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| - Der Stetigkeitsmodul ist ein Begriff aus dem Gebiet der mathematischen Analysis. Er wurde 1910 von Henri Lebesgue eingeführt und wird unter anderem in der Approximationstheorie angewandt, wo er dazu dient, einen Zusammenhang zwischen der Glattheit einer Funktion und der Approximationsgeschwindigkeit bei der Approximation durch Polynome herzustellen. (de)
- In matematica, il modulo di continuità è uno strumento per misurare il comportamento di una funzione. È un modo per descrivere quantitativamente la dipendenza di da nella definizione di uniforme continuità. (it)
- Для любой функции , определённой на множестве , можно ввести понятие модуля непрерывности этой функции, обозначаемого . Модуль непрерывности — тоже функция, по определению равная или верхней грани колебания функции по всем подотрезкам из длиной меньше . Также в литературе встречаются другие обозначения: и (реже) . (ru)
- In mathematical analysis, a modulus of continuity is a function ω : [0, ∞] → [0, ∞] used to measure quantitatively the uniform continuity of functions. So, a function f : I → R admits ω as a modulus of continuity if and only if (en)
- En analyse mathématique, un module de continuité est une fonction ω : [0, ∞] → [0, ∞] utilisée pour mesurer quantitativement la continuité uniforme des fonctions. Ainsi, une fonction f : I → ℝ admet ω pour module de continuité si et seulement si Puisqu'on impose aux modules de continuité de s’annuler et d'être continus en 0, une fonction est uniformément continue si et seulement si elle admet un module de continuité. De plus, le fait qu'une famille de fonctions admette un module de continuité commun est identique à la notion d'équicontinuité. Le module ω(t) := kt correspond aux fonctions k-lipschitziennes et le module ω(t) := ktα aux fonctions höldériennes. En général, le rôle de ω est de fixer une dépendance fonctionnelle explicite de ε en δ dans la définition de la continuité uniforme. (fr)
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| - Der Stetigkeitsmodul ist ein Begriff aus dem Gebiet der mathematischen Analysis. Er wurde 1910 von Henri Lebesgue eingeführt und wird unter anderem in der Approximationstheorie angewandt, wo er dazu dient, einen Zusammenhang zwischen der Glattheit einer Funktion und der Approximationsgeschwindigkeit bei der Approximation durch Polynome herzustellen. (de)
- In mathematical analysis, a modulus of continuity is a function ω : [0, ∞] → [0, ∞] used to measure quantitatively the uniform continuity of functions. So, a function f : I → R admits ω as a modulus of continuity if and only if for all x and y in the domain of f. Since moduli of continuity are required to be infinitesimal at 0, a function turns out to be uniformly continuous if and only if it admits a modulus of continuity. Moreover, relevance to the notion is given by the fact that sets of functions sharing the same modulus of continuity are exactly equicontinuous families. For instance, the modulus ω(t) := kt describes the k-Lipschitz functions, the moduli ω(t) := ktα describe the Hölder continuity, the modulus ω(t) := kt(|log t|+1) describes the almost Lipschitz class, and so on. In general, the role of ω is to fix some explicit functional dependence of ε on δ in the (ε, δ) definition of uniform continuity. The same notions generalize naturally to functions between metric spaces. Moreover, a suitable local version of these notions allows to describe quantitatively the continuity at a point in terms of moduli of continuity. A special role is played by concave moduli of continuity, especially in connection with extension properties, and with approximation of uniformly continuous functions. For a function between metric spaces, it is equivalent to admit a modulus of continuity that is either concave, or subadditive, or uniformly continuous, or sublinear (in the sense of growth). Actually, the existence of such special moduli of continuity for a uniformly continuous function is always ensured whenever the domain is either a compact, or a convex subset of a normed space. However, a uniformly continuous function on a general metric space admits a concave modulus of continuity if and only if the ratios are uniformly bounded for all pairs (x, x′) bounded away from the diagonal of X x X. The functions with the latter property constitute a special subclass of the uniformly continuous functions, that in the following we refer to as the special uniformly continuous functions. Real-valued special uniformly continuous functions on the metric space X can also be characterized as the set of all functions that are restrictions to X of uniformly continuous functions over any normed space isometrically containing X. Also, it can be characterized as the uniform closure of the Lipschitz functions on X. (en)
- En analyse mathématique, un module de continuité est une fonction ω : [0, ∞] → [0, ∞] utilisée pour mesurer quantitativement la continuité uniforme des fonctions. Ainsi, une fonction f : I → ℝ admet ω pour module de continuité si et seulement si Puisqu'on impose aux modules de continuité de s’annuler et d'être continus en 0, une fonction est uniformément continue si et seulement si elle admet un module de continuité. De plus, le fait qu'une famille de fonctions admette un module de continuité commun est identique à la notion d'équicontinuité. Le module ω(t) := kt correspond aux fonctions k-lipschitziennes et le module ω(t) := ktα aux fonctions höldériennes. En général, le rôle de ω est de fixer une dépendance fonctionnelle explicite de ε en δ dans la définition de la continuité uniforme. Un cas particulier est celui des modules de continuité concaves. Pour une fonction entre espaces métriques, il est équivalent d'admettre un (au sens de croissance linéaire). L'existence de tels modules de continuité pour une fonction uniformément continue est assurée dès que son domaine est soit compact, soit un sous-ensemble convexe d'un espace normé. Une fonction uniformément continue sur un espace métrique admet un module de continuité concave si et seulement si les quotients dY(f(x), f(y))/dX(x, y) sont uniformément bornés pour tout couple (x, y) loin de la diagonale de X. Les fonctions qui possèdent cette propriété constituant une sous-classe des fonctions uniformément continues, nous les appellerons « fonctions uniformément continues spéciales ». (fr)
- In matematica, il modulo di continuità è uno strumento per misurare il comportamento di una funzione. È un modo per descrivere quantitativamente la dipendenza di da nella definizione di uniforme continuità. (it)
- Для любой функции , определённой на множестве , можно ввести понятие модуля непрерывности этой функции, обозначаемого . Модуль непрерывности — тоже функция, по определению равная или верхней грани колебания функции по всем подотрезкам из длиной меньше . Также в литературе встречаются другие обозначения: и (реже) . (ru)
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