In abstract algebra, a branch of mathematics, a simple ring is a non-zero ring that has no two-sided ideal besides the zero ideal and itself. In particular, a commutative ring is a simple ring if and only if it is a field. The center of a simple ring is necessarily a field. It follows that a simple ring is an associative algebra over this field. So, simple algebra and simple ring are synonyms. An example of a simple ring that is not a matrix ring over a division ring is the Weyl algebra.
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| - حلقة بسيطة (ar)
- Jednoduchý okruh (cs)
- Anneau simple (fr)
- Anello semplice (it)
- 単純環 (ja)
- 단순환 (ko)
- Enkelvoudige ring (nl)
- Simple ring (en)
- Простое кольцо (алгебра) (ru)
- 单环 (zh)
- Просте кільце (uk)
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| rdfs:comment
| - في الجبر التجريدي، فرعا من الرياضيات، حلقة بسيطة (بالإنجليزية: Simple ring) هي حلقه غير منعدمة لا تملك أي مثالي ثنائ الأوجه غير والحلقة ذاتها. بشكل خاص، حلقة تبادلية هي حلقة بسيطة إذا وفقط إذا كانت حقلا. (ar)
- Jednoduchý okruh je v abstraktní algebře každý takový okruh, který nemá žádné (oboustranné) vlastní ideály. Tedy jedinými ideály, které obsahuje, jsou a sám okruh. Platí, že každé těleso je jednoduchý okruh. Také platí, že faktorokruh podle maximálního ideálu je vždy jednoduchý okruh. (cs)
- 数学の環論において、（1 ≠ 0 を持つ可換とは限らない）環 R が単純（たんじゅん、英: simple）であるとは、R の両側イデアルが 0 と R しか存在しないことをいう。 (ja)
- 환론에서 단순환(單純環, 영어: simple ring)은 비자명 아이디얼을 갖지 않는 비자명 환이다. 군론에서의 단순군(정규 부분군을 갖지 않는 군)에 대응되는 개념이다. (ko)
- In algebra astratta un anello semplice è un anello che ha come unici ideali bilateri l'ideale nullo e se stesso. Il termine semplice indica che l'anello non è scomponibile in anelli più semplici, in quanto non possiede alcun anello quoziente, salvo quelli banali. (it)
- Простое кольцо — кольцо , такое, что и в нетдвусторонних идеалов, отличных от и . (ru)
- 在环论中，若某非无零因子环除了及其本身兩個理想外沒有其他双边理想，则称该环为单环。特别地，交换环是单环当且仅当它是一个域。 单环的中心必是一個域，所以单环是该域上的一个結合代數。因此，单代数和单环是相同的概念。 此外，一些参考文献（例如Lang（2002）或Bourbaki（2012））还要求该环是左阿廷环或右阿廷环（即半单环）。在這種术语下，没有非平凡雙邊理想的非无零因子环被称为准单环（quasi-simple）。 存在在自身上不是单模的单环，即单环可以有非平凡的左理想和/或右理想：例如域上的全矩阵环，它没有非平凡理想（因为的任何理想都具有的形式，其中是的理想），但却有非平凡的左理想（例如，某些固定列为零的矩阵组成的集合）。 根据阿廷-韦德伯恩定理，所有单左/右阿廷环都是除环上的矩阵环。特别地，如果一个单环是实数域上的有限維度向量空间，则它必然與实数域、複數域或四元數域上的矩阵环同構。 单环，但非除环上的矩阵环的一个例子是。 (zh)
- Кільце називається простим, якщо і не маєдвосторонніх ідеалів, відмінних і . (uk)
- En mathématiques, un anneau simple est une des structures algébriques utilisées en algèbre générale. Un anneau est dit simple s'il est non nul et n'admet pas d'autres idéaux bilatères que {0} et lui-même. Un anneau commutatif est simple si et seulement si c'est un corps commutatif. Une algèbre associative (unitaire) sur un corps commutatif est dite simple si son anneau sous-jacent est simple. (fr)
- In abstract algebra, a branch of mathematics, a simple ring is a non-zero ring that has no two-sided ideal besides the zero ideal and itself. In particular, a commutative ring is a simple ring if and only if it is a field. The center of a simple ring is necessarily a field. It follows that a simple ring is an associative algebra over this field. So, simple algebra and simple ring are synonyms. An example of a simple ring that is not a matrix ring over a division ring is the Weyl algebra. (en)
- In de ringtheorie, een deelgebied van de abstracte algebra, is een enkelvoudige ring een ring met meer dan een element, die geen ideaal heeft behalve het nulideaal en zichzelf. Een enkelvoudige ring kan altijd als een enkelvoudige algebra worden beschouwd. Elk quotiënt van een ring door een maximaal ideaal is een enkelvoudige ring. In het bijzonder is een veld B/lichaam NL een enkelvoudige ring. Een ring is dan en slechts dan enkelvoudig als haar tegenovergestelde ring enkelvoudig is. Een voorbeeld van een enkelvoudige ring, die geen matrixring over een deelring is, is de Weyl-algebra. (nl)
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| - في الجبر التجريدي، فرعا من الرياضيات، حلقة بسيطة (بالإنجليزية: Simple ring) هي حلقه غير منعدمة لا تملك أي مثالي ثنائ الأوجه غير والحلقة ذاتها. بشكل خاص، حلقة تبادلية هي حلقة بسيطة إذا وفقط إذا كانت حقلا. (ar)
- Jednoduchý okruh je v abstraktní algebře každý takový okruh, který nemá žádné (oboustranné) vlastní ideály. Tedy jedinými ideály, které obsahuje, jsou a sám okruh. Platí, že každé těleso je jednoduchý okruh. Také platí, že faktorokruh podle maximálního ideálu je vždy jednoduchý okruh. (cs)
- En mathématiques, un anneau simple est une des structures algébriques utilisées en algèbre générale. Un anneau est dit simple s'il est non nul et n'admet pas d'autres idéaux bilatères que {0} et lui-même. Un anneau commutatif est simple si et seulement si c'est un corps commutatif. Plus généralement, un corps (non nécessairement commutatif) est un anneau simple, et l'anneau des matrices carrées d'ordre n à coefficients dans un corps est simple. Parmi les anneaux simples, ceux qui sont artiniens sont, à un isomorphisme près, les anneaux des matrices carrées d'ordre fixé (quelconque) à coefficients dans un corps (quelconque). Une algèbre associative (unitaire) sur un corps commutatif est dite simple si son anneau sous-jacent est simple. (fr)
- In abstract algebra, a branch of mathematics, a simple ring is a non-zero ring that has no two-sided ideal besides the zero ideal and itself. In particular, a commutative ring is a simple ring if and only if it is a field. The center of a simple ring is necessarily a field. It follows that a simple ring is an associative algebra over this field. So, simple algebra and simple ring are synonyms. Several references (e.g., Lang (2002) or Bourbaki (2012)) require in addition that a simple ring be left or right Artinian (or equivalently semi-simple). Under such terminology a non-zero ring with no non-trivial two-sided ideals is called quasi-simple. Rings which are simple as rings but are not a simple module over themselves do exist: a full matrix ring over a field does not have any nontrivial ideals (since any ideal of is of the form with an ideal of ), but has nontrivial left ideals (for example, the sets of matrices which have some fixed zero columns). According to the Artin–Wedderburn theorem, every simple ring that is left or right Artinian is a matrix ring over a division ring. In particular, the only simple rings that are a finite-dimensional vector space over the real numbers are rings of matrices over either the real numbers, the complex numbers, or the quaternions. An example of a simple ring that is not a matrix ring over a division ring is the Weyl algebra. (en)
- 数学の環論において、（1 ≠ 0 を持つ可換とは限らない）環 R が単純（たんじゅん、英: simple）であるとは、R の両側イデアルが 0 と R しか存在しないことをいう。 (ja)
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