| rdfs:comment
| - In field theory, a simple extension is a field extension which is generated by the adjunction of a single element. Simple extensions are well understood and can be completely classified. The primitive element theorem provides a characterization of the finite simple extensions. (en)
- In matematica, ed in particolare in teoria dei campi, un'estensione di campi si dice estensione semplice se esiste un elemento tale che . (it)
- En mathématiques et plus précisément en algèbre, dans le cadre de la théorie des corps commutatifs, une extension L d'un corps K est dite simple s'il existe un élément α de L tel que L est égal à K(α). L'extension simple K(α) est finie si et seulement si α est algébrique sur K. La seule extension simple infinie de K (à isomorphisme près) est le corps de fractions rationnelles K(X). Le théorème de l'élément primitif assure que toute extension séparable finie est simple. (fr)
- 체론에서 단순 확대(單純擴大, 영어: simple extension)는 하나의 원소로 생성되는 체의 확대이다. (ko)
- 数学、より正確には代数学において、可換体の理論の枠組みで、体 K の拡大 L は、L のある元 α が存在して L が K(α) と等しいときに単拡大あるいは単純拡大 (simple extension) という。 単拡大 K(α) が有限拡大であることと α が K 上代数的であることは同値である。K の（同型の違いを除いて）唯一の無限単拡大は有理関数体 K(X) である。 原始元定理はすべての有限分離拡大が単拡大であることを保証する。 (ja)
- Просте розширення — розширення поля, породжене додаванням до поля одного елемента. (uk)
- 单扩张是由一个元素生成的域扩张，也是最简单的域扩张，记作F(a)。新的域是原域加上新元素而成的最小域。 本原元定理描述了哪些域擴張E/F中的E可以表示為单扩张。 (zh)
- En matemàtiques, un element primitiu d'una extensió de cossos L/K és un element ζ de L tal que L = K(ζ), o en altres paraules, L està generat per ζ sobre K. Això significa que tot element de L pot ser escrit com un quocient de dos polinomis en ζ amb coeficients en K. Si l'extensió L/K admet un element primitiu, aleshores L pot ser de K, cas en el qual ζ és un element algebraic de L sobre K, o en canvi L és isomorf al cos de funcions racionals sobre K en una indeterminada, en aquest caso ζ és un de L sobre K. X² − 2 i X² − 3, γ = α + β Un corol·lari important d'aquest teorema afirma: (ca)
- En la teoría de cuerpos (una rama del álgebra), una extensión simple es una extensión de cuerpos de manera que L está generado por un solo elemento, al cual se lo denomina elemento primitivo. Dicho de otro modo, un elemento primitivo de una extensión de cuerpos L/K es un elemento ζ de L tal que L = K(ζ), o en otras palabras, L está generado por ζ sobre K. Esto significa que todo elemento de L puede ser escrito como cociente de dos polinomios en ζ con coeficientes en K. (es)
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| has abstract
| - En matemàtiques, un element primitiu d'una extensió de cossos L/K és un element ζ de L tal que L = K(ζ), o en altres paraules, L està generat per ζ sobre K. Això significa que tot element de L pot ser escrit com un quocient de dos polinomis en ζ amb coeficients en K. Si l'extensió L/K admet un element primitiu, aleshores L pot ser de K, cas en el qual ζ és un element algebraic de L sobre K, o en canvi L és isomorf al cos de funcions racionals sobre K en una indeterminada, en aquest caso ζ és un de L sobre K. El teorema de l'element primitiu de teoria de cossos respon la pregunta de quines extensions finites de cossos tenen elements primitius. Per exemple, no és immediatament obvi que si s'adjunta al cos Q de nombres racionals les arrels dels següents polinomis X² − 2 i X² − 3, anomenades α i β respectivament, per a obtenir un cos K = Q(α, β) de grau 4 sobre Q, on K és Q(γ) per a un element primitiu γ. De fet, un pot veure que γ = α + β les potències de γi per a 0 ≤ i ≤ 3 poden ser expressades com a combinació lineal d'1, α, β i αβ amb coeficients enters. Prenent aquestes igualtats com un sistema lineal d'equacions, es pot resoldre per a α i β sobre Q(γ), la qual cosa implica que aquesta elecció de γ és en realitat un element primitiu en aquest exemple. En general, el teorema de l'element primitiu s'enuncia de la següent forma: L'extensió de cossos L/K és finita i té un element primitiu si i només si hi ha un nombre finit de subextensions de cossos F amb K ⊆ F ⊆ L. Un corol·lari important d'aquest teorema afirma: Tota extensió separable finita L/K té un element primitiu. Aquest corol·lari és aplicable a l'exemple exposat anteriorment (i a molts de similars), ja que Q té característica 0 pel que tota extensió finita sobre Q és separable. Per a extensions inseparables (o no separables), es pot afirmar el següent: Si el grau de l'extensió [L:K] és un nombre primer, aleshores L/K té un element primitiu. Si el grau de l'extensió no és un nombre primer i l'extensió no és separable, es poden trobar contraexemples. Per exemple, si K és Fp(T,U), el cos de les funcions racionals amb dues indeterminades T i U sobre el cos finit amb p elements, i L s'obté a partir de K adjuntant una arrel pèssima de T, i de U, aleshores no existeix cap element primitiu de L sobre K. De feto es pot veure que per a qualsevol α en L, l'element αp pertany a K. Además tenemos que [L:K] = p² però no existeixen elements de L amb grau p² sobre K, com qualsevol element primitiu hauria de tenir. (ca)
- En la teoría de cuerpos (una rama del álgebra), una extensión simple es una extensión de cuerpos de manera que L está generado por un solo elemento, al cual se lo denomina elemento primitivo. Dicho de otro modo, un elemento primitivo de una extensión de cuerpos L/K es un elemento ζ de L tal que L = K(ζ), o en otras palabras, L está generado por ζ sobre K. Esto significa que todo elemento de L puede ser escrito como cociente de dos polinomios en ζ con coeficientes en K. Si la extensión L/K es simple (es decir, si admite un elemento primitivo), entonces L puede ser una extensión finita de K (caso en el que ζ es un elemento algebraico de L sobre K), o en cambio L es isomorfo al cuerpo de funciones racionales sobre K en una indeterminada (en este caso ζ es un elemento trascendente de L sobre K). (es)
- In field theory, a simple extension is a field extension which is generated by the adjunction of a single element. Simple extensions are well understood and can be completely classified. The primitive element theorem provides a characterization of the finite simple extensions. (en)
- In matematica, ed in particolare in teoria dei campi, un'estensione di campi si dice estensione semplice se esiste un elemento tale che . (it)
- En mathématiques et plus précisément en algèbre, dans le cadre de la théorie des corps commutatifs, une extension L d'un corps K est dite simple s'il existe un élément α de L tel que L est égal à K(α). L'extension simple K(α) est finie si et seulement si α est algébrique sur K. La seule extension simple infinie de K (à isomorphisme près) est le corps de fractions rationnelles K(X). Le théorème de l'élément primitif assure que toute extension séparable finie est simple. (fr)
- 체론에서 단순 확대(單純擴大, 영어: simple extension)는 하나의 원소로 생성되는 체의 확대이다. (ko)
- 数学、より正確には代数学において、可換体の理論の枠組みで、体 K の拡大 L は、L のある元 α が存在して L が K(α) と等しいときに単拡大あるいは単純拡大 (simple extension) という。 単拡大 K(α) が有限拡大であることと α が K 上代数的であることは同値である。K の（同型の違いを除いて）唯一の無限単拡大は有理関数体 K(X) である。 原始元定理はすべての有限分離拡大が単拡大であることを保証する。 (ja)
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- 单扩张是由一个元素生成的域扩张，也是最简单的域扩张，记作F(a)。新的域是原域加上新元素而成的最小域。 本原元定理描述了哪些域擴張E/F中的E可以表示為单扩张。 (zh)
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