| rdfs:comment
| - Kovarianz hat in der Physik zwei verschiedene, aber eng miteinander verwobene Bedeutungen. Zum einen gibt es im Tensorkalkül die Unterscheidung zwischen kovarianten und kontravarianten Größen, zum anderen gibt es die Kovarianz von Theorien bzw. deren zugrundeliegenden Gleichungen. (de)
- In fisica si definisce covariante un'equazione la cui dipendenza funzionale dalle variabili non viene alterata da un certo insieme di trasformazioni. Ad esempio, le leggi della meccanica classica non vengono alterate da trasformazioni di Galileo; nella meccanica relativistica le leggi della dinamica (e dell'elettromagnetismo) sono covarianti per trasformazioni di Lorentz. (it)
- Στη φυσική, ένας συναλλοίωτος μετασχηματισμός είναι ένας κανόνας που προσδιορίζει πως συγκεκριμένες γεωμετρικές οντότητες αλλάζουν κάτω από μία αλλαγή βάσης. Συγκεκριμένα, ο όρος χρησιμοποιείται για διανύσματα και τανυστές. Ο μετασχηματισμός που περιγράφει τα διανύσματα βάσης σαν ένα γραμμικό συνδυασμό των παλιών διανυσμάτων βάσης προσδιορίζεται σαν ένας συναλλοίωτος μετασχηματισμός. Συμβατικά, οι δείκτες που προσδιορίζουν τα διανύσματα βάσης τοποθετούνται σαν "κάτω δείκτες" και έτσι γράφονται όλες οι ποσότητες που μετασχηματίζονται. Ο αντίστροφος ενός συναλλοίωτου μετασχηματισμού είναι ένας ανταλλοίωτος μετασχηματισμός. Από τη στιγμή που ένα διάνυσμα πρέπει να είναι αναλλοίωτο κάτω από μία αλλαγή βάσης, οι συνιστώσες του πρέπει να μετασχηματίζονται σύμφωνα με τον ανταλλοίωτο κανόνα. Συμβα (el)
- In physics, a covariant transformation is a rule that specifies how certain entities, such as vectors or tensors, change under a change of basis. The transformation that describes the new basis vectors as a linear combination of the old basis vectors is defined as a covariant transformation. Conventionally, indices identifying the basis vectors are placed as lower indices and so are all entities that transform in the same way. The inverse of a covariant transformation is a contravariant transformation. Whenever a vector should be invariant under a change of basis, that is to say it should represent the same geometrical or physical object having the same magnitude and direction as before, its components must transform according to the contravariant rule. Conventionally, indices identifying (en)
- En algèbre linéaire, les adjectifs covariant et contravariant sont utilisés pour décrire la manière avec laquelle des grandeurs varient lors d'un changement de base. Ces grandeurs sont dites covariantes lorsqu'elles varient comme les vecteurs de la base, et contravariantes lorsqu'elles varient de façon contraire. La notion est étroitement liée au concept de dualité : les coordonnées covariantes dans une base correspondent en effet aux coordonnées contravariantes dans la base duale, et réciproquement. (fr)
|
| has abstract
| - Στη φυσική, ένας συναλλοίωτος μετασχηματισμός είναι ένας κανόνας που προσδιορίζει πως συγκεκριμένες γεωμετρικές οντότητες αλλάζουν κάτω από μία αλλαγή βάσης. Συγκεκριμένα, ο όρος χρησιμοποιείται για διανύσματα και τανυστές. Ο μετασχηματισμός που περιγράφει τα διανύσματα βάσης σαν ένα γραμμικό συνδυασμό των παλιών διανυσμάτων βάσης προσδιορίζεται σαν ένας συναλλοίωτος μετασχηματισμός. Συμβατικά, οι δείκτες που προσδιορίζουν τα διανύσματα βάσης τοποθετούνται σαν "κάτω δείκτες" και έτσι γράφονται όλες οι ποσότητες που μετασχηματίζονται. Ο αντίστροφος ενός συναλλοίωτου μετασχηματισμού είναι ένας ανταλλοίωτος μετασχηματισμός. Από τη στιγμή που ένα διάνυσμα πρέπει να είναι αναλλοίωτο κάτω από μία αλλαγή βάσης, οι συνιστώσες του πρέπει να μετασχηματίζονται σύμφωνα με τον ανταλλοίωτο κανόνα. Συμβατικά, οι δείκτες που προσδιορίζουν τις συνιστώσες ενός διανύσματος τοποθετούνται σαν "πάνω δείκτες" και αυτό ισχύει για όλους τους δείκτες ποσοτήτων που μετασχηματίζονται με τον ίδιο τρόπο. Το άθροισμα ενός γινομένου με δείκτες αντιστοιχισμένους ανά ζεύγη και με ίδιους κάτω και πάνω δείκτες είναι αναλλοίωτο κάτω από ένα μετασχηματισμό. Ένα διάνυσμα είναι μία γεωμετρική ποσότητα, εξαρχής ανεξάρτητο (αναλλοίωτο) της βάσης που επιλέγεται.Δίνεται ένα διάνυσμα v , έστω με συνιστώσες vi στην αρχική βάση ei. Σε μια άλλη βάση, έστω e′j, το ίδιο διάνυσμα v έχει διαφορετικές συνιστώσες v′j και: Mε το v να είναι αναλλοίωτο και τη βάση ei να μετασχηματίζεται συναλλοίωτα, πρέπει να είναι τέτοιο ώστε το vi (το σύνολο των αριθμών που προσδιορίζουν τις συνιστώσες) να μετασχηματίζεται με διαφορετικό τρόπο, δηλαδή τον αντίστροφο που λέγετα ανταλλοίωτος κανόνας μετασχηματισμού. Aν για παράδειγμα στον δισδιάστατο ευκλείδιο χώρο, τα νέα διανύσματα βάσης περιστρέφονται αριστερόστροφα σε σχέση με τα παλιά διανύσματα βάσης, τότε θα φαίνεται σε όρους του νέου συστήματος η "αναπαράσταση ως προς τις συνιστώσες" σαν το διάνυσμα να έστρεψε στην αντίθετη φορά, δηλαδή δεξιόστροφα.
* Ένα διάνυσμα v και τα τοπικά διανύσματα βάσης {ex,ey} και {er,eφ}. Με Μαύρο το παλιό σύστημα και κόκκινο το νέο.
* Αναπαράσταση συντεταγμένων του v με τα διανύσματα βάσης να ταυτίζονται. (el)
- Kovarianz hat in der Physik zwei verschiedene, aber eng miteinander verwobene Bedeutungen. Zum einen gibt es im Tensorkalkül die Unterscheidung zwischen kovarianten und kontravarianten Größen, zum anderen gibt es die Kovarianz von Theorien bzw. deren zugrundeliegenden Gleichungen. (de)
- In physics, a covariant transformation is a rule that specifies how certain entities, such as vectors or tensors, change under a change of basis. The transformation that describes the new basis vectors as a linear combination of the old basis vectors is defined as a covariant transformation. Conventionally, indices identifying the basis vectors are placed as lower indices and so are all entities that transform in the same way. The inverse of a covariant transformation is a contravariant transformation. Whenever a vector should be invariant under a change of basis, that is to say it should represent the same geometrical or physical object having the same magnitude and direction as before, its components must transform according to the contravariant rule. Conventionally, indices identifying the components of a vector are placed as upper indices and so are all indices of entities that transform in the same way. The sum over pairwise matching indices of a product with the same lower and upper indices are invariant under a transformation. A vector itself is a geometrical quantity, in principle, independent (invariant) of the chosen basis. A vector v is given, say, in components vi on a chosen basis ei. On another basis, say e′j, the same vector v has different components v′j and As a vector, v should be invariant to the chosen coordinate system and independent of any chosen basis, i.e. its "real world" direction and magnitude should appear the same regardless of the basis vectors. If we perform a change of basis by transforming the vectors ei into the basis vectors ej, we must also ensure that the components vi transform into the new components vj to compensate. The needed transformation of v is called the contravariant transformation rule.
* A vector v, and local tangent basis vectors {ex, ey} and {er, eφ} .
* Coordinate representations of v. In the shown example, a vector is described by two different coordinate systems: a rectangular coordinate system (the black grid), and a radial coordinate system (the red grid). Basis vectors have been chosen for both coordinate systems: ex and ey for the rectangular coordinate system, and er and eφ for the radial coordinate system. The radial basis vectors er and eφ appear rotated anticlockwise with respect to the rectangular basis vectors ex and ey. The covariant transformation, performed to the basis vectors, is thus an anticlockwise rotation, rotating from the first basis vectors to the second basis vectors. The coordinates of v must be transformed into the new coordinate system, but the vector v itself, as a mathematical object, remains independent of the basis chosen, appearing to point in the same direction and with the same magnitude, invariant to the change of coordinates. The contravariant transformation ensures this, by compensating for the rotation between the different bases. If we view v from the context of the radial coordinate system, it appears to be rotated more clockwise from the basis vectors er and eφ. compared to how it appeared relative to the rectangular basis vectors ex and ey. Thus, the needed contravariant transformation to v in this example is a clockwise rotation. (en)
- En algèbre linéaire, les adjectifs covariant et contravariant sont utilisés pour décrire la manière avec laquelle des grandeurs varient lors d'un changement de base. Ces grandeurs sont dites covariantes lorsqu'elles varient comme les vecteurs de la base, et contravariantes lorsqu'elles varient de façon contraire. La notion est étroitement liée au concept de dualité : les coordonnées covariantes dans une base correspondent en effet aux coordonnées contravariantes dans la base duale, et réciproquement. En géométrie différentielle, la considération des espaces tangents permet d'étendre les deux concepts aux familles de fonctions définies sur les variétés différentielles. La manipulation de grandeurs covariantes et contravariantes est facilitée par la convention de sommation d'Einstein, qui sera largement utilisée dans cet article. (fr)
- In fisica si definisce covariante un'equazione la cui dipendenza funzionale dalle variabili non viene alterata da un certo insieme di trasformazioni. Ad esempio, le leggi della meccanica classica non vengono alterate da trasformazioni di Galileo; nella meccanica relativistica le leggi della dinamica (e dell'elettromagnetismo) sono covarianti per trasformazioni di Lorentz. (it)
|
![[RDF Data]](/fct/images/sw-rdf-blue.png)
![[cxml]](/fct/images/cxml_doc.png)
![[csv]](/fct/images/csv_doc.png)
![[text]](/fct/images/ntriples_doc.png)
![[turtle]](/fct/images/n3turtle_doc.png)
![[ld+json]](/fct/images/jsonld_doc.png)
![[rdf+json]](/fct/images/json_doc.png)
![[rdf+xml]](/fct/images/xml_doc.png)
![[atom+xml]](/fct/images/atom_doc.png)
![[html]](/fct/images/html_doc.png)
