Farkas' lemma is a solvability theorem for a finite system of linear inequalities in mathematics. It was originally proven by the Hungarian mathematician Gyula Farkas.Farkas' lemma is the key result underpinning the linear programming duality and has played a central role in the development of mathematical optimization (alternatively, mathematical programming). It is used amongst other things in the proof of the Karush–Kuhn–Tucker theorem in nonlinear programming.Remarkably, in the area of the foundations of quantum theory, the lemma also underlies the complete set of Bell inequalities in the form of necessary and sufficient conditions for the existence of a local hidden-variable theory, given data from any specific set of measurements.
| Attributes | Values |
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| rdfs:label
| - Farkasova věta (cs)
- Lemma von Farkas (de)
- Farkas' lemma (en)
- Lemme de Farkas (fr)
- 퍼르커시 보조정리 (ko)
- Lemat Farkasa (pl)
- Лемма Фаркаша (ru)
- Лема Фаркаша (uk)
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| rdfs:comment
| - Farkasova věta, někdy též Farkasovo lemma, vypovídá o řešitelnosti konečné soustavy lineárních rovnic, případně nerovnic, existuje několik modifikací. Věta je jedním z důsledků silné věty o dualitě v lineárním programování. Jako první tuto větu dokázal maďarský matematik Gyula Farkas v roce 1902. (cs)
- Das Lemma von Farkas ist ein mathematischer Hilfssatz (Lemma). Er wurde 1902 von Julius Farkas aus Klausenburg (damals Österreich-Ungarn, heute Rumänien) als „Grundsatz der einfachen Ungleichungen“ veröffentlicht. Als eine der ersten Aussagen über Dualität erlangte dieses Lemma große Bedeutung für die Entwicklung der linearen Optimierung und die Spieltheorie. Das Lemma von Farkas kann verwendet werden, um den starken Dualitätssatz der linearen Optimierung und den Satz von Kuhn-Tucker zu beweisen. Es dient weiter dazu, finanztheoretische Arbitrageprobleme zu behandeln. (de)
- 수학적 최적화에서 퍼르커시 보조정리(영어: Farkas’s lemma)는 어떤 볼록뿔과 이에 속하지 않는 벡터 사이를 초평면으로 분리할 수 있다는 정리다. (ko)
- Lemat Farkasa, alternatywa Farkasa – twierdzenie z algebry liniowej, według którego w przestrzeni albo punkt należy do stożka, albo można go oddzielić od stożka płaszczyzną. (pl)
- Лемма Фаркаша — утверждение о свойствах линейных неравенств.Была сформулирована и доказана в 1902 году.Применяется в геометрическом программировании. (ru)
- Лема Фаркаша — твердження опуклої геометрії, що широко використовується в теорії оптимізації, зокрема при розгляді двоїстих задач лінійного програмування і доведення теореми Каруша — Куна — Такера в нелінійному програмуванні. Лема Фаркаша є однією з так званих теорем альтернативності, що стверджують про існування розв'язку однієї і тільки однієї з деяких двох систем лінійних рівнянь і нерівностей (uk)
- Farkas' lemma is a solvability theorem for a finite system of linear inequalities in mathematics. It was originally proven by the Hungarian mathematician Gyula Farkas.Farkas' lemma is the key result underpinning the linear programming duality and has played a central role in the development of mathematical optimization (alternatively, mathematical programming). It is used amongst other things in the proof of the Karush–Kuhn–Tucker theorem in nonlinear programming.Remarkably, in the area of the foundations of quantum theory, the lemma also underlies the complete set of Bell inequalities in the form of necessary and sufficient conditions for the existence of a local hidden-variable theory, given data from any specific set of measurements. (en)
- Le lemme de Farkas est un résultat d'analyse convexe (une branche des mathématiques) qui s'exprime et s'interprète de multiples manières. Sous une forme assez générale, il donne une expression duale de l'adhérence de l'image d'un cône convexe par une application linéaire : Certaines versions du lemme sont connues sous le nom de « théorèmes de l'alternative » et s'obtiennent en prenant pour cône l'orthant positif de . Ceux-ci expriment l'équivalence (ou l'incompatibilité) entre la satisfaction de différents systèmes d'inéquations linéaires (ou affines). (fr)
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| - Farkasova věta, někdy též Farkasovo lemma, vypovídá o řešitelnosti konečné soustavy lineárních rovnic, případně nerovnic, existuje několik modifikací. Věta je jedním z důsledků silné věty o dualitě v lineárním programování. Jako první tuto větu dokázal maďarský matematik Gyula Farkas v roce 1902. (cs)
- Das Lemma von Farkas ist ein mathematischer Hilfssatz (Lemma). Er wurde 1902 von Julius Farkas aus Klausenburg (damals Österreich-Ungarn, heute Rumänien) als „Grundsatz der einfachen Ungleichungen“ veröffentlicht. Als eine der ersten Aussagen über Dualität erlangte dieses Lemma große Bedeutung für die Entwicklung der linearen Optimierung und die Spieltheorie. Das Lemma von Farkas kann verwendet werden, um den starken Dualitätssatz der linearen Optimierung und den Satz von Kuhn-Tucker zu beweisen. Es dient weiter dazu, finanztheoretische Arbitrageprobleme zu behandeln. (de)
- Farkas' lemma is a solvability theorem for a finite system of linear inequalities in mathematics. It was originally proven by the Hungarian mathematician Gyula Farkas.Farkas' lemma is the key result underpinning the linear programming duality and has played a central role in the development of mathematical optimization (alternatively, mathematical programming). It is used amongst other things in the proof of the Karush–Kuhn–Tucker theorem in nonlinear programming.Remarkably, in the area of the foundations of quantum theory, the lemma also underlies the complete set of Bell inequalities in the form of necessary and sufficient conditions for the existence of a local hidden-variable theory, given data from any specific set of measurements. Generalizations of the Farkas' lemma are about the solvability theorem for convex inequalities, i.e., infinite system of linear inequalities. Farkas' lemma belongs to a class of statements called "theorems of the alternative": a theorem stating that exactly one of two systems has a solution. (en)
- Le lemme de Farkas est un résultat d'analyse convexe (une branche des mathématiques) qui s'exprime et s'interprète de multiples manières. Sous une forme assez générale, il donne une expression duale de l'adhérence de l'image d'un cône convexe par une application linéaire : où est l'adjointe de et désigne le cône dual d'une partie .Lorsque est fermé, on obtient ainsi des conditions nécessaires et suffisantes pour qu'un système d'équations linéaires (ou affines) ait une solution dans . Sous la forme ci-dessus, le lemme de Farkas généralise la relation bien connue d'algèbre linéaire reliant l'image d'une application linéaire entre deux espaces euclidiens et le noyau de , à savoir Certaines versions du lemme sont connues sous le nom de « théorèmes de l'alternative » et s'obtiennent en prenant pour cône l'orthant positif de . Ceux-ci expriment l'équivalence (ou l'incompatibilité) entre la satisfaction de différents systèmes d'inéquations linéaires (ou affines). Du fait de sa généralité, le lemme de Farkas intervient dans de nombreux domaines, lorsque des questions de dualité sont en jeu. Citons l'optimisation non linéaire dans laquelle il permet d'obtenir une expression analytique de l'optimalité (les conditions de Karush, Kuhn et Tucker) à partir d'une expression géométrique de celle-ci, et la théorie des jeux. (fr)
- 수학적 최적화에서 퍼르커시 보조정리(영어: Farkas’s lemma)는 어떤 볼록뿔과 이에 속하지 않는 벡터 사이를 초평면으로 분리할 수 있다는 정리다. (ko)
- Lemat Farkasa, alternatywa Farkasa – twierdzenie z algebry liniowej, według którego w przestrzeni albo punkt należy do stożka, albo można go oddzielić od stożka płaszczyzną. (pl)
- Лемма Фаркаша — утверждение о свойствах линейных неравенств.Была сформулирована и доказана в 1902 году.Применяется в геометрическом программировании. (ru)
- Лема Фаркаша — твердження опуклої геометрії, що широко використовується в теорії оптимізації, зокрема при розгляді двоїстих задач лінійного програмування і доведення теореми Каруша — Куна — Такера в нелінійному програмуванні. Лема Фаркаша є однією з так званих теорем альтернативності, що стверджують про існування розв'язку однієї і тільки однієї з деяких двох систем лінійних рівнянь і нерівностей (uk)
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