In algebraic geometry, an irreducible algebraic set or irreducible variety is an algebraic set that cannot be written as the union of two proper algebraic subsets. An irreducible component is an algebraic subset that is irreducible and maximal (for set inclusion) for this property. For example, the set of solutions of the equation xy = 0 is not irreducible, and its irreducible components are the two lines of equations x = 0 and y =0. It is a fundamental theorem of classical algebraic geometry that every algebraic set may be written in a unique way as a finite union of irreducible components.
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| - Irreducible component (en)
- 既約成分 (ja)
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| rdfs:comment
| - 数学、とりわけ代数幾何学において、既約成分 (irreducible component) の概念は方程式 XY = 0 によって定義されるような集合は二本の直線 X = 0 と Y = 0 の和集合であるというアイデアを形式的にするために使われる。したがって空でない代数的集合 (algebraic set) が既約 (irreducible) であるとは、2つの真の代数的部分集合の和集合でないということである。次のことは古典的な代数幾何学の基本的な定理である。すべての代数的集合は有限個の既約代数的部分集合（多様体）の和集合であり、この分解はほかの部分集合に含まれるようなものをとり除けば一意的である。この一意的な分解の元は既約成分 (irreducible component) と呼ばれる。 この概念はザリスキ位相（これは閉部分集合が部分多様体であるような位相である）という位相の用語を用いて再定式化することができる：代数的集合が既約であるとはそれがザリスキ位相で閉な2つの真の部分集合の和集合でないことである。これによってトポロジーにおける一般化ができ、それを通じて、有限分解の上記の性質が必ずしも正しくないような一般のスキームに一般化できる。 (ja)
- In algebraic geometry, an irreducible algebraic set or irreducible variety is an algebraic set that cannot be written as the union of two proper algebraic subsets. An irreducible component is an algebraic subset that is irreducible and maximal (for set inclusion) for this property. For example, the set of solutions of the equation xy = 0 is not irreducible, and its irreducible components are the two lines of equations x = 0 and y =0. It is a fundamental theorem of classical algebraic geometry that every algebraic set may be written in a unique way as a finite union of irreducible components. (en)
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| - Irreducible component (en)
- irreducible (en)
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| - In algebraic geometry, an irreducible algebraic set or irreducible variety is an algebraic set that cannot be written as the union of two proper algebraic subsets. An irreducible component is an algebraic subset that is irreducible and maximal (for set inclusion) for this property. For example, the set of solutions of the equation xy = 0 is not irreducible, and its irreducible components are the two lines of equations x = 0 and y =0. It is a fundamental theorem of classical algebraic geometry that every algebraic set may be written in a unique way as a finite union of irreducible components. These concepts can be reformulated in purely topological terms, using the Zariski topology, for which the closed sets are the algebraic subsets: A topological space is irreducible if it is not the union of two proper closed subsets, and an irreducible component is a maximal subspace (necessarily closed) that is irreducible for the induced topology. Although these concepts may be considered for every topological space, this is rarely done outside algebraic geometry, since most common topological spaces are Hausdorff spaces, and, in a Hausdorff space, the irreducible components are the singletons. (en)
- 数学、とりわけ代数幾何学において、既約成分 (irreducible component) の概念は方程式 XY = 0 によって定義されるような集合は二本の直線 X = 0 と Y = 0 の和集合であるというアイデアを形式的にするために使われる。したがって空でない代数的集合 (algebraic set) が既約 (irreducible) であるとは、2つの真の代数的部分集合の和集合でないということである。次のことは古典的な代数幾何学の基本的な定理である。すべての代数的集合は有限個の既約代数的部分集合（多様体）の和集合であり、この分解はほかの部分集合に含まれるようなものをとり除けば一意的である。この一意的な分解の元は既約成分 (irreducible component) と呼ばれる。 この概念はザリスキ位相（これは閉部分集合が部分多様体であるような位相である）という位相の用語を用いて再定式化することができる：代数的集合が既約であるとはそれがザリスキ位相で閉な2つの真の部分集合の和集合でないことである。これによってトポロジーにおける一般化ができ、それを通じて、有限分解の上記の性質が必ずしも正しくないような一般のスキームに一般化できる。 (ja)
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