In algebra, casus irreducibilis (Latin for "the irreducible case") is one of the cases that may arise in solving polynomials of degree 3 or higher with integer coefficients algebraically (as opposed to numerically), i.e., by obtaining roots that are expressed with radicals. It shows that many algebraic numbers are real-valued but cannot be expressed in radicals without introducing complex numbers. The most notable occurrence of casus irreducibilis is in the case of cubic polynomials that have three real roots, which was proven by Pierre Wantzel in 1843.One can see whether a given cubic polynomial is in so-called casus irreducibilis by looking at the discriminant, via Cardano's formula.
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| - حالة غير قابلة للتبسيط (معادلات تكعيبية) (ar)
- Casus irreducibilis (de)
- Casus irreducibilis (es)
- Casus irreducibilis (en)
- Casus irreducibilis (fr)
- Casus irreducibilis (pt)
- Casus irreducibilis (ru)
- Casus irreducibilis (uk)
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| - في الجبر وبالتحديد في إطار محاولات حلحلة المعادلات التكعيبية، حالة غير قابلة للتبسيط (باللاتينية: Casus irreducibilis) (بالإنجليزية: The irreducible case) ، هي حالة من الحالات اللائي يظهرن أثناء حلحلة المعادلات من الدرجة الثالثة أو أكبر من ذلك بمعاملات صحيحة من أجل الحصول على أصفار لهذه المعادلة عُبر عنهن باستعمال الجذور النونية. (ar)
- In algebra, casus irreducibilis (Latin for "the irreducible case") is one of the cases that may arise in solving polynomials of degree 3 or higher with integer coefficients algebraically (as opposed to numerically), i.e., by obtaining roots that are expressed with radicals. It shows that many algebraic numbers are real-valued but cannot be expressed in radicals without introducing complex numbers. The most notable occurrence of casus irreducibilis is in the case of cubic polynomials that have three real roots, which was proven by Pierre Wantzel in 1843.One can see whether a given cubic polynomial is in so-called casus irreducibilis by looking at the discriminant, via Cardano's formula. (en)
- Na história da matemática, o casus irreducibilis ocorre na solução da equação do terceiro grau com coeficientes reais, quando ela tem três raízes reais distintas, ao se obter o método de solução desenvolvido por Scipione del Ferro, Tartaglia e Cardano. Estas equações não tem uma solução expressa através de radicais reais, porém existem outras soluções usando trigonometria (desenvolvida por François Viète) ou usando raízes cúbicas de números complexos (desenvolvida por Rafael Bombelli). (pt)
- Casus irreducibilis (с лат. — «неприводимый случай») — это случай, который может возникнуть при решении кубического уравнения с целыми коэффициентами, когда корни выражаются радикалами. А именно, если кубический многочлен является неприводимым над рациональными числами и имеет три вещественных корня, то для выражения корней через радикалы нужно вводить комплексно-значные выражения, даже если результирующие значения выражений вещественны. Это было доказано Пьером Ванцелем в 1843. (ru)
- Casus irreducibilis (лат., «випадок, що не зводиться») — це випадок, який може виникнути при розв'язанні кубічного рівняння з цілими коефіцієнтами, коли корені виражаються радикалами. А саме, якщо кубічний многочлен не зводиться над раціональними числами та має три дійсних кореня, то для вираження коренів через радикали потрібно вводити комплекснозначні вирази, навіть якщо результуючі значення виразів дійсні. Це було доведено П'єром Ванцелем в 1843 році. (uk)
- En álgebra, casus irreducibilis (expresión latina que se traduce como "caso irreducible") es uno de los casos que pueden surgir al intentar resolver una ecuación de tercer grado con coeficientes enteros, para obtener raíces que se expresan con raíces. O lo que es lo mismo, se dice que un polinomio de tercer grado se corresponde con un casus irreducibilis cuando posee tres raíces que son números reales, pero ninguna es un número racional. Esta propiedad fue probada por Pierre Wantzel en 1843. con a ≠ 0. Entonces, el discriminante D que aparece en la solución algebraica viene dado por (es)
- En algèbre, le casus irreducibilis (latin pour « cas irréductible ») désigne un cas apparaissant lors de la recherche des racines réelles d'un polynôme à coefficients entiers de degré 3 ou plus : c'est celui où les racines ne peuvent s'exprimer à l'aide de radicaux réels. Le casus irreducibilis le plus connu est celui des polynômes de degré 3 irréductibles dans les rationnels (impossibles à factoriser en polynômes de degré moindre) ayant trois racines réelles, cas qui a été prouvé par Pierre Wantzel en 1843. Alors : (fr)
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| - في الجبر وبالتحديد في إطار محاولات حلحلة المعادلات التكعيبية، حالة غير قابلة للتبسيط (باللاتينية: Casus irreducibilis) (بالإنجليزية: The irreducible case) ، هي حالة من الحالات اللائي يظهرن أثناء حلحلة المعادلات من الدرجة الثالثة أو أكبر من ذلك بمعاملات صحيحة من أجل الحصول على أصفار لهذه المعادلة عُبر عنهن باستعمال الجذور النونية. (ar)
- In algebra, casus irreducibilis (Latin for "the irreducible case") is one of the cases that may arise in solving polynomials of degree 3 or higher with integer coefficients algebraically (as opposed to numerically), i.e., by obtaining roots that are expressed with radicals. It shows that many algebraic numbers are real-valued but cannot be expressed in radicals without introducing complex numbers. The most notable occurrence of casus irreducibilis is in the case of cubic polynomials that have three real roots, which was proven by Pierre Wantzel in 1843.One can see whether a given cubic polynomial is in so-called casus irreducibilis by looking at the discriminant, via Cardano's formula. (en)
- En álgebra, casus irreducibilis (expresión latina que se traduce como "caso irreducible") es uno de los casos que pueden surgir al intentar resolver una ecuación de tercer grado con coeficientes enteros, para obtener raíces que se expresan con raíces. O lo que es lo mismo, se dice que un polinomio de tercer grado se corresponde con un casus irreducibilis cuando posee tres raíces que son números reales, pero ninguna es un número racional. Específicamente, si un polinomio cúbico es irreducible (no factorizable en polinomios de grado inferior) sobre los números racionales y tiene tres raíces reales, entonces, para expresar las raíces con radicales, se deben introducir expresiones con valores complejos, aunque las expresiones resultantes sean en última instancia, de valor real. Esta propiedad fue probada por Pierre Wantzel en 1843. Es posible determinar si un polinomio cúbico irreducible dado está en casus irreducibilis usando el discriminante D correspondiente a la ecuación de tercer grado. Sea la ecuación cúbica dada por con a ≠ 0. Entonces, el discriminante D que aparece en la solución algebraica viene dado por
* Si D < 0, entonces el polinomio tiene dos raíces complejas no reales, por lo que no se aplica el casus irreducibilis.
* Si D = 0, entonces hay tres raíces reales, y dos de ellas son iguales y pueden ser encontradas por el algoritmo de Euclides y por la fórmula cuadrática. Todas las raíces son reales y expresables por radicales reales. El polinomio no es irreducible.
* Si D > 0, entonces hay tres raíces reales distintas. Existe una raíz racional y se puede encontrar usando el teorema de la raíz racional, en cuyo caso el polinomio cúbico se puede factorizar en el producto de un polinomio lineal y un polinomio cuadrático, el último de los cuales se puede resolver mediante la fórmula cuadrática; o no es posible tal factorización, por lo que el polinomio es un "casus irreducibilis": todas las raíces son reales, pero requieren números complejos para expresarlas en radicales. (es)
- En algèbre, le casus irreducibilis (latin pour « cas irréductible ») désigne un cas apparaissant lors de la recherche des racines réelles d'un polynôme à coefficients entiers de degré 3 ou plus : c'est celui où les racines ne peuvent s'exprimer à l'aide de radicaux réels. Le casus irreducibilis le plus connu est celui des polynômes de degré 3 irréductibles dans les rationnels (impossibles à factoriser en polynômes de degré moindre) ayant trois racines réelles, cas qui a été prouvé par Pierre Wantzel en 1843. On peut obtenir le casus irreducibilis d'un polynôme de degré 3 : , via son discriminant . Alors :
* si , le polynôme a deux racines complexes non réelles, et la racine réelle s'exprime par radicaux via la formule de Cardan ;
* si , il y a trois racines réelles dont deux sont égales. La racine double, qui s'obtient par l'algorithme d'Euclide (recherche du PGCD de et ) est rationnelle et le polynôme n'est pas irréductible ; les deux autres racines sont solutions d'une équation du deuxième degré et sont donc exprimables par radicaux réels ;
* si , il y a trois racines réelles distinctes ;
* soit une racine rationnelle existe ; elle peut être obtenue par la recherche de racine "évidente", auquel cas le polynôme peut être factorisé en produit d'un polynôme rationnel du premier degré, et d'un polynôme rationnel du deuxième degré dont les racines s'expriment par radicaux ;
* soit il n'y a pas de racine rationnelle, et le polynôme est alors en casus irreducibilis : toutes les racines sont réelles mais nécessitent des nombres complexes pour être exprimées avec des radicaux. (fr)
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