona (tzw. twierdzenie Cayleya): w zwi\u0105zku z tym wszystkie wyniki dotycz\u0105ce grup permutacji dotycz\u0105 r\u00F3wnie\u017C dowolnych grup sko\u0144czonych."@pl . . . "Grup permutasi"@in . . "Permutatiegroep"@nl .