In mathematics, the Riemann–Siegel formula is an asymptotic formula for the error of the approximate functional equation of the Riemann zeta function, an approximation of the zeta function by a sum of two finite Dirichlet series. It was found by in unpublished manuscripts of Bernhard Riemann dating from the 1850s. Siegel derived it from the Riemann–Siegel integral formula, an expression for the zeta function involving contour integrals. It is often used to compute values of the Riemann–Siegel formula, sometimes in combination with the Odlyzko–Schönhage algorithm which speeds it up considerably. When used along the critical line, it is often useful to use it in a form where it becomes a formula for the Z function.
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| - Fórmula de Riemann–Siegel (es)
- Formule de Riemann-Siegel (fr)
- リーマン・ジーゲルの公式 (ja)
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- Riemann–Siegel formula (en)
- Fórmula de Riemann–Siegel (pt)
- 黎曼-西格尔公式 (zh)
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| - En mathématiques, et plus précisément en analyse, la formule de Riemann-Siegel est une estimation asymptotique de l'erreur de l'équation fonctionnelle d'approximation de la fonction zêta de Riemann, c'est-à-dire une approximation de la fonction zêta par la somme de séries de Dirichlet finies. (fr)
- 在数学中，黎曼-西格尔公式是黎曼ζ函數的近似函数方程误差的渐近公式，前者是ζ函數的近似值，由两个有限狄利克雷级数的和来近似。)在波恩哈德·黎曼1850年代一篇未发表的手稿中发现这个公式。西格尔从黎曼-西格尔积分公式中推导出它，这是一个涉及ζ函数围道积分的表达式。该公式通常用于计算黎曼-西格尔公式的值，与欧德里兹科-肖恩哈格算法相结合，可以大大加快算法的速度。当沿着临界线使用时，通常将其变换为关于的公式比较有用。 如果M和N是非负整数，那么ζ函数等于 其中 是函数方程ζ(s) = γ(1-s) ζ(1 − s)中出现的因数，且 是一个围道积分，围道的起点和终点在+∞处，并最多绕绝对值奇点2πM圈。近似函数方程给出了误差项大小的估计。)和)通过将最速下降法应用于该积分，推导出黎曼-西格尔公式，将误差项R(s)渐近展开为Im(s)的负幂次级数。在应用中，s通常位于临界线上，并且选择正整数M和N约为(2πIm(s))1/2。)发现了一个黎曼-西格尔公式误差的较好界限。 (zh)
- En matemática, la fórmula de Riemann–Siegel es una fórmula asintótica para el error que se comete en la ecuación funcional aproximada de la función zeta de Riemann, una aproximación de la función zeta mediante las suma de dos series de Dirichlet finitas. Esta fue encontrada por en unos manuscritos no publicados de Bernhard Riemann alrededor de los años 1850s. Siegel convirtió esta en la fórmula integral de Riemann–Siegel, una expresión para la función zeta en la que intervienen integrales de contorno. Es a menudo usada para calcular valores de la fórmula de Riemann–Siegel, a veces en combinación con el , lo cual aumenta la velocidad de los cálculos considerablemente. (es)
- In mathematics, the Riemann–Siegel formula is an asymptotic formula for the error of the approximate functional equation of the Riemann zeta function, an approximation of the zeta function by a sum of two finite Dirichlet series. It was found by in unpublished manuscripts of Bernhard Riemann dating from the 1850s. Siegel derived it from the Riemann–Siegel integral formula, an expression for the zeta function involving contour integrals. It is often used to compute values of the Riemann–Siegel formula, sometimes in combination with the Odlyzko–Schönhage algorithm which speeds it up considerably. When used along the critical line, it is often useful to use it in a form where it becomes a formula for the Z function. (en)
- 数学におけるリーマン–ジーゲルの公式（リーマン・ジ－ゲルのこうしき、英: Riemann–Siegel formula）はリーマンゼータ函数の「近似函数等式」（二つのディリクレ級数の和によるゼータ函数の近似）の誤差項に対するである。この公式は、 が1850年代からのベルンハルト・リーマンの未発表原稿において発見した。ジーゲルはこれを（ゼータ函数の周回積分表示）から導いた。この積分公式はしばしばリーマン–ジーゲルの公式の値の計算に（ときには計算を劇的に速くすると組み合わせて）用いられる。臨界帯に沿って用いるとき、公式はに対する公式となり、しばしば有用である。 M, N を非負整数とするとき、ゼータ函数は に等しい（近似函数等式）。ただし、 は函数等式 ζ(s) = γ(1 − s) ζ(1 − s) に現れる乗因子で、周回積分 の積分路は +∞ を基点（始点および終点）とし、絶対値高々 2πM の特異点をすべて囲む。 (ja)
- De Riemann-Siegel-formule is in de getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, een asymptotische formule voor de fout in de benadering van de functionaalvergelijking van de Riemann-zèta-functie, een benadering van de zèta-functie door een eindige som van twee eindige Dirichletreeksen. Als en niet-negatieve gehele getallen zijn, dan is de zèta-functie gelijk aan waar de factor is die verschijnt in de functionele vergelijking ζ(s) = γ(s) ζ(1 − s) en waarin (nl)
- Em matemática a fórmula Riemann-Siegel é uma fórmula assintótica para o erro da equação funcional aproximada da função zeta de Riemann, uma aproximação da função zeta pela soma de duas séries de Dirichlet finitas. Ela foi encontrada por Siegel (1932) em manuscritos não publicados de Bernhard Riemann datando dos anos 1850. Siegel derivou-a da fórmula integral Riemann-Siegel, uma expressão da função zera envolvendo integrais de contorno. Ela é frequentemente usada para calcular valores da fórmula de Riemann-Siegel, algumas vezes em combinação com o algoritmo de Odlyzko-Schönhage o qual a acelera consideravelmente. (pt)
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| - Riemann–Siegel Formula (en)
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| - En matemática, la fórmula de Riemann–Siegel es una fórmula asintótica para el error que se comete en la ecuación funcional aproximada de la función zeta de Riemann, una aproximación de la función zeta mediante las suma de dos series de Dirichlet finitas. Esta fue encontrada por en unos manuscritos no publicados de Bernhard Riemann alrededor de los años 1850s. Siegel convirtió esta en la fórmula integral de Riemann–Siegel, una expresión para la función zeta en la que intervienen integrales de contorno. Es a menudo usada para calcular valores de la fórmula de Riemann–Siegel, a veces en combinación con el , lo cual aumenta la velocidad de los cálculos considerablemente. Si M y N son dos números enteros no negativos, entonces la función zeta es igual a donde:
* es un factor que aparece en la ecuación funcional ζ(s) = γ(s) ζ(1 − s), y
* es una integral de contorno, cuyo contorno comienza y termina en +∞ y circunferencias de singularidades de un valor absoluto a lo sumo 2πM. La ecuación funcional aproximada da una estimación del tamaño del término error. y derivaron la fórmula de Riemann–Siegel formula para este fin, mediante la aplicación del a esta integral, lo cual da una expansión asintótica para el término error R(s) como una serie de potencias negativas de Im(s). En aplicaciones, s está usualmente en la línea crítica, y los enteros positivos M y N son escogidos de tal manera que estén cercanos a (2π Im(s))1/2. encontró unos buenos límites para el término de error de la fórmula Riemann–Siegel. (es)
- In mathematics, the Riemann–Siegel formula is an asymptotic formula for the error of the approximate functional equation of the Riemann zeta function, an approximation of the zeta function by a sum of two finite Dirichlet series. It was found by in unpublished manuscripts of Bernhard Riemann dating from the 1850s. Siegel derived it from the Riemann–Siegel integral formula, an expression for the zeta function involving contour integrals. It is often used to compute values of the Riemann–Siegel formula, sometimes in combination with the Odlyzko–Schönhage algorithm which speeds it up considerably. When used along the critical line, it is often useful to use it in a form where it becomes a formula for the Z function. If M and N are non-negative integers, then the zeta function is equal to where is the factor appearing in the functional equation ζ(s) = γ(1 − s) ζ(1 − s), and is a contour integral whose contour starts and ends at +∞ and circles the singularities of absolute value at most 2πM. The approximate functional equation gives an estimate for the size of the error term. and derive the Riemann–Siegel formula from this by applying the method of steepest descent to this integral to give an asymptotic expansion for the error term R(s) as a series of negative powers of Im(s). In applications s is usually on the critical line, and the positive integers M and N are chosen to be about (2πIm(s))1/2. found good bounds for the error of the Riemann–Siegel formula. (en)
- En mathématiques, et plus précisément en analyse, la formule de Riemann-Siegel est une estimation asymptotique de l'erreur de l'équation fonctionnelle d'approximation de la fonction zêta de Riemann, c'est-à-dire une approximation de la fonction zêta par la somme de séries de Dirichlet finies. (fr)
- 数学におけるリーマン–ジーゲルの公式（リーマン・ジ－ゲルのこうしき、英: Riemann–Siegel formula）はリーマンゼータ函数の「近似函数等式」（二つのディリクレ級数の和によるゼータ函数の近似）の誤差項に対するである。この公式は、 が1850年代からのベルンハルト・リーマンの未発表原稿において発見した。ジーゲルはこれを（ゼータ函数の周回積分表示）から導いた。この積分公式はしばしばリーマン–ジーゲルの公式の値の計算に（ときには計算を劇的に速くすると組み合わせて）用いられる。臨界帯に沿って用いるとき、公式はに対する公式となり、しばしば有用である。 M, N を非負整数とするとき、ゼータ函数は に等しい（近似函数等式）。ただし、 は函数等式 ζ(s) = γ(1 − s) ζ(1 − s) に現れる乗因子で、周回積分 の積分路は +∞ を基点（始点および終点）とし、絶対値高々 2πM の特異点をすべて囲む。 この近似函数等式は誤差項の大きさに対する評価を与える および では、この誤差項 R(s) の ℑm(s) に関する負冪の級数としての漸近展開を与えるために、この積分にを適用して、リーマン–ジーゲルの公式を導出している。応用上、s はふつう臨界帯上にとり、正整数 M, N は (2πIm(s))1/2 の近くに取る。 はリーマン–ジーゲルの公式の誤差に関してよい評価を求めている。 (ja)
- De Riemann-Siegel-formule is in de getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, een asymptotische formule voor de fout in de benadering van de functionaalvergelijking van de Riemann-zèta-functie, een benadering van de zèta-functie door een eindige som van twee eindige Dirichletreeksen. De Riemann-Siegel-formule werd in 1932 door Carl Ludwig Siegel gevonden in een verzameling ongepubliceerde manuscripten van Bernhard Riemann uit de jaren 1850. Siegel leidde de formule af van de Riemann-Siegel-integraalformule, een expressie voor de zèta-functie waarin gebruik wordt gemaakt van contourintegralen. Ze wordt vaak gebruikt om waarden van de Riemann-Siegel-formule te berekenen, soms in combinatie met het algoritme van Odlyzko-Schönhage, dat de berekening aanzienlijk versnelt. Wanneer gebruikt langs de , is het vaak nuttig de formule in een vorm te gebruiken, waarin het een formule voor de wordt. Als en niet-negatieve gehele getallen zijn, dan is de zèta-functie gelijk aan waar de factor is die verschijnt in de functionele vergelijking ζ(s) = γ(s) ζ(1 − s) en waarin een contourintegraal is, waarvan de contour begint en eindigt op +∞ en de singulariteiten van de absolute waarde op ten hoogste 2πM omcirkelt. De geschatte functionaalvergelijking geeft een schatting van de grootte van de foutterm. Siegel en Edwards leiden de Riemann-Siegel-formule hieruit af door op deze integraal de methode van de steilste afdaling toe te passen om zo een asymptotische expansie van de foutterm te geven als een reeks van negatieve machten van . In toepassingen ligt meestal op de , en worden de positieve gehele getallen en gekozen om over 2πIm(s)1/2.Gabcke vond in 1979 goede begrenzingen voor de fout in de Riemann-Siegel-formule. (nl)
- Em matemática a fórmula Riemann-Siegel é uma fórmula assintótica para o erro da equação funcional aproximada da função zeta de Riemann, uma aproximação da função zeta pela soma de duas séries de Dirichlet finitas. Ela foi encontrada por Siegel (1932) em manuscritos não publicados de Bernhard Riemann datando dos anos 1850. Siegel derivou-a da fórmula integral Riemann-Siegel, uma expressão da função zera envolvendo integrais de contorno. Ela é frequentemente usada para calcular valores da fórmula de Riemann-Siegel, algumas vezes em combinação com o algoritmo de Odlyzko-Schönhage o qual a acelera consideravelmente. Se M e N são inteiros não negativos, então a função zeta é igual a onde é o fator aparecendo na equação funcional ζ(s) = γ(s)ζ(1−s), e é uma integral de contorno na qual o contorno inicia e termina em +∞ e circula as singularidades de valor absoluto no máximo 2πM. A equação funcional aproximada da uma estimativa para o tamanho do termo erro. Siegel (1932) e Edwards (1974) derivam a fórmula Riemann-Siegel disto por aplicação do método da descida mais íngreme a esta integral para obter uma expansão assintótica para o termo erro R(s) como uma série de potências negativas de Im(s). Em aplicações s é normalmente sobre a linha crítica, e os inteiros positivos M e N são escolhidos para serem aproximadamente (2π Im(s))1/2. Gabcke (1979) encontrou encontraram limites bom para o erro da fórmula de Riemann-Siegel. (pt)
- 在数学中，黎曼-西格尔公式是黎曼ζ函數的近似函数方程误差的渐近公式，前者是ζ函數的近似值，由两个有限狄利克雷级数的和来近似。)在波恩哈德·黎曼1850年代一篇未发表的手稿中发现这个公式。西格尔从黎曼-西格尔积分公式中推导出它，这是一个涉及ζ函数围道积分的表达式。该公式通常用于计算黎曼-西格尔公式的值，与欧德里兹科-肖恩哈格算法相结合，可以大大加快算法的速度。当沿着临界线使用时，通常将其变换为关于的公式比较有用。 如果M和N是非负整数，那么ζ函数等于 其中 是函数方程ζ(s) = γ(1-s) ζ(1 − s)中出现的因数，且 是一个围道积分，围道的起点和终点在+∞处，并最多绕绝对值奇点2πM圈。近似函数方程给出了误差项大小的估计。)和)通过将最速下降法应用于该积分，推导出黎曼-西格尔公式，将误差项R(s)渐近展开为Im(s)的负幂次级数。在应用中，s通常位于临界线上，并且选择正整数M和N约为(2πIm(s))1/2。)发现了一个黎曼-西格尔公式误差的较好界限。 (zh)
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