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In the mathematical field of Riemannian geometry, the fundamental theorem of Riemannian geometry states that on any Riemannian manifold (or pseudo-Riemannian manifold) there is a unique affine connection that is torsion-free and metric-compatible, called the Levi-Civita connection or (pseudo-)Riemannian connection of the given metric. Because it is canonically defined by such properties, often this connection is automatically used when given a metric.

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rdfs:label	Teorema fonamental de la geometria de Riemann (ca) Teorema fundamental de la geometría de Riemann (es) Fundamental theorem of Riemannian geometry (en) Théorème fondamental de la géométrie riemannienne (fr) リーマン幾何学の基本定理 (ja) Hoofdstelling van de riemann-meetkunde (nl) Основная теорема римановой геометрии (ru)
rdfs:comment	In the mathematical field of Riemannian geometry, the fundamental theorem of Riemannian geometry states that on any Riemannian manifold (or pseudo-Riemannian manifold) there is a unique affine connection that is torsion-free and metric-compatible, called the Levi-Civita connection or (pseudo-)Riemannian connection of the given metric. Because it is canonically defined by such properties, often this connection is automatically used when given a metric. (en) Основная теорема римановой геометрии утверждает, что на любом римановом многообразии (или псевдоримановом многообразии) имеется единственная метрическая связность без кручения, называемая связностью Леви-Чивиты данной метрики. Здесь метрическая (или риманова) связность — это связность, сохраняющая метрический тензор. (ru) En geometria de Riemann, el teorema fonamental de la geometria de Riemann estableix que, donada una varietat de Riemann (o una ), hi ha una única connexió sense torsió que preserva el tensor mètric. Tal connexió s'anomena connexió de Levi-Civita. Més exactament: Sigui un varietat de Riemann (o ) llavors hi ha una connexió única que satisfà les condicions següents: 1. * Per a qualssevol camps vectorials tenim , on denota la derivada de la funció al llarg del camp vectorial . 2. * Per a qualssevol camps vectorials tenim , on denota el claudàtor de Lie per als camps vectorials . (ca) En geometría de Riemann, el teorema fundamental de la geometría de Riemann establece que dado una variedad de Riemann (o una variedad seudoriemanniana) hay una única conexión libre de torsión que preserva el tensor métrico. Tal conexión se llama conexión de Levi-Civita. Más exactamente: Sea una variedad de Riemann (o variedad pseudoriemanniana) entonces hay una conexión única que satisface las condiciones siguientes: (es) Le théorème fondamental de la géométrie riemannienne est un résultat de géométrie qui permet de bien fonder le champ de la géométrie riemannienne, c'est-à-dire l'étude des variétés, « espaces courbes » de toutes dimension, munies d'une métrique. Il affirme l'existence et l'unicité de la connexion de Levi-Civita sur toute variété riemannienne. Celle-ci permet de faire le lien entre les trois piliers du « triangle d'or » de la géométrie riemannienne : courbure, transport parallèle et calcul différentiel absolu. (fr) In de riemann-meetkunde, een deelgebied van de wiskunde, stelt de hoofdstelling van de riemann-meetkunde, dat er op enige riemann-variëteit (of pseudo-riemann-variëteit) een unieke torsie-vrije metrische verbinding bestaat, die de levi-civita-verbinding van de gegeven metriek wordt genoemd. Hier is een metrische (of riemann-)verbinding, een verbinding die de metrische tensor bewaart. Preciezer: Laat een riemann-variëteit (of pseudo-riemann-variëteit) zijn, dan is er een unieke verbinding , die aan de volgende voorwaarden voldoet: (nl) リーマン幾何学において、リーマン幾何学の基本定理(fundamental theorem of Riemannian geometry)は、任意のリーマン多様体（あるいは、擬リーマン多様体）には、捩れのない計量接続が一意的に存在するという定理である。この接続は、与えられた計量のレヴィ・チヴィタ接続(Levi-Civita connection)と呼ばれる。ここに、計量接続（あるいは、リーマン接続）は、計量テンソルを保存する接続である。正確には、リーマン幾何学の基本定理：(M, g) をリーマン多様体（あるいは、擬リーマン多様体）とすると、一意に次の条件を満たす接続 ∇ が存在する。 * 任意のベクトル場 X, Y, Z に対し、ここにはベクトル場 X に沿った函数の微分を表す。 * 任意のベクトル場 X, Y に対し、である。ここに [X, Y] はベクトル場 X, Y のリーのブラケットである。第一の条件は、計量テンソルは平行移動により保存されることを意味し、一方、第二の条件は接続 ∇ の捩れテンソルが 0 であることを表している。基本定理の拡張は、擬リーマン多様体が与えられると、一意に接続が存在し、任意のベクトル値 2-形式を持つ計量テンソルを捩れとして保存するという定理となる。 (ja)
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Link from a Wikipage to another Wikipage	Cambridge University Press Theorems in Riemannian geometry Princeton University Press Torsion (differential geometry) Vector field Articles containing proofs Riemannian manifolds Einstein–Hilbert action Connection (principal bundle) Contorsion tensor Levi-Civita connection Subscript and superscript Palatini variation Affine connection American Mathematical Society Parallel transport Frame bundle Graduate Studies in Mathematics Graduate Texts in Mathematics Einstein summation convention Pseudo-Riemannian manifold Riemannian geometry Riemannian manifold Covariant derivative Riemannian geometry Academic Press Connection (mathematics) Birkhäuser Springer, Cham Inner product Metric tensor Lie bracket of vector fields University of Chicago Press John Wiley & Sons, Inc. Koszul formula Christoffel symbol
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3loc	Definition 4.1.7 (en) Theorem 4.3.1 (en) p.48 (en)
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