About: Volume form

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In mathematics, a volume form or top-dimensional form is a differential form of degree equal to the differentiable manifold dimension. Thus on a manifold of dimension , a volume form is an -form. It is an element of the space of sections of the line bundle , denoted as . A manifold admits a nowhere-vanishing volume form if and only if it is orientable. An orientable manifold has infinitely many volume forms, since multiplying a volume form by a function yields another volume form. On non-orientable manifolds, one may instead define the weaker notion of a density.

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rdfs:label	Forma de volum (ca) Volumenform (de) Forma di volume (it) Forme volume (fr) 体積形式 (ja) 부피 형식 (ko) Форма объёма (ru) Volume form (en) 体积形式 (zh) Форма об'єму (uk)
rdfs:comment	Eine Volumenform ist ein mathematisches Objekt, welches zur Integration über Raumbereiche benötigt wird, insbesondere bei der Verwendung spezieller Koordinatensysteme, also ein Spezialfall eines Volumens. In der Physik und im Ingenieurwesen sind auch Bezeichnungen wie infinitesimales Volumenelement oder Maßfaktor gebräuchlich. (de) 리만 기하학에서 부피 형식(부피形式, 영어: volume form 볼륨 폼[*])은 유향 준 리만 다양체에 대하여 정의되는 특별한 최고 차수 실수 미분 형식이다. 이를 적분하여, 다양체의 구역의 부피를 정의할 수 있다. (ko) In geometria differenziale, una forma di volume è una particolare -forma differenziale utile a definire una misura su una varietà differenziabile, e quindi un metodo per definire una nozione di volume all'interno di questa. (it) Форма объёма — дифференциальная форма высшей размерности на гладком многообразии (то есть -форма на -мерном многообразии), которая не обнуляется ни в одной точке. Форма объёма позволяет определить интеграл функции по многообразию. Другими словами, форма объёма задаёт меру, по которой можно интегрировать функции. (ru) Форма об'єму — диференціальна форма найвищої розмірності на гладкому многовиді (тобто -форма на -мірному многовиді), яка не обнуляється ні в одній точці. Форма об'єму дозволяє визначити інтеграл функції на многовиді. Іншими словами, форма об'єму задає міру, за якою можна інтегрувати функції. (uk) 数学中，体积形式提供了函数在不同坐标系（比如球坐标和圆柱坐标）下对体积积分的一种工具。更一般地，一个体积元是流形上一个测度。在一个定向n-维流形上，体积元典型地由体积形式生成，所谓体积元是一个处处非零的n-阶微分形式。一个流形具有体积形式当且仅当它是可定向的，而可定向流形有无穷多个体积形式（见下）。有一个推广的伪体积形式概念，对无论可否定向的流形都存在。许多类型的流形有典范的（伪）体积形式，因为它们有额外的结构保证可选取一个更好的体积形式。在复情形，一个带有全纯体积形式的凯勒流形是卡拉比-丘流形。 (zh) En matemàtiques, una forma de volum sobre una varietat diferenciable és una forma de dimensió màxima (és a dir, una forma diferencial de grau màxim). Així, sobre una varietat M de dimensió n, una forma de volum és una n-forma, una secció del Ωn(M) = ⋀n(T∗M). Una varietat admet una forma de volum que no s'anul·la enlloc si i només si és orientable. Una varietat orientable té un nombre infinit de formes de volum, ja que si es multiplica una forma de volum per una funció s'obté una altra forma de volum. Sobre varietats no orientables, encara es pot definir la noció més feble d'una . (ca) En géométrie différentielle, une forme volume généralise la notion de déterminant aux variétés différentielles. Elle définit une mesure sur la variété, permet le calcul des volumes généralisés, et la définition générale des orientations. (fr) In mathematics, a volume form or top-dimensional form is a differential form of degree equal to the differentiable manifold dimension. Thus on a manifold of dimension , a volume form is an -form. It is an element of the space of sections of the line bundle , denoted as . A manifold admits a nowhere-vanishing volume form if and only if it is orientable. An orientable manifold has infinitely many volume forms, since multiplying a volume form by a function yields another volume form. On non-orientable manifolds, one may instead define the weaker notion of a density. (en) 微分可能多様体(differentiable manifold)上の体積形式(volume form)とは、多様体上至る所 0 とはならない最高次数の微分形式のことである。特に、次元が n の多様体 M 上では、体積形式は至る所 0 にはならない直線束の切断(section) である n-形式である。なお、多様体が体積形式を持つことと、向き付け可能であることとは同値である。体積形式に、0 とはならない函数を掛けると再び体積形式となることから、向き付け可能な多様体は無限個の体積形式を持つ。向き付け不可能な多様体上には、代わりに、(density)というより弱い考え方がある。体積形式は、微分可能多様体上の函数の積分を定義する方法をもたらす。言い換えると、体積形式は測度をもたらし、この測度に関して函数は適切なルベーグ積分により積分することができる。体積形式の絶対値は、体積要素(volume element)であり、ツイストした体積形式(twisted volume form)や擬体積形式(pseudo-volume form)などとも呼ばれる。これも測度を定義するが、向き付け可能か否かに関係なく任意の可微分多様体上に存在する。 (ja)
rdfs:seeAlso	Density on a manifold
dct:subject	Differential geometry Riemannian manifolds Differential forms Determinants Riemannian geometry Integration on manifolds
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