In mathematics, Lill's method is a visual method of finding the real roots of a univariate polynomial of any degree. It was developed by Austrian engineer Eduard Lill in 1867. A later paper by Lill dealt with the problem of complex roots. Lill's method involves drawing a path of straight line segments making right angles, with lengths equal to the coefficients of the polynomial. The roots of the polynomial can then be found as the slopes of other right-angle paths, also connecting the start to the terminus, but with vertices on the lines of the first path.
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| - Lills Methode (de)
- Orthogone de Lill (fr)
- Lill's method (en)
- Метод Лиля (ru)
- Метод Ліля (uk)
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| - In mathematics, Lill's method is a visual method of finding the real roots of a univariate polynomial of any degree. It was developed by Austrian engineer Eduard Lill in 1867. A later paper by Lill dealt with the problem of complex roots. Lill's method involves drawing a path of straight line segments making right angles, with lengths equal to the coefficients of the polynomial. The roots of the polynomial can then be found as the slopes of other right-angle paths, also connecting the start to the terminus, but with vertices on the lines of the first path. (en)
- L'orthogone de Lill est une méthode de résolution graphique des équations polynomiales, popularisée par l'autrichien Eduard Lill (1830-1900). (fr)
- Метод Лиля — графический метод нахождения вещественных корней многочленов произвольной степени, графическое представление схемы Горнера. (ru)
- Метод Ліля — графічний метод знаходження дійсних коренів многочленів довільного степеня, графічне подання схеми Горнера. (uk)
- Lills Methode (nach Eduard Lill) ist ein graphisches Verfahren zur Bestimmung der Nullstellen eines Polynoms. Zu einem gegebenen Polynom werden von einem gemeinsamen Punkt ausgehend zwei Polygonzüge mit und Streckenabschnitten konstruiert, enden diese in einem gemeinsamen Punkt, so ist der negative Tangens ihres Schnittwinkels am gemeinsamen Ausgangspunkt eine Nullstelle des Polynoms. Wendet man Lills Methode in einer leicht modifizierten Form auf eine normierte quadratische Funktion an, so erhält man eine Herleitung des Carlyle-Kreises (siehe dort). (de)
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| - Lills Methode (nach Eduard Lill) ist ein graphisches Verfahren zur Bestimmung der Nullstellen eines Polynoms. Zu einem gegebenen Polynom werden von einem gemeinsamen Punkt ausgehend zwei Polygonzüge mit und Streckenabschnitten konstruiert, enden diese in einem gemeinsamen Punkt, so ist der negative Tangens ihres Schnittwinkels am gemeinsamen Ausgangspunkt eine Nullstelle des Polynoms. Der Polygonzug mit Strecken wird zuerst konstruiert und ergibt sich aus den Koeffizienten des Polynoms . Zunächst sei vorausgesetzt, dass alle Koeffizienten positiv sind. Von einem beliebigen Anfangspunkt ausgehend verläuft der erste Streckenabschnitt um Längeneinheiten nach rechts, der nächste biegt dann im rechten Winkel links ab und ist Längeneinheiten lang. An seinem Ende biegt der nächste Streckenabschnitt erneut links ab und man setzt dies Verfahren für alle Koeffizienten fort. Man erhält so einen Viererzyklus von rechts, aufwärts, links, abwärts, der jedem Koeffizienten eine dieser vier Richtungen zuordnet. Ist ein Koeffizient nun negativ, so bewegt man sich entgegen der dem Koeffizienten durch den Zyklus zugeordneten Richtung. Der zweite Polygonzug wird basierend auf einem Ausgangswinkel und dem ersten Polygonzug konstruiert. Man wählt eine Gerade so, dass sie mit dem ersten Streckenabschnitt des ersten Polygons den vorgegebenen Ausgangwinkel bildet. Dann schneidet man diese Gerade mit der Geraden, auf der der zweite Streckenabschnitt des ersten Polygonzugs liegt. Dieser Schnittpunkt bildet mit dem Ausgangspunkt den ersten Streckenabschnitt des zweiten Polygonzugs. In diesem Schnittpunkt errichtet man nun die Senkrechte und berechnet deren Schnittpunkt mit der Geraden, auf der der dritte Streckenabschnitt des ersten Polygonzugs liegt und hat damit den zweiten Streckenabschnitt des zweiten Polygonzugs erhalten. Man fährt nun so fort, bis man beim letzten Streckenabschnitt des ersten Polygonzugs angelangt ist. Trifft man dort genau auf dessen Endpunkt, das heißt, der Schnittpunkt der letzten Senkrechten des zweiten Polygonzugs schneidet die Gerade, auf der der letzte Streckenabschnitt des ersten Polygonzugs liegt, genau in dessen Endpunkt, so hat man eine Nullstelle gefunden und ihr Wert entspricht dem negativen Tangens des Winkels am Ausgangspunkt. Trifft man nicht auf den Endpunkt des letzten Streckenzuges des ersten Polygonzugs, so hat man keine Nullstelle gefunden und man konstruiert daher einen neuen zweiten Polygonzug mit einem anderen Ausgangswinkel. Durch geschickte Variation des Ausgangswinkels lassen sich so theoretisch alle Nullstellen ermitteln. Wendet man Lills Methode in einer leicht modifizierten Form auf eine normierte quadratische Funktion an, so erhält man eine Herleitung des Carlyle-Kreises (siehe dort). (de)
- In mathematics, Lill's method is a visual method of finding the real roots of a univariate polynomial of any degree. It was developed by Austrian engineer Eduard Lill in 1867. A later paper by Lill dealt with the problem of complex roots. Lill's method involves drawing a path of straight line segments making right angles, with lengths equal to the coefficients of the polynomial. The roots of the polynomial can then be found as the slopes of other right-angle paths, also connecting the start to the terminus, but with vertices on the lines of the first path. (en)
- L'orthogone de Lill est une méthode de résolution graphique des équations polynomiales, popularisée par l'autrichien Eduard Lill (1830-1900). (fr)
- Метод Лиля — графический метод нахождения вещественных корней многочленов произвольной степени, графическое представление схемы Горнера. (ru)
- Метод Ліля — графічний метод знаходження дійсних коренів многочленів довільного степеня, графічне подання схеми Горнера. (uk)
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