Chebotarev's density theorem in algebraic number theory describes statistically the splitting of primes in a given Galois extension K of the field of rational numbers. Generally speaking, a prime integer will factor into several ideal primes in the ring of algebraic integers of K. There are only finitely many patterns of splitting that may occur. Although the full description of the splitting of every prime p in a general Galois extension is a major unsolved problem, the Chebotarev density theorem says that the frequency of the occurrence of a given pattern, for all primes p less than a large integer N, tends to a certain limit as N goes to infinity. It was proved by Nikolai Chebotaryov in his thesis in 1922, published in.
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| - Tschebotarjowscher Dichtigkeitssatz (de)
- Chebotarev's density theorem (en)
- Théorème de densité de Tchebotariov (fr)
- チェボタレフの密度定理 (ja)
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| - En théorie algébrique des nombres, le théorème de Tchebotariov, dû à Nikolai Tchebotariov et habituellement écrit théorème de Chebotarev, précise le théorème de la progression arithmétique de Dirichlet sur l'infinitude des nombres premiers en progression arithmétique : il affirme que, si a, q ≥ 1 sont deux entiers premiers entre eux, la densité naturelle de l'ensemble des nombres premiers congrus à a modulo q vaut 1/φ(q). (fr)
- 代数的整数論のチェボタレフの密度定理（チェボタレフのみつどていり、英: Chebotarev's density theorem）とは、有理数体 のガロア拡大 K における素数の分解の仕方について成り立つ統計的な法則を明らかにした定理である。一般に、素数はKの代数的整数の環でいくつかの理想因子に分解し、起こりうる分解のパターンは有限である。一般のガロア拡大において素数p がどう分解するか完全に記述することは大きな未解決問題であるが、整数N未満の素数 p で与えられたパターンで分解するものの割合は、Nを限りなく大きくしていったときある極限に収束することが証明された。これをチェボタレフの密度定理という。このことはニコライ・チェボタレフによって1922年に彼の学位論文にて証明され、 で公表された。 簡単な場合についてこの定理の内容を述べると、有理数体のn 次ガロア拡大である代数体Kにおいて完全分解する素数の素数全体の中での密度は 1/n である、となる。一般には、フロベニウス元と呼ばれるガロア群 Gal(K/Q) の元が（ほとんど）全ての素数に対して共役を除いて定まり、この不変量が素数の分解の仕方を決定している。このとき、密度定理の主張は、この不変量がガロア群の中で一様に漸近分布し、したがって k 個の元からなる共役類に入る頻度は漸近的には k/n である、というものである。 (ja)
- Chebotarev's density theorem in algebraic number theory describes statistically the splitting of primes in a given Galois extension K of the field of rational numbers. Generally speaking, a prime integer will factor into several ideal primes in the ring of algebraic integers of K. There are only finitely many patterns of splitting that may occur. Although the full description of the splitting of every prime p in a general Galois extension is a major unsolved problem, the Chebotarev density theorem says that the frequency of the occurrence of a given pattern, for all primes p less than a large integer N, tends to a certain limit as N goes to infinity. It was proved by Nikolai Chebotaryov in his thesis in 1922, published in. (en)
- Der tschebotarjowsche Dichtigkeitssatz (je nach Transkription auch Dichtigkeitssatz von Chebotarëv oder Tschebotareff) ist eine Verallgemeinerung des Satzes von Dirichlet über Primzahlen in arithmetischen Progressionen auf Galoiserweiterungen von Zahlkörpern. Im Falle einer abelschen Erweiterung von erhält man daraus den Satz zurück, dass die Menge der Primzahlen der Form , hat, wobei für die Eulersche Phi-Funktion steht. In seiner allgemeinen Form folgt daraus insbesondere der 1880 von Kronecker bewiesene Satz, dass genau der Primzahlen in einer gegebenen Galoiserweiterung von vom Grad sind. (de)
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| - Der tschebotarjowsche Dichtigkeitssatz (je nach Transkription auch Dichtigkeitssatz von Chebotarëv oder Tschebotareff) ist eine Verallgemeinerung des Satzes von Dirichlet über Primzahlen in arithmetischen Progressionen auf Galoiserweiterungen von Zahlkörpern. Im Falle einer abelschen Erweiterung von erhält man daraus den Satz zurück, dass die Menge der Primzahlen der Form , hat, wobei für die Eulersche Phi-Funktion steht. In seiner allgemeinen Form folgt daraus insbesondere der 1880 von Kronecker bewiesene Satz, dass genau der Primzahlen in einer gegebenen Galoiserweiterung von vom Grad sind. Der Satz wurde von Nikolai Grigorjewitsch Tschebotarjow im Jahr 1922 gefunden und 1923 erstmals auf russisch, 1925 auf deutsch veröffentlicht. (de)
- Chebotarev's density theorem in algebraic number theory describes statistically the splitting of primes in a given Galois extension K of the field of rational numbers. Generally speaking, a prime integer will factor into several ideal primes in the ring of algebraic integers of K. There are only finitely many patterns of splitting that may occur. Although the full description of the splitting of every prime p in a general Galois extension is a major unsolved problem, the Chebotarev density theorem says that the frequency of the occurrence of a given pattern, for all primes p less than a large integer N, tends to a certain limit as N goes to infinity. It was proved by Nikolai Chebotaryov in his thesis in 1922, published in. A special case that is easier to state says that if K is an algebraic number field which is a Galois extension of of degree n, then the prime numbers that completely split in K have density 1/n among all primes. More generally, splitting behavior can be specified by assigning to (almost) every prime number an invariant, its Frobenius element, which is a representative of a well-defined conjugacy class in the Galois group Gal(K/Q). Then the theorem says that the asymptotic distribution of these invariants is uniform over the group, so that a conjugacy class with k elements occurs with frequency asymptotic to k/n. (en)
- En théorie algébrique des nombres, le théorème de Tchebotariov, dû à Nikolai Tchebotariov et habituellement écrit théorème de Chebotarev, précise le théorème de la progression arithmétique de Dirichlet sur l'infinitude des nombres premiers en progression arithmétique : il affirme que, si a, q ≥ 1 sont deux entiers premiers entre eux, la densité naturelle de l'ensemble des nombres premiers congrus à a modulo q vaut 1/φ(q). (fr)
- 代数的整数論のチェボタレフの密度定理（チェボタレフのみつどていり、英: Chebotarev's density theorem）とは、有理数体 のガロア拡大 K における素数の分解の仕方について成り立つ統計的な法則を明らかにした定理である。一般に、素数はKの代数的整数の環でいくつかの理想因子に分解し、起こりうる分解のパターンは有限である。一般のガロア拡大において素数p がどう分解するか完全に記述することは大きな未解決問題であるが、整数N未満の素数 p で与えられたパターンで分解するものの割合は、Nを限りなく大きくしていったときある極限に収束することが証明された。これをチェボタレフの密度定理という。このことはニコライ・チェボタレフによって1922年に彼の学位論文にて証明され、 で公表された。 簡単な場合についてこの定理の内容を述べると、有理数体のn 次ガロア拡大である代数体Kにおいて完全分解する素数の素数全体の中での密度は 1/n である、となる。一般には、フロベニウス元と呼ばれるガロア群 Gal(K/Q) の元が（ほとんど）全ての素数に対して共役を除いて定まり、この不変量が素数の分解の仕方を決定している。このとき、密度定理の主張は、この不変量がガロア群の中で一様に漸近分布し、したがって k 個の元からなる共役類に入る頻度は漸近的には k/n である、というものである。 (ja)
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