In number theory, a number field F is called totally real if for each embedding of F into the complex numbers the image lies inside the real numbers. Equivalent conditions are that F is generated over Q by one root of an integer polynomial P, all of the roots of P being real; or that the tensor product algebra of F with the real field, over Q, is isomorphic to a tensor power of R. The totally real number fields play a significant special role in algebraic number theory. An abelian extension of Q is either totally real, or contains a totally real subfield over which it has degree two.
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| - Cuerpo totalmente real (es)
- Corps totalement réel (fr)
- 総実体 (ja)
- Totally real number field (en)
- 全實域 (zh)
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| - 数論において、代数体 K が総実（そうじつ、英: totally real）であるとは、K の複素数体への各埋め込みに対し、その像が実数体に含まれることをいう。同値な条件は、すべての根が実であるようなのある1つの根によって、K が Q 上生成されることである。あるいは、K を Q 上 R とテンソルした代数が R のコピーの直積になることである。 例えば、Q 上次数が 2 の二次体 K は、正あるいは負のどちらの数の平方根が Q に添加されたかに応じて、実数体の部分体（このとき総実）あるいは虚数を含む体となる。の場合には、Q 上既約な三次の整数多項式 P は少なくとも1つの実根を持つ。P が1つの実根と2つの虚根を持つならば、その実根を添加することによって定義される Q の三次拡大は、実数体の部分体であるにもかかわらず、総実ではない。 総実体は代数的整数論において重要で特別な役割を果たす。Q のアーベル拡大は総実であるか、あるいは総実な部分体を含みこの部分体上2次拡大である。 有理数体上ガロワな任意の数体は総実であるかまたは総虚でなければならない。 (ja)
- 在代數數論中，若數域 的每個嵌入 的像都落在實數域 ，則稱 為全实域或全实数域。 若 可表為 ，設 在 上的的極小多項式為 ，則嵌入映射 透過 一一對應於 在 裡的根。 是全實域若且唯若 僅有實根。 另一種判準是： 是全實域若且唯若 。 全實域在代數數論中是較容易處理的數域。對於任意的阿貝爾擴張 ，我們有 是全實域，或者存在極大的全實子域 使得 。 (zh)
- En teoría de números, un cuerpo de números algebraicos K se llama totalmente real si para cada incrustación de K en los números complejos, la imagen se encuentra dentro de los números reales. Las condiciones equivalentes son que si K se genera sobre Q mediante una raíz de un polinomio P, todas las raíces de P son reales; o que el de K con el campo real, sobre Q, es isomorfo a una potencia tensorial de R. Cualquier campo numérico que sea galoisiano sobre los números racionales debe ser totalmente real o . (es)
- En mathématiques et en théorie des nombres, un corps de nombres K est dit totalement réel si pour chaque plongement de K dans l'ensemble des nombres complexes, l'image se trouve dans l'ensemble des nombres réels. De manière équivalente, K est engendré sur ℚ par une racine d'un polynôme à coefficients entiers dont toutes les racines sont réelles, ou bien encore le produit tensoriel K⊗ℚℝ est un produit d'exemplaires de ℝ. La notion de signature d'un corps de nombres permet de mesurer plus précisément à quel point un corps est loin d'être totalement réel. (fr)
- In number theory, a number field F is called totally real if for each embedding of F into the complex numbers the image lies inside the real numbers. Equivalent conditions are that F is generated over Q by one root of an integer polynomial P, all of the roots of P being real; or that the tensor product algebra of F with the real field, over Q, is isomorphic to a tensor power of R. The totally real number fields play a significant special role in algebraic number theory. An abelian extension of Q is either totally real, or contains a totally real subfield over which it has degree two. (en)
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| - En mathématiques et en théorie des nombres, un corps de nombres K est dit totalement réel si pour chaque plongement de K dans l'ensemble des nombres complexes, l'image se trouve dans l'ensemble des nombres réels. De manière équivalente, K est engendré sur ℚ par une racine d'un polynôme à coefficients entiers dont toutes les racines sont réelles, ou bien encore le produit tensoriel K⊗ℚℝ est un produit d'exemplaires de ℝ. La notion de signature d'un corps de nombres permet de mesurer plus précisément à quel point un corps est loin d'être totalement réel. Par exemple, les corps quadratiques sont soit réels (et dans ce cas : totalement réels), soit complexes, suivant qu'ils sont engendrés par la racine carrée d'un nombre positif ou négatif. Dans le cas des (en), un polynôme irréductible de degré 3 à coefficients entiers aura au moins une racine réelle. S'il possède une racine réelle et deux complexes, l'extension cubique correspondante de ℚ définie en adjoignant la racine réelle ne sera pas totalement réelle, bien qu'elle soit incluse dans le corps des nombres réels. Les corps totalement réels jouent un rôle spécial significatif dans la théorie algébrique des nombres ; ils sont l'objet par exemple de la conjecture de Greenberg. Une extension abélienne de ℚ est soit totalement réelle, soit un corps à multiplication complexe, c'est-à-dire une extension quadratique totalement imaginaire d'un corps totalement réel. Plus généralement, toute extension galoisienne finie de est un corps totalement réel ou un (en). Un nombre algébrique est dit totalement réel si tous ses conjugués (autrement dit les racines complexes de son polynôme minimal) sont réels. La plus petite extension normale contenant ce nombre est alors un corps totalement réel. Ainsi et sont totalement réels, mais ni ni ne le sont. (fr)
- En teoría de números, un cuerpo de números algebraicos K se llama totalmente real si para cada incrustación de K en los números complejos, la imagen se encuentra dentro de los números reales. Las condiciones equivalentes son que si K se genera sobre Q mediante una raíz de un polinomio P, todas las raíces de P son reales; o que el de K con el campo real, sobre Q, es isomorfo a una potencia tensorial de R. Por ejemplo, los cuerpos cuadráticos K de grado 2 sobre Q son reales (y entonces totalmente reales) o complejos, dependiendo de si la raíz cuadrada de un número positivo o negativo está adjuntado a Q. En el caso de , un polinomio entero cúbico P irreducible sobre Q tendrá al menos una raíz real. Si tiene una raíz real y dos complejas, la correspondiente extensión cúbica de Q definida por la adyacencia de la raíz real no será totalmente real, aunque se opere sobre el cuerpo de los números reales. Los cuerpos de números totalmente reales juegan un papel especial significativo en teoría de números algebraicos. Un extensión abeliana de Q es totalmente real o contiene un subcampo totalmente real sobre el que tiene grado dos. Cualquier campo numérico que sea galoisiano sobre los números racionales debe ser totalmente real o . (es)
- In number theory, a number field F is called totally real if for each embedding of F into the complex numbers the image lies inside the real numbers. Equivalent conditions are that F is generated over Q by one root of an integer polynomial P, all of the roots of P being real; or that the tensor product algebra of F with the real field, over Q, is isomorphic to a tensor power of R. For example, quadratic fields F of degree 2 over Q are either real (and then totally real), or complex, depending on whether the square root of a positive or negative number is adjoined to Q. In the case of cubic fields, a cubic integer polynomial P irreducible over Q will have at least one real root. If it has one real and two complex roots the corresponding cubic extension of Q defined by adjoining the real root will not be totally real, although it is a field of real numbers. The totally real number fields play a significant special role in algebraic number theory. An abelian extension of Q is either totally real, or contains a totally real subfield over which it has degree two. Any number field that is Galois over the rationals must be either totally real or totally imaginary. (en)
- 数論において、代数体 K が総実（そうじつ、英: totally real）であるとは、K の複素数体への各埋め込みに対し、その像が実数体に含まれることをいう。同値な条件は、すべての根が実であるようなのある1つの根によって、K が Q 上生成されることである。あるいは、K を Q 上 R とテンソルした代数が R のコピーの直積になることである。 例えば、Q 上次数が 2 の二次体 K は、正あるいは負のどちらの数の平方根が Q に添加されたかに応じて、実数体の部分体（このとき総実）あるいは虚数を含む体となる。の場合には、Q 上既約な三次の整数多項式 P は少なくとも1つの実根を持つ。P が1つの実根と2つの虚根を持つならば、その実根を添加することによって定義される Q の三次拡大は、実数体の部分体であるにもかかわらず、総実ではない。 総実体は代数的整数論において重要で特別な役割を果たす。Q のアーベル拡大は総実であるか、あるいは総実な部分体を含みこの部分体上2次拡大である。 有理数体上ガロワな任意の数体は総実であるかまたは総虚でなければならない。 (ja)
- 在代數數論中，若數域 的每個嵌入 的像都落在實數域 ，則稱 為全实域或全实数域。 若 可表為 ，設 在 上的的極小多項式為 ，則嵌入映射 透過 一一對應於 在 裡的根。 是全實域若且唯若 僅有實根。 另一種判準是： 是全實域若且唯若 。 全實域在代數數論中是較容易處理的數域。對於任意的阿貝爾擴張 ，我們有 是全實域，或者存在極大的全實子域 使得 。 (zh)
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