In mathematics, the Odlyzko–Schönhage algorithm is a fast algorithm for evaluating the Riemann zeta function at many points, introduced by (Odlyzko & Schönhage ). The main point is the use of the fast Fourier transform to speed up the evaluation of a finite Dirichlet series of length N at O(N) equally spaced values from O(N2) to O(N1+ε) steps (at the cost of storing O(N1+ε) intermediate values). The Riemann–Siegel formula used for calculating the Riemann zeta function with imaginary part T uses a finite Dirichlet series with about N = T1/2 terms, so when finding about N values of the Riemann zeta function it is sped up by a factor of about T1/2. This reduces the time to find the zeros of the zeta function with imaginary part at most T from about T3/2+ε steps to about T1+ε steps.
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| - Verfahren von Odlyzko und Schönhage (de)
- Algorithme d'Odlyzko-Schönhage (fr)
- Odlyzko–Schönhage algorithm (en)
- Algoritme van Odlyzko-Schönhage (nl)
- Algoritmo de Odlyzko-Schönhage (pt)
- 欧德里兹科-肖恩哈格算法 (zh)
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| - Das Verfahren von Odlyzko und Schönhage liefert einen effizienten Algorithmus zur simultanen Berechnung von mehreren Werten der Riemannschen Zetafunktion. Dies ist besonders für die Berechnung der Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion, aber auch für die Berechnung von , der Anzahl der Primzahlen kleiner als n, von Bedeutung. Das Verfahren wurde 1988 von A. M. Odlyzko und A. Schönhage veröffentlicht und basiert auf der von Riemann und Siegel und der Verwendung der schnellen Fourier-Transformation (FFT). (de)
- 在数学中，欧德里兹科-肖恩哈格算法是一个用于评估多点上黎曼ζ函數的值的快速算法，由（ & ）发现。其主要思想是使用快速傅里叶变换加速N个等O(N)间隔的值的有限狄利克雷级数的计算，从O(N2)步减少到O(N1+ε)步（花费存储O(N1+ε)个中间值的代价）。黎曼-西格尔公式，用于计算虚部为T点上黎曼ζ函数的值，使用约N = T1/2项的有限狄利克雷级数，所以要找到N个黎曼ζ函数的值时，它将加速约T1/2倍。这将找到虚部不超过T的ζ函数零点所需的时间从大约T3/2+ε步减少到了大约T1+ε步。 该算法不仅可以用于黎曼ζ函数，还可以用于狄利克雷级数给出的许多其他函数。 该算法被)用于验证黎曼猜想ζ函数的前1013个零点。 (zh)
- In mathematics, the Odlyzko–Schönhage algorithm is a fast algorithm for evaluating the Riemann zeta function at many points, introduced by (Odlyzko & Schönhage ). The main point is the use of the fast Fourier transform to speed up the evaluation of a finite Dirichlet series of length N at O(N) equally spaced values from O(N2) to O(N1+ε) steps (at the cost of storing O(N1+ε) intermediate values). The Riemann–Siegel formula used for calculating the Riemann zeta function with imaginary part T uses a finite Dirichlet series with about N = T1/2 terms, so when finding about N values of the Riemann zeta function it is sped up by a factor of about T1/2. This reduces the time to find the zeros of the zeta function with imaginary part at most T from about T3/2+ε steps to about T1+ε steps. (en)
- En mathématiques, l'algorithme d'Odlyzko-Schönhage est un algorithme d'évaluation rapide de la fonction zêta de Riemann . Cet algorithme, présenté en 1988 par Andrew Odlyzko et Arnold Schönhage, a servi au premier auteur dans le calcul du 1020-ème zéro et de valeurs proches de la fonction zêta de Riemann, dans le cadre de la vérification de la conjecture connue sous le nom d'hypothèse de Riemann. L'algorithme a été repris plus tard par Xavier Gourdon et Patrick Demichel qui ont poussé les calculs plus loin encore. (fr)
- Em matemática, o algoritmo de Odlyzko-Schönhage é um algoritmo rápido para avaliar a função zeta de Riemann em muitos pontos, introduzido por e Schönhage (1988). O ponto chave é o uso da transformada rápida de Fourier para acelerar a avaliação de uma série de Dirichlet finita de comprimento N em O(N) igualmente espaçada em passos de valores de O(N2) a O(N1+ε) (ao custo de armazenar os valores u]intermediários O(N1+ε) ). A fórmula de Riemann–Siegel usada para o cálculo da função zeta de Riemann com parte imaginária T usa uma série de Dirichlet finita com aproximadamente N = T1/2 termos, então quando encontra aproximadamente N valores da função zeta de Riemann ela acelera-se por um fator de aproximadamente T1/2. Isto reduz o tempo para encontrar os zeros da função zeta com parte imaginária (pt)
- In de getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, is het algoritme van Odlyzko-Schönhage een snel algoritme voor het evalueren van de Riemann-zèta-functie op veel punten. Het algoritme werd in 1988 geïntroduceerd door Andrew Odlyzko en . Het belangrijkste aspect is het gebruik van snelle fourier-transformaties om de evaluatie van eindige Dirichletreeksen van lengte op een aantal van gelijkelijk verdeelde waarden te versnellen van tot stappen (overigens wel ten koste van het opslaan van tussenresultaten). (nl)
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| - Das Verfahren von Odlyzko und Schönhage liefert einen effizienten Algorithmus zur simultanen Berechnung von mehreren Werten der Riemannschen Zetafunktion. Dies ist besonders für die Berechnung der Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion, aber auch für die Berechnung von , der Anzahl der Primzahlen kleiner als n, von Bedeutung. Das Verfahren wurde 1988 von A. M. Odlyzko und A. Schönhage veröffentlicht und basiert auf der von Riemann und Siegel und der Verwendung der schnellen Fourier-Transformation (FFT). (de)
- In mathematics, the Odlyzko–Schönhage algorithm is a fast algorithm for evaluating the Riemann zeta function at many points, introduced by (Odlyzko & Schönhage ). The main point is the use of the fast Fourier transform to speed up the evaluation of a finite Dirichlet series of length N at O(N) equally spaced values from O(N2) to O(N1+ε) steps (at the cost of storing O(N1+ε) intermediate values). The Riemann–Siegel formula used for calculating the Riemann zeta function with imaginary part T uses a finite Dirichlet series with about N = T1/2 terms, so when finding about N values of the Riemann zeta function it is sped up by a factor of about T1/2. This reduces the time to find the zeros of the zeta function with imaginary part at most T from about T3/2+ε steps to about T1+ε steps. The algorithm can be used not just for the Riemann zeta function, but also for many other functions given by Dirichlet series. The algorithm was used by to verify the Riemann hypothesis for the first 1013 zeros of the zeta function. (en)
- En mathématiques, l'algorithme d'Odlyzko-Schönhage est un algorithme d'évaluation rapide de la fonction zêta de Riemann . Cet algorithme, présenté en 1988 par Andrew Odlyzko et Arnold Schönhage, a servi au premier auteur dans le calcul du 1020-ème zéro et de valeurs proches de la fonction zêta de Riemann, dans le cadre de la vérification de la conjecture connue sous le nom d'hypothèse de Riemann. L'aspect principal de l'algorithme est l'usage de la transformation de Fourier rapide pour accélérer l’évaluation simultanée d'une série de Dirichlet finie de N termes en O(N) points également distribués, qui passe d'une complexité en temps de O(N2) à O(N1+ε), sous réserve de stocker O(N1+ε) valeurs intermédiaires. La formule de Riemann–Siegel utilisée pour calculer la fonction zêta de Riemann avec partie imaginaire T utilise une série de Dirichlet finie avec environ N = T1/2 termes, de sorte que la complexité en temps pour trouver autour de N valeurs de la fonction zêta de Riemann est accélérée d'un facteur autour de T1/2. Ceci réduit le temps pour trouver les zéros de la fonction zêta de Riemann avec partie imaginaire au plus T de T3/2+ε à environ T1+ε étapes. L'algorithme a été repris plus tard par Xavier Gourdon et Patrick Demichel qui ont poussé les calculs plus loin encore. L'algorithme peut servir non seulement pour la fonction zêta de Riemann, mais aussi pour beaucoup d'autres fonctions données par des séries de Dirichlet. (fr)
- In de getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, is het algoritme van Odlyzko-Schönhage een snel algoritme voor het evalueren van de Riemann-zèta-functie op veel punten. Het algoritme werd in 1988 geïntroduceerd door Andrew Odlyzko en . Het belangrijkste aspect is het gebruik van snelle fourier-transformaties om de evaluatie van eindige Dirichletreeksen van lengte op een aantal van gelijkelijk verdeelde waarden te versnellen van tot stappen (overigens wel ten koste van het opslaan van tussenresultaten). De Riemann-Siegel-formule, die wordt gebruikt voor de berekening van de Riemann-zèta-functie met imaginair deel T maakt gebruik van een eindige Dirichletreeks met ongeveer termen, dus bij het vinden van ongeveer waarden van de Riemann-zèta-functie wordt de berekening met een factor van ongeveer versneld. Dit vermindert de tijd om de nulpunten van de zèta-functie met imaginaire deel op ten hoogste te berekenen van ongeveer stappen naar ongeveer stappen. Het algoritme kan niet alleen worden gebruikt voor de Riemann-zèta-functie, maar ook voor vele andere functies die worden gegeven door de Dirichlet-reeksen. Het algoritme werd gebruikt door Gourdon (2004) om te Riemann-hypothese voor de eerste 1013 nulpunten van de Riemann-zèta-functie te verifiëren. (nl)
- Em matemática, o algoritmo de Odlyzko-Schönhage é um algoritmo rápido para avaliar a função zeta de Riemann em muitos pontos, introduzido por e Schönhage (1988). O ponto chave é o uso da transformada rápida de Fourier para acelerar a avaliação de uma série de Dirichlet finita de comprimento N em O(N) igualmente espaçada em passos de valores de O(N2) a O(N1+ε) (ao custo de armazenar os valores u]intermediários O(N1+ε) ). A fórmula de Riemann–Siegel usada para o cálculo da função zeta de Riemann com parte imaginária T usa uma série de Dirichlet finita com aproximadamente N = T1/2 termos, então quando encontra aproximadamente N valores da função zeta de Riemann ela acelera-se por um fator de aproximadamente T1/2. Isto reduz o tempo para encontrar os zeros da função zeta com parte imaginária em quase T para aproximadamente T3/2+ε passos para aproximadamente T1+ε passos. O algoritmo pode se usado não só para a função zeta de Riemann, mas também para muitas outras funções dadas pela séries de Dirichlet. O algoritmo foi usado por Gourdon (2004) para verificar a hipótese de Riemann para os primeiros 1013 da função zeta. (pt)
- 在数学中，欧德里兹科-肖恩哈格算法是一个用于评估多点上黎曼ζ函數的值的快速算法，由（ & ）发现。其主要思想是使用快速傅里叶变换加速N个等O(N)间隔的值的有限狄利克雷级数的计算，从O(N2)步减少到O(N1+ε)步（花费存储O(N1+ε)个中间值的代价）。黎曼-西格尔公式，用于计算虚部为T点上黎曼ζ函数的值，使用约N = T1/2项的有限狄利克雷级数，所以要找到N个黎曼ζ函数的值时，它将加速约T1/2倍。这将找到虚部不超过T的ζ函数零点所需的时间从大约T3/2+ε步减少到了大约T1+ε步。 该算法不仅可以用于黎曼ζ函数，还可以用于狄利克雷级数给出的许多其他函数。 该算法被)用于验证黎曼猜想ζ函数的前1013个零点。 (zh)
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