In mathematics, an infinitesimal transformation is a limiting form of small transformation. For example one may talk about an infinitesimal rotation of a rigid body, in three-dimensional space. This is conventionally represented by a 3×3 skew-symmetric matrix A. It is not the matrix of an actual rotation in space; but for small real values of a parameter ε the transformation is a small rotation, up to quantities of order ε2.
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| - Transformation infinitésimale (fr)
- Infinitesimal transformation (en)
- 无穷小变换 (zh)
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| - In mathematics, an infinitesimal transformation is a limiting form of small transformation. For example one may talk about an infinitesimal rotation of a rigid body, in three-dimensional space. This is conventionally represented by a 3×3 skew-symmetric matrix A. It is not the matrix of an actual rotation in space; but for small real values of a parameter ε the transformation is a small rotation, up to quantities of order ε2. (en)
- En mathématique, une transformation infinitésimale est une petite transformation dans le sens où l'approximation au premier ordre est valable. Par exemple, pour un groupe à un paramètre agissant sur un espace de dimension finie, on auraoù ε est un paramètre de la transformation, In la matrice identité de dimension n et A une matrice appelée générateur de la transformation. En général, une transformation T(ε) n'est pas linéaire, mais si son approximation au premier ordre est valable, alors elle s'écrit comme une somme de matrices.
* Portail des mathématiques (fr)
- 数学裡，无穷小变换是小的一个无穷小极限。例如我们可以谈论三维空间中一个刚体的。这通常由一个 3×3 反对称矩阵 A 表示。它不是空间中的实际旋转；但是对一个小参数 ε，我们有 与小旋转之差只是 ε2 阶量。 无穷小变换的综合理论最早由索甫斯·李给出。事实上这是他在如今称为李群及其李代数方面工作的核心；以及它们在几何特别是微分方程中作用的等同。一个抽象李群的性质正是无穷小变换的那些限定，正如群论的公理实现了对称。 例如，在无穷小旋转情形，将一个反对称矩阵与一个三维向量等同，则李代数结构由叉积给出。这相当于选取旋转的一个轴；雅可比恒等式是叉积一个熟知的性质。 无穷小变换最早的例子可能认为出现于齐次函数的欧拉定理中。它断言 n 个变量 x1, ..., xn 的一个度数为 r 的齐次函数 F，满足 其中 是一个微分算子。这是由性质 我们可对 λ 微分，然后取 λ 等于 1。这是光滑函数 F 有齐次性质的一个必要条件；这也是充足的（通过利用我们简化这里考虑的数学分析）。在我们有一个缩放算子的单参数子群时这个过程是典型的；变换的信息事实上包含于无穷小变换中。 算子方程 这里 (zh)
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| - In mathematics, an infinitesimal transformation is a limiting form of small transformation. For example one may talk about an infinitesimal rotation of a rigid body, in three-dimensional space. This is conventionally represented by a 3×3 skew-symmetric matrix A. It is not the matrix of an actual rotation in space; but for small real values of a parameter ε the transformation is a small rotation, up to quantities of order ε2. (en)
- En mathématique, une transformation infinitésimale est une petite transformation dans le sens où l'approximation au premier ordre est valable. Par exemple, pour un groupe à un paramètre agissant sur un espace de dimension finie, on auraoù ε est un paramètre de la transformation, In la matrice identité de dimension n et A une matrice appelée générateur de la transformation. En général, une transformation T(ε) n'est pas linéaire, mais si son approximation au premier ordre est valable, alors elle s'écrit comme une somme de matrices. Sachant qu'une transformation est une action α d'un groupe G sur un ensemble X : si l'ensemble X a une structure de variété différentiable et que l'action est elle-même différentiable alors on peut écrire son développement de Taylor pour ε ∈G proche de l'identité :
* Portail des mathématiques (fr)
- 数学裡，无穷小变换是小的一个无穷小极限。例如我们可以谈论三维空间中一个刚体的。这通常由一个 3×3 反对称矩阵 A 表示。它不是空间中的实际旋转；但是对一个小参数 ε，我们有 与小旋转之差只是 ε2 阶量。 无穷小变换的综合理论最早由索甫斯·李给出。事实上这是他在如今称为李群及其李代数方面工作的核心；以及它们在几何特别是微分方程中作用的等同。一个抽象李群的性质正是无穷小变换的那些限定，正如群论的公理实现了对称。 例如，在无穷小旋转情形，将一个反对称矩阵与一个三维向量等同，则李代数结构由叉积给出。这相当于选取旋转的一个轴；雅可比恒等式是叉积一个熟知的性质。 无穷小变换最早的例子可能认为出现于齐次函数的欧拉定理中。它断言 n 个变量 x1, ..., xn 的一个度数为 r 的齐次函数 F，满足 其中 是一个微分算子。这是由性质 我们可对 λ 微分，然后取 λ 等于 1。这是光滑函数 F 有齐次性质的一个必要条件；这也是充足的（通过利用我们简化这里考虑的数学分析）。在我们有一个缩放算子的单参数子群时这个过程是典型的；变换的信息事实上包含于无穷小变换中。 算子方程 这里 是泰勒定理的一个算子版本，从而只对 f 是一个解析函数成立。集中于算子部分，它实际上说明 D 是一个无穷小变换，通过指数生成在实直线上的平移。在李理论中，这推广得很远。任何连通空间李群可由它的无穷小生成元（这个群李代数的一个基）构造出来；贝克-坎贝尔-豪斯多夫公式中给出了清晰不过未必总有用的信息。 (zh)
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