The Hausdorff−Young inequality is a foundational result in the mathematical field of Fourier analysis. As a statement about Fourier series, it was discovered by William Henry Young and extended by Hausdorff. It is now typically understood as a rather direct corollary of the Plancherel theorem, found in 1910, in combination with the Riesz-Thorin theorem, originally discovered by Marcel Riesz in 1927. With this machinery, it readily admits several generalizations, including to multidimensional Fourier series and to the Fourier transform on the real line, Euclidean spaces, as well as more general spaces. With these extensions, it is one of the best-known results of Fourier analysis, appearing in nearly every introductory graduate-level textbook on the subject.
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| - Hausdorff–Young inequality (en)
- ハウスドルフ＝ヤングの不等式 (ja)
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| - The Hausdorff−Young inequality is a foundational result in the mathematical field of Fourier analysis. As a statement about Fourier series, it was discovered by William Henry Young and extended by Hausdorff. It is now typically understood as a rather direct corollary of the Plancherel theorem, found in 1910, in combination with the Riesz-Thorin theorem, originally discovered by Marcel Riesz in 1927. With this machinery, it readily admits several generalizations, including to multidimensional Fourier series and to the Fourier transform on the real line, Euclidean spaces, as well as more general spaces. With these extensions, it is one of the best-known results of Fourier analysis, appearing in nearly every introductory graduate-level textbook on the subject. (en)
- 数学におけるハウスドルフ＝ヤングの不等式（ハウスドルフ＝ヤングのふとうしき、英: Hausdorff-Young inequality）は、周期函数のフーリエ係数のLq-ノルム（q ≥ 2）評価を与える不等式である。はじめに は、特別な値の q に対してこの不等式を証明し、その後 は一般の場合について証明した。より一般に、この不等式は Rn のような局所コンパクト群上の函数のフーリエ変換に対しても適用され、この場合については と がより強い評価を与えるを発見している。 ここでフーリエ作用素を考える。すなわち単位円上の函数 に対して、そのフーリエ係数の列 を返す作用素 T を考える。パーセバルの定理によれば、T は から への有界作用素で、そのノルムは 1 である。一方、明らかに であるため、T は から へのノルム 1 の有界作用素でもある。したがってリース＝ソリンの定理により、任意の 1 < p < 2 に対して、 から への作用素として T はノルム 1 で有界である。ここで である。すなわち次が得られる。 (ja)
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| - The Hausdorff−Young inequality is a foundational result in the mathematical field of Fourier analysis. As a statement about Fourier series, it was discovered by William Henry Young and extended by Hausdorff. It is now typically understood as a rather direct corollary of the Plancherel theorem, found in 1910, in combination with the Riesz-Thorin theorem, originally discovered by Marcel Riesz in 1927. With this machinery, it readily admits several generalizations, including to multidimensional Fourier series and to the Fourier transform on the real line, Euclidean spaces, as well as more general spaces. With these extensions, it is one of the best-known results of Fourier analysis, appearing in nearly every introductory graduate-level textbook on the subject. The nature of the Hausdorff-Young inequality can be understood with only Riemann integration and infinite series as prerequisite. Given a continuous function f:(0,1)→ℝ, define its "Fourier coefficients" by for each integer n. The Hausdorff-Young inequality says that Loosely speaking, this can be interpreted as saying that the "size" of the function f, as represented by the right-hand side of the above inequality, controls the "size" of its sequence of Fourier coefficients, as represented by the left-hand side. However, this is only a very specific case of the general theorem. The usual formulations of the theorem are given below, with use of the machinery of Lp spaces and Lebesgue integration. (en)
- 数学におけるハウスドルフ＝ヤングの不等式（ハウスドルフ＝ヤングのふとうしき、英: Hausdorff-Young inequality）は、周期函数のフーリエ係数のLq-ノルム（q ≥ 2）評価を与える不等式である。はじめに は、特別な値の q に対してこの不等式を証明し、その後 は一般の場合について証明した。より一般に、この不等式は Rn のような局所コンパクト群上の函数のフーリエ変換に対しても適用され、この場合については と がより強い評価を与えるを発見している。 ここでフーリエ作用素を考える。すなわち単位円上の函数 に対して、そのフーリエ係数の列 を返す作用素 T を考える。パーセバルの定理によれば、T は から への有界作用素で、そのノルムは 1 である。一方、明らかに であるため、T は から へのノルム 1 の有界作用素でもある。したがってリース＝ソリンの定理により、任意の 1 < p < 2 に対して、 から への作用素として T はノルム 1 で有界である。ここで である。すなわち次が得られる。 これが有名なハウスドルフ＝ヤングの不等式である。p > 2 に対して、この不等式の自然な拡張は成り立たず、ある函数が に属するという事実は、それが に属するという事実を意味するのみであり、そのフーリエ級数の成長の次数についての他の情報は得られない。 (ja)
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