About: Stable manifold

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In mathematics, and in particular the study of dynamical systems, the idea of stable and unstable sets or stable and unstable manifolds give a formal mathematical definition to the general notions embodied in the idea of an attractor or repellor. In the case of hyperbolic dynamics, the corresponding notion is that of the hyperbolic set.

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rdfs:comment	In mathematics, and in particular the study of dynamical systems, the idea of stable and unstable sets or stable and unstable manifolds give a formal mathematical definition to the general notions embodied in the idea of an attractor or repellor. In the case of hyperbolic dynamics, the corresponding notion is that of the hyperbolic set. (en) 力学系において、安定多様体（あんていたようたい、Stable manifold）または安定集合（あんていしゅうごう、Stable set）とは、ある固定点に収束する点全体の集合。相空間 X と関数 f t により力学系が定義されているとする。 p をこの系での固定点とする。このとき、p の安定多様体または安定集合とは、である。また、 p の不安定多様体または不安定集合とは、である。ここで、はの逆写像、つまり、を表す。ただし、はへの恒等写像とする。 (ja) In matematica, ed in particolare nello studio dei sistemi dinamici, una varietà stabile di un punto di equilibrio di un sistema dinamico è l'insieme dei punti nello spazio delle fasi la cui orbita si avvicina al punto di equilibrio nell'avanzare del tempo. Si tratta di un oggetto fondamentale per studiare la stabilità interna di un sistema dinamico, ed in particolare nel descrivere gli attrattori. (it) 在数学动力系统的研究中，稳定（或不稳定）流形指的是以指数率趋向（或远离）某一不变集的点的集合。 (zh) Les variétés stables jouent un rôle central dans les systèmes dynamiques différentiables en temps continu. Cette notion est aussi au centre de l'homologie de Floer. Soit une fonction différentiable sur une variété différentielle compacte de dimension . Considérons une métrique riemannienne sur . Le champ de gradient de est défini par Comme est compacte, le flot de grad F est complet et définit un groupe à un paramètre de difféomorphismes Ici, désigne l'indice de la hessienne, c'est-à-dire la dimension maximum d'un sous-espace sur lequel elle est définie négative. (fr)
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has abstract	Les variétés stables jouent un rôle central dans les systèmes dynamiques différentiables en temps continu. Cette notion est aussi au centre de l'homologie de Floer. Soit une fonction différentiable sur une variété différentielle compacte de dimension . Considérons une métrique riemannienne sur . Le champ de gradient de est défini par Un point critique est dit non dégénéré lorsque la hessienne est une forme blinéaire non dégénérée sur . En apparence, la connexion de Levi-Cevita intervient dans la définition de la hessienne, mais en un point critique , la définition de la hessienne ne dépend pas de la métrique. En particulier, la définition d'un point critique non dégénéré est intrinsèque à la variété. Comme est compacte, le flot de grad F est complet et définit un groupe à un paramètre de difféomorphismes Si est un point critique non dégénéré, on appelle variété stable Le résultat suivant est non élémentaire et ses implications sont larges et considérables. Théorème : Sous les notations précédentes, la variété stable est une sous-variété plongée de , de dimension . De plus, l'espace tangent en l'élément x est : Ici, désigne l'indice de la hessienne, c'est-à-dire la dimension maximum d'un sous-espace sur lequel elle est définie négative. (fr) In mathematics, and in particular the study of dynamical systems, the idea of stable and unstable sets or stable and unstable manifolds give a formal mathematical definition to the general notions embodied in the idea of an attractor or repellor. In the case of hyperbolic dynamics, the corresponding notion is that of the hyperbolic set. (en) 力学系において、安定多様体（あんていたようたい、Stable manifold）または安定集合（あんていしゅうごう、Stable set）とは、ある固定点に収束する点全体の集合。相空間 X と関数 f t により力学系が定義されているとする。 p をこの系での固定点とする。このとき、p の安定多様体または安定集合とは、である。また、 p の不安定多様体または不安定集合とは、である。ここで、はの逆写像、つまり、を表す。ただし、はへの恒等写像とする。 (ja) In matematica, ed in particolare nello studio dei sistemi dinamici, una varietà stabile di un punto di equilibrio di un sistema dinamico è l'insieme dei punti nello spazio delle fasi la cui orbita si avvicina al punto di equilibrio nell'avanzare del tempo. Si tratta di un oggetto fondamentale per studiare la stabilità interna di un sistema dinamico, ed in particolare nel descrivere gli attrattori. (it) 在数学动力系统的研究中，稳定（或不稳定）流形指的是以指数率趋向（或远离）某一不变集的点的集合。 (zh)
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