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| - La sèrie infinita 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·, de vegades és anomenada sèrie de Grandi, en honor del matemàtic, filòsof i sacerdot Guido Grandi, qui, el 1703, va realitzar treballs destacats sobre aquesta sèrie. Utilitzant la notació matemàtica per a sumatoris, la sèrie s'expressa com: És una sèrie divergent, que implica que no posseeix una suma en el sentit usual d'aquesta. D'altra banda, la seva és ¹⁄₂. (ca)
- في الرياضيات، المتسلسلة 1 − 1 + 1 − 1 + … والتي تكتب أيضا على الشكل تدعى في بعض الأحيان متسلسلة غراندي (بالإنجليزية: Grandi's series). سميت هذه المتسلسلة هكذا نسبة إلى عالم الرياضيات والفيلسوف ورجل الدين الإيطالي لويجي غويدو غراندي، الذي درس المتسلسلة في عام 1703. (ar)
- En matemáticas, la serie infinita 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯, también escrita se llama a veces serie de Grandi, en honor al matemático, filósofo y sacerdote italiano Luigi Guido Grandi, que dio un tratamiento memorable de la serie en 1703. Es una serie divergente, lo que significa que carece de una suma en el sentido habitual. En cambio, su sumación de Cesàro es 1/2. (es)
- In mathematics, the infinite series 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯, also written is sometimes called Grandi's series, after Italian mathematician, philosopher, and priest Guido Grandi, who gave a memorable treatment of the series in 1703. It is a divergent series, meaning that it lacks a sum in the usual sense. On the other hand, its Cesàro sum is 1/2. (en)
- En analyse mathématique, la série 1 − 1 + 1 − 1 + … ou est parfois appelée la série de Grandi, du nom du mathématicien, philosophe et prêtre Luigi Guido Grandi, qui en donna une analyse célèbre en 1703. Il s'agit d'une série divergente, c'est-à-dire que la suite de ses sommes partielles n'a pas de limite. Mais sa somme de Cesàro, c'est-à-dire la limite des moyennes de Cesàro de cette même suite, existe et vaut 1⁄2. (fr)
- 無限級数 1 − 1 + 1 − 1 + … は次のように書き表すことができる。 この級数はグランディ級数（グランディきゅうすう、英: Grandi's series）と呼ばれることがある。グランディ級数という名前は、1703年にこの級数に関する議論において重要な貢献をした、イタリアの数学者であり哲学者である神父のに因む。グランディ級数は発散級数であり、通常の意味では和を持たない。その一方で、グランディ級数のチェザロ和は 1/2 となる。 (ja)
- Szereg Grandiego – szereg naprzemienny zapisywany również jako Nazwa szeregu pochodzi od Guido Grandiego, który „upamiętnił” swoje przemyślenia na ten temat w 1703 roku. Jest to szereg rozbieżny, to znaczy, że jego suma nie istnieje według definicji. Z drugiej strony sumowanie metodą Cesàro daje wynik 1/2. (pl)
- Бесконечный ряд 1 − 1 + 1 − 1 + …, или , Иногда называемый рядом Гранди в честь итальянского математика, философа и священника Гвидо Гранди. В обычном смысле, этот ряд является расходящимся. С другой стороны, его сумма по Чезаро равна 1/2. (ru)
- A série infinita 1 − 1 + 1 − 1 + · · · é chamada série de Grandi, em homenagem ao matemático, filósofo e sacerdote italiano Luigi Guido Grandi, que em 1703 realizou trabalhos de destaque sobre esta série. É uma série divergente, o que implica que não possui um valor de soma no sentido usual da mesma. Por outro lado, a sua soma de Cesàro é 1⁄2. (pt)
- Grandis serie, uppkallad efter den italienska matematikern , är en serie bestående av ettor med alternerande tecken: som också kan skrivas som summan: Serien är divergent, vilket innebär att den inte har någon summa i vanlig mening. Serien är dock Cesàrosummerbar med Cesàrosumman ½. (sv)
- Ряд Гранді — знакопереміжний ряд 1 − 1 + 1 − 1 + …, або: Ряд названо на честь італійського католицького священика, філософа, математика й інженера Луїджі Гвідо Гранді, який в 1703 році розглянув його в книзі Quadratura circula et hyperbolae per infinitas hyperbolas geometrice exhibita. Часткові суми ряду поперемінно рівні 1, 0, 1, 0, … , що означає, що ряд розходиться. Сума ряду за Чезаро дорівнює 1/2. (uk)
- 格蘭迪級數（英語：Grandi's series），即，是由意大利數學家在1703年發表的。後來荷蘭數學家丹尼爾·伯努利和瑞士數學家萊昂哈德·歐拉等人也都曾研究過它。格蘭迪級數寫作： 它是一個發散級數，也因此在一般情況下，這個無窮級數是沒有和的。但若對該發散級數進行一些特別的求和處理時，就會有特定的和出現。格蘭迪級數的歐拉和和切薩羅和均為。 格蘭迪級數與級數1 − 2 + 3 − 4 + …有緊密的聯繫。歐拉將這兩個級數當作1 − 2n + 3n − 4n + …的特例（其中為任意自然數），這個級數既直接擴展了他在巴塞爾問題上所做的工作，同時也引出了現在所知的狄利克雷η函數和黎曼ζ函數。 (zh)
- La somma infinita 1 − 1 + 1 − 1 + ..., chiamata anche serie di Grandi, scoperta da Guido Grandi nel 1703, è una serie simile alla serie 1 − 2 + 3 − 4 + · · · e alla serie 1 + 1 + 1 + 1 + · · · (o serie sommativa unitaria). Essa si può rappresentare con la formula: dove l'evidente risultato della sommatoria è 0, sia come: dove il risultato della sommatoria è evidentemente 1. Esiste però un terzo modo per scrivere la serie: da cui: con . (it)
- In de wiskunde is de Grandi-reeks de reeks waarvan de termen de afwisselend 1 en −1 zijn, dus met alternerend teken. De formule luidt De reeks is vernoemd naar de Italiaanse priester, filosoof en wiskundige , die de reeks in 1703 besprak. De reeks is niet convergent, want de partiële sommen zijn afwisselend 1 en 0. Met een naïeve blik zou men aan de volgende uitkomsten kunnen denken:
*
* Deze redeneringen zijn echter duidelijk niet geldig en geven ook geen eenduidig resultaat. Stel dan geldt Dit geeft de vergelijking die zich eenvoudig laat oplossen naar . (nl)
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